中西方古典数学思想比较

中西方古典数学思想比较摘要文章主要分为三部分，第一部分通过介绍中国古代数学发展的历程总结出中国古典数学思想的特点，第二部分通过介绍古希腊三大数学学派的思想总结概括西方古典数学思想的特征，第三部分就是对中西方古典数学思想的主要特征进行比较分析．1.引言我们熟知，中西方数学的发展都有很长的历史由来，而且对于世界数学的发展和进步都有不可磨灭的影响力，但是在数学产生、发展的古典时期，中西方数学又都各自表现出鲜明的个性．数学在近代科学的产生、形成和发展中具有举足轻重的地位．如何通过揭示中国古典数学思想及以古希腊为代表的西方古典数学思想特征的基础上，寻求二者之差异及引起差异的根源、表现及特征，对于理解科学在中西方的发展，进而揭示中国数学与科学发展的深层问题，都具有一定的理论意义．2.中国古典数学思想数学是中华文化重要的一部分，最早有文字记载可以追溯到殷商时代，源远流长，博大精深．从公元前20世纪到公元14世纪，上下3000多年之间，我国在数学科学上取得了丰硕成果，为人类的科学文化做出辉煌贡献．2.1早期萌发的数学思想我国史前传说中，与数学思想和数学起源、发展有关的首先是结绳．这种用简单的方式来表示复杂事物的举动，也是基于人类在早期认识中就有的一种十分自然的观念——对比．早期的数学思想，是与人类的生活实际紧密相连的．知道结绳记事虽然还不能说是懂得了抽象的数，但它为人类能进一步得到抽象的数提供了科学的思路，是往后对数进行研究的重要起点．我国在原始社会就已经形成了十进制，到了商代已经有了完整的十进制体系，以后就一直沿用．自然地，运算就应用而生，运算离不了加减乘除，除不尽而造成了分数的产生，减不了便产生负数，我国是世界上最早提出正负数加减法的国家，并且很快应用到解方程中．中国在几何学方面的思想萌芽在上古时期就已经有了思想萌芽．考古发现，西安半坡出土的陶器有用1~8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形．为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具．2.2中国古代数学体系的形成秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展．中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术己成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现．《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著．例如分数四则运算、今有术、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法等，水平都是很高的．其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的．就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系．《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主、很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等．这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的．中国古代数学突出强调其应用性方面，要为确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务．应当说，《九章算术》通篇以实际生活当中的事例为主，注重解决实际问题，确实与当时生产、生活密切相关，适应了社会的需求，但这也从某种程度上，偏离了数学之抽象本质，背离了数学理性的内在驱动，与战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论完全的不同，由此开始，中国数学思想的发展真正形成了不同于西方数学的传统．作为中国古代数学史上最重要的经典著作《九章算术》，与儒家有着密切的关系．后人研究认为，《九章算术》的编集与东汉初年经古文学派的儒士有密切的关系，如果对于中国古代数学发展具有重要影响的《九章算术》，其结构和实用性的特征是由于受到儒家文化的影响，那么，整个古代数学的发展与儒家文化的密切联系，也就不言而喻的了．2.3中国古代数学的发展魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它话辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高．但这一时期中国古典数学的成就主要体现在对《九章算术》的各种注释、补充和解读上．当然，在这些补充当中，也体现出了很多值得注意的新成就，其中以赵爽与刘徽为代表者．赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一．他提出了用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位．