数列中的恒成立问题
有关恒成立问题的解题策略与技巧
有关恒成立问题的解题策略与技巧作者：黄翠萍来源：《中学生数理化·教与学》2015年第03期近年来，恒成立问题频繁出现在高考数学试题中，主要涉及求参变量的范围问题，考查函数、不等式、数列、导数、圆锥曲线等知识，让试题的深度与广度得到加深，并渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想与方法，能够考查学生的综合解题能力.因此，在高中数学学习过程中，学生要注重对这类题目的解题技巧的总结，通过反复练习，达到融会贯通的目的.教师要给予学生正确指导，帮助学生提高解决恒成立问题的能力.一、函数最值法函数最值法是学生比较常用的一种解题方法，适用于恒成立的相关题目.在教学过程中，教师要让学生根据题意，利用函数最值法来解决实际问题.这种方法简单省时.点评：在运用函数最值法解决恒成立问题时，要注重对题目进行变形处理.二、分离参数法在遇到含参数的不等式题目时，要将含参数的不等式进行变形，把参数分离出来，将不等式变形为一端只含参数的解析式，这种方法十分便捷有效，有利于学生快速解决问题.例2已知2a-3b=1，证明直线ax+by=5恒过定点.解：由2a-3b=1，得a=12（3b+1），带入直线方程后分离参数b，得（x-10）+b（3x+2y）=0；由方程x-10=0，3x+2y=0可得，x=10，y=-15；所以（x-10）+b（3x+2y）=0表示经过两直线x-10=0和3x+2y=0的交点（10，-15）的直线系方程.因此，当2a-3b=1时直线ax+by=5恒过定点（10，-15）.点评：分离参数法主要是将参数单独放在一端，另一端则为不含参数的函数，然后将其转化为函数最值问题进行处理.这样，就能将复杂的恒成立问题简单化，教师应该向学生加强这方面的指导，让学生能够用分离参数法解决高中数学中的恒成立问题.三、数形结合法运用数形结合法也可以解决恒成立问题.首先要构造函数，作出满足已知条件的函数图形，然后找出函数与函数图形在各区间上的关系，最后得出结论，求得参数范围.点评：在这道恒成立题目中，如果直接进行求解是很困难的，但是在构造函数后，利用函数图形来分析两个函数间的关系，这样就非常直观，也便于得出最后答案.另外，学生通过观察构造的函数，能够全面掌握各函数图形代表的含义，这样学生就能加深对已知条件的理解，今后在遇到类似的题目时，也能轻易解决.总之，高中数学恒成立题型很多，解法也很多，在实际的解题过程中，要充分了解给定函数的特点和性质，具体问题具体分析，选择最恰当的解题方法，尽量将问题等价转化，这样就能很轻松的解决问题.教师要注重对学生进行这方面的指导，让学生在面对恒成立问题时，能够运用有效的方法解决难题.。
恒成立存在性问题课件
详细描述
不等式证明问题是数学中常见的问题类型，这类问题 通常涉及到比较两个数或两个函数的大小。通过证明 不等式，我们可以找到满足某些条件的参数或函数的 取值范围，从而解决恒成立存在性问题。
导数综合问题变式
总结词
利用导数性质和函数单调性，解决恒成立存在性问题。
详细描述
导数综合问题涉及到导数的计算、单调性判断以及极值 和最值的求解等知识点。通过利用导数的性质和函数的 单调性，我们可以找到满足某些条件的参数或函数的取 值范围，从而解决恒成立存在性问题。
转化与化归法
总结词
将问题转化为已知的问题或简单的问题，从而解决问题。
详细描述
转化与化归法是一种常用的解题策略，通过将复杂的问题转化为已知的问题或简单的问题，可以降低问题的难度 。在处理恒成立问题时，可以将问题转化为求最值问题、不等式问题等已知的问题类型，从而利用已知的解题方 法来解决该问题。
03
THANKS
感谢观看
常见错误反思
忽视定义域
在解决恒成立存在性问题时，容易忽 视函数的定义域，导致解题错误。
混淆最值与恒成立
在处理最值问题时，容易将最值与恒 成立混淆，导致解题思路出现偏差。
忽视参数的取值范围
在确定参数的取值范围时，容易忽视 参数的实际取值范围，导致答案不准 确。
缺乏对题目的深入理解
在解题过程中，容易缺乏对题目的深 入理解，导致解题思路不清晰，答案 不完整。
06
总结与反思
解题思路总结
转化思想
将恒成立存在性问题转化为最 值问题，通过求最值来确定参
数的取值范围。
数形结合
利用数形结合的方法，将问题 转化为几何图形，通过观察图 形的性质和变化规律来解决问 题。
“恒成立”问题的(2)
“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一 次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、 图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程 等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起 到了积极的作用. 因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型: ①一次函数型； ②二次函数型； ③指数、对数型； ④三角函数型；⑤数列型等。解法通常使用: ①函 数最值法；②变量分离法；③数形结合法.
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图 象的关系再处理。 4、通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒
成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使
变换主元法 3.变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些 问题时，若能适时的把主元变量和 参数变量进行“换位”思考，往往 会使问题降次、简化。
3. 变换主元法：
【例2】对任意 a [1,1] ，不等式 恒成立，求
解：令
x 2 (a 4) x 4 2a 0
x
的取值范围.
，则原问题转化为
C<0 Δ=b -4ac<0 ______________________。
2
a=b=0
a >0
ａ≥[f (x)] max ３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________; ａ≤[f (x)] min ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________。
变量分离法 2.变量分离法
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围 已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个 变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成 函数的最值问题求解.
