材料力学09(第十一章 压杆稳定问题)分析
材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
材料力学压杆稳定分析
第九章压杆稳定9-1由五根圆截面钢杆组成的正方形平面桁架，杆的直径均为d＝40mm，材料的弹性模量E=200GPa, a=1m，试求使结构到达临界状态时的最小荷载。
如F力向里作用，则最小荷载又是多少？答：F t=124kN, F c=350.2kNF题 9 - 1 图解：当F的杆受压由静力学平衡方程可知该杆所受压力为F29422200100.04124 ()124crt crEIF kNlF F kNπππμ⨯⨯⨯⨯===∴==当F为压力时，长为a的杆受压由静力学平衡方程可知该杆所受压力为2F294222200100.0464248 ()(11)2482350.7crccEIF kNlF kNF kNπππμ⨯⨯⨯⨯===⨯=∴=9-2 如图所示细长杆，试判断哪段杆首先失稳。
答：（d）解：0.5μ=a0.7μ=b0.7μ=c2μ=d22()πμμμμμ=>=>crd c b aEIFlcrd F ∴最小∴d 杆最容易失稳9-3 试求图示压杆的临界力，材料是HPB235。
答：F cr=19.7kN题 9 - 3 图30X30X 4解：一端为自由端，一端为固定端，则2μ=22()cr EI F l πμ=查表可知：840840 2.92100.7710x y I m I m--=⨯=⨯因为最容易失稳的方向是惯性矩最小的方向 所以8400.7710y II m -==⨯2982210100.771019.7(20.45)crF kN π-⨯⨯⨯⨯∴==⨯9-4两端为球铰的压杆的横截面为图示各种不同形状时，压杆会在哪个平面内失稳（即失稳时，横截面绕哪根轴转动）？F题 9 - 4 图答：最易失稳方向即惯性矩最小方向，也即形心主惯性轴方向对于圆来说，各个方向的的惯性矩都相同，所以各个方向失稳容易程度相同 对于正方形： 对于长方形：对于等边三角形： 对于等腰三角形：对于工字钢： 不等边角钢： 等边角钢：9-5 在图示结构中，AB 为圆截面杆，直径d =80mm, BC 杆为长方形截面，边长为60mm ×40mm ，两杆材料均为钢材，它们可以各自独立发生弯曲而互不影响。
材料力学压杆稳定
材料力学压杆稳定材料力学是研究物质内部力的作用和变形规律的一门学科。
在材料力学中，压杆稳定是一个重要的概念，它涉及到杆件在受压作用下的稳定性问题。
本文将围绕材料力学中的压杆稳定问题展开讨论，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们需要了解什么是压杆稳定。
在材料力学中，压杆稳定是指杆件在受到压力作用时不会发生失稳现象，保持原有形状和结构的能力。
对于一个长细杆件来说，当受到外部压力作用时，如果其稳定性不足，就会出现侧向挠曲或屈曲等失稳现象，这将导致结构的破坏。
因此，压杆稳定是材料力学中一个至关重要的问题。
接下来，我们将从材料的选择、截面形状和支撑条件等方面来探讨如何提高压杆的稳定性。
首先，材料的选择对于压杆稳定至关重要。
一般来说，高强度、高刚度的材料更有利于提高压杆的稳定性。
此外，材料的表面质量和加工工艺也会对压杆的稳定性产生影响，因此在实际工程中需要对材料的选择和加工过程进行严格控制。
其次，截面形状也是影响压杆稳定性的重要因素。
通常情况下，圆形截面是最有利于抵抗压力的，因为圆形截面能够均匀分布受力，减小局部应力集中的可能性。
相比之下，矩形或其他非圆形截面的压杆在受到压力作用时往往稳定性较差，容易发生失稳现象。
