与数列有关的恒成立问题

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恒成立存在性问题课件

详细描述
不等式证明问题是数学中常见的问题类型，这类问题通常涉及到比较两个数或两个函数的大小。通过证明不等式，我们可以找到满足某些条件的参数或函数的取值范围，从而解决恒成立存在性问题。
导数综合问题变式
总结词
利用导数性质和函数单调性，解决恒成立存在性问题。
详细描述
导数综合问题涉及到导数的计算、单调性判断以及极值和最值的求解等知识点。通过利用导数的性质和函数的单调性，我们可以找到满足某些条件的参数或函数的取值范围，从而解决恒成立存在性问题。
转化与化归法
总结词
将问题转化为已知的问题或简单的问题，从而解决问题。
详细描述
转化与化归法是一种常用的解题策略，通过将复杂的问题转化为已知的问题或简单的问题，可以降低问题的难度。在处理恒成立问题时，可以将问题转化为求最值问题、不等式问题等已知的问题类型，从而利用已知的解题方法来解决该问题。
03
THANKS
感谢观看
常见错误反思
忽视定义域
在解决恒成立存在性问题时，容易忽视函数的定义域，导致解题错误。
混淆最值与恒成立
在处理最值问题时，容易将最值与恒成立混淆，导致解题思路出现偏差。
忽视参数的取值范围
在确定参数的取值范围时，容易忽视参数的实际取值范围，导致答案不准确。
缺乏对题目的深入理解
在解题过程中，容易缺乏对题目的深入理解，导致解题思路不清晰，答案不完整。
06
总结与反思
解题思路总结
转化思想
将恒成立存在性问题转化为最值问题，通过求最值来确定参
数的取值范围。
数形结合
利用数形结合的方法，将问题转化为几何图形，通过观察图形的性质和变化规律来解决问题。

数列中的恒成立问题

数列中的恒成立问题
恒成立问题
分离参数
转化
最值问题
判断数列单调性
利用初等函数的单调性
an1 an
例 1．
已知{an}为递减的等比数列，且{a1, a2, a3} {4, 3, 2,0,1, 2,3, 4}．
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式；
(Ⅱ)当 bn

1 (1)n 2
，都有
，其中为数列的前 n 项和.
（I）求数列的通项公式；
（II）设成立.
（为非零整数，
），试确定的值，使得对任意
；都有
2,3
数列中的恒成立问题
恒成立问题
分离参数
转化
最值问题
判断数列单调性
利用初等函数的单调性
an1 an
3.已知数列的前项和为，且有
，
.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若
，求数列的前项和；
（Ⅲ）若
，且数列中的
每一项总小于它后面的项，求实数的取值范围.
设数列的各项都是正数，且对任意

1 4
，公比 q

1 4
的等比
数列，设 bn 2 3log1 an(n N ) ，数列{cn } 满足
4
cn an bn ．
（Ⅰ）求{bn } 的通项公式；
（Ⅱ）若
cn
≤
1 4
m2

m

1
对一切正整数
n
恒成立，求
实数 m 的取值范围.
变式：(1)cn

3n n5
（2）cn

(n
3n 5)(n

专题04 数列中的存在性与恒成立问题(解析版)

