专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有问题详解)

专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

【典型题目练习】1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q ，质量为m，速度为v 的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）A ．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D ．只要速度满足v qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上m2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6m ，宽ab=0.3m ，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场）-7磁感应强度B= 0.25T。

一群不计重力、质量m=3×10-7kg 、电荷量-3 2q=+2 ×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3．如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为 a 的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a 的上方和直线x=2a 的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+ q（q>0）的粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x 轴方向时，粒子恰好从O1 点正上方的 A 点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度 B 的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y 轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x 轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。

4．如图所示的直角坐标系中，从直线x=-2l0到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。

在电场左边界从A（- 2l0，- l0）点到C（- 2l0，0）点区域内，连续分布着电量为+q、质量为m 的粒子。

从某时刻起， A 点到 C 点间的粒子依次连续以相同速度v0 沿x 轴正方向射入电场。

从A点射入的粒子恰好从y 轴上的A （0，- l0）点沿沿x 轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。

不计粒子的重力及它们间的相互作用。

（1）求从AC 间入射的粒子穿越电场区域的时间t 和匀强电场的电场强度 E 的大小。

2）求在A、 C 间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x 轴正方向运动？（3）为便于收集沿x 轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x=2l 0上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，使得沿x 轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x=2l0 与圆形磁场边界的一个交点。

则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度 B 是多大？5．如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m 的圆形磁场区域，磁感应强度B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x 轴、y 轴相切，切点分别为A、C；第四象限中，由y 轴、抛物线FG（y 10x2 x 0.025，单位：m）和直线DH（y x 0.425 ，单位：m）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E=2.5N/C 的匀强电场；以及直线DH 右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T。

现有大量质量m=1×10-6 kg（重力不计），电量大小为q=2×10-4 C，速率均为20m/s 的带负电的粒子从A 处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y 轴夹角在0 至1800之间。

（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；（2）试证明这些粒子经过x 轴时速度方向均与x 轴垂直；（3）通过计算说明这些粒子会经过y 轴上的同一点，并求出该点坐标。

6．如图所示，真空中一平面直角坐标系 xOy 内，存在着两个边长为 L 的正方形匀强电场区域Ⅰ、Ⅱ和两个直径为 L 的圆形磁场区域Ⅲ、Ⅳ。

电场的场强大小均为 E ，区域Ⅰ的场强方 向沿 x 轴正方向，其下边界在 x 轴上，右边界刚好与区域Ⅱ的边界相切；区域Ⅱ的场强方向 沿 y 轴正方向， 其上边界在 x 轴上， 左边界刚好与刚好与区域Ⅳ的边界相切。

磁场的磁感应 0， L ）、磁场方向垂直于 xOy 平面向外；2区域Ⅳ的圆心坐标为（ 0， L 2 ）、磁场方向垂直于 xOy 平面向里。

两个质量均为 m 、电荷量 均为 q 的带正电粒子 M 、N ，在外力约束下静止在坐标为 （ 3L ，L ）、（ 3L，2 3L ） 2 2 2 4 的两点。

在 x 轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于 xOy 平 面。

将粒子 M 、N 由静止释放， 它们最终打在感光板上并立即被吸收。

不计粒子的重力。

求：1）粒子离开电场Ⅰ时的速度大小。

2）粒子 M 击中感光板的位置坐标。

3）粒子 N 在磁场中运动的时间。

7．如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心 O 1在 x 轴上， OO 1距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为 B 1。

虚线 MN 平行 x 轴且与半圆相切于 P 点。

在 MN 上方是正交的匀强电场 和匀强磁场，电场场强大小为E ，方向沿 x 轴负向，磁场磁感应强度大小为 B 2。

B 1，B 2 方向均垂直纸面，方向如图所示。

有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点 O 射入第I 象限，其中沿 x 轴正方向进入磁场的粒子经过P 点射入 MN 后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为 m ，电荷量为 q （粒子重力不计） 。

求： （1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。

（2）若撤去磁场 B 2，则经过 P 点射入电场的粒子从 y 轴出电场时的坐标。

（3）试证明：题中所有从原点 O 进入第 I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。

强度大小均为8．如图甲所示，真空中有一个半径 r=0.5m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强-3度大小 B=2.0 ×10- 3T ，方向垂直于纸面向里，在 x=r 处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽 度L=0.5m 的匀强电场区域 ,电场强度 E=1.5×103N/C ，在 x=2m 处有一垂直 x 方向的足够长的荧光屏，从 O 点处向不同方向发射出速率相同的比荷 q 1.0 109C / kg 带负电的粒子，粒 m 子的运动轨迹在纸面内。

一个速度方向沿 y 轴正方向射入磁场的粒子 M ，恰能从磁场与电场 的相切处进入电场。

不计重力及阻力的作用。

求： （1）粒子 M 进入电场时的速度。

（2）速度方向与 y 轴正方向成 30°（如图中所示）射入磁 场的粒子 N ，最后打到荧光屏上 ,画出粒子 N 的运动轨迹并 求该发光点的位置坐标。

9．如图甲所示 ,质量 m=8.0 ×10- 25kg ，电荷量 q=1.6 ×10- 15C 的带正电粒子从坐标原点 O 处沿 xOy 平面射入第一象限内，且在与 x 方向夹角大于等于 30 °的范围内，粒子射入时的速度方 向不同，但大小均为 v 0=2.0 ×107m/s 。

现在某一区域内加一垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场 磁感应强度大小 B=0.1T ，若这些粒子穿过磁场后都能射到与 当把荧光屏 MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。

（1）粒子从 y 轴穿过的范围。

（2）荧光屏上光斑的长度。

（3）打到荧光屏 MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差。

（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示） 。

y 轴平行的荧光屏 MN 上 ,并且 （ π =3.14求） ：参考答案1．当 v ⊥B 时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为匀速圆周运动； 只要速度满足 v qBR 时， 在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径 mmv 2 m R 、 T的qB qB相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上，选项 D 正确。

mv2．由 R m qB v 0.3m 知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从 Oa 入射的粒子，出射点一定在 b 点；从 Od 入射的粒子， 经过四分之一圆周后到达 be ， 由于边界无 磁场，将沿 be 做匀速直线运动到达 b 点；选项 D 正确。

3．解析：（1）当粒子速度沿 x 轴方向入射，从 A 点射出磁场时， 几何关系知： r=a ；2v mv mv由qvB m 知： Br qr qa2）从 A 点进入电场后作类平抛运动；沿水平方向做匀加速直线运动：v x 2E m q a沿竖直方向做匀速直线运动： v y =v 0；∴粒子离开第一象限时速度与3）粒子从磁场中的 P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等， OO 1PO 2 构成菱形，故粒子从 P 点的出射方向与 OO 1平行，即与 y 轴平行；轨迹如图所示； ∴粒子从 O 到 P 所对应的圆心角为 θ1=60 0，粒子从 O 到 P 用时： t 1T6 3v由几何知识可知，粒子由 P 点到 x 轴的距离 S asin 13a ；12粒子在电场中做匀变速运动的时间： t 2 2E m q v ；粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间： 2(a S) (2 3)at 3；v粒子由 P 点第 2 次进入磁场，从 Q 点射出， ＰO 1QO 3 构成菱形；由几何知识可知 Q 点 在 x 轴上，即为（ 2a ，0）点；粒子由 P 到 Q 所对应的圆心角 θ2=1200，粒子从 P 到 Q 用T 2 a t 4 T3 23v a；∴粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间：t t 1 t 2 t 3 t 4a (2 3)a 2mv。