刘徽大概与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者．刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为157/50和3927/1250．刘徽还用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒2:1，解决了一般立体体积的关键问题．在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径．东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态．这时候最著名的数学工作来自祖冲之父子．他们的数学工作主要有：计算出圆周率在3.1415926一3.1415927之间；提出祖(日恒)原理；提出二次与三次方程的解法等．祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久．隋唐时期，宫廷建筑及战争的需求，客观上促进了数学的发展，主要体现在土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题上，如唐初王孝通的《缉古算经》，颇具代表．唐初则在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教．并以《算经十书》作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准，这些对于保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的．唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算．2.4中国古代数学的繁荣北宋时期，印刷术的广泛应用，促进了文化的传播，同时，也为数学发展创造了良好的条件．比如，此时第一次印刷出版了《算经十书》．宋元是经过“五代十国”动乱之后进入的一个大统一时期，认为是中国古代科技发展的高峰．秦九韶、李冶、杨蝉和朱世杰的在数学领域表现得尤为突出，宋元科技的发展被以宋元数学四大家《算术启蒙》与《四元玉鉴》两部杰作为代表，是中国古代筹算系统的顶峰，为代数知识的普及起了推动作用，为西方数学的引入及接受做了准备工作．中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期．宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果．此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的．宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义．秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学；莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法；杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义．所有这些，无疑是促进数学发展的重要因素．2.5中国古典数学思想内核纵观我国古代数学的发展经历的如此之长的历史时期，可以看到，儒家，道家、墨家等这些哲学思想恰恰正是我国古代数学的思想内核．整体上来说，儒家思想在我国古典数学中的渗透，使中国古典数学形成了独具特色的“经世致用”的数学思想传统．它以应用为主，当然，这是我国古代先民在社会实践中、在改造客观世界过程中所形成的观念．几乎所有古代数学都与当时社会实践、经济生活有密切关系．“九章算术”全书共246道应用题，按性质分为九大类即组成九章，每章为一卷，其顺序为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股．所列内容多是社会生产与生活中的实际问题,反映当时社会政治、经济、军事、文化等方面的实际需要．这充分体现出《九章算术》的编制体例受儒家思想影响很深．儒家的自然观是直观性和思辨性，对待自然科学的观点是注重实用,偏向实践经验，对理论抱着“适可而止”的态度．作为先秦显学的墨家，一向以张扬科学研究与科学精神为传统，这为后世那些专业于学术而无所他求之人提供了基础或铺垫．刘徽对墨家思想采取的是应用与发挥的态度，把墨家逻辑的核心概念与内容充分应用到他的《九章算术注》．墨家的逻辑思想与方法对刘徽和刘徽的《九章算术注》都产生了深刻的影响．周知，《九章算术注》对中国传统数学之影响是十分巨大而深远的，《九章算术注》不仅在其后很长时期代表了中国传统数学甚至世界数学的最高成就，而且《九章算术注))的理论范式和研究范式都一直为后世数学和数学家所效仿、模拟和遵从，形成了中国传统数学的两大传统之一，即数学传统，把数学当作学术，“总算术之根源”，“以阐世术之美”．从一定程度上看，墨家逻辑通过《九章算术注》对中国传统数学产生了较大的影响．3.