专题4 数列中的存在性与恒成立问题1．（2021·湖北·襄阳四中模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2*41,nna S n N +=∈.数列{}nb 满足2*1221,n n b b n n n N ++=++∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试问:数列{}n n b S -是否构成等比数列(注:n S 是数列{}n a 的前n 项和)?请说明理由；（3）若11,b =是否存在正整数n，使得211155(1)1111nnk k k k k kkk b b b ==+-≤≤++∑成立?若存在求所有的正整数n ；否则，请说明理由.【答案】（1）21n a n =-；（2）不构成，理由见解析；（3）存在，10n =. 【解析】【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到{}n a 是等差数列，即可得解；（2）首先求出n S ，则2n n n b S b n -=-，即可得到11n n b S ++-，再由1n n b b ++，即可得到11()n n n n b S b S ++-=--，即可得证；（3）由（2）可得2k b k =，所求不等式即2424211155(1)11111nnkk k k kk k k k ==+-≤≤++++∑∑.设21()1f k k k =-+，利用裂项相消法可得到4211((1)(1))12nk k f f n k k ==-+++∑，同理，有24211((1)(1)),21,*12(1)11((1)(1)),2,*2nk k f f n n m m N k k k f f n n m m N =⎧++=-∈⎪+⎪-=⎨++⎪-+=∈⎪⎩∑，再由题意求出n 的值；【详解】解：（1）由于2(1),4n n a S n N *+=∈，故2111(1)14a S a +=⇒=；2n ≥时22114(1),4(1)n n n n S a S a --=+=+；作差得，221114(1)(1)()(2)0n n n n n n n a a a a a a a ---=+-+⇔+--=.由于{}n a 是正项数列，故12n n a a --=，{}n a 是等差数列，21n a n =-；所以222(1)(211)44n n a n S n +-+=== （2）由于22111,(1)n n n n n n b S b n b S b n +++-=--=-+，2221221(1)n n b b n n n n ++=++=++，故11()n n n n b S b S ++-=--.由于1111b S b -=-，所以当11b ≠时，111n n n nb S b S ++-=--，数列{}n n b S -构成等比数列；当11b =时，数列{}n n b S -不构成等比数列.（3）若11b =，由（2）知2k b k =，于是，所求不等式即2424211155(1)11111nnkk k k kk k k k ==+-≤≤++++∑∑.设21()1f k k k =-+，则21(1).1f k k k +=++ 故224222222111121(1)(1)12(1)2(1)(1)nn n k k k k k k k k k k k k k k k k k ===++--+==+++-++-+∑∑∑()11()(1)2nk f k f k ==-+∑ 1((1)(1))2f f n =-+ 同理，有22242221111(1)(1)(1)(1)12(1)(1)nnkkk k k k k k k k k k k k k ==++++-+-=-++++-+∑∑ ()11((1)(1)),21,*12(1)()(1)12((1)(1)),2,*2k k nf f n n m m N f k f k f f n n m m N =⎧++=-∈⎪⎪=∑-++=⎨⎪-+=∈⎪⎩由于11155((1)(1))(1)222111f f n f ++>=>，故而只能有2,*n m m N =∈.于是，2424211155(1)11111nnkk k k kk k k k ==+-≤≤++++∑∑ 1551((1)(1))((1)(1)),(2,*)21112f f n f f n n m m N ⇔-+≤≤-+=∈ 155((1)(1)),(2,*)2111f f n n m m N ⇔-+==∈ 21111,(2,*)10n n n m m N n ⇔++==∈⇔=综上所述，所有符合条件的正整数n 只有10n = 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．2．（2021·全国·模拟预测）从①()()126n n n a a S ++=，且12a <；①11a =，()1122n n n a a a n -++=≥，且存在2m ≥，*m ∈N 使得5m S =，()()11111311m m m S m S m -+++-=-；①若1n n a a d --=(常数)，且()*162+⋅=+∈N n n n n a S a ，12a <，这三个条件中任选一个，补充在下面题目的横线中，并解答．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，______． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设12nn n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，32n a n =-；(2)118(34)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）选①：根据n S 与n a 的关系式可求出数列{}n a 的通项公式；选①：根据题意可得出数列{}n a 是等差数列，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 的等差数列，从而可求出数列{}n a 的通项公式；选①：令1n =，可求出1a ；然后根据n S 与n a 的关系式可求出数列{}n a 的公差，从而可求出数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）中求出的数列{}n a 的通项公式，然后利用错位相减法可求出数列{}n b 的前n 项和n T ． (1)选①：当n ＝1时，()()111126a a a ++=，因为12a <，所以解得11a =；当2n ≥时，因为()()126n n n a a S ++=，所以()()111126n n n a a S ---++=，两式相减，得2211336n n n n n a a a a a ---+-=，即()()1130n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，故()13132n a n n =+-=-．选①：由()1122n n n a a a n -++=≥，知数列{}n a 是等差数列，因为()111122nn n na dS n a dnn -+-==+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 的等差数列，所以11211m m m S S S m m m -++=-+，即111011m m S S m m m-++=-+，所以21311110m m m-=-，又因为2m ≥，*m ∈N ，所以解得m ＝2；设等差数列{}n a 的公差为d ，则2125S a d =+=，因为11a =，所以解得d ＝3，所以()13132n a n n =+-=-．选①：因为1n n a a d --=，所以数列{}n a 是等差数列，因为162+⋅=+n n n a a S ，所以()11622n n n S a n a --⋅=+≥，两式相减，得()116n n n n a a a a +-=-，即()622n n a a n d ⋅≥=，又0n a >，所以d ＝3．当n ＝1时，11262⋅=+S a a ，即()111623a a a ⋅+=+，因为12a <，所以解得11a =，故()13132n a n n =+-=-，即32n a n =-． (2)由（1）得()1113222n n n n a b n --⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，所以()01211111147322222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()123111111473222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减，得()2111111133222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11112213112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⋅--()()113243422n n n n ⎛⎫⎛⎫-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则118(34)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭．3．（2021·上海静安·一模）对于数列{}n a ：若存在正整数0n ，使得当0n n ≥时，n a 恒为常数，则称数列{}n a 是准常数数列．现已知数列{}n a 的首项1a a =，且11,n n a a n *+=-∈N ．(1)若32a =，试判断数列{}n a 是否是准常数数列； (2)当a 与0n 满足什么条件时，数列{}n a 是准常数数列？写出符合条件的a 与0n 的关系；(3)若()(,1)*∈+∈N a k k k ，求{}n a 的前3k 项的和3k S （结果用k 、a 表示）．【答案】(1)取02n =时，n a 恒等于12，数列{}n a 是准常数数列；(2)答案见解析； (3)2322k k a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）将32a =代入已知条件，即可求出()122n a n =≥；（2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，分别写出答案即可；（3）由()(,1)*∈+∈N a k k k 和11n n a a +=-分别求出2a ，3a ，…，k a ，1k a +，2k a +，…，31k a -，3k a 的值，将前k 项放在一起，后2k 项中，从1k +项起,每相邻两项的和为定值，这样即可求解3k S .(1)由132a =得，231122a =-=，当2n ≥时，n a 恒等于12，数列{}n a 是准常数数列，取02n =即可；(2)①11,11=1,1n n n n nn a a a a a a +-≥⎧=-⎨-+<⎩，①1n a ≥时，1+≠n n a a ,而当1n a <时，若存在0n ，当0n n ≥时，1n n a a +=，则必有12n a =，若01a <<时，则211a a =-，3211a a a a =-==，此时只需2111a a a =-=，112a =，故存在12a =，12n a =，取01n =（取大于等于1的正整数也可以），数列{}n a 是准常数数列. 若11a a =≥，不妨设[),1a m m ∈+，m *∈N ，则[)10,1m a a m +=-∈， 2111m m a a a m ++=-=-+，若21m m a a ++=，则1a m a m -+=-，所以221m a =-或12a m =+，取01n m =+，当0n n ≥时，12n a =（0221a n =-，取大于等于12a +的0n 皆可）若10a a =<，不妨设(],1a l l ∈-+，l *∈N ，则(]1,a l l -∈-，所以(]21,1a a l l =-+∈+，321a a a =-=-，41a a =--，…，()(]210,1l a a l +=---∈，所以()32111l l a a a l ++=-=----⎡⎤⎣⎦,若32l l a a ++=，则221a l =-+或12a l =-+，取02n l =+，当0n n ≥，12n a =（ 0232n a -+=，取大于等于32a -+的0n 皆可以）存在a 和0n ：112a =，12n a =，01n ≥；112a m =+，01n m ≥+；112a m =-+， 02n m ≥+（其中m N *∈,n *∈N ），（a 为某个整数m 加上12时，数列{}n a 是准常数数列）.(3)①()(,1)*∈+∈N a k k k ,且11n n a a +=-，①21a a =-，32a a =-，…，()1k a a k =--，()10,1k a a k +=-∈，2111k k a a k a ++=-=+-，321k k a a a k ++=-=-， 4311k k a a k a ++=-=+-，…，31k a a k -=-，31k a k a =+-.所以312312313k k k k k k S a a a a a a a a ++-=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()()()1231234313k k k k k k k a a a a a a a a a a ++++-=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++ ()()()121a a a a k k =+-+-+⋅⋅⋅+--+()1112k ka k k +-=+--2322k k a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.4．（2021·四川自贡·一模（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，________，28b =，1334b b -=．在以下三个条件中任选一个①530S =，①425S a =，①3523a a b -=，补充在上面横线上，并作答．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)是否存在正整数k ．使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和34k T >？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，2n a n =，11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭(2)存在，且k 的最小值为4 【解析】【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{}n a 的首项和公差，求得等比数列{}n b 的首项和公比，从而求得数列{}n a ，{}n b 的通项公式.（2）先求得,n k S T ，由34k T >求得k 的最小值. (1)设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >，则1211834b q b b q =⎧⎨-=⎩解得11216q b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭. 