高中数学数列中的恒成立

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高中数学恒成立问题

高中数学恒成立问题高中数学中，不等式恒成立问题涉及参数和变量，常与函数、数列、方程、几何等有机结合，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点。

考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围。

解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决。

一种最重要的思想方法是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题。

在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了。

已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数。

例如，对于已知不等式，可以设，从而推导出，进而证明不等式恒成立。

又如，对于不等式，可以转换为一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件。

另一种方法是分离参数法，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法。

例如，对于已知函数的问题，可以将待求的参数分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题。

还有一种方法是数形结合法，当不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围。

例如，对于已知函数的问题，可以在同一个平面直角坐标系中分别作出函数的图象，通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围。

总之，解决不等式恒成立问题的关键是转化化归，通过构造函数、分离参数、数形结合等方法，将问题转化为易于求解的形式，从而得到正确的解答。

本文介绍了解决不等式问题的三种方法：数学归纳法、数形结合法和最值法。

其中，数学归纳法适用于一些特殊的不等式问题，数形结合法需要结合函数图像来确定参数的范围，最值法则可以直接求出函数的最值来解决问题。

通过例题的讲解，读者可以更好地理解这三种方法的具体应用。

解答恒成立问题的常规思路

知识导航恒成立问题在近几年的高考数学试题中占据了一席之地，是同学们需要重视并学习的重点内容.恒成立问题是一类综合性较强的问题，常与不等式、函数、导数、数列等知识相结合，重点考查了同学们分析、解决问题的能力.本文重点介绍三种常见的求解思路.一、分离参数分离参数法是解答含参恒成立问题的基本方法，主要通过变形把不等式中的参数和变量分离，然后运用导数法、函数的单调性等求得不含参数式子的最值，进而构造出满足不等式恒成立的条件，使问题获解.例1.已知函数f()x=ln x-a x，若f()x<x2在()1,+∞上恒成立，求a的取值范围.解：∵ln x-a x<x2，x>0，∴a>x ln x-x3，令g()x=x ln x-x3，则g'()x=1+ln x-3x2，令h()x=g'()x=1+ln x-3x2，∴h'()x=1x-6x=1-6x2x，∵h()x在[)1,+∞单调递减，h()x<h()1=-2，即g'()x<0，∴g()x在[)1,+∞单调递减，g()x<g()1=-1，∴a≥g()1=-1，f()x<x2在()1,+∞上恒成立时，a≥-1.解答本题的基本思路是，首先将不等式变形，使参数分离，然后对不含有参数的式子进行求导，通过分析其导函数的正负来讨论函数的单调性，进而求得不含有参数式子的最值，得到a的取值范围.二、数形结合数形结合法是解答恒成立问题的重要方法.在解题时，需首先将不等式变形，构造出一个或者两个简单的基本函数，然后绘制出函数的图象，通过分析函数的图象找出临界的位置关系，从而建立使不等式恒成立的关系式，使问题得解.在解答恒成立问题时灵活运用数形结合法，能快速找到解题的思路，显著提升解题的效率.例2.若存在正数x使2x(x-a)<1成立，则a的取值范围是.解：不等式2x(x-a)<1可变形为x-a<(12)x.在同一平面直角坐标系内作出直线y=x-a与y=(12)x的图象.由题意可得，在(0，+∞)上，直线有一部分在曲线的下方．由图象可知-a<1，所以a>-1.运用数形结合法能使解题过程变得更加直观、简洁，是求解恒成立问题经常采取的方法之一.在运用数形结合法解题时还应注意正确绘制函数的图象.三、利用函数的单调性虽然恒成立问题较为复杂，但我们可以结合不等式的结构特点构造合适的函数，将问题转化为函数问题，再讨论函数的单调性，建立使不等式恒成立的关系式，从而解题.我们可以利用函数单调性的定义，也可以利用导数来讨论函数的单调性.例3.已知函数f(x)=1-22x+1为奇函数.若对任意的t∈R，不等式f[t2-(m-2)t]+f(t2-m+1)>0恒成立，求实数m的取值范围．解：设任意x1，x2∈R，且x1<x2，∴f(x1)-f(x2)=1-22x1+1-1+22x2+1=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1).∵x1<x2，∴2x1-2x2<0，(2x1+1)(2x2+1)>0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)为R上的单调递增函数．∵f(x)=1-22x+1为奇函数，且在R上为增函数，由f[t2-(m-2)t]+f(t2-m+1)>0恒成立可得f[t2-(m-2)t]>-f(t2-m+1)=f(m-t2-1)，化简得2t2-(m-2)t-m+1>0，∴Δ=(m-2)2+8(m-1)<0，解得-2-22<m<-2+22，∴m的取值范围为(-2-22，-2+22)．本题主要是利用函数单调性的定义来确定函数的单调性，然后利用函数的单调性建立关于t的不等式，再利用方程的判别式建立关于m的不等式，求得m的取值范围.解答恒成立问题的方法还有很多，如函数最值法、判别式法、导数法等，而以上三种方法是解答恒成立问题的常用方法.无论运用上述哪种方法解题，同学们都要注意首先将不等式合理进行变形，构造适当的函数模型，灵活运用导数、不等式、函数等知识，以及转化思想、数形结合思想解题.（作者单位:江苏省江阴市第一中学）37。