恒成立问题与有解问题的区别
恒成立问题与有解问题的区别恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。
它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。
本文就恒成立与有解问题做一比较。
1、恒成立问题恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f 例1、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有： ⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax 2+bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例2、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
数列不等式恒成立问题解法例析
余 锦 银
即 ＞ ，＞ ． ｏｂ ３
法三： 令 ）ｎ１ｂ＋ ｂ １则一次 函 ＝ （一 ）３ 一 ， 数 ｇ 在 ｎ≥４单调递 减 ， ㈤ 要使 ｇｎ＜ （ Ｏ在 ） ｎ ≥４时恒成立 ， 只需 ｇ４＜ ， ｂ ３ （ Ｏ 即 ＞． ） 点评 ： 三种 方法均 源于对数列恒成 这 立问题 本质的理 解 ， 只是视 角不 同 ， 三 这
想 数学猜想是证明的前提 ， ． 但由于猜想 识和结果 ， 经尝试探索而获得对于待解决
詈 立 若 在求 的 小 ， 是一种跳跃 的思维 ， 成 （ 存 ，出ｍ 最 值若 ７ 是在逻辑依据不充分 问题向结果靠近的方向性猜想． 些猜 想 这
不存在 ， 说明理由．
的前提下做 出判断， 因而对猜想 的结果还 可将一道 没有明确 目标 的解答题转化 成
种方法是将数列看成函数 问题来解决 ， 法
二分离变量 ｎ后需解不等式 ， 法一 分离变 量 ｂ后需 求最 值． 本题 ※式再作如下 若对 不等 式的恒成 立问题是 考生较 难理 厩 立．
变式 ，则更 易看透恒 成立 问题 的方法 本
质．
解和掌握的一个难点 ， 以数列 为载体 的不
。
‘ ．
１ｂ Ｏ －＜， ｎ ｌｂ＜—ｂ ＋ － ｎ ２ ３
‘ ． ．
形为 ｇｎ＞ （）。恒 成立 ， 由 于 ｇｎ 则 （）中 不含
字母参数 ， 故求其最值时可避免繁锁的分
即 ｎ１６＜ 一 ６ （— ）ｌ ３ （
．
类讨论． ０ 湖北等地的高考压轴题就属 ２ ８ ０
于此类型． 例 １已知数 列， 的前 ｎ项和为 ５， ． 驯 且满足 ｛ ＋ １ ＝ 一 Ｊ
．
一
求 ｂ的范围 ， 分离 ｂ就不如 分离 ｎ 单 则 简
专题04 数列中的存在性与恒成立问题(解析版)
专题4 数列中的存在性与恒成立问题1．（2021·湖北·襄阳四中模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2*41,nna S n N +=∈.数列{}nb 满足2*1221,n n b b n n n N ++=++∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试问:数列{}n n b S -是否构成等比数列(注:n S 是数列{}n a 的前n 项和)?请说明理由；（3）若11,b =是否存在正整数n，使得211155(1)1111nnk k k k k kkk b b b ==+-≤≤++∑成立?若存在求所有的正整数n ；否则，请说明理由.【答案】（1）21n a n =-；（2）不构成，理由见解析；（3）存在，10n =. 【解析】 【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到{}n a 是等差数列，即可得解；（2）首先求出n S ，则2n n n b S b n -=-，即可得到11n n b S ++-，再由1n n b b ++，即可得到11()n n n n b S b S ++-=--，即可得证；（3）由（2）可得2k b k =，所求不等式即2424211155(1)11111nnkk k k kk k k k ==+-≤≤++++∑∑.设21()1f k k k =-+，利用裂项相消法可得到4211((1)(1))12nk k f f n k k ==-+++∑，同理，有24211((1)(1)),21,*12(1)11((1)(1)),2,*2nk k f f n n m m N k k k f f n n m m N =⎧++=-∈⎪+⎪-=⎨++⎪-+=∈⎪⎩∑，再由题意求出n 的值； 【详解】解：（1）由于2(1),4n n a S n N *+=∈，故2111(1)14a S a +=⇒=；2n ≥时22114(1),4(1)n n n n S a S a --=+=+；作差得，221114(1)(1)()(2)0n n n n n n n a a a a a a a ---=+-+⇔+--=.由于{}n a 是正项数列，故12n n a a --=，{}n a 是等差数列，21n a n =-；所以222(1)(211)44n n a n S n +-+=== （2）由于22111,(1)n n n n n n b S b n b S b n +++-=--=-+，2221221(1)n n b b n n n n ++=++=++，故11()n n n n b S b S ++-=--.由于1111b S b -=-，所以 当11b ≠时，111n n n nb S b S ++-=--，数列{}n n b S -构成等比数列；当11b =时，数列{}n n b S -不构成等比数列.（3）若11b =，由（2）知2k b k =，于是，所求不等式即2424211155(1)11111nnkk k k kk k k k ==+-≤≤++++∑∑.设21()1f k k k =-+，则21(1).1f k k k +=++ 故224222222111121(1)(1)12(1)2(1)(1)nn n k k k k k k k k k k k k k k k k k ===++--+==+++-++-+∑∑∑()11()(1)2nk f k f k ==-+∑ 1((1)(1))2f f n =-+ 同理，有22242221111(1)(1)(1)(1)12(1)(1)nnkkk k k k k k k k k k k k k ==++++-+-=-++++-+∑∑ ()11((1)(1)),21,*12(1)()(1)12((1)(1)),2,*2k k nf f n n m m N f k f k f f n n m m N =⎧++=-∈⎪⎪=∑-++=⎨⎪-+=∈⎪⎩由于11155((1)(1))(1)222111f f n f ++>=>，故而只能有2,*n m m N =∈.于是，2424211155(1)11111nnkk k k kk k k k ==+-≤≤++++∑∑ 1551((1)(1))((1)(1)),(2,*)21112f f n f f n n m m N ⇔-+≤≤-+=∈ 155((1)(1)),(2,*)2111f f n n m m N ⇔-+==∈ 21111,(2,*)10n n n m m N n ⇔++==∈⇔=综上所述，所有符合条件的正整数n 只有10n = 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．2．（2021·全国·模拟预测）从①()()126n n n a a S ++=，且12a <；①11a =，()1122n n n a a a n -++=≥，且存在2m ≥，*m ∈N 使得5m S =，()()11111311m m m S m S m -+++-=-；①若1n n a a d --=(常数)，且()*162+⋅=+∈N n n n n a S a ，12a <，这三个条件中任选一个，补充在下面题目的横线中，并解答．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，______． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设12nn n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，32n a n =-；(2)118(34)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）选①：根据n S 与n a 的关系式可求出数列{}n a 的通项公式；选①：根据题意可得出数列{}n a 是等差数列，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 的等差数列，从而可求出数列{}n a 的通项公式；选①：令1n =，可求出1a ；然后根据n S 与n a 的关系式可求出数列{}n a 的公差，从而可求出数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）中求出的数列{}n a 的通项公式，然后利用错位相减法可求出数列{}n b 的前n 项和n T ． (1)选①：当n ＝1时，()()111126a a a ++=，因为12a <，所以解得11a =； 当2n ≥时，因为()()126n n n a a S ++=，所以()()111126n n n a a S ---++=，两式相减，得2211336n n n n n a a a a a ---+-=，即()()1130n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列， 故()13132n a n n =+-=-．选①：由()1122n n n a a a n -++=≥，知数列{}n a 是等差数列， 因为()111122nn n na dS n a dnn -+-==+， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 的等差数列，所以11211m m m S S S m m m -++=-+，即111011m m S S m m m-++=-+， 所以21311110m m m-=-，又因为2m ≥，*m ∈N ，所以解得m ＝2； 设等差数列{}n a 的公差为d ，则2125S a d =+=，因为11a =，所以解得d ＝3，所以()13132n a n n =+-=-． 