31411622a b ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，设等差数列{}n a 的公差为d ，若选①，则()1510101030,2,2122n a d d d a n n +=+===+-⨯=.若选①，则()()()11465,8652,2,2122n a d a d d d d a n n +=++=+==+-⨯=. 若选①，则()()()1113248,228,2,2122n a d a d a d d a n n +-+=+===+-⨯=. (2)由于12,2n a a n ==，所以()2212n nS n n n +=⋅=+， 1111n S n n =-+，所以111111311223114k T k k k =-+-++-=->++，11,14,341k k k >+>>+，所以正整数k 的最小值为4. 5．（2022·天津·南开中学二模）已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an }前n 项和为Sn ，且满足S 3=a 4，a 3+a 5=2+a 4 (1)求数列{an }的通项公式； (2)求数列{an }前2k 项和S 2k ；(3)在数列{an }中，是否存在连续的三项am ，am +1，am +2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)*12,21,.23,2n n n n k a k N n k -=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩ (2)213k k -+ (3)存在，1 【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，由已知条件列方程组求得,d q 后可得通项公式；（2）按奇数项与偶数项分组求和；（3）按m 分奇偶讨论，利用122m m m a a a ++=+，寻找k 的解． (1)设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则a 1=1，a 2=2，a 3=1+d ，a 4=2q ，a 5=1+2d ． ①S 3=a 4，①1+2+(1+d )=2q ，即4+d =2q ，又a 3+a 5=2+a 4，①1+d +1+2d =2+2q ，即3d =2q ，解得d =2，q =3． ①对于k ①N *，有a 2k -1=1+(k -1)•2=2k -1，故*12,21,.23,2n n n n k a k N n k -=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩ (2)S 2k =(a 1+a 3+…+a 2k -1)+(a 2+a 4+…+a 2k )=[1+3+…+(2k －1)]+2(1+3+32+…+3k -1)=()2213(121)13213kk k k k -+-+=-+-．(3)在数列{an }中，仅存在连续的三项a 1，a 2，a 3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1，下面说明理由若am =a 2k ，则由am +am +2=2am +1，得2×3k -1+2×3k =2(2k +1)．化简得4•3k -1=2k +1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立．若21m k a a -=，则由am +am +2=2am +1，得(2k －1)+(2k +1)=2×2×3k -1 化简得k =3k -1，令()*13k k k T k N -=∈，则111120333k k k k k k k kT T +-+--=-=<．因此，1=T 1＞T 2＞T 3＞…，故只有T 1=1，此时k =1，m =2×1－1=1．综上，在数列{an }中，仅存在连续的三项a 1，a 2，a 3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1． 6．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，且___________.从①21a -为11a -与31a +等比中项，①等比数列{}n b 的公比为3q =，1124,b a b a ==这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：16n T <.【答案】(1)选择条件见解析，21n a n =+ (2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据选择条件求解（2）数列求和后证明，使用裂项相消法 (1)若选①，21a -为11a -与31a +的等比中项，则()()()2132111a a a -+=-，由{}n a 为等差数列，315S =，得2315a =，①25a =，把25a =代入上式，可得()()4616d d -+=，解得2d =或4d =-（舍） ①13a =，21n a n =+；若选①，3q =为等比数列{}n b 的公比，且1124,b a b a ==，可得213b b =，即413a a =，即有113)3a d a +=（，即123a d =；又315S =，可得11332152a d +⨯⨯=，即15a d +=，解得12,3d a ==，此时21n a n =+； (2) ①()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， ①11111111112355721232323n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭； ①16n T <，得证 7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列；数列{}n b 的前n 项和是n S ，且21n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)设1n n n c +m ，使得()22221232313n m n n a c c c c x b +-++++>对任意*n ∈N 恒成立？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)n a n =，12n n b -=；(2)存在，5﹒ 【解析】【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，根据1a ，2a ，4a 成等比数列求出d 即可求其通项公式；根据n S 与n b 关系即可求{}n b 的通项公式通项公式； (2)利用裂项相消法求{2nc }前m 项和，设()2313n n n a d b +-=，根据1n n d d +-正负判断{n d }单调性，求出其最大项，{2nc }前m 项和大于该最大值即可求出m 的范围和最小值. (1)设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，①1a ，2a ，4a 成等比数列，①2214a a a =． ①()2113d d +=+，解得1d =，①()11n a a n d n =+-=．当1n =时，11121b S b ==-，①11b =．当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=-，①12n n b b -=．①{}n b 是以1为首项，以2为公比的等比数判，①12n n b -=．(2)由题意得n c =()()22222211111n n c n n n n +==-++． ①22212m c c c +++()()2222222211111111122311m m m m =-+-++-+--+()2111m =-+．设()()123133132n n n n a n d b ++--==，则()()()1212312313314222n n n n n n n n d d ++++----=-=，①当1n =，2，3时，1n n d d +>；当4n =时，45d d =；当5n ≥时，1n n d d +<， ①数列{}n d 的最大项为453132d d ==， ①()21311321m ->+，整理得()2132m +>，①存在正整数m ，且m 的最小值是5．8．（2022·辽宁辽阳·二模）①{}2nn a 为等差数列，且358a =；①21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等比数列，且234a =.从①①两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在数列{}n a 中，112a =，________. (1)求{}n a 的通项公式；(2)已知{}n a 的前n 项和为n S ，试问是否存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-？若存在，求p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)212n nn a -=； (2)存在，3p =，4q =，2r =﹒ 【解析】【分析】(1)若选①，则可根据等差数列性质求出{}2nn a 的公差d ，根据等差数列通项公式可求2n n a ，从而求得n a ；若选①，则可证明等比数列概念求出21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的公比，根据等比数列通项公式可求21n a n -，从而求得n a ； (2)根据n a 通项公式的特征，采用错位相减法即可求其前n 项和，将其化为n n r S p qa +=-形式即可得p 、q 、r 的值． (1) 若选①：设等差数列{}2nn a 的公差为d ，则33122512312a a d --===-，①()1222121nn a a n n =+-=-，即212n nn a -=．若选①：设等比数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的公比为q ，则2112212211a q a⨯-==⨯-， ①11112121122n nn a a n -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪-⨯-⎝⎭⎝⎭，即212n nn a -=； (2) 21321222n nn S -=+++，231113212222n n n S +-=+++，则两式相减得，23111111212222222n nn n S +-⎛⎫=+⨯+++- ⎪⎝⎭ 12n S =111121214212212n n n ++⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--12n S =132322n n ++=-，①2332n nn S +=-． ①()22221233343422n n n n n n S a +++-+=-=-⨯=-， ①存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-，且3p =，4q =，2r =．9．（2021·河北衡水中学三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，()122n n a xa n n -=+-≥，其中x ∈R .（1）若1x =，求出n a ；（2）是否存在实数x ，y 使{}n a yn +为等比数列？若存在，求出n S ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2382n n n a -+=；（2）存在，()21242n n n n S ++=--.【解析】【分析】（1）将1x =代入，由递推关系求出通项公式，并检验当1n =时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数x ，y 满足题意，结合已知条件求出满足数列{}n a yn +是等比数列的实数x ，y 的值，运用分组求和法求出n S 的值. 【详解】（1）由题可知：当1x =时有：12n n a a n --=-，当2n ≥时，()()()()()()121321213012232n n n n n a a a a a a a a n ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=++++⋅⋅⋅+-=+，又13a =满足上式，故()()22138322nn n n n a ---+=+=. （2）假设存在实数x ，y 满足题意，则当2n ≥时，由题可得：()()111n n n n a yn x a y n a xa xy y n xy --+=+-⇔=+--⎡⎤⎣⎦，和题设12n n a xa n -=+-对比系数可得：1xy y -=，22xy x -=-⇔=，1y =.此时121n n a na n -+=+-，114a +=，故存在2x =，1y =使得{}n a yn +是首项为4，公比为2的等比数列. 从而()()1112121224122nn n n n n n n n a n a n S a a a ++-++=⇒=-⇒=++⋅⋅⋅+=--. 所以()21242n n n n S ++=--. 【点睛】方法点睛：数列求和方法：（1）等差等比公式法（2）错位相减法（3）分组求和法（4）倒序相加法（5）裂项相消法.10．（2022·浙江·模拟预测）已知递增的等差数列{}n a 满足：11a =，且5813,,a a a 成等比数列．数列{}n b 满足：()32n n S b n *=+∈N ，其中n S 为{}n b 的前n 项和．(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式； (2)设n n c T =为数列{}n c 的前n 项和，是否存在实数λ，使得不等式n n T S λ≤≤对一切n *∈N 恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)21n a n =-，()112n n b n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N(2)存在，12λ= 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为(0)d d >，根据5813,,a a a 成等比数列，由2(17)(14)(112)d d d +=++求解，由()32n n S b n *=+∈N ，利用数列的通项与前n 项和的关系求解；得()1132*--=+∈n n S b n N ，（2）由（1）23n n b S +=，得到()min 12n S =，nc 12=，利用裂项相消法求得n T ，再由不等式n n T S λ≤≤对一切n *∈N 恒成立求解. (1)解：设{}n a 的公差为(0)d d >，则2(17)(14)(112)d d d +=++，所以2,21n d a n ==-．当1n =时，11b =；当2n ≥时，由()32n n S b n *=+∈N ，得()1132*--=+∈n n S b n N ，两式相减得：12n n b b -=-，所以{}n b 是以1为首项，以12-为公比的等比数列，所以()112n n b n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N(2)23n n b S +=，显然()2min 12n b b ==-，所以()min 12n S =，由21n a n =-得==n c1122==，故1112222n T ⎛=+++ ⎝， 112⎛= ⎝．