恒成立问题的几种常见解法

遗传学是生物学科主干知识的重要部分特别是有关孟德尔遗传定律和伴性遗传的知识是历年也必将是今后高考命题的热点和重点关于这一方面的遗传实验设计实验分析的题目由于可很好地考查学生的理解能力综合分析应用能力和语言表达能力因此在近几年的高考试题中时常出现
恒成立问题的几种常见解法
张月欣
－
ａｘ＋ｘ＋１对ｘ ∈ Ｒ恒成立ｊ（１）ａ＝０不成立（２）｛０
≥
．
，
、
ｆａ＞－０４ａ≤ ０
１
围为ｆｘｌ一二 ≤ｘ ≤３１．
２
变形４：已知函￣ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ．（ａｘ ‘ ＋ｘ＋１）的定义域为Ｒ，求ａ的取值范围．总结：上述经过转化可以转化为题型二或题型三解决．转化二：已知函数的单调区间，求参数的范围．
ａ
｛ａ △ ＞０ ≤ ０ａ ≤ 一３，综上所述，ａ的取值范围为｛ａｌａ ≤ 一３｝．
变形５：已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ一３ｘ ‘ 十ａ）【，在ｘ∈［一１，２］上单调递增，求ａ的取值范围．解：ｆ（ｘ）＝ｘＳ－３ｘ：＋ａｘ￣ｘ ∈Ｅ－１２］上单调递增
要观察变量情况，灵活应对不同情况，做到可以随时转化变量。千万不能钻牛角尖．题型二：二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｈｘ＋ｃ对ｘ ∈Ｒ恒成立问题．

高中数学恒成立问题(教师)

..n b +证明：当2(1cos=+22 4.a =,2n n+ 4132n n+++ 1122n n n++-11122n n n +=--2.()(2≠++=a c bx ax x f 1. （1）若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2 三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a 的取值范围.3. 求与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点的最大圆C 的方程.4. 设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B =<<≠∅，求实数a 的取值范围.)0()(2≠++=a c b x a x x fB ≠∅⇔ (2) 当0a >时{x x x >B ≠∅⇔21a +3<⇒于是,实数a 的取值范围是)6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭解法二:(1) 当0a <时象的对称轴2.a ⇒<-6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭学会用函数和变量来思考()f x 是奇函数上单调递增。

解：()f x m ≤]1,1-恒成立，即max 1am f +≥，max f f =220am m -+≥在[1,1-又4a > 0≥ 6∴-4a -≤≤⑶当22a->又4a <- 总上所述，-⑶解法一：分析：题目中要证明上恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间0在[]2,2-()lg(f x =又1a b >>}0>()lg(xf x a b =-b(f x '∴)x 在()0,+∞上单调递增上单调递增，∴。

高中数学中的恒成立问题

高中数学小课题——高中数学中的恒成立问题四川省宣汉县第二中学杜林课题论点：恒成立数学问题是有一定的难度、综合性强的题型。

下面从函数定义域不等式立体几何数列四大类中恒成立题型作具体剖析，以提高我们分析数学问题解决数学理论和实际应用题的能力；实际上有的恒成立是对所有实数成立，而有的针对一定义范围内都成立或者某种限制条件下都成立；解决恒成立题型能启发人们高瞻远瞩地看待问题。

数学课本中的公理定理推论公式等都可作为恒成立的结论：一次函数图象经过了一二三象限的则不会过第四象限，过了一二四象限的图象则不会过第三象限；二次函数图象开口向下时，则函数值在顶点处取最大值，开口向上时，在对称轴的右面呈递增的特性；奇函数都有f(0)=0成立（f(x)在x=0有定义）；│f(x)│≥0在定义域内恒成立；指数函数的值恒为正；周期函数从任一起点的一个周期内的图象截下沿X轴依次存放则成整个定义域内的图象；等比数列相邻相同项数的和与积都成等比数列；立体几何图形中的面积和体积不变问题等等。