最后，支撑条件也是影响压杆稳定性的关键因素之一。
压杆的支撑条件直接影响其在受力时的变形和稳定性。
合理的支撑设计能够有效地提高压杆的稳定性，减小失稳的可能性。
综上所述，材料力学中的压杆稳定是一个复杂而重要的问题，需要综合考虑材料的选择、截面形状和支撑条件等因素。
只有在这些方面都做到合理设计和严格控制，才能保证压杆在受力时不会发生失稳现象，从而确保结构的安全可靠。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握材料力学中压杆稳定的相关知识，为工程实践提供一定的参考价值。
同时，也希望读者能够在实际工程中注重压杆稳定性的设计和控制，确保结构的安全可靠。
《材料力学》课程思政建设在压杆稳定问题中的应用
材料力学是工程领域的一门重要课程，其在思政建设中有着重要的应用价值。
在材料力学课程中，压杆稳定问题是一个重要的课题，它涉及到材料的稳定性和强度，对工程结构的设计和安全有着重要的影响。
本文将结合材料力学课程和思政建设，探讨压杆稳定问题在思政建设中的应用，以及对学生思想品德的影响。
一、压杆稳定问题在材料力学课程中的重要性1.压杆稳定问题的概念压杆稳定问题是材料力学课程中的一个重要概念，它主要研究杆件在受压条件下的稳定性和强度问题。
在工程实践中，很多结构都需要承受压力，而压杆稳定问题的研究可以帮助工程师设计出更加稳定和安全的结构。
2.影响因素压杆稳定问题的研究涉及到材料的性质、杆件的几何形状、受力条件等多个因素，对材料力学课程的学习者提出了较高的要求，需要他们具备较好的数学基础和物理学知识。
3.工程应用压杆稳定问题的研究对工程领域有着重要的应用价值，可以帮助工程师设计出更加稳定和安全的结构，保障工程的施工和使用安全。
二、思政建设中对压杆稳定问题的应用1.培养学生的责任感在思政建设中，可以借助压杆稳定问题引导学生树立正确的责任感。
压杆稳定问题的研究需要学生具备严谨的态度和细心的品质，只有这样才能够保证工程结构的安全。
通过引导学生深入学习压杆稳定问题，可以培养其责任感，让其意识到自己在未来工作中所要负责的职责和使命。
2.强化学生的安全意识压杆稳定问题的研究直接关系到工程结构的安全，可以借助此问题引导学生加强安全意识。
在思政建设中，可以通过讲解真实案例和历史事故，让学生深刻理解工程安全的重要性，强化其安全意识，使其将安全放在工作的首位。
3.提升学生的综合素质通过学习压杆稳定问题，可以培养学生的综合素质。
压杆稳定问题需要学生具备较好的数学基础和物理学知识，同时也需要他们具备较好的逻辑思维能力和分析问题的能力。
通过对压杆稳定问题的研究，可以提升学生的综合素质，增强其解决实际问题的能力。
三、材料力学课程思政建设的实施路径1.设计符合学生认知规律的教学内容在思政建设中，教学内容的设计非常重要。
材料力学
压杆的稳定条件(安全系数法)
F
F cr
n st
[Fst ]
n st ——稳定安全因数
F ——工作压力
[ Fst ] ——稳定许用压力
— [ st ]
材料力学
cr
n st
[st ]
——稳定许用应力
F A
工作应力
压杆稳定问题/压杆的稳定计算
压杆的稳定条件
n nst
— n Fcr cr
工作安全因数
F
2、由杆AC的强度条件确定 Fmax 。
1
FN1 A1
s ns
FN 2
A
F s A1 26.7KN
2ns
3、由杆AB的稳定条件确定 Fmax 。
材料力学
n
Fcr FN 2
nst
柔度: l2 1 0.6 80 i2 d2 / 4
0 < p 可用直线公式.