显然12n T <恒成立，且当n →∞时，12n T →，所以存在唯一实数12λ=．11．（2022·江西·二模（理））已知等差数列{}n a 中，12a =，公差0d >，其前四项中去掉某一项后（按原来的顺序）恰好构成一个等比数列． (1)求d 的值． (2)令11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若212n S λλ<--对n +∀∈N 恒成立，求λ取值范围．【答案】(1)2； (2)12λ≤-或32λ≥.【解析】【分析】（1）根据给定条件，写出等差数列{}n a 前4项，按去掉的项讨论求解作答.（2）由（1）求出等差数列{}n a 的通项，再利用裂项相消法求出n S 并讨论其单调性，列式计算作答. (1)等差数列{}n a 的前四项为2,2,22,23d d d +++，若去掉第一项，则有2(22)(2)(23)d d d +=++，解得0d =，不符合题意，若去掉第二项，则有2(22)2(23)d d +=+，解得0d =，或12d =-，不符合题意，若去掉第三项，则有2(2)2(23)d d +=+，解得0d =（舍去），或2d =，若去掉第四项，则有2(2)2(22)d d +=+，解得0d =，不符合题意，所以2d =. (2)由（1）知22(1)2na n n =+-=，11(2(22411))1n n b n n n ==+-+，于是得1111111111[(1)()()()](1)422334141n S n n n =-+-+-++-=-++，显然数列{}n S 是递增数列，恒有14n S <，因212n S λλ<--对n +∀∈N 恒成立，于是有21124λλ--≥，解得12λ≤-或32λ≥，所以λ取值范围是12λ≤-或32λ≥．12．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，35a =，2a 是1a 与5a 的等比中项，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足()*41n n S b n =-∈N .(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若118n T λ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭对任意的*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)21n a n =-，13nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)2485λ-≤≤ 【解析】【分析】（1）对于等差数列{}n a 直接列方程322155a a a a =⎧⎨=⋅⎩求解，数列{}n b 根据11,1,2n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解；（2）利用错位相减法可得1411883nn n T +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据题意讨论得：当n 是奇数时，min8341n n λ⎛⎫⋅-≤ ⎪+⎝⎭；当n 是偶数时，min 8341n n λ⎛⎫⋅≤ ⎪+⎝⎭，再通过定义证明数列8341n n ⎧⎫⋅⎨⎬+⎩⎭的单调性，进入确定相应情况的最值． (1)①322155a a a a =⎧⎨=⋅⎩ 则()()12111254a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或150a d =⎧⎨=⎩（舍去）①()12121n a n n =+-=-. 又①41n n S b =-，当1n =时，1141b b =-，则113b =-，当2n ≥时，1141n n S b --=-，则14n n n b b b -=-，即113n n b b -=-，则数列{}n b 是以首项113b =-，公比为13-的等比数列，①1111333n nn b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)()1213nn c n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()123111111135232133333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()23411111111352321333333nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()231411111221333333n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+---- ⎪ ⎪⎡⎤⎢⎥⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎣⎦()111111111112123633623n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-----=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=①1411883nn n T +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭①118n T λ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭对任意的*n ∈N 恒成立，即411183n n λ+⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭对任意的*n ∈N 恒成立 ①当n 是奇数时，411183n n λ+-⋅≤任意的*n ∈N '恒成立 ①8341nn λ⋅-≤+对任意的*n ∈N 恒成立①当n 是偶数时，411183n n λ+⋅≤对任意的*n ∈N 恒成立 ①8341nn λ⋅≤+对任意的*n ∈N 恒成立令8341nn c n ⋅=+，()()()11164138383045414541n n n n n n c c n n n n ++-⋅⋅-=-=>++++对任意的*n ∈N 恒成立 ①{}n c 为递增数列 ①当n 是奇数时，则245λ-≤，即245λ≥-①当n 是偶数时，则8λ≤ ①2485λ-≤≤. 13．（2022·浙江省临安中学模拟预测）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，21122n n n S a a =+，数列{}n b 为等比数列，且1224,==b a b a . (1)求数列{}n a ､{}n b 的通项公式；(2)记()232,3,nn n n n n b n a a c n b +⎧-⋅⎪⋅⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，n T 为数列{}n c 的前n 项和，对任意的n *∈N .2λ≥n T 恒成立，求2n T 及实数的λ取值范围.【答案】(1)n a n =，2nn b =(2)212211214n n n T n +=--+，1712λ≤【解析】【分析】（1）先求出1a ，再当2n ≥时，由21122n n n S a a =+，得21111122n n n S a a ---=+，两式相减化简可得11n n a a --=，从而可得数列{}n a 是公差为1，首项为1的等差数列，则可求出n a ，从而可求出12,b b ，进而可求出n b ，（2）当n 为奇数时，利用裂项相消求和法可求出1321n c c c -++⋯+，当n 为偶数时，利用等比数列的求和公式求出242n c c c ++⋯+，从而可求出2n T ，进而可求出实数的λ取值范围 (1)①21122n nn S a a =+①， ①21111122a a a =+，①10a ≠，①11a = 当2n ≥时，21111122n n n S a a ---=+①，由①-①得221111112222n n n n n a a a a a --+-=- ①2211n n n n a a a a --+=-，又0n a >，①11n n a a --=，①数列{}n a 是公差为1，首项为1的等差数列. ①n a n =①122b a ==，244==b a ，数列{}n b 为等比数列， ①2,2n n q b ==(2)n 为奇数时，212121(65)222(21)(21)2121-+--⋅==-+-+-+k k k k k c k k k k①131321272(65)21335(21)(21)-⨯-⋅++⋯+=++⋯+⨯⨯-+nn n c c c n n 133521211212122222222221335212112121-+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++⋯+-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n n n n 为偶数时，223324==k k kc ①2421231133314411444414⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭++⋯+=++⋯+==--n n n n c c c①()()2121213212422121211214214++-=++⋯++++⋯+=-+-=--++n n n n n n n T c c c c c c n n①0n c >，①{}2n T 单调递增， ①221712≥=n T T ，①1712λ≤ 14．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知正项等差数列{}n a 满足：()33n n a a n *=∈N ，且1382,1,a a a +成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()1121212n n n a n a a c ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意n *∈N 均有n R λ<恒成立，求λ的最小值．【答案】(1)n a n = (2)最小值为23【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d ，由33n n a a =及等差数列的通项公式得到1a d =，则n a nd =，再根据等比中项的性质得到方程，求出d ，即可得解；（2）由（1）可得11121212n n n c +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求和得到n R ，即可得到23n R <，从而求出λ的取值范围，即可得解； (1)解：设等差数列的公差为d ，由33n n a a =得[]11(31)3(1)a n d a n d +-=+-，则1a d =，所以1(1)n a a n d nd =+-=．因为12a 、31a +、8a 成等比数列，所以()231812a a a +=⋅，即2(31)28d d d +=⋅，所以27610d d --=，解得1d =或17d =-，因为{}n a 为正项数列，所以0d >，所以1d =，所以n a n =．(2)由（1）可得()()()()1111122112121212121212n n n a n n n n a a n n c +++++⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭，所以1223111111111122121212121212312n n n n R ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为对任意n *∈N 均有23n R <，所以23λ≥，所以实数λ的最小值为2315．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知{}n a 和{}n b 均为等差数列，111a b ==，312a a a =+，542b b a =+，记{11max n c b na =-，22b na -，…，}n n b na -（n=1，2，3，…），其中{1max x ， 2x ，⋯，}s x 表示1x ，2x ，⋯，sx 这s 个数中最大的数．(1)计算1c ，2c ，3c ，猜想数列{}n c 的通项公式并证明；(2)设数列()()132n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，若24n S m m <-+对任意n *∈N 恒成立，求偶数m 的值．【答案】(1)10c =，21c =-，32c =-，1n c n =-，证明见解析 (2)2m = 【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a ，{}n b 的公差分别为1d ，2d ，利用111a b ==，312a a a =+，542b b a =+，利用通项公式可得11122d d +=+，211d d =+，可得n a ，n b ．根据10c =，21c =-，32c =-．猜想数列{}n c 的通项公式1n c n =-，证明数列{}k k b na -为单调递减数列，即可得出结论．（2）1111(3)(2)(1)(2)12n nc c n n n n ==---++++，利用裂项求和方法即可得出n S ，根据24n S m m <-+对任意*n N ∈恒成立即可得出m 的取值范围．(1)解：设等差数列{}n a 和{}n b 的公差为1d 、2d ，那么()()()11221121114131d d d d d ⎧+=++⎪⎨+=+++⎪⎩，解得1212d d =⎧⎨=⎩，①n a n =，21n b n =-，那么，111110c b a =-=-=，{}{}21122max 2,2max 121,3221c b a b a =--=-⨯-⨯=-，{}{}3112233max 3,3,3max 131,332,5332c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-，猜想{}n c 的通项公式为1n c n =-，当3n ≥时，()()()()111120k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，所以数列{}k k b na -关于*N k ∈单调递减，所以{}112211max ,,,1n n n c b na b na b na b na n =---=-=-；(2) 解：()()()()()()111113221123121n n c c n n n n n n ===---++++----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以1111111123341222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n S nn n ，因为24n S m m <-+对任意n *∈N 恒成立，所有2142m m -+≥，解得4422m +≤≤，所以2m =． 16．（2022·天津·耀华中学一模）设数列{}()*n a n ∈N 是公差不为零的等差数列，满足369a a a +=，25796a a a +=.