选①：因为1n n a a d --=，所以数列{}n a 是等差数列， 因为162+⋅=+n n n a a S ，所以()11622n n n S a n a --⋅=+≥，两式相减，得()116n n n n a a a a +-=-，即()622n n a a n d ⋅≥=，又0n a >，所以d ＝3．当n ＝1时，11262⋅=+S a a ，即()111623a a a ⋅+=+，因为12a <，所以解得11a =， 故()13132n a n n =+-=-，即32n a n =-． (2)由（1）得()1113222n n n n a b n --⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，所以()01211111147322222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()123111111473222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减，得()2111111133222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11112213112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⋅--()()113243422n n n n ⎛⎫⎛⎫-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则118(34)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭．3．（2021·上海静安·一模）对于数列{}n a ：若存在正整数0n ，使得当0n n ≥时，n a 恒为常数，则称数列{}n a 是准常数数列．现已知数列{}n a 的首项1a a =，且11,n n a a n *+=-∈N ．(1)若32a =，试判断数列{}n a 是否是准常数数列； (2)当a 与0n 满足什么条件时，数列{}n a 是准常数数列？写出符合条件的a 与0n 的关系；(3)若()(,1)*∈+∈N a k k k ，求{}n a 的前3k 项的和3k S （结果用k 、a 表示）．【答案】(1)取02n =时，n a 恒等于12，数列{}n a 是准常数数列；(2)答案见解析； (3)2322k k a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】 （1）将32a =代入已知条件，即可求出()122n a n =≥； （2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，分别写出答案即可；（3）由()(,1)*∈+∈N a k k k 和11n n a a +=-分别求出2a ，3a ，…，k a ，1k a +，2k a +，…，31k a -，3k a 的值，将前k 项放在一起，后2k 项中，从1k +项起,每相邻两项的和为定值，这样即可求解3k S .(1)由132a =得，231122a =-=，当2n ≥时，n a 恒等于12，数列{}n a 是准常数数列，取02n =即可；(2)①11,11=1,1n n n n nn a a a a a a +-≥⎧=-⎨-+<⎩，①1n a ≥时，1+≠n n a a ,而当1n a <时，若存在0n ，当0n n ≥时，1n n a a +=，则必有12n a =， 若01a <<时，则211a a =-，3211a a a a =-==，此时只需2111a a a =-=，112a =， 故存在12a =，12n a =，取01n =（取大于等于1的正整数也可以），数列{}n a 是准常数数列. 若11a a =≥，不妨设[),1a m m ∈+，m *∈N ，则[)10,1m a a m +=-∈， 2111m m a a a m ++=-=-+，若21m m a a ++=，则1a m a m -+=-，所以221m a =-或12a m =+，取01n m =+，当0n n ≥时，12n a =（0221a n =-，取大于等于12a +的0n 皆可）若10a a =<，不妨设(],1a l l ∈-+，l *∈N ，则(]1,a l l -∈-，所以(]21,1a a l l =-+∈+，321a a a =-=-，41a a =--，…，()(]210,1l a a l +=---∈，所以()32111l l a a a l ++=-=----⎡⎤⎣⎦,若32l l a a ++=，则221a l =-+或12a l =-+， 取02n l =+，当0n n ≥，12n a =（ 0232n a -+=，取大于等于32a -+的0n 皆可以） 存在a 和0n ：112a =，12n a =，01n ≥；112a m =+，01n m ≥+；112a m =-+， 02n m ≥+（其中m N *∈,n *∈N ），（a 为某个整数m 加上12时，数列{}n a 是准常数数列）.(3)①()(,1)*∈+∈N a k k k ,且11n n a a +=-，①21a a =-，32a a =-，…，()1k a a k =--，()10,1k a a k +=-∈，2111k k a a k a ++=-=+-，321k k a a a k ++=-=-， 4311k k a a k a ++=-=+-，…，31k a a k -=-，31k a k a =+-.所以312312313k k k k k k S a a a a a a a a ++-=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()()()1231234313k k k k k k k a a a a a a a a a a ++++-=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++ ()()()121a a a a k k =+-+-+⋅⋅⋅+--+()1112k ka k k +-=+--2322k k a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.4．（2021·四川自贡·一模（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，________，28b =，1334b b -=．在以下三个条件中任选一个①530S =，①425S a =，①3523a a b -=，补充在上面横线上，并作答．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)是否存在正整数k ．使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和34k T >？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，2n a n =，11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭(2)存在，且k 的最小值为4 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{}n a 的首项和公差，求得等比数列{}n b 的首项和公比，从而求得数列{}n a ，{}n b 的通项公式.（2）先求得,n k S T ，由34k T >求得k 的最小值. (1)设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >，则1211834b q b b q =⎧⎨-=⎩解得11216q b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭. 31411622a b ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，设等差数列{}n a 的公差为d ，若选①，则()1510101030,2,2122n a d d d a n n +=+===+-⨯=.若选①，则()()()11465,8652,2,2122n a d a d d d d a n n +=++=+==+-⨯=. 若选①，则()()()1113248,228,2,2122n a d a d a d d a n n +-+=+===+-⨯=. (2)由于12,2n a a n ==，所以()2212n nS n n n +=⋅=+， 1111n S n n =-+， 所以111111311223114k T k k k =-+-++-=->++，11,14,341k k k >+>>+，所以正整数k 的最小值为4. 5．（2022·天津·南开中学二模）已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an }前n 项和为Sn ，且满足S 3=a 4，a 3+a 5=2+a 4 (1)求数列{an }的通项公式； (2)求数列{an }前2k 项和S 2k ；(3)在数列{an }中，是否存在连续的三项am ，am +1，am +2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)*12,21,.23,2n n n n k a k N n k -=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩ (2)213k k -+ (3)存在，1 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，由已知条件列方程组求得,d q 后可得通项公式； （2）按奇数项与偶数项分组求和；（3）按m 分奇偶讨论，利用122m m m a a a ++=+，寻找k 的解． (1)设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则a 1=1，a 2=2，a 3=1+d ，a 4=2q ，a 5=1+2d ． ①S 3=a 4，①1+2+(1+d )=2q ，即4+d =2q ，又a 3+a 5=2+a 4，①1+d +1+2d =2+2q ，即3d =2q ，解得d =2，q =3． ①对于k ①N *，有a 2k -1=1+(k -1)•2=2k -1，故*12,21,.23,2n n n n k a k N n k -=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩ (2)S 2k =(a 1+a 3+…+a 2k -1)+(a 2+a 4+…+a 2k )=[1+3+…+(2k －1)]+2(1+3+32+…+3k -1)=()2213(121)13213kk k k k -+-+=-+-．