高中数学恒成立问题中含参范围的求解策略
高中数学恒成立问题解法小结
数学恒成立问题解法小结函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量分离型；⑤数形结合型.题型一、赋值型——利用特殊值求解例1．如果函数y =f (x )=sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =8π- 对称，那么a =（ ）. A .1 B .-1 C .2 D . -2.题型二、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f (x )=ax+b (a ≠0),若y=f (x )在[m ,n ]内恒有f (x )>0，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或 ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，若在[m,n]内恒有f (x )<0，则有⎩⎨⎧<(0)(n f m f例2．对于满足|a|≤2的所有实数a ,求使不等式x 2+ax +1>2a+x 恒成立的x 的取值范围.题型三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f (x )=ax 2+bx+c =0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f (x )>0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>00a ；f (x )<0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆<0a . 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解. 例3． 若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.例4.已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.题型四、变量分离型——分离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有f (x )>g (a )恒成立，则g (a )<f (x )min ;若对于x 取值范围内的任何一个数，都有f (x )<g (a )恒成立，则g (a )>f (x )max .(其中f (x )max 和f (x )min 分别为f (x )的最大值和最小值)例 5.已知三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.例6. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .题型五、数形结合——直观求解例7. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围.例8：如果对任意实数x ，不等式kx x ≥+1恒成立，则实数k 的取值范围是__________小试牛刀:1.求使不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围。
不等式恒成立问题中参数求解策略论文
不等式恒成立问题中的参数求解策略【摘要】不等式恒成立问题是高考重要的考点，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想方法，成为历年高考的一个热点.考生对于这类问题往往感到棘手，甚至难以入手，寻找不到求解的钥匙.本文结合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略，研究常见的题型归纳通性通法。
【关键词】不等式；恒成立【中图分类号】g63 【文献标识码】b 【文章编号】2095-3089（2013）17-0-02题型一、可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
常常有以下两类情况：（一）可化为二次函数在r上恒成立问题设，（1）上恒成立；（2）（2）上恒成立。
例1：对于x∈r，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。
（二）利用根的分布研究恒成立问题设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立例题2：（07年广东理科卷20）已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上恒有零点，求实数a的取值范围。
解析1：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，a=0时，不符合题意，所以a≠0，方程f（x）=0在[-1，1]上有解或或或或a≥1.所以实数a的取值范围是或a≥1.二、（分离变量法）（1）利用函数最值法如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。
恒成立，即大于时大于函数的最大值。
恒成立，即小于时小于函数的最小值。
例题3：（2010天津文数）（16）设函数f（x）=x-，对任意x恒成立，则实数m的取值范围是【答案】m0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。
若m1，解得m0，此函数g（t）单调递增，∴y的取值范围是，∴=0在[-1，1]上有解∈或。
“恒成立”问题求解策略的探索
复 习指 津
恒 成 ＂问 题 求 解 策 略 探 索 立 的
江 苏丹 阳市教 师进 修 学校 （ ］ ３ ０ 步 ２２０ ）