西方古典数学思想西方数学史的发展历史也很长，可以追溯到古希腊时期，但严格意义上来讲，直到19世纪中叶以后，西方数学才进入到了现代的发展阶段．不过从数学思想的意义上讲，欧几里得的《几何原本》的完成，标志着西方古典数学思想的初步形成，出于考察西方古典数学思想的目的，对西方古典数学的考察，我们将范围限定于古希腊到文艺复兴这一段时期之内．西方古典数学思想与古希腊的哲学思想交织在一起，比较著名的是毕达哥拉斯、柏拉图及亚里士多德的思想．3.1毕达哥拉斯学派的数学思想在古希腊数学家之中，毕达哥拉斯是最为人们所熟悉、出类拔萃的大数学家．毕达哥拉斯学派以数为本原的本体论思想，形成了宗教神秘主义、唯心主义以及科学哲学思想相结合的奇特理论体系，毕达哥拉斯学派对数学的贡献主要反映在对数学本身的认识和研究方法上的突破，该学派对数学的观念带有浓厚的原始文化的神秘色彩．他们认为“数”是真实物质的终极组成部分．这种“万物皆数”的观点构成了毕达哥拉斯学派的核心观念，奠定了毕达哥拉斯学派的哲学基础．该学派认为，数是现实的基础，是严整性和次序的根据，是在宇宙体系里控制着天然的永恒关系．“数”是世界的法则和关系,是主宰生死的力量，是一切被决定事物的条件．毕达哥拉斯学派关于谐音的研究对于其核心观念的形成起到了十分重要的作用．他们发现，弹弦音质的变化来源于弦长短的数量变化，而两根绷得同样紧的弦，如果它们的长度成整数比，那么就会发出谐音．既然音乐这种似乎与数毫无关系的现象最终都可以用数来解释，这就极大增强了毕达哥拉斯派用数来解释世界的信心．他们确信整个宇宙的现象完全依附于某种数值的相互关系，也就是存在着“宇宙的和谐”．行星的运动最终也可以通过“天际的音乐”表示数与数之间的关系，离地球越远的行星运动得越快，各个行星则因其离开地球的距离的不同而使发出的声音配成和谐之音．显然，毕达哥拉斯学派这种“数本原”思想具有唯心主义与神秘主义倾向．然而，就其积极意义来讲，这一理论确立了数学对象的抽象特征，使数学研究脱离实物原型的依赖跨出了重要一步，从而有力地促进了他们对抽象数及其性质的研究．在研究方法上则摆脱了实验和经验的局限，开始探索用推理去验证数学命题，使数学开始接近于一门纯心智活动的理性学科．3.2 柏拉图学派的数学思想柏拉图的思想是对以前希腊哲学，包括早期自然哲学、智者的思想和方法以及苏格拉底的原则和方法的创造性的综合，他的理念论综合了本原论和认识论、灵魂观和伦理观、以及社会政治学说，是希腊哲学第一个完整的、成熟的理论体系．理念在柏拉图的哲学中具有核心的地位．人的认识有感性和理性区分，所以认识的对象也有本原和可感事物．两个世界:理念世界和感觉世界．理念本质上指的是一种类型的个别事物的共同性．两者是分离的，摹仿说、分有说和工匠说，来解释万事万物的原因．其意义在于扩大理性的能力，鼓励人们不应当停留于事物之表面，应当趋向于理性和抽象，进行概念化，才能把握到本质．柏拉图的数学哲学思想具有重要理论价值．第一，他区分了概念和判断这两种思维形式，为推理提供了某种程式，这种程式既为亚里士多德创立形式逻辑和逻辑方法论奠定了基础，当然也为数学理论的演绎系统化奠定了基础．在概念思维学说如逻辑方法的基础上，柏拉图提出了要从自身的假设出发进行证明的想法，而这个想法正是古希腊数学思想的最高成就——公理方法的发端，由此就强调把概念作为认识和思维的起点．这是柏拉图理念论的一个基本而重要的准则，从而柏拉图成为了第一个鲜明地揭示概念本质并举起概念独立和概念思维的旗帜．这就是说，是柏拉图树起了演绎系统化的里程碑，从此开始了彻底的希腊数学时代．而一个完备的科学的结构首先应该是一个演绎系统，具体设计这种结构的是亚里士多德．3.3 亚里士多德学派的数学思想亚里斯多德提出了第一哲学，即形而上学的观念，这是他的最高科学，关于宇宙本体的学说，是对最高原则和最终本原的思考．亚里斯多德认为，所有哲学都在寻求世界的本原和原因，但都未达到第一哲学的高度．因此，宇宙间最普遍的就是实体，最高的对象也是实体，事物的所有一切其他性质都是依赖于它本身是实体这一性质的，如关系、地点、时间、数量等，是最高的范畴．和柏拉图不同，亚里士多德把数学更多的放在科学的层面，他尤其重视现实世界的经验和观察，亚里士多德反驳柏拉图的世界理念论，他认为物质是更重要的，是宇宙的主体和源泉，万物的本质在于事物之内，如数和形状只是事物的属性，它们是通过抽象思维为人所认识但它们是从属于事物的，只是事物属性的一部分，其基本观点反映在认识论上即物质第一性，认识来源于感性并经过感性和理性两个阶段．亚里士多德对科学进行严格分类,数学与物理学等自然科学分来．他认为数学是最精确的科学，他的自然哲学的核心就是按自然类观点—从自然事物本身层面去把握实体．在个体与类的关系问题上，个体作为本质，类是属性，因而他称个体为“第一性的实体”，类为“第二性的实体”．亚里士多德认为，数和几何图形是实物的属性，亚里士多德学派对数学的最大贡献是建立了形式逻辑学．他认为逻辑先行于科学和哲学，相信数学真理早先存在于或独立于物质世界，所以推理不足以保证定理正确,也就是逻辑的作用是第二位的．在数学里他强调演绎证明．认为数学搞的是抽象概念，这在数学史上第一次明确提出了数学研究的对象．不但如此，他进一步认为，一般的科学必须研究客观的世界才能获得真理，真正的知识是从感性的经验通过直观和抽象而获得的然后才能在此基础上应用理性给与加工．