(3)在数列{an }中，仅存在连续的三项a 1，a 2，a 3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1，下面说明理由若am =a 2k ，则由am +am +2=2am +1，得2×3k -1+2×3k =2(2k +1)． 化简得4•3k -1=2k +1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立． 若21m k a a -=，则由am +am +2=2am +1，得(2k －1)+(2k +1)=2×2×3k -1 化简得k =3k -1，令()*13k k k T k N -=∈，则111120333k k k k k k k kT T +-+--=-=<． 因此，1=T 1＞T 2＞T 3＞…，故只有T 1=1，此时k =1，m =2×1－1=1．综上，在数列{an }中，仅存在连续的三项a 1，a 2，a 3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1． 6．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，且___________.从①21a -为11a -与31a +等比中项，①等比数列{}n b 的公比为3q =，1124,b a b a ==这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：16n T <.【答案】(1)选择条件见解析，21n a n =+ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据选择条件求解（2）数列求和后证明，使用裂项相消法 (1)若选①，21a -为11a -与31a +的等比中项，则()()()2132111a a a -+=-，由{}n a 为等差数列，315S =，得2315a =，①25a =，把25a =代入上式，可得()()4616d d -+=，解得2d =或4d =-（舍） ①13a =，21n a n =+；若选①，3q =为等比数列{}n b 的公比，且1124,b a b a ==， 可得213b b =，即413a a =，即有113)3a d a +=（，即123a d =； 又315S =，可得11332152a d +⨯⨯=，即15a d +=，解得12,3d a ==， 此时21n a n =+； (2) ①()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， ①11111111112355721232323n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭； ①16n T <，得证 7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列；数列{}n b 的前n 项和是n S ，且21n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)设1n n n c +m ，使得()22221232313n m n n a c c c c x b +-++++>对任意*n ∈N 恒成立？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)n a n =，12n n b -=；(2)存在，5﹒ 【解析】 【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，根据1a ，2a ，4a 成等比数列求出d 即可求其通项公式；根据n S 与n b 关系即可求{}n b 的通项公式通项公式； (2)利用裂项相消法求{2nc }前m 项和，设()2313n n n a d b +-=，根据1n n d d +-正负判断{n d }单调性，求出其最大项，{2nc }前m 项和大于该最大值即可求出m 的范围和最小值. (1)设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，①1a ，2a ，4a 成等比数列，①2214a a a =． ①()2113d d +=+，解得1d =，①()11n a a n d n =+-=．当1n =时，11121b S b ==-，①11b =．当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=-，①12n n b b -=．①{}n b 是以1为首项，以2为公比的等比数判，①12n n b -=．(2)由题意得n c =()()22222211111n n c n n n n +==-++． ①22212m c c c +++()()2222222211111111122311m m m m =-+-++-+--+()2111m =-+．设()()123133132n n n n a n d b ++--==，则()()()1212312313314222n n n n n n n n d d ++++----=-=，①当1n =，2，3时，1n n d d +>；当4n =时，45d d =；当5n ≥时，1n n d d +<， ①数列{}n d 的最大项为453132d d ==， ①()21311321m ->+，整理得()2132m +>，①存在正整数m ，且m 的最小值是5．8．（2022·辽宁辽阳·二模）①{}2nn a 为等差数列，且358a =；①21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等比数列，且234a =.从①①两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 在数列{}n a 中，112a =，________. (1)求{}n a 的通项公式；(2)已知{}n a 的前n 项和为n S ，试问是否存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-？若存在，求p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)212n nn a -=； (2)存在，3p =，4q =，2r =﹒ 【解析】 【分析】(1)若选①，则可根据等差数列性质求出{}2nn a 的公差d ，根据等差数列通项公式可求2n n a ，从而求得n a ；若选①，则可证明等比数列概念求出21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的公比，根据等比数列通项公式可求21n a n -，从而求得n a ； (2)根据n a 通项公式的特征，采用错位相减法即可求其前n 项和，将其化为n n r S p qa +=-形式即可得p 、q 、r 的值． (1) 若选①：设等差数列{}2nn a 的公差为d ，则33122512312a a d --===-，①()1222121nn a a n n =+-=-，即212n nn a -=． 若选①：设等比数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的公比为q ，则2112212211a q a⨯-==⨯-， ①11112121122n nn a a n -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪-⨯-⎝⎭⎝⎭， 即212n nn a -=； (2) 21321222n nn S -=+++，231113212222n n n S +-=+++， 则两式相减得，23111111212222222n nn n S +-⎛⎫=+⨯+++- ⎪⎝⎭ 12n S =111121214212212n n n ++⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--12n S =132322n n ++=-，①2332n nn S +=-． ①()22221233343422n n n n n n S a +++-+=-=-⨯=-， ①存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-，且3p =，4q =，2r =．9．（2021·河北衡水中学三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，()122n n a xa n n -=+-≥，其中x ∈R .（1）若1x =，求出n a ；（2）是否存在实数x ，y 使{}n a yn +为等比数列？若存在，求出n S ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2382n n n a -+=；（2）存在，()21242n n n n S ++=--.【解析】 【分析】（1）将1x =代入，由递推关系求出通项公式，并检验当1n =时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数x ，y 满足题意，结合已知条件求出满足数列{}n a yn +是等比数列的实数x ，y 的值，运用分组求和法求出n S 的值. 