校级：高考数学试题导数内容探究
高考数学试题导数内容探究
现代中学数学组陈永生
导数是研究函数的工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值；以导数为工具，通过观察、分析三次函数图像的变化趋势，寻找临界状况，并以此为出发点进行推测、论证，实现对考生创造能力的考查是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商知识结合起来，以解答题形式综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。
《课程标准》中导数的内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从新课程高考分析，对导数的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值；第三层次是综合考查,包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。本文以高考试题为例，谈谈高考导数的热点问题，供鉴赏。
一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集
）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。
例、已知函数
.
(1)设
，求函数
的极值；
(2)若
，且当
时，
12a恒成立，试确定
的取值范围.
解：（Ⅰ）当a=1时，对函数
求导数，得
令
列表讨论
的变化情况：
（-1，3） 3
+ 0 —0 +
极大值6 极小值-26 所以，
的极大值是
，极小值是
（Ⅱ）
的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.
若
上是增函数，从而
上的最小值是
最大值是
由
于是有
由
所以
若a>1,则
不恒成立.
所以使
恒成立的a的取值范围是
二、函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决极值，极值点、最值等问题，这类问题常常涉及求函数解析式、求参数值或取值范围问题。解决极值，极值点问题转化为研究函数的单调性；参数的取值范围转化为解不等式的问题；有时需要借助于方程的理论来解决。从而达到考查函数与方程、分类与整合的数学思想。
例已知函数
恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是
（Ⅰ）求函数
的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数
的极大值M和极小值m，并求
时k的取值范围.
解（I）
∵
是函数
的一个极值点，
∴
即得
∵
∴
由此可知
，
，即
，由
此方程的一个根为
，另一个根由韦达定理容易计算为
或
∴函数
的另一个极值点为
（或
）
（II）由（I）知
，现画一个函数图帮助理解，
∵
且
，则图象如图所示，
∴
或
，
1 当
，即
时，当
或
时，
当
时，
上是增函数，在
上是减函数，
∴
，
又
，∴
，即
，解之得
满足。
②当
，即
时，当
或
时，
当
时，
∴
上是减函数，在
上是增函数，
∴
，又
，∴
，
即
，解之得
或
，结合
，∴
综上可知，所求k的取值范围为
三、函数，导数，方程，不等式综合在一起，利用导数的几何意义，解决求函数的解析式、参数值、极值、切线方程，单调性及切线方程有关的问题，此类问题求单调性的过程就是解一元二次不等式和高次不等式的问题。从而达到考查化归与转化的数学思想。
例：已知函数
,且
(1) 试用含
的代数式表示b,并求
的单调区间；
（2）令
,设函数
在
处取得极值，记点M (
,
)，N(
,
)，P(
),
,请仔细观察曲线
在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I）若对任意的m
(
, x
)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
解(Ⅰ)依题意,得
由
.
从而
令
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
①当a>1时,
当x变化时，
与
的变化情况如下表：
x
+ －+
单调递增单调递减单调递增由此得，函数
的单调增区间为
和
，单调减区间为
。
②当
时，
此时有
恒成立，且仅在
处
，故函数
的单调增区间为R
③当
时，
同理可得，函数
的单调增区间为
，单调减区间为
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
综上：
当
时，函数
的单调增区间为
和
，单调减区间为
；
当
时，函数
的单调增区间为R；
当
时，函数
的单调增区间为
和
，单调减区间为
（2）由
得
，令
，得
由（1）得的
单调增区间为
和
，单调减区间为
，所以函数在处取得极值。故M(
).N(
)
(Ⅰ) 直线MP的方程为
由
得
线段MP与曲线
有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数
上有零点.
因为函数
为三次函数,所以
至多有三个零点,两个极值点.
又
.因此,
在
上有零点等价于
在
内恰有一个极大值点和一个极小值点,即
内有两不相等的实数根.
等价于
即
又因为
,所以m 的取值范围为(2,3)
从而满足题设条件的r的最小值为2.
四、函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决极值，最值等问题。求极值的过程就是讨论函数单调性及解含参数的不等式问题；通过构造函数，以导数为工具，证明不等式，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。
例：已知函数
的导函数的图象关于直线x=2对称.
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若
在
处取得最小值，记此极小值为
，求
的定义域和值域。
解: （Ⅰ）
.因为函数
的图象关于直线x=2对称，
所以
，于是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
.
（ⅰ）当c
12时，
，此时
无极值。
（ii）当c<12时，
有两个互异实根
,
.不妨设
＜
，则
＜2＜
.
当x＜
时，
，
在区间
内为增函数； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当
＜x＜
时，
，
在区间
内为减函数;
当
时，
，
在区间
内为增函数.
所以
在
处取极大值，在
处取极小值.
因此，当且仅当
时，函数
在
处存在唯一极小值，所以
.
于是
的定义域为
.由
得
.
于是
.
当
时，
所以函数
在区间
内是减函数，故
的值域为
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
五、函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决求参数值、单调性问题；用导数探讨函数图像的交点，从而达到求解参数的取值范围和解决有关证明问题，常常借助极值的分布特征，再结合函数单调性，函数的零点值、端点值，画出原函数的草图来解决。值得强调的是：必须考虑函数的定义域，从而达到考查数形结合的思想
例：设函数
．
（1）对于任意实数
，
恒成立，求
的最大值；
（2）若方程
有且仅有一个实根，求
的取值范围．
解：(1)
,
因为
,
, 即
恒成立,
所以
, 得
，即
的最大值为
(2) 因为当
时,
;当
时,
;当
时,
;
所以当
时,
取极大值