总体上看，亚里士多德对于数学演绎体系建设所起的关键作用主要表现在：是他端正了由柏拉图所偏离的对数学的纯理念的解释，提出了数学解释的感性与理性．他认为，几何学研究物质的线，但不是在物质的意义下来研究它的．二是他提出三段论推理法则与形式，创立了形式逻辑，为数学推理的科学化、规范化奠定了基础．三是他给科学的命题分类，创立演绎系统化的工具一一公理方法．而正是公理方法导致产生了科学史上第一门理论形态的科学即近代意义上的科学一一欧几里得几何．4.中西方古典数学思想比较从中西古代数学文化比较意义上分析，我们可以看出，中西古代数学表现出了两种不同的倾向：逻辑演绎倾向和机械化算法倾向，其作用与构造差异主要是由文化系统赋予的文化层次及其价值取向的差异造成的，这两种倾向的对立统一就构成了数学自身内在的矛盾运动和发展动力．具体来说：首先，在古希腊传统中，特别是毕达哥拉斯数本原学说，其“万物皆数”和追求“数的和谐”观念把数学的这两种功能牢牢地结合在一起,并使之运演操作，共同发展．这就使原始数学带有神秘性和数量性的特征．古希腊数学的这种与神秘性相结合的特征，使得他们从宗教、哲学的层次追求数学的绝对性以及解释世界的普遍性地位，这正是古希腊数学完全脱离实际问题，追求逻辑演绎的严谨性的文化背景．由此到了古希腊最有影响的大哲学家柏拉图的唯心主义哲学，把数学的神秘性及数量性意义演化为一种哲学意义的数学理性，直到亚里士多德认为“数就是宇宙万有之物质”．其次，从中国文化传统意义上看，中国古代是借助于竹棍为特定物进行数字、数学操作运演的民族．在中国文化中,它长于对“形而下”的问题作分门别类的数量的解释，为解决问题而制定各种算法，并常常将“理”寓于“法”中，算理结合、寓理于算的特征赋予筹算解释“形而上”问题的文化功能．因此,数学的价值观念是通过发展技艺实用，而非理性思辨．因此，中国古代数学不仅未形成以宗教、哲学的层次思辨自己的方法、结构形式，而是形成了专司具体数学问题的特征．中国古代数学在文化传统中的价值取向就是在筹算运演机械重复的条件下尽力构造简明的运演方法，准确迅速地解决实践提出的具体问题．中国古典数学的这一价值取向，由此就决定了中国古代数学的发展和构造模式，这种筹算数学的价值取向保证了中国古代数学机械化特色的发展方向，注重数学实际应用的层次不断发展，机械化的计算技术和水平不断提高．可见，文化价值观的传统特点也造就了一批传播和发展作为技艺数学的群体，这是促进数学机械化发展的人才优势，尤其是在相对稳定的文化环境中，其传统价值观念发挥了重要作用．一般来说，古希腊数学思想主要体现出如下的特征：（1）希腊人将数学抽象化，使之成为一种科学，具有不可估量的意义和价值．希腊人坚持使用演绎证明，认识到只有用勿容置疑的演绎推理法才能获得真理．要获得真理就必须从真理出发，不能把靠不住的事实当作己知．从《几何原本》中的10个公理出发，可以得到相当多的定理和命题．（2）希腊人在数学内容方面的贡献主要是创立平面几何、立体几何、平面与球面三角、数论,推广了算术和代数，但只是初步的,尚有不足乃至错误；（3）希腊人重视数学在美学上的意义，认为数学是一种美，是和谐、简单、明确以及有秩序的艺术；（4）希腊人认为在数学中可以看到关于宇宙结构和设计的最终真理，使数学与自然界紧密联系起来，并认为宇宙是按数学规律设计的，并且能被人们所认识的．而中国数学体现出的特征为：（1）中国数学最基本的特点是具有鲜明的社会性．通观中国古典数学著作的内容，几乎都与当时社会生活的实际需要有着密切的联系．从《九章算术》开始，中国算学经典基本上都遵从问题集解的体例编纂而成，其内容反映了当时社会政治、经济、军事、文化等方面的某些实际需要，具有浓厚的应用数学的色彩．（2）中国数学教育与研究始终置于政府的控制之下，以适应统治阶级的需要．（3）中国数学家的数学论著深受历史上各种社会思潮、哲学流派以至宗教神学的影响，具有形形色色的社会痕迹．（4）中国数学是以几何方法和代数方法的相互渗透表现为形数结合的,是用算筹来计算的．并采用了十进位制．同时，用一整套“程序语一言”来揭示计算方法,而演算程序简捷而巧妙．（5）中国数学理论表现为运算过程之中，即“寓理于算”．中国数学家善于从错综复杂的数学现象中抽象出深刻的数学概念，提炼出一般的数学原理，作为研究众多数学问题的基础．参考文献［１］巫寿康，刘徽《九章算术》逻辑初探，《自然科学史研究》，1987．［２］李国伟，九章算术与不可公度，《自然辩证法通讯》，1994．［３］巫寿康，刘徽《九章算术》逻辑初探，《自然科学史研究》，1987．［４］汤彬如，试析祖冲之父了的数学思想，《南吕教育学院学报》，2000．［５］郭金彬，“算经十书”数学思想简论，《厦门大学学报》，2003．［６］扫石然，《数学·历史·辛{会》，沈阳：辽宁教育出版社，2003．［７］汀了肖，《希腊哲学史》，北京：人民出版社，1988．［８］沈南山，古希腊数学流派哲学思想比较，《金陵职业大学学报》，2001．［９］孙杰远，古典数学思想的中西比较及哲学思考，《广西师范大学学报》，1997．［１０］沈南山，古希腊数学流派哲学思想比较，《金陵职业人学学报》，2001．［１１］李约瑟，《中国科学技术史》，北京：科学出版社，1990．。