【详解】（1）由题可知：当1x =时有：12n n a a n --=-，当2n ≥时，()()()()()()121321213012232n n n n n a a a a a a a a n ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=++++⋅⋅⋅+-=+，又13a =满足上式，故()()22138322nn n n n a ---+=+=. （2）假设存在实数x ，y 满足题意，则当2n ≥时，由题可得：()()111n n n n a yn x a y n a xa xy y n xy --+=+-⇔=+--⎡⎤⎣⎦， 和题设12n n a xa n -=+-对比系数可得：1xy y -=，22xy x -=-⇔=，1y =.此时121n n a na n -+=+-，114a +=， 故存在2x =，1y =使得{}n a yn +是首项为4，公比为2的等比数列. 从而()()1112121224122nn n n n n n n n a n a n S a a a ++-++=⇒=-⇒=++⋅⋅⋅+=--. 所以()21242n n n n S ++=--. 【点睛】方法点睛：数列求和方法：（1）等差等比公式法（2）错位相减法（3）分组求和法（4）倒序相加法（5）裂项相消法.10．（2022·浙江·模拟预测）已知递增的等差数列{}n a 满足：11a =，且5813,,a a a 成等比数列．数列{}n b 满足：()32n n S b n *=+∈N ，其中n S 为{}n b 的前n 项和．(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式； (2)设n n c T =为数列{}n c 的前n 项和，是否存在实数λ，使得不等式n n T S λ≤≤对一切n *∈N 恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)21n a n =-，()112n n b n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N(2)存在，12λ= 【解析】 【分析】（1）设{}n a 的公差为(0)d d >，根据5813,,a a a 成等比数列，由2(17)(14)(112)d d d +=++求解，由()32n n S b n *=+∈N ，利用数列的通项与前n 项和的关系求解；得()1132*--=+∈n n S b n N ，（2）由（1）23n n b S +=，得到()min 12n S =，nc 12=，利用裂项相消法求得n T ，再由不等式n n T S λ≤≤对一切n *∈N 恒成立求解. (1)解：设{}n a 的公差为(0)d d >， 则2(17)(14)(112)d d d +=++， 所以2,21n d a n ==-． 当1n =时，11b =；当2n ≥时，由()32n n S b n *=+∈N ，得()1132*--=+∈n n S b n N ，两式相减得：12n n b b -=-， 所以{}n b 是以1为首项，以12-为公比的等比数列，所以()112n n b n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N(2)23n n b S +=，显然()2min 12n b b ==-， 所以()min 12n S =， 由21n a n =-得==n c1122==，故1112222n T ⎛=+++ ⎝， 112⎛= ⎝． 显然12n T <恒成立，且当n →∞时，12n T →，所以存在唯一实数12λ=．11．（2022·江西·二模（理））已知等差数列{}n a 中，12a =，公差0d >，其前四项中去掉某一项后（按原来的顺序）恰好构成一个等比数列． (1)求d 的值． (2)令11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若212n S λλ<--对n +∀∈N 恒成立，求λ取值范围． 【答案】(1)2； (2)12λ≤-或32λ≥.【解析】 【分析】（1）根据给定条件，写出等差数列{}n a 前4项，按去掉的项讨论求解作答.（2）由（1）求出等差数列{}n a 的通项，再利用裂项相消法求出n S 并讨论其单调性，列式计算作答. (1)等差数列{}n a 的前四项为2,2,22,23d d d +++，若去掉第一项，则有2(22)(2)(23)d d d +=++，解得0d =，不符合题意， 若去掉第二项，则有2(22)2(23)d d +=+，解得0d =，或12d =-，不符合题意，若去掉第三项，则有2(2)2(23)d d +=+，解得0d =（舍去），或2d =， 若去掉第四项，则有2(2)2(22)d d +=+，解得0d =，不符合题意， 所以2d =. (2)由（1）知22(1)2na n n =+-=，11(2(22411))1n n b n n n ==+-+，于是得1111111111[(1)()()()](1)422334141n S n n n =-+-+-++-=-++，显然数列{}n S 是递增数列，恒有14n S <，因212n S λλ<--对n +∀∈N 恒成立，于是有21124λλ--≥，解得12λ≤-或32λ≥，所以λ取值范围是12λ≤-或32λ≥．12．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，35a =，2a 是1a 与5a 的等比中项，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足()*41n n S b n =-∈N .(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若118n T λ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭对任意的*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)21n a n =-，13nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)2485λ-≤≤ 【解析】 【分析】（1）对于等差数列{}n a 直接列方程322155a a a a =⎧⎨=⋅⎩求解，数列{}n b 根据11,1,2n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解；（2）利用错位相减法可得1411883nn n T +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据题意讨论得：当n 是奇数时，min8341n n λ⎛⎫⋅-≤ ⎪+⎝⎭；当n 是偶数时，min 8341n n λ⎛⎫⋅≤ ⎪+⎝⎭，再通过定义证明数列8341n n ⎧⎫⋅⎨⎬+⎩⎭的单调性，进入确定相应情况的最值． (1)①322155a a a a =⎧⎨=⋅⎩ 则()()12111254a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或150a d =⎧⎨=⎩（舍去）①()12121n a n n =+-=-. 又①41n n S b =-，当1n =时，1141b b =-，则113b =-，当2n ≥时，1141n n S b --=-，则14n n n b b b -=-，即113n n b b -=-， 则数列{}n b 是以首项113b =-，公比为13-的等比数列，①1111333n nn b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)()1213nn c n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()123111111135232133333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()23411111111352321333333nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()231411111221333333n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+---- ⎪ ⎪⎡⎤⎢⎥⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎣⎦()111111111112123633623n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-----=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=①1411883nn n T +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭①118n T λ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭对任意的*n ∈N 恒成立，即411183n n λ+⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭对任意的*n ∈N 恒成立 ①当n 是奇数时，411183n n λ+-⋅≤任意的*n ∈N '恒成立 ①8341nn λ⋅-≤+对任意的*n ∈N 恒成立①当n 是偶数时，411183n n λ+⋅≤对任意的*n ∈N 恒成立 ①8341nn λ⋅≤+对任意的*n ∈N 恒成立令8341nn c n ⋅=+，()()()11164138383045414541n n n n n n c c n n n n ++-⋅⋅-=-=>++++对任意的*n ∈N 恒成立 ①{}n c 为递增数列 ①当n 是奇数时，则245λ-≤，即245λ≥-①当n 是偶数时，则8λ≤ ①2485λ-≤≤. 13．（2022·浙江省临安中学模拟预测）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，21122n n n S a a =+，数列{}n b 为等比数列，且1224,==b a b a . (1)求数列{}n a ､{}n b 的通项公式；(2)记()232,3,nn n n n n b n a a c n b +⎧-⋅⎪⋅⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，n T 为数列{}n c 的前n 项和，对任意的n *∈N .2λ≥n T 恒成立，求2n T 及实数的λ取值范围.