微专题8 数列中的恒成立问题
高中数学数列中的恒成立
高中数学数列中的恒成立
恒成立问题，我们经常看到的是出现在函数中，导数中，一类重点题型，我们通常使用的方法是“参变分离”，“分类讨论”，其实恒成立在数列中同样存在恒成立，使用的方法大同小异，今天我们一起走进数列中的恒成立。
1
利用数列的单调性求解恒成立
2
参变分离法
3
函数与数列的结合（难点题型）
此类问题一般是先利用导数证明一个不等式，再通过赋值与叠加证明数列不等式。
同学们，数列中的恒成立问题同样殊途同归，方法同函数中的问题一致，所以学会类比推论！
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恒成立问题常见类型及其解法
设 f x x 3 x 7
可求得 f x 10
lg x 3 x 7 lg10 1
a 1
三. 变换主元法：
例5.对任意a [-1,1],不等式x 2 (a - 4) x 4 - 2a 0 恒成立，求 的取值范围 x . 解：原问题转化为对任 a [-1,1], 意
m - 2 0 0 (5) 4m ，解得1 m 2 2( m - 2) 0 f ( 0) 0 y
y
m - 2 0 (6) ，无解 f (0) 0
综上所述， a 3 1
O
x
x
4.已知函数f ( x) (m - 2) x 2 - 4mx 2m - 6的图像与 x轴的负半轴有交点，求 实数m的取值范围 .
不等式( x - 2)a x - 4 x 4 0恒成立
2
令f (a) ( x - 2)a x - 4 x 4
2
f (1) 0 解得x 1或x 3. f (-1) 0
x的取值范围为 ,1) (3,). (-
数形结合法 4.数形结合法
解：因为ax2 1 1，所以- 1 - x ax2 1 - x (1)当x 0时， 0 1恒成立. -1
1 1 a- 2 1 1 1 1 x x (2)当x (0,1]时， 2 - a 2 - , 即 在（0, ,1]上恒成立. x x x x a 1 - 1 x2 x 1 令t 1, x 1 1 1 1 - 2 - 化为关于t的函数u -t 2 - t -(t ) 2 ，u max -2 x x 2 4 1 1 1 2 1 2 - 化为关于t的函数v t - t (t - ) - ，vmin 0 2 x x 2 4 要是不等式恒成立，应 u max a vmin，故 - 1 a 0 有 综上所述，如果 [0,1]时， ( x) 1恒成立，则- 2 a 0 x f
恒成立问题基本题型及解题方法
恒成立问题基本题型及解题方法恒成立问题一直以来都有是数学中的一个重点、难点，这类问题也没有一个固定的思想方法去处理，各类考试以及高考中都屡见不鲜。
如何更好地简单，准确，快速解决这类问题并更好地认识把握，本文通过举例说明这类问题的一些常规解题方法。
一 转化为二次函数，利用分类讨论思想解题例1． 已知函数f(x)=x 2-2ax+4在区间[-1，2] 上都不小于2，求a 的值。
解：由函数f(x)=x 2-2ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a 与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论1．当a ≥2时f(x)在[-1，2]上是减函数此时min )(x f = f(2)=4-4a+42≥ 即a 23≤ 结合a ≥2，所以a 的解集为φ 2．当a 1-≤ 时 f(x)在[-1，2]上是增函数， min )(x f = f(-1)=1+2a+42≥结合a 1-≤ 即123-≤≤-a 3．当-1<a<2时 m i n )(x f = f(a)=a 2-2a 2+4 2≥ 即≤-2a 2≤ 所以21≤<-a综上1，2，3满足条件的a 的范围为：223≤≤-a 二 确定主元，构造函数，利用单调性解题 例2．对于满足0≤a ≤4的所有实数a 求使不等式x 2+ax>4x+a-3都成立的x 的取值范围。
解：不等式变形为x 2+(x-1)a-4x+3>0设f(a)= (x-1)a+x 2-4x+3，则其是关于a 的一个一次函数：是单调函数结合题意有⎩⎨⎧>>0)0(0)4(f f 即 得1-<x 或3>x 三 利用不等式性质解题例3．若关于x 的不等式|x-2|+|x+3|≥a 恒成立，试求a 的范围 解：由题意知只须min )32(++-≤x x a 由5)3(232=+--≥++-x x x x 所以 5≤a四 构造新函数，利用导数求最值：例4．已知)1lg(21)(+=x x f )2lg()(t x x g +=若当]1,0[∈x 时)()(x g x f ≤在[0，1]恒成立，求实数t 的取值范围。
恒成立问题的几种常见解法
恒 成 立 问 题 的 几 种 常 见 解 法
张 月欣
－
ａ ｘ ＋ ｘ ＋ １ 对 ｘ ∈ Ｒ 恒 成 立 ｊ （ １ ） ａ ＝ ０ 不 成 立 （ ２ ） ｛ ０