在数 学 问 题 研 究 中 经 常 碰 到 在 给 定 条 件 下 某 些 结
飞
论 恒成立 的命题 ， 在高考试题 中对 于恒 成立 的问题也 时
值还 是最 小 值 ， 要 注意判 断好 是 开 区间还是 闭区间 ． 还 【 １ 已知 厂Ｌ ＝ｘｎ ， （ 一 一ｚ ＋ ｎ 一 ３ 若 例 １ （ ） ｌｘ ｇ ） ｚ ，
果． 尤其 是选择 题 、 空题 ， 填 这种方法更显方便 、 快捷．
【 ３ 对于满足 ｌ ≤２的所有 实数 ｍ， 例 】 ｍｌ 求使不等
Ｉ 一． １ ≤
得一３ ≤一２ ≤ｎ ．
综合可得 ａ的取值 范围为［ ，］ 一３ １．
３ 数 形 结 合 法 ．
若 把不等式进行合理地 变形 ， 能非常容 易地画 出 则
不 等 号 两 边 函 数 的 图 象 ， 过 画 图就 可 直 接 判 断 得 出结 通
函数 的最值 问题 ， 在解题时要判断清楚是求 厂 的最 大 （）
略解 ： 当 ∈ （ ， ｏ ） ，／ ） ｇ ） 即 ２ ｌ ≥ Ｏ ＋ 。 时 ２ （ ≥ （ ， ｘｎ ｘ
０
一ｚ ＋ “ 一 ３ 也 即 ａ ２ｎ ， ￣ １ｘ＋ ＋ ， 工
０
然可将 视作 白变量 ， 上述 问题 即可转化 为在 ［ ， 则 一２ ２ 内关 于 的一次函数大于 ０ ］ 恒成立 的问题 （ 因为求 的
为 函数 的最值 问题 ， 若在不等式 中出现两个变量 、 ， 志 其
中一 个 变 量 的 范 围 已 知 ， 一 个 变 量 ｋ的 范 围 为 所 另 求 ， 容 易 通 过 恒 等 变 形 将 两 个 变 量 、 别 置 于不 等 且 ｋ分 号 的两 边 ， 可 将 恒 成 立 问题 转 化 为 是 厂 ）忌 厂 ｚ 则 ＞ （ 、＜ （ ） （ 是 厂 ｚ ＞ ｇ ｚ 、 （ ） （ ） ， 恒 成 立 问 题转 化 成 或 （ ） （ ）厂 ｚ ＜ｇ ｚ ） 该
利用导数求解参数问题(恒成立问题)经典题目
用导数解参数问题已知函数的单调性，求参变量的取值范围，实质上是含参不等式恒成立的一种重要题型。
本文将举例说明此类问题的求解策略。
结论一、 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.结论二、 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.一、（2008湖北卷）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞- 二、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：设()()()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立，()()()()()()2221210202021210x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩解得：1122x -++<<三、（2009浙江）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解析：（Ⅰ）略（Ⅱ）)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a 四、(新课程卷 )若函数y =31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.解：[])1()1()1()(2---=-+-='a x x a ax x x f令0)(='x f ，解得x=1或x=a-1，并且 a≠2,否则f (x)在整个定义域内单调。
含参不等式恒成立问题的求解策略
反客为主 ，整理成关于 ｔ的形式： ｆｘ一２）ｔ＋（ｘ－２） ０（显 然 有 Ｘ≠２）
ｍ２ －
ｍ一、ｖ／２ ≤（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）ｍｉｎ（ｘ∈Ｒ）
ｍ２ －
ｍ一
≤一ｖ ｒ＜＝：＞０≤ｍ≤１．
令 ｔ）＝（ｘ一２）ｔ＋（ｘ一２）：，则 ｔ）是 ｔ的一次函数 。由于 ｔ）＞０对 ｔ∈
１，１）恒成立 ，则有 １）≥ ｘ２—５ｘ＋６￣０
ｆ ａ＜０
ｆ（ｘ）＜ｏ对ｘＥＲ恒成立 ｉ△＜０
在 不等式 中求参数取值范 围是 高考、竞赛 中的热点 问题 ，探 讨其
为 了帮助学生 有序地思 考 ，使学生逐步养成 良好 的思维 习
独有的解题方法很有现 实意义 ，这类 问题的常见求解策略有 ：一 惯 ，在教学中适 当地强调解题顺 序和步骤是十分必要 的。
或 ｔ＜ｆ（ｘ）． ｔ＞ｆ（ｘ）恒 成立 ＜＝：＞ｔ＞【 ｘ）］ｍａｘ；
对于一次 函数 ｆｘ）＝ｋｘ＋ｂ￣≠０），Ｘ∈【ｍ，ｎ］有
ｔ＜ｆ（ｘ）恒 成立 ＜＝：＞ｔ＜［ｆ（ｘ）］ｍｉｎ。
ｆ（ｘ）＞０恒成立＜＝：＞｛／．ｆｍ）＞０ ｆ（ｘ）＜０恒成立＜＝：＞｛ｆ（ｍ）（０
ｌ ｆｉｎ）＞０
１．ｆｉｎ）＜０
ｌ ｎ）≤０
法并 明确地告诉学生 ，阐述方法 的作用 ，引起学生思想上的重视 。 例 ３、已知 函数 ｆ（ｘ）一ｘ ＋ｐｘ。＋ｑｘ＋ｒ且 ｐ－Ｏ＋３ｑ＜０，若对 ｘ∈Ｒ都 有
数学方法寓于数学知识之中，所 以应该把数学方法 的培养和 ｆ（ｍ－＇－ｓｉｎｘ）≥ｆ（ｍ＋、，， ＋ｃｏｓｘ），求 ｍ 的取值范围．
高学生运用数学知识解决 问题的能力 ，有利于激发学生的学 习兴 趣 ，有利于提高学生 学习的 自觉性 ，才能把学 生和教师从题海 中
高中数学解题方法系列：导数解参数问题的8种策略
1 2 2
1 4
1 t
1 2
,
f t f 2 3 a2 a 3 1 a 3
min
4
4
2
2
策略二：主次元变换法
案例 1、设函数 f (x) xekx (k 0)（Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）
max
只需 t ≥ g (1) 即可，即 t ≥5. 即 t 的取值范围是[5，∞）.