【答案】(1)n a n =，2nn b =(2)212211214n n n T n +=--+，1712λ≤【解析】 【分析】（1）先求出1a ，再当2n ≥时，由21122n n n S a a =+，得21111122n n n S a a ---=+，两式相减化简可得11n n a a --=，从而可得数列{}n a 是公差为1，首项为1的等差数列，则可求出n a ，从而可求出12,b b ，进而可求出n b ， （2）当n 为奇数时，利用裂项相消求和法可求出1321n c c c -++⋯+，当n 为偶数时，利用等比数列的求和公式求出242n c c c ++⋯+，从而可求出2n T ，进而可求出实数的λ取值范围 (1)①21122n nn S a a =+①， ①21111122a a a =+，①10a ≠，①11a = 当2n ≥时，21111122n n n S a a ---=+①， 由①-①得221111112222n n n n n a a a a a --+-=- ①2211n n n n a a a a --+=-，又0n a >，①11n n a a --=，①数列{}n a 是公差为1，首项为1的等差数列. ①n a n =①122b a ==，244==b a ，数列{}n b 为等比数列， ①2,2n n q b ==(2)n 为奇数时，212121(65)222(21)(21)2121-+--⋅==-+-+-+k k k k k c k k k k①131321272(65)21335(21)(21)-⨯-⋅++⋯+=++⋯+⨯⨯-+nn n c c c n n 133521211212122222222221335212112121-+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++⋯+-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n n n n 为偶数时，223324==k k kc ①2421231133314411444414⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭++⋯+=++⋯+==--n n n n c c c①()()2121213212422121211214214++-=++⋯++++⋯+=-+-=--++n n n n n n n T c c c c c c n n①0n c >，①{}2n T 单调递增， ①221712≥=n T T ，①1712λ≤ 14．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知正项等差数列{}n a 满足：()33n n a a n *=∈N ，且1382,1,a a a +成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()1121212n n n a n a a c ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意n *∈N 均有n R λ<恒成立，求λ的最小值． 【答案】(1)n a n = (2)最小值为23【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d ，由33n n a a =及等差数列的通项公式得到1a d =，则n a nd =，再根据等比中项的性质得到方程，求出d ，即可得解；（2）由（1）可得11121212n n n c +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求和得到n R ，即可得到23n R <，从而求出λ的取值范围，即可得解； (1)解：设等差数列的公差为d ，由33n n a a =得[]11(31)3(1)a n d a n d +-=+-，则1a d =， 所以1(1)n a a n d nd =+-=．因为12a 、31a +、8a 成等比数列，所以()231812a a a +=⋅，即2(31)28d d d +=⋅，所以27610d d --=，解得1d =或17d =-，因为{}n a 为正项数列，所以0d >，所以1d =，所以n a n =．(2)由（1）可得()()()()1111122112121212121212n n n a n n n n a a n n c +++++⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭，所以1223111111111122121212121212312n n n n R ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为对任意n *∈N 均有23n R <，所以23λ≥，所以实数λ的最小值为2315．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知{}n a 和{}n b 均为等差数列，111a b ==，312a a a =+，542b b a =+，记{11max n c b na =-，22b na -，…，}n n b na -（n=1，2，3，…），其中{1max x ， 2x ，⋯，}s x 表示1x ，2x ，⋯，sx 这s 个数中最大的数．(1)计算1c ，2c ，3c ，猜想数列{}n c 的通项公式并证明；(2)设数列()()132n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，若24n S m m <-+对任意n *∈N 恒成立，求偶数m 的值．【答案】(1)10c =，21c =-，32c =-，1n c n =-，证明见解析 (2)2m = 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a ，{}n b 的公差分别为1d ，2d ，利用111a b ==，312a a a =+，542b b a =+，利用通项公式可得11122d d +=+，211d d =+，可得n a ，n b ．根据10c =，21c =-，32c =-．猜想数列{}n c 的通项公式1n c n =-，证明数列{}k k b na -为单调递减数列，即可得出结论．（2）1111(3)(2)(1)(2)12n nc c n n n n ==---++++，利用裂项求和方法即可得出n S ，根据24n S m m <-+对任意*n N ∈恒成立即可得出m 的取值范围．(1)解：设等差数列{}n a 和{}n b 的公差为1d 、2d ， 那么()()()11221121114131d d d d d ⎧+=++⎪⎨+=+++⎪⎩，解得1212d d =⎧⎨=⎩，①n a n =，21n b n =-，那么，111110c b a =-=-=，{}{}21122max 2,2max 121,3221c b a b a =--=-⨯-⨯=-，{}{}3112233max 3,3,3max 131,332,5332c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-，猜想{}n c 的通项公式为1n c n =-，当3n ≥时，()()()()111120k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，所以数列{}k k b na -关于*N k ∈单调递减， 所以{}112211max ,,,1n n n c b na b na b na b na n =---=-=-；(2) 解：()()()()()()111113221123121n n c c n n n n n n ===---++++----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以1111111123341222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n S nn n ， 因为24n S m m <-+对任意n *∈N 恒成立，所有2142m m -+≥，解得4422m +≤≤，所以2m =． 16．（2022·天津·耀华中学一模）设数列{}()*n a n ∈N 是公差不为零的等差数列，满足369a a a +=，25796a a a +=.数列{}()*n b n ∈N 的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b ，11x ，2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x ，22x ，使2b ，21x ，22x ，3b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x ，2n x ，…，nn x ，使n b ，1n x ，2n x ，…，nn x ，1n b +成等差数列.（i ）求()()()11212231323312n n n nn T x x x x x x x x x =++++++++++；（ii ）是否存在正整数m ，n ，使12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)n a n =；11123n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.(2)（i ）n T 123343n n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（ii ）存在；(9,2)和(3,3).【解析】 【分析】（1）设}n a ｛的公差为d ，根据题意列式求出1a 和d 即可求出n a ；根据11n n n b S S ++=-可求出n b ； （2）（i ）根据等差中项的性质得到()123411357(21)2n n n T b b b b n b nb +=+++++-+，再根据错位相减法可求出n T ；（ii ）根据n T 和{}n a 的通项公式得到23213n n m +=-，推出211,13m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，令233n nn c +=，推出{}n c 的单调性，根据单调性可知，只有2c 和31,13c ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由此可求出结果.