≥
．
，
、
ｆ ａ ＞ － ０ ４ ａ≤ ０
１
围为 ｆ ｘ ｌ 一 二 ≤ｘ ≤３ １ ．
２
变形４ ： 已知函￣ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｏ ｇ ． （ ａ ｘ ‘ ＋ ｘ ＋ １ ） 的 定 义 域 为 Ｒ， 求ａ 的 取 值 范 围． 总结 ： 上述 经过 转 化 可 以 转 化 为题 型二 或题 型 三解 决 ． 转化二 ： 已 知 函数 的单 调 区间 ， 求 参 数 的 范 围．
ａ
｛ ａ △ ＞ ０ ≤ ０ ａ ≤ 一 ３ ， 综 上 所 述 ， ａ 的 取 值 范 围 为 ｛ ａ ｌ ａ ≤ 一 ３ ｝ ．
变形５ ： 已 知 函 数ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ 一 ３ ｘ ‘ 十 ａ ） 【 ， 在 ｘ∈［ 一 １ ， ２ ］ 上 单 调 递 增， 求ａ 的取 值 范 围． 解： ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ Ｓ － ３ ｘ ： ＋ ａ ｘ ￣ｘ ∈Ｅ － １２ ］ 上单 调 递 增
要观察变量情况 ， 灵 活 应 对 不 同情 况 ， 做 到 可 以 随时 转 化 变量 。 千 万不 能钻 牛 角 尖． 题型二 ： 二 次 函 数ｆ （ ｘ ） ＝ ａ ｘ ＋ ｈ ｘ ＋ ｃ 对ｘ ∈Ｒ恒 成立 问题 ．
微专题：恒成立问题
t 12
则 x2 2 = 2x 1
4 t
2
t2
2t 4t
9
1 4
t
9 t
2
1
（2） 2x 1 0 x 1 ，不等式对任意的 m 均成立 2
（3）
2x
1
0
x
1 2
，
m
x2 2x
2 1
max
(注意不等号变号！！）
t 12
令 t 2x 1, 1 t 0 ,则 x2 2 = 2x 1
为自变量构造函数。
（2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。
（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与
端点同侧
三、最值分析法
例 1：设 f x x2 2mx 2 ，当 x 1, 时， f x m 恒成立，求 m 的取值范围
而 f (x) 是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数 x ，
1
g(x) 0
0
x
y
f (x) 8x 1
图1
f (x)
1
0
x
g(x) mx
图2 f x
y
f x 与 g x 的值至少有一个为正数则只需 f (x) 0 在 (, 0] 上恒成立。(如图 3) 1
则有
4 m
y ax2 x 开口向下，且 f x a 为 f x 向右平移 a 个单位，观
察可得只需 x
1,x 2
1 2
，
f
xa
f
x ，即可保证
x
1 2
,
1 2
，
f
x
恒成立存在性问题课件
详细描述
不等式证明问题是数学中常见的问题类型，这类问题 通常涉及到比较两个数或两个函数的大小。通过证明 不等式，我们可以找到满足某些条件的参数或函数的 取值范围，从而解决恒成立存在性问题。
导数综合问题变式
总结词
利用导数性质和函数单调性，解决恒成立存在性问题。
详细描述
导数综合问题涉及到导数的计算、单调性判断以及极值 和最值的求解等知识点。通过利用导数的性质和函数的 单调性，我们可以找到满足某些条件的参数或函数的取 值范围，从而解决恒成立存在性问题。
转化与化归法
总结词
将问题转化为已知的问题或简单的问题，从而解决问题。
详细描述
转化与化归法是一种常用的解题策略，通过将复杂的问题转化为已知的问题或简单的问题，可以降低问题的难度 。在处理恒成立问题时，可以将问题转化为求最值问题、不等式问题等已知的问题类型，从而利用已知的解题方 法来解决该问题。
03
THANKS
感谢观看
常见错误反思
忽视定义域
在解决恒成立存在性问题时，容易忽 视函数的定义域，导致解题错误。
混淆最值与恒成立
在处理最值问题时，容易将最值与恒 成立混淆，导致解题思路出现偏差。
忽视参数的取值范围
在确定参数的取值范围时，容易忽视 参数的实际取值范围，导致答案不准 确。
缺乏对题目的深入理解
在解题过程中，容易缺乏对题目的深 入理解，导致解题思路不清晰，答案 不完整。
06
总结与反思
解题思路总结
转化思想
将恒成立存在性问题转化为最 值问题，通过求最值来确定参
数的取值范围。
数形结合
利用数形结合的方法，将问题 转化为几何图形，通过观察图 形的性质和变化规律来解决问 题。
微专题：恒成立问题
4 ln x
min
4 ，所以
1 ln a
4
，最终解得
a
0,1
e
1 4
,
.
一、单变量、单参数的恒成立问题
（二）分离动直线
【例 2】：已知 x R ，不等式 2xex mx ex m 恒成立，
则实数 m 的取值范围为
.