因此
FcrcrA2 (ab)A2 (30 1.4 1 2 8)0 160 4d22
（中柔度杆）
(p s)
粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服(< 0)
（小柔度杆，按强度问题处理cr＝ s (b)）
材料力学
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
中长杆临界应力的经验公式
1） 直线公式
crab
a、b是与材料有关的常数。
直线公式的适用范围： 0 < p
ps
0
as
b
临界应力总图——临界应力随柔度变化的曲线
材料力学
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
三、中、小柔度杆的临界应力
材料力学
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
1、问题的提出
材料力学-第十一章-压杆稳定
＝
π2
×
206 52
×109
×
π
×
160 ×10-3 64
4
= 2.6 ×106 N = 2.60 ×103 kN
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ，确定两根杆的临 界载荷
对于两端固定的压杆，就有
F
d2w + k2w = 0 k2 = F
dx 2
EI
M
F
F
w
微分方程的解: w =Asinkx + Bcoskx
边界条件:=x 0= , w 0 :
B=0
=x l= , w 0 :
Asin kl = 0
系数A，B不能全为0：sin kl = 0
= kl nπ , =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
k=2
F n2π 2
EI l2
屈曲位移函数： w = Asin nπ x l
弯曲幅值A取决于弯曲程度，与压力F有关。
分叉点 F
Fcr
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
压杆稳定平衡路径
F
平衡路径
F<Fcr 时，直线平衡态为稳定且唯一的
平衡路径
F>Fcr 时，直线平衡态不稳定，一旦有 扰动，杆将转为弯曲平衡态
=
, =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
EI l2
临界载荷： F=cr
n2π 2EI , =n
l2
1, 2,⋅ ⋅ ⋅
最小临界载荷：
Fcr
=
π 2EI
l2
材料力学09第十一章 压杆稳定问题
Fcr Fcr min
EI
2
l2
理想中心压杆的欧拉临界力
M(x)= Fcr(-w) =-Fcrw
EIw ' ' M ( x) Fcr w
x Fcr
A
Fcr 2 k 令 EI
w' ' k 2 w 0
与前面获得的结果相同。
w
w l 2 x
2）计算许可载荷[P]
1.5 y 0 : [ P ] P 2 0 [ P] 2.82( KN)
BC cr
§11-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
1. 欧拉公式的应用范围
欧拉临界应力
I 2 EI 2 i Fcr 2 ( l ) A 2 2 2 E E EI Fcr cr 2 ( l ) A ( l ) 2 A ( l ) 2 A
约束越弱，μ系数越大， 临界力Fcr越低，稳定性越差。
其他支座条件下细长压杆的临界压力
由于边界条件不同，则：
2 EI Fcr ( l ) 2
I：最小惯性矩
称为长度系数。
一端固定一端自由：
2
1
两端铰支：
一端铰支一端固定：
临界应力
cr
Fcr A
0.7 0.5
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯 一的平衡状态；
稳定：
理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）
直线平衡状态；
失稳（屈曲）：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 线平衡状态； 临界力 压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值
第11章 压杆稳定性问题
相等，则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件）
h
动脑又动笔
解： 一端固定，一端自由，长度因数 μ=2 在应用欧拉公式时，截面的惯性
矩应取较小的I 值。
Iy 1 3 1 hb 90 403 mm 4 48 104 mm 4 12 12
b
F
l
1 3 1 I z bh 40 903 mm 4 243 104 mm 4 12 12
理解长细比、临界应力和临界应力总图的概念，熟 悉各类压杆的失效形式。
§11–1 压杆稳定性的基本概念
① 强度 衡量构件承载能力的指标 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 可靠地工作。 杆件在各种基本变形下的强度和刚度问题在前述各章节中 已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上， 杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。
屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
F F EI L
M d2w 2 EI dx
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
一、两端铰支压杆的临界力
多大的轴向压力才会使压杆失稳？
d2w EI 2 Fw 0 dx
y
M EI x w L
记
F
k2
F EI
F
F
x
d2w 2 k w0 2 dx
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
三、临界应力总图
cr
S
P
cr s
cr a b
2E cr 2
粗短杆 s
s s a
b
中长杆
P
细长杆
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M(x)=Fcrw
EIw ' ' M ( x) Fcr w
x
Fcr 2 k 令 EI
Fcr
w' ' k 2 w 0
w A sin kx B cos kx
w
A
当x=0时， w=0。
Fcr （+） M (x)= Fcrw
w l 2 x
0 A 0 B cos kx
EI Fcr ( l ) 2
2
μ称为长度系数。 约束越强，μ系数越小， 临界力Fcr越高，稳定性越好；
约束越弱，μ系数越大， 临界力Fcr越低，稳定性越差。
其他支座条件下细长压杆的临界压力
由于边界条件不同，则：
2 EI Fcr ( l ) 2
I：最小惯性矩
称为长度系数。
一端固定一端自由：
I 2 EI 2 i Fcr 2 ( l ) A 2 2 2 E E EI Fcr cr 2 ( l ) A ( l ) 2 A ( l ) 2 A
I i
l
i
2E cr 2
λ称为柔度或细长比， 无量纲。
2E cr 2
理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）
直线平衡状态；
失稳（屈曲）：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 线平衡状态； 临界力 压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值
三、细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
思路： 假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态 若： 然后设法去求挠曲函数。 平衡，
1）求得的挠曲函数≡0， 说明只有直线 平衡状态； 2）求得不为零的挠曲函数，说明压杆的 确能够在曲线状态下平衡，即出现失 稳现象。
P
当：i） p
cr 2 E 2
2E , P
细长杆，大柔度杆
a s , ii） p o b
中长杆，中柔度杆
cr a b
iii） o
cr s
粗短杆，小柔度杆
2. 压杆的临界应力总图
•临界应力总图——临界应力（或极限应力）随柔 度变化的曲线
解： 1）计算压杆BC的临界力
BC Pcr
2 EI
L2 3.76(KN)
2）计算许可载荷[P]
1.5 y 0 : [ P ] P 2 0 [ P] 2.82( KN)
BC cr
§11-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
1. 欧拉公式的应用范围
欧拉临界应力
l l 2 x
x
B y
B y (b)
w A sin kx 0
失稳!!!