数列{}()*n b n ∈N 的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b ，11x ，2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x ，22x ，使2b ，21x ，22x ，3b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x ，2n x ，…，nn x ，使n b ，1n x ，2n x ，…，nn x ，1n b +成等差数列.（i ）求()()()11212231323312n n n nn T x x x x x x x x x =++++++++++；（ii ）是否存在正整数m ，n ，使12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)n a n =；11123n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.(2)（i ）n T 123343n n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（ii ）存在；(9,2)和(3,3).【解析】【分析】（1）设}n a ｛的公差为d ，根据题意列式求出1a 和d 即可求出n a ；根据11n n n b S S ++=-可求出n b ；（2）（i ）根据等差中项的性质得到()123411357(21)2n n n T b b b b n b nb +=+++++-+，再根据错位相减法可求出n T ；（ii ）根据n T 和{}n a 的通项公式得到23213n n m +=-，推出211,13m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，令233n nn c +=，推出{}n c 的单调性，根据单调性可知，只有2c 和31,13c ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由此可求出结果.(1)设}n a ｛的公差为d ，0d ≠，则()111211125846648a d a d a d a d a d a d +++=+⎧⎪⎨+++=+⎪⎩，解得11a d ==，所以1(1)11n a a n d n n =+-=+-=. 由423n n S b +=得11423b b +=，得112b =， 11423n n S b +++=，所以114()2()330n n n n S S b b ++-+-=-=，所以11422n n n b b b +++=，即113n n b b +=，所以11123n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.综上所述：n a n =；11123n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.(2)（i ）依题意得12112b b x +=，2321222()2b b x x ++=，343132333()2b b x x x +++=， 45414243444()2b b x x x x ++++=，，123n n n nn x x x x ++++1()2n n n b b ++=，所以()()()11212231323312n n n nn T x x x x x x x x x =++++++++++2334451122()3()4()()22222n n b b b b b b n b b b b ++++++=+++++()123411357(21)2n n b b b b n b nb +=+++++-+012311111111111111()3()5()7()(21)()()2232323232323n n n n -⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅⨯+⋅⨯ ⎪⎝⎭012311111111()3()5()7()(21)()()4333333n n n n -⎛⎫=+⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ⎪⎝⎭令0123111111()3()5()7()(21)()33333n n R n -=+⨯+⨯+⨯++-⋅，则1234111111()3()5()7()(21)()333333n n R n =+⨯+⨯+⨯++-⋅，所以13n n R R -=12311111112()()()()(21)()33333n n n -⎛⎫+++++--⋅ ⎪⎝⎭，所以1111()213312(21)()13313n n n R n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--⋅-，所以113(1)()3n n R n -=-+⋅，所以11()43n n n T R n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭1113433n n n n -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭123343n n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（ii ）假设存在正整数m ，n ，使12m n m a T a +=，即12313432n n m m ++⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23213n n m+=-成立，因为210m->，所以2m >，所以3m ≥，所以211,13m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，令233n nn c +=，则1125253233(23)3n n n nn c n n c n ++++==++2512544n n n +=<+++，所以数列{}n c 单调递减，1513c =>，279c =，313c =，当4n ≥时，4111813n c c ≤=<，所以由27219c m ==-，得9m =；由31213c m==-，得3m =，所以存在正整数m ，n ，使12m n ma T a +=，且所有的正整数对(,)m n 为：(9,2)和(3,3). 17．（2022·天津河北·一模）设数列{}n a 的前n 项和14n n S -=，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令19(3)(3)nn n n a b a a +=++，记数列{}n b 前n 项和为n T ，求n T ；（3）利用第二问结果，设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式13758n n T a λ++=成立？若存在，求出λ和相应的n 值；若不存在，说明理由．【答案】（1）21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩;（2）171841n --+（3）当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立，当4,λ≠时，不存在正整数n 使等式13758n n T a λ++=成立. 【解析】【分析】（1）直接由n a 与n S 的关系求解；（2）将（1）中求得的结果代入n b ，化简后利用裂项相消法求和；（3）将λ表示为含n 的等式，利用λ是整数，找出符合条件的n 即可. 【详解】（1）令n ＝1得，111a S ==；当n 2≥时，2134n n n n a S S --=-=⨯，所以21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩ （2）当2n ≥时，234n n a -=⨯,此时22119934(3)(3)(343)(343)n n n n n n n a b a a ---+⨯⨯==++⨯+⨯+ 21114141n n --=-++，又111293(3)(3)8a b a a ==++①213,1811,24141n n n n b n --⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪++⎩.故1138T b ==，当2n ≥时，2221323131111()()841414141n T ----=+-+-+++++ 32211111()()41414141n n n n ----+-+-++++171841n -=-+.（3）若1n =，则等式13758n n T a λ++=为37858λ+=，52λ=不是整数，不符合题意；若2n ≥，则等式13758n n T a λ++=为11717841548n n λ---+=+⨯，11154554141n n n λ---⨯==-++ ①λ是整数, ①141n -+必是5的因数, ①2n ≥时1415n -+≥ ①当且仅当2n =时，1541n -+是整数，从而4λ=是整数符合题意.综上可知，当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立，当4,λ≠时，不存在正整数n 使等式13758n n T a λ++=成立【点睛】本题考查了数列的通项与前n 项和的关系，考查了裂项求和法，考查了分析问题解决问题的能力及逻辑思维能力，属于难题.18．（2022·四川达州·二模（理））已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+，n S 为{}n a 的前n 项和. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设()1nn n b S =-，数列{}n b 的前n 项和n T 满足20n T mn ->对一切正奇数n 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)21n a n =-； (2)1m <-. 【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可得数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，即求；（2）由题可得当 n 为奇数时，()12n n n T +=-，进而可得21122n n n T m <=--对一切正奇数n 恒成立，即得. (1)①11a =，12n n a a +=+， ①12n n a a +-=，①数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， ①()12121n a n n =+-=-； (2)由题可得()21212n n n S n +-==，①()()211nnn n b S n =-=-，①()221121n n b b n n n ++=-++=+，n 为奇数， ①当 n 为奇数，且3n ≥时，()22222123451nn T n =-+-+-++-()()()221212372322n n n n n n n -⋅+=+++--=-=-，当1n =时，11T =-也适合，故当 n 为奇数时，()12n n n T +=-，又20n T mn ->对一切正奇数n 恒成立，①2111222n T m n n n n+<=-=--对一切正奇数n 恒成立，又11122n--≥-， ①1m <-.19．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()*N n n a S n -=∈321.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记()()n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩12123，为奇数，为偶数，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，若不等式()nnn n nT n λ⎛⎫-<+⋅- ⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】(1)13-=n n a (2)⎛⎫- ⎪⎝⎭3546，. 【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系即可求解；（2）根据裂项相消法和错位相减法求出数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，再将不等式的恒成立问题转化为求最值问题即可求解.(1)由题意,当1n = 时，1113211a a a -=⇒=, 当2n ≥ 时， 11321n n a S ---=，所以()n n n n a a S S -----=113320，即 13n n a a -=， ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，11133n n n a --∴=⨯=故数列{}n a 的通项公式为13-=n n a . (2)()()12123n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数，由 (1)，得当n 为偶数时，13n n n n nb a -==，当n 为奇数时， 11142123n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，设数列{}n b 的前2n 项中奇数项的和为n A ，所以n nA n n n ⎛⎫=-+-+⋯+-=⎪-++⎝⎭11111114559434141，设数列{}n b 的前2n 项中偶数项的和为n B ， n n B n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1321111242333①n n B n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭352111112429333②，由-①②两，得()n n n n n n B n ++-⎛⨯⎫⎛⎫=⨯+⋯-⎛⎫=-⨯ ⎪++-⎪⎝⎭⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-21211321111139281111229332331319，整理得()nn n B +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭38927132329，故，()nn n n n n T A B n +⎛⎫=+=+-⋅ ⎪+⎝⎭23892714132329，n nn n n T n ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-=-⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2241272713294132329.∴ 不等式()nnn n n T n λ⎛⎫-<+⋅-⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立, 即不等式()nnλ⎛⎫-<-⋅ ⎪⎝⎭27271132329对一切*N n ∈恒成立,()xf x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭2727132329在R 上是单调增。