【解析】：由题可知， x R ，不等式 2xex ex mx m 恒成立，
根据换底公式，即不等式 ln x ln2 x 4 对任意 x (1,100) 恒成立，因为 ln x 0 ， ln a
则不等式
1 ln a
ln
x
4 ln x
对任意
x
(1,100)
恒成立，即
1 ln a
ln
x
4 ln x
min
，
利用基本不等式求得
ln
x
f
(
x)
0
，
当
x
时，
f
(x)
，且
f
1 2
1
2e 2
，
所以函数 f (x) 图像如图所示，
设过定点 1, 0 的动直线与函数 y f (x) 相切于点 x0 , 2x0 1 ex0 ，
则切线方程可表示为 y 2x0 1 ex0 2x0 1 ex0 x x0 ，
上递减，
g(x)min g(1) 2a 2 ，因为 2a 2 0 ，不合题意；
恒成立问题常见类型及解法课件
0 a 1。
作直线
x
=
4
，与
y loga
x
和
y sin 2x 的图象分别交于 A、B 两
点，为保证 y loga x 在区间
恒成立问题常见类型及解法
20
（0， ］上的图象在 y sin 2x 图象的上方，不难从图中得到其条件 4
是点 A 在点 B 的上方。
典例导悟
关于 x 的方程 9x+(4+ a )3x+4=0 恒有解，求 a 的取值范围。
【解析】方法 1（利用韦达定理） 设 3x=t,则 t>0.那么原方程有解即方程 t2+(4+ a )t+4=0 有正根。
Δ
x1
x1
0 x2 (4 x2 4 0
a)
0
，即
(4 a)2 a 4
16
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
一次函数 y f (m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
道德是人类社会的一种重要意识形态是人们在社会生活实践中形成的并由经济基础决定以善恶为评价形式依靠社会舆论传统习俗和内心信念解析作出函数sin函数log的图象总在函数sin点为保证log在区间道德是人类社会的一种重要意识形态是人们在社会生活实践中形成的并由经济基础决定以善恶为评价形式依靠社会舆论传统习俗和内心信念logsin2道德是人类社会的一种重要意识形态是人们在社会生活实践中形成的并由经济基础决定以善恶为评价形式依靠社会舆论传统习俗和内心信念六采用逆向思维考虑使用反证法理论阐释恒成立问题有时候从正面很难入手这时如果考虑问题的反面有时会有柳暗花明又一村的效果所谓正难则反就是这个道理
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微专题8 数列中的恒成立问题
问题背景
恒成立问题是高考中的热点问题，在函数中出现得较多，而数列是一种特殊的函数，解决问题的很多方法与函数相似，在近几年的各地高考试题中，以数列为载体的恒成立问题，立意更高，综合性更强，值得我们去研究和关注.
高考命题方向：
1.利用函数及不等式研究最值；
2.利用单调性（作差、作商）研究最值.
思维模型
说明：
1.解决方案及流程
①求数列的通项公式，可用公式法转化成等差或等比数列求通项，有时可用方程组方法转化成研究递推关系，直接求不出通项公式时，可以退一步先研究n S 再求n a ；
②分离变量，将问题转化成()a f n ≥恒成立()max a f n ⇒≥或()a f n ≤恒成立
()min a f n ⇒≤；
③利用单调性（导数、性质、作差、作商、夹逼法）或不等式等方法求数列的最值；所谓导数法即转化成研究对应的函数，或根据数列单调性的定义利用作差、作商法转换成与0和1的比较，或用夹逼法11,,k k k k a a a a +-≥⎧⎨≥⎩或11,,
k k k k a a a a +-≤⎧⎨≤⎩求出最值；
④转化成解不等式问题或方程问题（等式恒成立问题要注意等式两边的和谐统一）.
2.失误与防范
①注意定义域；数列是一种特殊的函数 ，定义域是自然数集或它的子集；
②利用单调性作差时注意项数的变化，从n 变化至1n +注意增加和减少的项数； ③注意求最值时等号能否取得（比如n 若是偶数，从2n =开始等，做完后对端点进行检验）；
④解不等式时遗漏讨论，（比如公比为1的讨论()1n
-的n 的奇偶性的讨论）.
问题解决
一、典型例题 在正数数列{}()*
n a n N ∈中，n S 为{}n a 的前n 项和，若点(),n n a S 在函数21c x y c -=-的图象上，其中c 为正常数，且1c ≠
.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在正整数M ，使得当n M >时，
13521101n a a a a a -⋅⋅⋅>恒成立？若存在，求出使结论成立的c 的取值范围和相应的M 的最小值；
（3）若存在一个等差数列{}n b ，对任意*n N ∈都有12132n n n b a b a b a --+++⋅⋅⋅+
1215313
n n n b a b a n -+=--成立，求{}n b 的通项公式及c 的值. 二、自主探究
1.已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：11a =，()()*11131n n n n n n
a S S a n N a λ+++=++∈. （1）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式；
（2）若112
n n a a +<，对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围. 2.已知数列{}n a 满足()2*1211,3,322,n n n a x a x S S S n n n N +-==++=+≥∈，且{}n a 的前n 项和为n S .
（1）若数列{}n a 为等差数列，求数列的通项n a ；
（2）若对任意*1,n n n N a a +∈<恒成立，求实数x 的取值范围.。