利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体
现了高考 “能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。
案例
6、已知函数
f
x
lg
x
a x
2
，若对任意
x 2, 恒有
3 x2
1 x3
令
g x
3 x2
1 x3
，则
g' x
31 2x
x4
，
所以 g x
在区间
0,
1 2
上单调递增，在区间
1 2
,1
上单调递减，
因此
g x max
g
1 2
4 ，从而 a
4；
当1
x
0 时，
f
(x)
ax3
案例 3、设 a R ，若函数 y eax 3x ， x R 有大于零的极值点，则（
）
A． a 3
不等式恒成立问题中的参数求解策略
时恒 成 立 ， 分离参 数得 ｎ ＞ 一［ ‘ １） ＋ （ ） ］ ， ｚ ∈
解 这类 题 ， 还是 有一 般 规律 可循 的． 在定 义域 内设 函数 （ ｚ ） 的最大值为 Ｍ， 最 小 值 为 ｍ（ 或－ 厂 （ ｚ ） ＜Ｍ ， － 厂 （ ） ＞ ） （ Ｍ、 Ｄ ｔ ＇ 为 常数 ） ， 有 如 下
解 Ｙ 一１ ＋１ ｌ —ｌ ｚ 一１ Ｉ 一 ２ ｘ， 一１ ≤ｘ ＜ｌ ，
ｌ ２ ， ≥ ｌ ，
所 以 Ｙ∈［ 一２ ， ２ ］ ， 即Ｙ 一２ ， 所以。 ＞２ ．
（ ２ ）因 为
函数 － 厂 （ ） 在 定义 域上 是 单 调 函数 ， 所以 ｆ （ ） ≥ ｏ或 ｆ （ ｚ ） ≤０ 在［ 一１ ， ＋。 。 ） 上 恒 成 立． 若 ／ （ ） ≥０ ， 则 ２ ｘ ＋— ≥ ０在 ［ 一１ ， ＋。 。 ） 上恒 成立 ， 分 离 参 数 得
等豢惶废嘉精戆 ／
以 ｎ ≤ 荨 ．
例 ３ 设 厂（ ） 一ｌ ｇ＿ １ ＋２ ￣ ＋４ － ａ（ 口∈Ｒ） ，当 ∈
如参数蒜解鬃
◇ 重庆 昊 海 军
（ 一。 。 ， １ ］ 时， ＿ 厂 （ ｚ ） 有意 义 ， 求 ｎ的取 值范 围． 分析 应先 研 究 对 数 的真 数 为 正 ， 有意义， 才 能 进行 后续 计 算 ， 由对 数 函数 的性 质 去 掉对 数 符 号 ， 得 不含 对 数符 号 的不等 式 ， 然后 剥离 出参 数 ， 再 求最 值．
大（ 小） 时 的定值 ． ．
时 ， ｇ （ ｚ ） 取 最 大 值 为 一 １ ＋ ） 一 一 手 ， 所 以 ａ ＞ 一 丢 ．
。
ｓ
例 ４ 设 函数 － 厂 （ ） ＝ ＝ ＝ 。 ＋ｂ ｌ ｎ （ ｘ ＋１ ） ．
高一上学期专题5--函数的恒成立问题
高一上学期专题5 函数的恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量别离型；⑤数形结合型. 现在我们一起来探讨其中一些典型的问题. 策略一、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,那么f ：(4,3,2,1) → ( )A.10B.7C.-1D.0 例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π- 对称，那么a=〔 〕.A .1B .-1C .2D . -2.策略二、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),假设y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，那么根据函数的图象〔线段〕〔如下列图〕 可得上述结论等价于ⅰ〕⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或 ⅱ〕⎩⎨⎧><0)(0n f a 可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，假设在[m,n]内恒有f(x)<0，那么有⎨⎧<0)(m f例3a,x 的取值范围.策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 f(x)>0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>00a ；f(x)<0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆<0a . 假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.例4． 假设函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.例5.函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 变式1：假设[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 变式2：假设[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.策略四、变量别离型——别离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：假设对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，那么g(a)<f(x)min ;假设对于x 取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，那么g(a)>f(x)max .(其中f(x)max 和f(x)min 分别为f(x)的最大值和最小值例6.三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.例7. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，假设12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .策略五、数形结合——直观求解例8. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围. 解不等式恒成立的四种方法 1 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。