浅析高中数学中的恒成立问题

（：％＝一（以。（ｌ令），）—一— ７．２．３））３＿）＝６・，＋＝＋Ｆ：一以Ｘｌ］解２｛薪一ｎ．（）（一ｔ（—＋２—４、所：一－ｉ２一：ｖ／２ｘ４俪
ＸｘＥ［，］以（）０ｔＦｘ在［１上单调递减，．０１所＜，ｔ（）０，］ｌ＇所
公为｛等数比ｇ的比＝
列，６＝ｌ上ｎ，列｛｝足ｃａ・设２３０％（ ∈Ｎ）数ｇＣ满ｎｂ－
令，ｔ＝一÷＋），仁所≥ ，）（。 ÷ 以÷ ＿ ≥ ｚ ÷｛
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（）证：ｂ｝等差数列；１求｛是恒求（）ｃ≤ ＋１一切正整数ｎ成立，实数ｍ的取２若４ｍ２ｍ一对
）僦＋对 ∈［，］＝忆ｌ０２恒（＞，）Ｏ
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处本理文就通
解，ｘ∈［，］ｇｆｘ＞，ｆｘ＋＞，形为唧一＊ｉ－０２恒Ｔ（）Ｏｔａ１Ｏ变￣＞（＋
１．）
谈厂。＝１ａｘ－ｘ２则其是关于Ⅱ （）（一）￣３＋，的一次函数，且是单
这类问题有一个固定的思想方法去处理就是转化为最值．如
点决
Ｙ（＝，）似＋是二次函数，－ｆｌ所以。， ≠０所以ｎ一且。．＞ ≠０
注：这是解决恒成立问题或求范围问题最主要的方法，应
［，］０１上恒成立，以、～２— ≤００１上的最大值小于所／一ｘｆ在［，］

恒成立,能成立,恰成立问题

(1)恒成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min >A ；若不等式f(x)<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max <B ； (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)>A 成立，则等价于在区间D 上f(x)max >A ；若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)<B 成立，则等价于在区间D 上f(x)min <B ； (3)恰成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)>A 的解集为D ；若不等式f(x)<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)<B 的解集为D. 二．典型问题例区分下列问题的类型，并思考如何进行有效转化组一1.若关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是。

2.若存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k ＝______4．若关于x 的不等式|x －m|≤|2x ＋1|解集为R ，则实数m 的取值为________5.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x －b)＞0的解集是(2,3)，则a ＋b 的值是A ．1B ．2C ．4D ．86.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2， x ＜0，则不等式f(2－x 2)＞f(x)的解集是________ 7.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2 C ．(0,1) D ．(0,)+∞8.设l 为曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方组二1.已知函数x x x f ln )(=，(1)求)(x f 的最小值； (2)若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围.2.已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，当13a =时，若不等式()0f x '<对任意x [3,1]∈--恒成立，求b 的取值范围；3.已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在,0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-，（1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

恒成立问题的几种常见解法

三、方程思想
五、函数思想
例２中。已知ｆ（Ｘ）＝Ｘ２＋ａｘ＋１＞１０对一切Ｘ∈（０．１／２）恒成立甘方程ｆ（Ｘ）＝Ｏ的根有且仅有下列３种情况：（１）无实根§△＜０．解得一２＜ａ＜２
△≥０
例２中，设ｆ（×）＝ｘ２＋ａ）（＋１。则ｆ（ｘ）／＞０对Ｘ∈（０，士］恒成立，
从而在（０．百１］上有［ｆ（ｘ）］ｍｉｎ／＞０。（１）当一百ａ≤Ｏ时，即当ａ≥
ｃｏｍｐｕｔｅｒｒｏｏｍ，ｌｉｂｒａｒｙ，ｍｕｌｔｉｍｅｄｉａ
ｒｏｏｍ等等，都是学生很想学
到的语言。二、挖掘生活化的英语课程资源所谓英语课程资源。是指学生生活中与英语学习密切相关的有利于学生学习的所有要素。英语教材的编写已经充分考虑到要接近学生的生活，我们应充分挖掘教材自身的生活因素，同时我们还要开发教材以外的生活课程资源。如：我们可以以课本为依托，根据内容。找到合适的切入点。把身边的、世界的、近期发生的事情通过图片、投影、照片展示等多种方法引入到教学中来，使学生在学习的同时能感受到所学知识与外界相联系，能够用简单的句式表达自己的思想，从而体会到学习英语的成就感。
２即当一１≤ａ＜０时，原不等式恒成立。（３）当一告＞÷时。即当
ａ＜一１时，在ｆ（ｘ）在（ｏ，÷］上是减函数“．当Ｘ－－－－÷时，［ｆ（ｘ）］ｒａｉｎ＝
虿ａ４－ｉ５一ｏａ、７－虿５
（３）两个大于｝或等于｝的实根甘
一虿ａ；互１一
ｆ（丢）＝了１＋虿ａ＋１／＞０解得一争≤ａ≤一２，综合（１）（２）（３），得ａ≥一争。
×ｅ（ｏ，｝］成立；当△＝ａ２—４＞０时，ｘ２＋ａｘ＋１≥ｏ的解集为（一ｏｏ
二鱼二≤王三．］ｕ［二学，＋。）。要使不等式×２＋ａｘ＋１≥。
需（Ｏ＇士］（－。华’］Ｕ
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数列的单调性专题