具体来说有下面的恒成立题型。

一、定义域中恒成立案例1 如若函数f(x的定义域为R,则a的取值范围是什么？(2007年高考)解：∵f(x x∈R，∴222x ax a--≥1恒成立,即x2-2ax-a≥0恒成立,∴△≤0即(2a)2-4×(-a) ≤0,解得-1≤a≤0.案例2 已知：a > 1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈［a,2a］,都有y∈［a,a2］满足方程log a x+log a y=c,求a的取值的集合为什么？ (2008年高考)解：∵log a x+log a y=c,∴y=cax.∵a > 1, ∴y=ca x在x ∈［a,2a ］上递减，∴y max =c a a=a c-1,y min =2ca a =12a c-1,∵log a 2+2≤c ≤3时，而c 值只有1个， ∴c=3,即log a 2=1,有a=2. ∴a 的取值的集合为：{2}注：对于定义域问题，要注重各个基本函数的定义域条件，实际上是比较基础的，主要是认出题目反映出来的是哪个基本函数。

高中数学恒成立问题教案

高中数学恒成立问题教案
一、教学目标：
1. 理解恒成立问题的概念，并能够应用相关方法解决问题。

2. 掌握常见的恒成立问题解题技巧。

3. 提高分析问题和推理能力。

二、教学内容：
1. 恒成立问题的定义和性质。

2. 常见的恒成立问题的解法。

3. 实际问题中的恒成立问题应用。

三、教学重点：
1. 恒成立问题的理解和应用。

2. 常见恒成立问题的解法。

四、教学难点：
1. 理解恒成立问题的本质。

2. 能够灵活应用解题方法。

五、教学过程：
1. 概念引入（5分钟）：
教师简要介绍恒成立问题的概念和意义，引发学生的兴趣。

2. 例题讲解（15分钟）：
解释一个常见的恒成立问题，并指导学生解题思路和方法。

3. 学生练习（20分钟）：
让学生在教师的指导下，自行解决一些恒成立问题，并在课堂上相互讨论、交流解题思路。

4. 拓展练习（15分钟）：
提供一些更具挑战性的恒成立问题，让学生在课后自行解决。

5. 总结（5分钟）：
回顾本节课学习的内容，强调恒成立问题在数学分析中的重要性。

六、作业：
完成拓展练习题，并写一篇关于恒成立问题的小结。

七、教学反思：
本教案注重引导学生理解恒成立问题的本质，并通过实例讲解和练习巩固学习成果。

同时，引导学生在解题过程中思考，提高解决实际问题的能力。

数学高考复习中恒成立问题及解题策略

数学高考复习中恒成立问题及解题策略
数学高考复习中常见的恒成立问题包括：三角函数、平面几何、立体几何、数列等方面的常见恒等式是否成立。

解决这些问题需要
我们掌握以下策略：
1. 掌握基本定义。

了解三角函数、平面几何、立体几何、数列
等基本定义，理解它们的概念和性质，这是解决恒成立问题的前提。

2. 理解证明步骤。

对于一些基本的恒等式，如三角函数的基本
恒等式、半角公式等，需要深入理解其证明步骤，这样能解决很多
基本的恒成立问题。

3. 对比特殊情况。

对于一些复杂的恒等式，可以考虑先验证一
些特殊情况，如取特殊的几个值来代入验证，这样可以对恒等式是
否成立有一个大致的判断。

4. 利用常见定理。

多运用常见的几何定理或性质的结论，如勾
股定理、中线定理、垂直平分线定理等，也可以用对等三角形、相
似比、余弦、正弦等基本知识来解决。

5. 探索新的思路。

对于一些比较难的恒等式，可以多思考，开
拓思路，寻找新的解题方法，这样可以解决不同的问题，丰富解题
经验。

总之，解决恒成立问题需要我们理解基本定义和证明步骤，利
用特殊情况和常见定理，同时具有创新和探索的精神。

(完整)高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结,推荐文档

恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。

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高中数学数列中的恒成立
恒成立问题，我们经常看到的是出现在函数中，导数中，一类重点题型，我们通常使用的方法是“参变分离”，“分类讨论”，其实恒成立在数列中同样存在恒成立，使用的方法大同小异，今天我们一起走进数列中的恒成立。

1
利用数列的单调性求解恒成立
2
参变分离法
3
函数与数列的结合（难点题型）
此类问题一般是先利用导数证明一个不等式，再通过赋值与叠加证明数列不等式。