(a)
失稳的条件是： sin kl 0
kl n
Fcr l n EI
n 2 2 EI Fcr 2 l
Fcr Fcr min
EI
2
l2
理想中心压杆的欧拉临界力
M(x)= Fcr(-w) =-Fcrw
得：B=0，
l
B y
B y (b)
x
w A sin kx
(a)
w A sin kx 又当x=l时， w=0。 得 Asin kl = 0 要使上式成立，
x
Fcr A
1）A=0
w=0；
代表了压杆的直线平衡状态。 2） sin kl = 0
w Fcr w
M (x)= Fcrw
此时A可以不为零。
cr cu cu
p
cr a b
2E cr 2
0
小柔度杆 中柔度杆
p
大柔度杆
例：
1.分析下列两根 大柔度压杆哪 一根杆的临界 载荷比较大；
2.已知：两根压杆 d =160 mm、 E =206 GPa , 求：二杆的 临界载荷
1.分析哪一根压杆的临界载荷比较大
二者都属于细长杆，采用欧拉公式
E Pcr 2 A
2
Pcr cr A cr
l
i 20 a d
i
E 2
2
I d A 4
18 b d
P cr , a P cr ,b
2.已知： d =160 mm， A3钢， E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷.
首先计算柔度，判断属于 哪一类压杆：
20 20 a 125 d 0.16 18 18 b 112 .5 d 0.16 A3钢 p=100
第十一章
压杆稳定
§11-1 压杆稳定性的概念
稳定 失稳 理想中心压杆： 1. 直杆（无初曲率）, 2. 压力无偏心。 事物保持常态。 事物无法保持常态。
二、压杆稳定的概念
1、概念：
（1）压杆的稳定性— 压杆保持直线平衡状态的能力。 （2）丧失稳定—— 压杆不能保持直线平衡状态而发 生的破坏。（简称失稳）
Fห้องสมุดไป่ตู้
F（较小） F（较小）
F（特殊值） F（特殊值）
Q Q
轴压 直线平衡
压弯 曲线平衡
恢复 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯 一的平衡状态；
稳定：
EIw ' ' M ( x) Fcr w
x Fcr
A
Fcr 2 k 令 EI
w' ' k 2 w 0
与前面获得的结果相同。
w
w l 2 x
Fcr （+） M (x)= Fcrw x
挠曲函数与采用的坐标 系或规定弯矩的符号无关。
l B y (c)
y
B (d)
§11-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度系数
l
i
1) 柔度λ中包含了除材料之外压杆的所有信息，是 压杆本身的一个力学性能指标； 2) 柔度越大， 压杆越细柔，临界应力Fcr越低，稳定
性越差。
2E cr 2 P
2E E P P P
λP仅与材料有关。 对于Q235钢λP＝100。
可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：
2
1
两端铰支：
一端铰支一端固定：
临界应力
cr
Fcr A
0.7 0.5
两端固定：
EI Pcr 2 l
2
其它约束（支承）细长压杆的临界力
例1、图示三角架结构，BC杆为细长压杆，已知：AC=1.5m， BC=2m，d=2cm，E=200GPa，求不会使刚架失稳的载荷P。