(1)设}n a ｛的公差为d ，0d ≠，则()111211125846648a d a d a d a d a d a d +++=+⎧⎪⎨+++=+⎪⎩，解得11a d ==， 所以1(1)11n a a n d n n =+-=+-=. 由423n n S b +=得11423b b +=，得112b =， 11423n n S b +++=，所以114()2()330n n n n S S b b ++-+-=-=，所以11422n n n b b b +++=，即113n n b b +=，所以11123n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.综上所述：n a n =；11123n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.(2)（i ）依题意得12112b b x +=，2321222()2b b x x ++=，343132333()2b b x x x +++=， 45414243444()2b b x x x x ++++=，，123n n n nn x x x x ++++1()2n n n b b ++=， 所以()()()11212231323312n n n nn T x x x x x x x x x =++++++++++2334451122()3()4()()22222n n b b b b b b n b b b b ++++++=+++++()123411357(21)2n n b b b b n b nb +=+++++-+012311111111111111()3()5()7()(21)()()2232323232323n n n n -⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅⨯+⋅⨯ ⎪⎝⎭012311111111()3()5()7()(21)()()4333333n n n n -⎛⎫=+⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ⎪⎝⎭令0123111111()3()5()7()(21)()33333n n R n -=+⨯+⨯+⨯++-⋅，则1234111111()3()5()7()(21)()333333n n R n =+⨯+⨯+⨯++-⋅，所以13n n R R -=12311111112()()()()(21)()33333n n n -⎛⎫+++++--⋅ ⎪⎝⎭， 所以1111()213312(21)()13313n n n R n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--⋅-， 所以113(1)()3n n R n -=-+⋅，所以11()43n n n T R n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭1113433n n n n -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭123343n n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（ii ）假设存在正整数m ，n ，使12m n m a T a +=，即12313432n n m m ++⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23213n n m+=-成立， 因为210m->，所以2m >，所以3m ≥，所以211,13m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，令233n nn c +=，则1125253233(23)3n n n nn c n n c n ++++==++2512544n n n +=<+++， 所以数列{}n c 单调递减，1513c =>，279c =，313c =，当4n ≥时，4111813n c c ≤=<，所以由27219c m ==-，得9m =；由31213c m==-，得3m =， 所以存在正整数m ，n ，使12m n ma T a +=，且所有的正整数对(,)m n 为：(9,2)和(3,3). 17．（2022·天津河北·一模）设数列{}n a 的前n 项和14n n S -=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令19(3)(3)nn n n a b a a +=++，记数列{}n b 前n 项和为n T ，求n T ；（3）利用第二问结果，设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式13758n n T a λ++=成立？若存在，求出λ和相应的n 值；若不存在，说明理由．【答案】（1）21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩;（2）171841n --+（3）当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立，当4,λ≠时，不存在正整数n 使等式13758n n T a λ++=成立. 【解析】 【分析】（1）直接由n a 与n S 的关系求解；（2）将（1）中求得的结果代入n b ，化简后利用裂项相消法求和； （3）将λ表示为含n 的等式，利用λ是整数，找出符合条件的n 即可. 【详解】（1）令n ＝1得，111a S ==；当n 2≥时，2134n n n n a S S --=-=⨯，所以21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩ （2）当2n ≥时，234n n a -=⨯,此时22119934(3)(3)(343)(343)n n n n n n n a b a a ---+⨯⨯==++⨯+⨯+ 21114141n n --=-++，又111293(3)(3)8a b a a ==++①213,1811,24141n n n n b n --⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪++⎩.故1138T b ==，当2n ≥时，2221323131111()()841414141n T ----=+-+-+++++ 32211111()()41414141n n n n ----+-+-++++171841n -=-+.（3）若1n =， 则等式13758n n T a λ++=为37858λ+=，52λ=不是整数，不符合题意； 若2n ≥，则等式13758n n T a λ++=为11717841548n n λ---+=+⨯，11154554141n n n λ---⨯==-++ ①λ是整数, ①141n -+必是5的因数, ①2n ≥时1415n -+≥ ①当且仅当2n =时，1541n -+是整数，从而4λ=是整数符合题意.综上可知，当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立， 当4,λ≠时，不存在正整数n 使等式13758n n T a λ++=成立 【点睛】本题考查了数列的通项与前n 项和的关系，考查了裂项求和法，考查了分析问题解决问题的能力及逻辑思维能力，属于难题.18．（2022·四川达州·二模（理））已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+，n S 为{}n a 的前n 项和. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设()1nn n b S =-，数列{}n b 的前n 项和n T 满足20n T mn ->对一切正奇数n 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)21n a n =-； (2)1m <-. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义可得数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，即求； （2）由题可得当 n 为奇数时，()12n n n T +=-，进而可得21122n n n T m <=--对一切正奇数n 恒成立，即得. (1)①11a =，12n n a a +=+， ①12n n a a +-=，①数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， ①()12121n a n n =+-=-； (2)由题可得()21212n n n S n +-==，①()()211nnn n b S n =-=-，①()221121n n b b n n n ++=-++=+，n 为奇数， ①当 n 为奇数，且3n ≥时，()22222123451nn T n =-+-+-++-()()()221212372322n n n n n n n -⋅+=+++--=-=-， 当1n =时，11T =-也适合， 故当 n 为奇数时，()12n n n T +=-， 又20n T mn ->对一切正奇数n 恒成立，①2111222n T m n n n n+<=-=--对一切正奇数n 恒成立， 又11122n--≥-， ①1m <-.19．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()*N n n a S n -=∈321.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记()()n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩12123，为奇数，为偶数，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，若不等式()nnn n nT n λ⎛⎫-<+⋅- ⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】(1)13-=n n a (2)⎛⎫- ⎪⎝⎭3546，. 