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恒成立问题中含参范围的求解策略
周云才
数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学
的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以
让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下
面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化
对于某些恒成立问题，可将其中的参数分离出来，将原问题转化为)x(fa（或)x(fa）
在给定区间上恒成立max)x(fa（或min)x(fa），从而将原问题转化为求函数的最大值
或最小值问题。
例1 当]1,(x时，不等式0124)aa(xx2恒成立，求实数a的取值范围。
解析：因04x，所以xx22141aa对]1,(x恒成立，即有
max
xx
2
214
1
aa
，由于xx2141)x(f在]1,(上是增函数，所以当
1x
时，432141)x(f11max，所以.23a2103a4a443aa22
例2 设cba且camcb1ba1恒成立，求实数m的取值范围。
解析：由于ca，所以0ca，于是cb1ba1)ca(m恒成立，因
2cbbabacb11cb1ba1)]cb()ba[(cb1ba1)ca(
.4cbbabacb2
（当且仅当bacb时取等号），故4m。
二、数形结合——直观化
对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结
合的思想，直观地反应出参数的变化范围。
例3 当0x时，恒有05ax6x)a5(2成立，求实数a的取值范围。
解析：令5ax6x)a5()x(f2，由题意，0)x(f对),0[x恒成立。
（1）当0a5，即5a时，有010x6对),0[x恒成立。
（2）当0a5时，结合二次函数的图像，
有0a50)0(f0)a5(26
或0)5a)(a5(4360a50)a5(26
.5a54a45a5
或
综合（1）（2）得].5,5(a
例4 设])1k2,1k2(I,Ix()k2x()x(fkk2表示区间，对于任意正整数k，直线
axy
与)x(f恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围。
解析：作出2)k2x()x(f在区间]1k2,1k2(上的图像，由图像知，直线axy只
能绕原点O从x正半轴旋转到过点)1,1k2(A的范围，直线AO的斜率为
,1k2101k201
于是实数a的取值范围是.1k21a0
三、巧妙赋值——特殊化
在某些恒成立问题中，恰当地取特殊的数或考虑特殊的情形，探求出参数的值或范围，
再加以证明，不失为一个好办法。
例5 是否存在常数c，使得不等式yx2yy2xxcy2xyyx2x对任意的正实
数x，y恒成立？并证明你的结论。
解析：令yx得32c32，有.32c
先证32y2xyyx2x成立证)y2x)(yx2(2)yx2(y3)y2x(x3成立
证22yxxy2成立，此时显然成立。
再证32yx2yy2xx成立。
证)yx2)(y2x(2)y2x(y3)yx2(x3成立
证xy2yx22成立，此时
也显然成立。
故存在常数c，使得原不等式对任意的正实数x，y恒成立。
例6 设xsin3xcos21)x(f。若对于任意1)cx(bf)x(af,Rx恒成立，试确
定常数a，b，c。
解析：取,2,0x分别代入已知等式，
即)3(ba41csinb2ccosb3)2(ba1csinb3ccosb2)1(ba31csinb3ccosb2
（1）＋（2）得，1ba （4）
由（2）（3）（4）得
)0b(b1bccos,0csin
由1ccoscsin22得22)1b(b，解得21b，从而.21a
再由1b1bccos
再).Zk(k2c
将求解的a、b、c代入已知等式验证适合，故)Zk(k2c,21ba
四、变更主元——简单化
对含多个变量问题，有时变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简的目的。
例7 对于]1,1[a，不等式1ax2axx21212恒成立，求实数x的取值范围。
解析：不等式1ax2axx21212不等式1ax2axx2即
)1x(a)1x(2
对于]1,1[a恒成立。
记2)1x()1x(a)a(f，则问题转化为一次函数（或常数函数）在区间［－1，1］
内恒为正的x应满足的条件。
由0)1(f0)1(f得
0x0)1x()1x(0)1x()1x(22
或.2x
故实数x的取值范围是
).,2()0,(
恒成立问题中含参范围的求解策略较多，但主要有以上四种常见方法，其实质是一种等
价转化的思想，可见，只要我们在解题中善于归纳和总结，就一定会积累更多的经验和方法，
从而更好地提高我们的解题能力。