数列的单调性以及恒成立的问题一、数列的单调性（一）数列的单调性与函数的单调性的区别【例题1】已知()2*n a n n n N λ=+∈是单调递增数列，则λ的取值范围是【例题2】给定函数y =f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1()0,1∈，由关系a n+1=f (a n )得到a n+1>a n (n *N ∈)，则该函数的图像是（二）a n =f (n )的单调性【例题3】已知{a n }的通项a n =(n 2-1)c n +c n-1(n *N ∈)，其中实数c ≠0，若对一切k *N ∈有a 2k >a 2k-1，求c 的取值范围.【例题4】已知a 1=a ，a n+1=S n +3n，若a n+1≥a n (n *N ∈)，求a 的取值范围.【变式训练】设数列{a n }满足a 1=2，11n n na a a +=+(n *N ∈). （I ）证明：21n a n >+对一切正整数n 成立；（II ）令n b =n *N ∈)，试判断b n 和b n+1的大小，并说明理由.【例题5】已知数列{a n }中，a 1=2，对于任意的p ，q *N ∈，有a p+q =a p +a q . （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足()112121212121n nn n b b b a -=-++-+++，求数列{b n }的通项公式；（III ）若3nn n c b λ=+，是否存在实数λ，使得当n *N ∈时，c n+1>c n 恒成立？【变式训练】设数列{a n }的各项都是正数，且对任意的n *N ∈，都有333212n n a a a S +++=，其中，S n 为数列{a n }的前n 项和.（I ）求证：2112n n n a S a ++=+；（II ）求数列{a n }的通项公式；（III ）设()1312n n a n n b λ-=+-⋅⋅为非零整数，n *N ∈，试确定λ的值，使得对任意的n *N ∈，都有b n+1>b n 成立.（三）a n+1=f (a n )的单调性【知识点】对于迭代数列a n+1=f (a n )，如果有y=f (x )是非递减函数，那么：①若a 1<a 2，则数列{a n }递增；②若a 1=a 2，那么数列{a n }是常数列；③若a 1>a 2，则数列{a n }递减. 特别地，对于迭代数列a n+1=f (a n )，若f (x )是二次函数，则数列单调递增的充要条件是a 1<a 2<a 3，且对于任意的n ≥2，n *N ∈，在[a 2，a n ]上，函数f (x )为单调递增函数.【例题6】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.【变式训练】在数列{}n a 中，13a =，2110n n n n a a a a λμ++++=，()n N +∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式；（2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010*********k a k k ++<<+++【变式训练】数列{x n }满足：x 1=0，x n+1= -x n 2+x n +c （n *N ∈）（I ）证明：数列{x n }单调递减的充分必要条件是c <0；（II ）求c 的取值范围，使数列{x n }是单调递增数列.二、数列的单调性应用（一）数列的最值问题【例题7】数列{a n }和数列{b n }满足：①a 1=a<0，b 1=b>0；②当k ≥2时，若a k -1+b k -1≥0，则a k =a k -1，112k k k ab b --+=；若a k -1+b k -1<0，则111,2k k k k k a b a b b ---+==. （1）若a= -1，b=1，求a 2，b 2，a 3，b 3的值；（2）设S n =(b 1 –a 1)+(b 2 –a 2)+…+(b n -a n )，求S n (用a ，b 表示)；（3）若存在n *N ∈，对任意的正整数k ，当2≤k ≤n 时，恒有b k -1>b k 成立，求n 的最大值（用a ，b 表示）.【变式训练】在数列{a n }中，a 1=3，a n b n =a n +2，n =2，3，4，… (I)求a 2，a 3，判断数列{a n }的单调性并证明； (II)求证|a n -2|<1124n a --(n =2，3，4，…)； (III)是否存在常数M ，对任意n ≥2，有b 2b 3…b n ≤M ？若存在，求出M 的值；若不存在，说明理由.（二）数列中的恒成立问题【例题8】如图，在平面直角坐标系xOy 中，设a 1=2，有一组圆心在x 轴的正半轴上的圆A n （n *N ∈）与x 轴的交点分别为A 0(1，0)和A n+1(a n +1，0)，过圆心A n 作x 轴的垂线l n 在第一象限与圆A n 交于点B n (a n ，b n ). （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设曲边形A n+1B n B n+1(阴影部分所示)的面积为S n ，若对于任意n *N ∈，12111nm S S S +++≤恒成立，试求实数m 的取值范围.【变式训练】已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N .（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-.【课时作业】1、设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值.2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a （a ≠3），a n+1=S n +3n，n *N ∈. （I ）设b n =S n -3n，求证：数列{b n }是等比数列，并写出{b n }的通项公式；（II ）若数列{a n }是单调递增数列，求a 的取值范围.3、设数列{a n }的前n 项和为S n ，()24*,n n S a n n N R λλ=+-∈∈，且数列|a n -1|为等比数列.（I ）求实数λ的值，并写出数列{a n }的通项公式；（II ）（i ）判断数列111n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭（n *N ∈）的单调性；（ii ）设()11n n nb a --=，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：229n T <.4、已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，b n =221111nn n a a a ++⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭，n *N ∈，数列{b n }的前n 项和为S n .（I ）若a n =2n -1，求S n ；（II ）是否存在等比数列{a n }，使得b n+2=S n 对于任意的n *N ∈恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由. （III ）若{a n }是单调递增数列，求证：S n <2.5、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中，a 1=1，且1nn nS a a λ+=(n *N ∈). （I ）求常数λ的值，并写出{a n }的通项公式；（II ）记3nn n a b =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求最小的正整数k ，使得对任意的n ≥k ，都有3144n T n-<成立.6、数列{a n }，a n ≥0，a 1=0，a n+12+a n+1-1=a n 2（n *N ∈），求证：当n *N ∈时，a n <a n+1.7、【变式训练】设a 1=1，11n a +=（n *N ∈），问：是否存在实数c ，使得a 2n <c <a 2n+1对所有的n *N ∈成立？证明你的结论.8、首项为正数的数列a n 满足：a n+1=()2134n a +. n *N ∈ (I)证明：若a 1为奇数，则对于任意的n ≥2，a n 为奇数； (II)若对于任意的n *N ∈，都有a n+1≥a n ，求a 1的取值范围.。

数列不等式恒成立问题

n2 1 2 cn n 1 , cn 1 cn n (n 2n 1) 2 2
2014珠海摸底考试
已知正项数列{an }中, a1 6, 点An ( an 1, an 1 )在抛物线y 2 x上；数列{bn }中，点Bn(n, bn )在过点(0,1)，以k 2为斜率的直线上。（1）求数列{an }， {bn }的通项公式；（2）略 a n 1 （3）对任意正整数n，不等式 1 1 (1+ )(1+ ) b1 b2 恒成立，求整数a的取值范围 an 0 1 n 2 an (1+ ) bn
an 1 an

2n 3 1 (1 ) 2n 3 2n 5
2n 4 2n 5 2 n 3

2n 3 2n 4 2 n 5 2n 3
4n 2 16n 16 4n 2 16n 15 1
n
4 5 4 5 所以{an }单调递增，则an a1 , k 15 15
11
1, 1
2)当n为偶数时，即 2n1 恒成立 n 1 21 此时 2 2 1, 2
方法归纳
《天利38》广东模拟卷
bn n 1,
1 1 1 1 bn bn 1 ( n 1)( n 2) n 1 n 2
当n 1时, an 1 an 当n 2时, an 1 an
1 an a2 16
(相邻两项)作差法 {an }单调递增 {an }单调递减
1 a a n 1 n k 16 a a n 1 n
2014清远调研
已知数列{an }的各项均为正数, 且a1 1, 当n 2时, 都有 1 1 an an 1 2n 1, 记Tn a1 a2 （1）求数列{an }的通项公式；（2）证明：Tn 2; an （3）设cn n 1 , 是否存在正整数k , 使得cn ck 对n N * 2 恒成立, 求k的值；若不存在，请说明理由 1 . an

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与数列有关的恒成立问题(一)根据与数列通项有关的不等式恒成立，求参数范围。

【例1】（2020·广东华南师大附中高二期末）已知数列满足，，那么成立的的最大值为______，所有，公差，解，得，所以成立的的最大值为5，故答案为：5【例2】（2020·黑龙江高三（理））已知数列满足，且，（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅰ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【解】（Ⅰ）证明：∵a n+1−12=3a n −32=3(a n −12)，所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列；（Ⅰ）解：由（1）知，，由b n +1bn+1−1≤m 得3n−1+13n −1≤m ，即13+43(3n −1)≤m设c n =13+433−1，所以数列{c n }为减数列，(c n )max =c 1=1，∴m ≥1 【巩固训练】若数列{a n },{b n }的通项公式分别为a n =(−1)n+2018a,b n =2+(−1)n+2019n，且a n <b n ，对任意n ∈N +恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[−1,12)B ．[−1,1)C ．[−2,1)D ．[−2,32)【解】因为a n <b n ，故(−1)n+2018a <2+(−1)n+2019n，当n 为奇数，-a<2+1n ,又2+1n 单调递减，故2+1n ＜2，故- a ≤2，解a ≥−2，当n 为偶数，a <2−1n ，又2-1n 单调递增，故2-1n ≥32，故a <32，综上−2≤a <32，故选D{}n a 11a =0n a >1=32n a <n 1=1=d 1=n =2n a n =232n a n =<n <32n a <n(二) 根据与数列前n 项和有关的不等式恒成立求参数范围【例3】2020·湖北高三月考（理））已知数列的前项和，设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．【解】由数列的前项和，可得，故，故，故=，不等式恒成立，即恒成立，即，由，可得，(当n =1时等号成立)，所以，故选：A . 【例4】数列{a n }的前n 项和S n =2−12n−1(n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)对于(2)中的T n ，若不等式(−1)n λ<T n +n2n−1对一切n ∈N ∗恒成立，求λ的取值范围．【详解】(1)数列{a n }的前n 项和S n =2−12n−1(n ∈N ∗)①．当n ≥2时，S n−1=2−12n−2②， ①−②得：a n =S n −S n−1=2−12n−1−2+12n−2=12n−1．当n =1时，S 1=a 1=2−120=1，{}n a n 23122n S n n =-11n n n b a a +=n T {}n b n*n N ∈93n T n λ<+λ(,48)-∞(,36)-∞(,16)-∞(16,)+∞{}n a n 23122n S n n =-22113131(1)(1)()312222n n n S n n n n a n S ++==+-+--=+-32n a n =-111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+111111(1...)34473231n T n n =-+-+++--+11(1)33131n n n -=++93n T n λ<+2min3(31)n n λ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦min 1396n n λ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭*n N ∈1910n n+≥48λ<符合上式，故：a n =12n−1．(2)由于：a n =12n−1，则：b n =na n =n2n−1，则：T n =120+221+322+⋯+n2n−1①，12T n=121+222+323+⋯+n 2n ②，①−②得：12T n =1−12n 1−12−n 2n，故：T n =4−4+2n 2n．(3)由于不等式(−1)n λ<T n +n2n−1对一切n ∈N ∗恒成立，所以：不等式(−1)n ⋅λ<4−22n−1对一切n ∈N ∗恒成立．由于f(n)=4−22n−1在n ∈N +为递增函数．若n 为偶数时，λ<f(2)=3，所以λ<3，当n 为奇数时−λ<f(1)=2，所以：λ>−2，故：−2<λ<3．【巩固训练】（2020·黑龙江牡丹江一中高一月考）已知不等式对一切正整数恒成立，则实数的范围为( ) A ．B ．C ．D ．【解析】∵，所以不等式对一切正整数恒成立，化为＞，所以＞，因为是增函数，所以的最小值是，∴log 2（a ﹣1）+a ﹣，所以4﹣a ＞log 2（a ﹣1），所以4＞a+log 2（a ﹣1），所以因为是增函数（增+增=增），观察选项所以1＜a ＜3,故选B.点睛：本题用到了两次恒成立问题，第一次是＞得到log 2（a ﹣1）+a ﹣，第二次是4＞a+log 2（a ﹣1）得到.恒成立问题实质就是最值问题，所以恒成立问题一般转化成最值问题.()()211117...log 112233412a a n n ++++>-+-⨯⨯⨯+n a ()0,3()1,3()2,4()3,+∞111(1)1n n n n =-++()()211117...log 112233412a a n n ++++>-+-⨯⨯⨯+n 11111112231n n -+-++-+()27log 12a a -+-1111n -+()27log 12a a -+-1111n -+1111n -+11122-=12>722max 4[log (1]a a >+-）2log (1y a a =+-）1111n -+()27log 12a a -+-12>722max 4[log (1]a a >+-）(三)与数列前n 项和通有关的不等式的证明。