【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系即可求解；（2）根据裂项相消法和错位相减法求出数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，再将不等式的恒成立问题转化为求最值问题即可求解.(1)由题意,当1n = 时，1113211a a a -=⇒=, 当2n ≥ 时， 11321n n a S ---=，所以()n n n n a a S S -----=113320， 即 13n n a a -=， ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，11133n n n a --∴=⨯=故数列{}n a 的通项公式为13-=n n a . (2)()()12123n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数，由 (1)，得当n 为偶数时，13n n n n nb a -==， 当n 为奇数时， 11142123n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，设数列{}n b 的前2n 项中奇数项的和为n A ，所以n nA n n n ⎛⎫=-+-+⋯+-=⎪-++⎝⎭11111114559434141， 设数列{}n b 的前2n 项中偶数项的和为n B ， n n B n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1321111242333①n n B n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭352111112429333②，由-①②两，得()n n n n n n B n ++-⎛⨯⎫⎛⎫=⨯+⋯-⎛⎫=-⨯ ⎪++-⎪⎝⎭⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-21211321111139281111229332331319， 整理得()nn n B +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭38927132329，故，()nn n n n n T A B n +⎛⎫=+=+-⋅ ⎪+⎝⎭23892714132329，n nn n n T n ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-=-⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2241272713294132329.∴ 不等式()nnn n n T n λ⎛⎫-<+⋅-⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立, 即不等式()nnλ⎛⎫-<-⋅ ⎪⎝⎭27271132329对一切*N n ∈恒成立,()xf x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭2727132329在R 上是单调增。
恒成立问题解题策略
恒成立问题解题策略
等式恒成立问题解题策略：
① 赋值法； ② 化为基本函数； ③ 分离变量；
不等式恒成立问题解题策略：
① 分离参数法； ② 转换主元法； ③ 数形结合型
赋值型—利用特殊值求解
• 例1：已知函数f(x)=sinx+acosx图像的一
条对称轴方程为x= 4 ,求实数a的值
解：f (0) f ( ) a 1 2
1
思路1：化简----乘积的形式常通过约分。 但本题难以完成。 思路2：回到基础-----利用函数单调性求最值。 求差法运算复杂，考虑用求商比较法（这是由 特点所至）
f (n 1) f ( n)
1 2n 3 (1 ) 2n 3 2n 5
2n 4 2n 5 2n 3
f (n 1) f ( n)
4n 2 16 n 16 4n 2 16 n 15
1
因此，f (n 1) f (n), f (n)为单调递增函数， 4 n 1时，f (n)最小值为 。 3 5 4 5 所以，a . 15
【解题后的反思】
1、不等式恒成立，确定参数取值范围——分离参数法。
变式：方程 22 x m2 x 1 0 恒有两个不同实数解， 求m的取值范围.
解1：令t 2 (0, )
x
原式为t 2 mt 1 0 转化为方程在(0, )有两个不同解 0 m2 4 0 x1 x2 m 0 x x 1 0 1 2
思考：已知函数f x 2sin(3x )(| | 的一条对称轴方程为x
2
)图像
4
求实数的值
恒成立,能成立,恰成立问题
(1)恒成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min >A ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max <B ； (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)>A 成立，则等价于在区间D 上f(x)max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)<B 成立，则等价于在区间D 上f(x)min <B ； (3)恰成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)>A 的解集为D ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)<B 的解集为D. 二．典型问题例 区分下列问题的类型，并思考如何进行有效转化 组一1.若关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 。
2.若存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k ＝______4．若关于x 的不等式|x －m|≤|2x ＋1|解集为R ，则实数m 的取值为________5.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x －b)＞0的解集是(2,3)，则a ＋b 的值是A ．1B ．2C ．4D ．86.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2， x ＜0，则不等式f(2－x 2)＞f(x)的解集是________ 7.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2 C ．(0,1) D ．(0,)+∞8.设l 为曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 组二1.已知函数x x x f ln )(=，(1)求)(x f 的最小值； (2)若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围.2.已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，当13a =时， 若不等式()0f x '<对任意x [3,1]∈--恒成立，求b 的取值范围；3.已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在,0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-， （1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
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恒成立问题
分离参数
转化
最值问题
判断数列单调性
利用初等 函数的单 调性
an1 an
例 1．
已知{an}为递减的等比数列，且{a1, a2, a3} {4, 3, 2,0,1, 2,3, 4}．
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式；
(Ⅱ)当 bn
1 (1)n 2
，都有
，其中 为数列 的前 n 项和.
（I）求数列 的通项公式；
（II）设 成立.
（ 为非零整数，
），试确定 的值，使得对任意
；都有
2,3
数列中的恒成立问题
恒成立问题
分离参数
转化
最值问题
判断数列单调性
利用初等 函数的单 调性
an1 an
3.已知数列 的前 项和为 ，且有
，
.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若
，求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）若
，且数列 中的
每一项总小于它后面的项，求实数 的取值范围.
设数列 的各项都是正数，且对任意
1 4
，公比 q
1 4
的等比
数列，设 bn 2 3log1 an(n N ) ，数列{cn } 满足
4
cn an bn ．
（Ⅰ）求{bn } 的通项公式；
（Ⅱ）若
cn
≤
1 4
m2
m
1
对一切正整数
n
恒成立，求
实数 m 的取值范围.
变式：(1)cn
3n n5
（2）cn
(n
3n 5)(n
6)
例
3.在数列 an,bn中，
a1
3,
b1
5,
an1
bn 24Fra bibliotek,bn1
an 2
4
.
（1）求数列 bn an,bn an的通项公式；
（2）设 Sn 为数列 bn 的前 n 项的和，若对任意 n N* ，
都有 p(Sn 4n) 1,3，求实数 p 的取值范围.
an 时，求证： b1 b2 b3 L
b2n1
16 3
．
变式：（1）求b1 b2 b3 L b2n1 m恒成立的 正整数m的最小值；
变式：（2）求b1 b2 b3 L
b2n1
m 恒成立的 4
正整数m的最大值；
例 2.
已知数列{an }是首项为
a1