【例5】（2019·海南高二期末（理））设等比数列的前项和为，已知，且成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求证：.【解】（1）依题意得，即，化简得，即，所以. （2）由（1）知，则，所以……，，因为单调递增，且，所以，而，即. 【巩固训练】（2017·广西高考模拟（理））已知数列的前项和满足：， .（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求证： . 【解】（1）当时， .当时， ..而也满足.∴数列的通项公式为.（2）∵,∴..{}n a n n S 12a =1234,3,2S S S {}n a 1(1)(1)n n n n a b a a +=--{}n b n n T 213n T ≤<213642S S S =+()()121123642a a a a a a +=+++232a a =322a q a ==2n n a =2nn a =()()1121121212121n n n n n n b ++==-----1223111121212121n T ⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭1112121n n +⎛⎫+- ⎪--⎝⎭1111111212121n n ++=-=----1121n +⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭11021n +-<-11n T T ≤<12121213T =-=-213n T ≤<{}n a n n S 22n S n n =+*n N ∈{}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 16nT <1n =13a =2n ≥1n n n a S S -=-()()222121n n n n =+----21n =+13a =21n a n =+{}n a 21n a n =+()()1112123n n a a n n +=++11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭则... (四)导数与数列不等式的交汇。

【例6】设f (x )＝e x －a (x ＋1)．(1)若a ＞0，f (x )≥0对一切x ∈R 恒成立，求a 的最大值；(2)设g (x )＝f (x )＋ae x ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是曲线y ＝g (x )上任意两点，若对任意的a ≤－1，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围；(3)是否存在正整数a ，使得1n＋3n＋…＋(2n －1)n＜ee －1(an )n 对一切正整数n 都成立？若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由.【解】(1)∵f (x )＝e x －a (x ＋1)，∴f ′(x )＝e x －a ，∵a ＞0，f ′(x )＝e x －a ＝0的解为x ＝ln a .∴f (x )min ＝f (ln a )＝a －a (ln a ＋1)＝－a ln a . ∵f (x )≥0对一切x ∈R 恒成立，∴－a ln a ≥0，∴a ln a ≤0，∴a max ＝1.(2)∵f (x )＝e x－a (x ＋1)，∴g (x )＝f (x )＋a e x ＝e x＋ae x －ax －a .∵a ≤－1，直线AB 的斜率恒大于常数m ，∴g ′(x )＝e x －ae x －a ≥2e x·⎝⎛⎭⎫－a e x －a ＝－a ＋2－a ＝m (a ≤－1)，解得m ≤3，∴实数m 的取值范围是(－∞，3]．(3)设t (x )＝e x －x －1，则t ′(x )＝e x －1，令t ′(x )＝0得：x ＝0.在x ＜0时t ′(x )＜0，f (x )递减；在x ＞0时t ′(x )＞0，f (x )递增．∴t (x )最小值为t (0)＝0，故e x ≥x ＋1，取x ＝－i 2n ，i ＝1,3，…，2n －1，得1－i 2n ≤e －i 2n ，即⎝⎛⎭⎫2n －i 2n n≤e －i 2，累加得⎝⎛⎭⎫12n n ＋⎝⎛⎭⎫32n n＋…＋⎝⎛⎭⎫2n －12n n ＜e －2n －12＋e －2n －32＋…＋e －12＝e －121－e －n 1－e －1＜e e －1. ∴1n＋3n＋…＋(2n －1)n＜e e －1·(2n )n ，故存在正整数a ＝2.使得1n ＋3n ＋…＋(2n －1)n＜e e －1·(an )n .1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11646n =-+16<【巩固训练】【湖北省2020届高三期末】已知函数f(x)=2lnx −x 2， (1)求函数y =f(x)图象上一点A(1,f(1))处的切线方程．(2)若方程f(x)−2a =0在[1e ,e]内有两个不等实根，求实数a 的取值范围(e 为自然对数的底数)． (3)求证1ln2+1ln3++1lnn ≥32−2n+1n(n+1)(n ∈N ，且n ≥2) 【解】(1)∵f(x)=2lnx −x 2，∴f′(x)=2x−2x =2(1−x 2)x，∴k =f′(1)=0，f(1)=−1，函数图象上一点A(1,f(1))处的切线方程为y =−1；(2)∵方程f(x)−2a =0在[1e ,e]内有两个不等实根，∴y =f(x)与y =2a 有两个交点， ∵f′(x)=2(1−x 2)x，x ∈[1e ,e]，令f′(x)=0，解得x =1，当x ∈[1e ,1]时，f′(x)>0，函数f(x)单调的递增，当x ∈[1,e]时，f′(x)<0，函数f(x)单调的递减， ∴f(x)max =f(1)=−1，∵f(1e )=2ln 1e −1e 2=−2−1e 2，f(e)=2lne −e 2=2−e 2， ∴f (1e )>f(e)，∵y =f(x)与y =2a 有两个交点，∴−2−1e 2≤2a <−12∴−1−12e 2≤a <−12 (3)证明：由(2)知f(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，则f(x)=2lnx −x 2≤f(1)=−1，则2lnx ≤x 2−1对x >0恒成立， ∴2x 2−1=1x−1−1x+1≤1lnx 对x >1恒成立，令x =2，3，，n ，代入上式并相加可得，∴1ln2+1ln3++1lnn ≥1−13+12--14+13−15+1n−2−1n +1n−1−1n+1 =1+12−1n −1n+1=32−2n+1n(n+1)，n ∈N ，且n ≥2．三、跟踪训练1．设，定义，如果对任意的且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【解】由，，单调递增，最小值为，又，则，由图像可知b>1，选D2．已知数列的前项和为，且，若，恒成立，则的最小值是（） A ．1 B ．2 C ．D ．【解析】利用错位相减法求得，要使，恒成立，就要找的最大值满足，观察式子，从而求得的最小值是，故选D. 3．【重庆市2020届高三第三次教学质量检测】已知{a n }是公比不为1的等比数列，数列{b n }满足：a 2，a b n ，a 2n 成等比数列，c n =1b2n b 2n+2，若数列{c n }的前n 项和T n ≥λ对任意的n ∈N ∗恒成立，则λ的最大值为（）A ．13 B ．16 C ．115D ．215解析】由a 2，a b n ，a 2n 成等比数列得ab n2=a 2a 2n ，又{a n }是公比不为1的等比数列，设公比为q,则a 12q 2b n −2=a 12q 2n ，整理得b =n n +1 ，c n =1b 2n b 2n+2=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)， 1a >111()122f n n n n=+++++*n N ∈2n ≥112()7log 7log 7a a f n b b ++>+b 292,17⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1)(0,4)(1,)+∞111()122f n n n n =+++++11221121)()1(+-+++=-+n n n n f n f 0221121>+-+=n n )(n f 127)2(=f 112()7log 7log 7a a f n b b ++>+b b a a 1log log +>{}n a n n T 13n n na -=n T M <*n N ∈M 839419314423n n n T -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭n T M <*n N ∈n T M 94数列{c n }的前n 项和T n =12(13−15+15−17+⋅⋅⋅+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)，数列{T n }是单调递增数列，则当n=1时取到最小值为115，可得λ≤115，即λ的最大值为115，故选：C 4．已知数列的前项和为，且，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是__________．【解析】由可得，可验证，也适合，易得，由对任意恒成立，当偶数时，可得；当奇数时，可得，故答案为. 5．【晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考】已知数列{a n }的前n 项和为S n , a 1=a, a n+1=S n +3n ，若a n+1≥a n 对∀n ∈N ∗成立，则实数a 的取值范围是______________．【解析】据题意，得：S n+1−S n =S n +3n , ∴S n+1=2S n +3n , ∴S n+1−3n+1=2(S n −3n )．又S 1−31=a −3，∴S n −3n =(a −3)⋅2n−1．当n =1时，a 1=a ；当n ≥2时：a n =S n −S n−1=3n +(a −3)×2n−1−3n−1−(a −3)×2n−2=2×3n−1+(a −3)×2n−2，∴a n+1−a n =4×3n−1+(a −3)×2n−2．又当n ≥2时，a n+1≥a n 恒成立，∴a ≥3−12×(32)n−2对∀n ∈N ∗，且n ≥2成立，∴a ≥−9．又a 2=a 1+3, ∴a 2≥a 1成立．综上，所求实数a 的取值范围是[−9,+∞)．6．【河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第二次联考】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N ∗，S n =(−1)n a n +12n+n −3，且(t −a n+1)(t −a n )<0恒成立，则实数t 的取值范围是__________．【解析】由S n =(−1)n a n +12n +n −3,令n =1,得a 1=−34；当n ⩾2时,a n =S n −S n−1=(−1)n a n +12n +n −3−[(−1)n−1a n−1+12n−1+n −1−3]{}n a n n S 110a =()*1910N n n a S n +=+∈()20161lg 10lg n n n m a a +-<()20171n ++-*N n ∈m 11910{910n n n n a S a S +-=+=+110n n a a +=1n =10n n a =()()201620171lg 10lg 1n n n n m a a ++-<+-*N n ∈n 11910,2m m n <-<n 11910,10,10,2m m m n ⎡⎫>--≥-∴∈-⎪⎢⎣⎭1910,2m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭=(−1)n a n +(−1)n a n−1−12n+1，若n 为偶数,则a n−1=12n −1,∴a n =12n+1−1(n 为正奇数)；若n 为奇数,则a n−1=−2a n −12n +1=−2(12n+1−1)−12n +1=3−12n−1∴a n =3−12n (n 为正偶数).函数a n =12n+1−1 (n 为正奇数)为减函数,最大值为a 1=−34，函数a n =3−12n (n 为正偶数)为增函数,最小值为a 2=114，若(t −a n+1)(t −a n )<0恒成立，则a 1<t <a 2,即−34<t <114.故答案为：(−34,114). 7．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期三模】已知数列{a n }满足a 1=1，且点(a n ,2a n+1)(n ∈N ⋆)在直线x −12y +1=0上．若对任意的n ∈N ∗，1n+a 1+1n+a 2+1n+a 3+⋯+1n+a n≥λ恒成立，则实数λ的取值范围为______．【解析】将点(a n ,2a n+1)代入直线x −12y +1=0可得：a n+1−a n =−1.所以数列{a n }是以a 1=1为首项，公差为−1的等差数列.所以a n =a 1+(n −1)d =1−(n −1)=2−n所以1n+a 1+1n+a 2+1n+a 3+⋯+1n+a n=1n+1+1n +1n−1+⋯+12≥12，当且仅当n =1时，等号成立要使得1n+a 1+1n+a 2+1n+a 3+⋯+1n+a n≥λ恒成立，则12≥λ，所以λ≤128．若数列{a n }是公差为2的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1. （1）求数列{a n },{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }满足c n =a n +1b n+1，数列{c n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)n λ<T n +n2n−1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.【解析】 (1) ∵数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.∴ n ＝1时，a 1＋1＝2，解得a 1＝1. 又数列{a n }是公差为2的等差数列，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. ∴ 2nb n ＝nb n ＋1，化为2b n ＝b n ＋1， ∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.∴b n ＝2n －1.(2)由数列{c n }满足c n ＝＝＝，数列{c n }前n 项和为T n ＝1＋＋＋…＋，∴ T n ＝＋＋…＋＋，两式作差，得∴T n ＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，∴T n ＝4－.不等式(－1)n λ<T n ＋，化为(－1)n λ<4－，当n ＝2k (k ∈N *)时，λ<4－，取n ＝2，∴λ<3.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，－λ<4－，取n ＝1，∴λ>－2.综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).9．已知数列的前项和为，并且满足，， (1)求的通项公式；(2)令，问是否存在正整数，对一切正整数，总有，若存在，求值；若不存在，说明理由．【分析】（1）当时可求出，由可得当时有，两式相减得，再验证当时是否成立即可．（2）先由（1）求出，然后求，再求出满足的，从而得出答案．【详解】（1）当时，由及，可得，故当时，由题有，所以整理得，当时，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以（2）由（1）得，所以{}n a n n S 12a =()11n n na S n n +=++{}n a 45nn n T S ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭m n n m T T ≤m 1n =2a ()11n n na S n n +=++2n ≥()()111n n n a S n n --=+-()122n n a a n +-=≥1n =n T 11,n n T T +-11n n nn T T T T +-≥⎧⎨≥⎩n 1n =12a =()11n n na S n n +=++24a =212a a -=2n ≥()()111n n n a S n n --=+-()112n n n na n a a n +--=+()122n n a a n +-=≥1n =212a a -={}n a 222n a n =()1n S n n =+()24455n nn n T S n n ⎛⎫⎛⎫=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，令即，解得故故存在正整数对一切正整数，总有，此时或10．（2019·江苏高二期末）已知数列中，，是数列的前项和，且．（1）求，，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对任意的正整数都成立，求实数取值范围．【解】（1）在中，，则，即，得，由得：当时，，化简得，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等差数列，所以.又因为，所以，所以，. 当时，，对也成立，所以数列的通项公式为.（2）因为，所以.因为，所以在上单调递增，()()1214115n n T n n --⎛⎫⎡⎤=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭()()121441155n nn n T S n n ++⎛⎫⎛⎫⎡⎤=⋅=+++ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭11n n n n T T T T +-≥⎧⎨≥⎩()()()()()()22122441155441155n nn n n n n n n n n n -⎧⎛⎫⎛⎫⎡⎤+≥+++⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⎡⎤+≥-+- ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎩89n ≤≤12891011T T T T T T <<<=>>>m n n m T T ≤8m =9m ={}n a 0n a >n S {}n a n 22n n na S a +=2S 3S {}n a n a 21n n n b S S +=+{}n b n nT 0n k -≥n k 22n n na S a +=1n =11122a S a +=11122S S S +=1S 22n n na S a +=2n ≥1122n n n n n S S S S S ---+=-()()112n n n n S S S S --+⋅-=()22122n n S S n --=≥{}2n S ()22212n S n n =+-=0n a>n S =22S=3S =2n≥1n n n a S S -=-==1a ={}na n a =21n n n b S S +===+12n n T b b b =+++12=+-⋅⋅⋅+1=10n n T T +-=>n T *n N ∈所以的最小值为.因为对任意的正整数都成立，所以，即.所以实数的取值范围是.11．（2020·安徽高三月考（理））设正项数列的前项和为，且满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)若正项等比数列满足，且，数列的前项和为.①求；②若对任意，，均有恒成立，求实数的取值范围.【解】(1) ，，∴，∴ 且各项为正，∴又，所以，再由得，所以∴是首项为1，公差为3的等差数列，∴(2)∴，①，②∴ ，恒成立∴ ，即恒成立.设，，当时，；时， ∴，∴. 12．（2019·江西南昌二中高三月考）设公差不为0的等差数列的首项为1，且，，构成等比数列．求数列的通项公式，并求数列的前n 项和为；令，若对恒成立，求实数t 的取值范围．【解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，首项，由题意，nT )11T =0n k -≥n ()minnk≤11k ≤=k 1k ≤{}n a n n S 37a =21691n n a S n +=++n *∈N {}n a {}n b 1132,b a b a ==n n n c a b =⋅{}n c n n T n T 2n ≥n *∈N 2(5)63135n T m n n --+≥m 2n 1n a 6S 9n 1+=++()()2n n 1a 6S 9n 11n 2-=+-+≥()22n 1n n a a 6a 9n 2+-=+≥()22n 1n a a 3+=+()n 1n a a 3n 2+=+≥3a 7=2a 4=221a 6S 91=++1a 1=21a a 3-={}n a n a 3n 2=-13b 1,b 4==n 1n b 2-=()n 1n n n c a b 3n 22-=⋅=-⋅()01n 1n T 12423n 22-=⋅+⋅++-⋅()12n n 2T 12423n 22=⋅+⋅++-⋅()12n 1n T 13222--=++++()n 3n 22--⋅()n n T 3n 525=-⋅+()n 3n 52m -⋅⋅≥()2*6n 31n 35n 2,n N -+≥∈()2n 6n 31n 35m 3n 52-+≥-⋅()()()nn 3n 52n 72n 73n 522---==-⋅n 2n 7m 2-≥n n 2n 7k 2-=n 1n n 1nn 12n 52n 792nk k 222+++----=-=n 4≤n 1n k k +>n 5≥n 1n k k +<()n 55max 33k k 232===3m 32≥{}n a 2a 5a 14a ()1{}n a 12n n a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T ()2()12cos 1n n n c a a n π++=+212n c c c tn ++⋯+≥*n N ∈{}n a d 11a =25214a a a =则,解得.则.①， ②， ①-②得. (2), 当为奇数时，，当为偶数时，，综上所述，()()()2141113d d d +=++2d =()12121n a n n =+-=-23211221231212222n nn T ⨯+⨯+⨯++=++++()2341211121122123121222222n nn n n T +⨯-+⨯+⨯+⨯++=+++++2311322221222222n n n n T ++=++++-152522n n ++=-2552n nn T +∴=-()()()2123cos 1n c n n n π=+++n ()cos 11n π+=()()123557799112123n c c c n n +++=⨯-⨯+⨯-⨯+++⨯+()35471121n =⨯+⨯++++()()2811544n n +-=+⨯2267.n n =++2,n T tn ≥22267,n n tn ∴++≥227613527,77t n n n ⎛⎫∴≤++=++ ⎪⎝⎭ 2.t ∴≤n ()cos 11n π+=-()()123557799112123n c c c n n +++=⨯-⨯+⨯-⨯+-+⨯+()2459132126.n n n =-⨯+++++=--2,n T tn ≥22626,2,n n tn t n∴--≥∴≤-- 5.t ∴≤- 5.t ≤-。