线代08答案 线性代数试题库
2008线性代数A参考答案
2007~2008学年第二学期《线性代数》A 卷参考答案及评分标准一、单项选择（每小题2分，共20分）请将正确选项前的字母填入下表中1、2-。
2、159206915-⎛⎫⎪-⎝⎭。
3、4。
4、213/21/2-⎛⎫⎪-⎝⎭。
5、 3 。
6、3。
7、 0 。
8、2。
9、1/λ。
10、222123122344x x x x x x x ++++ 三、计算题（1、2每小题6分，其余每小题6分，共40分）1、解：212223242322A A A A +++=1222232********* ……3分122201220011001---=1=- ……6分2、解：由AX A X =+有()A E X A -=()1002001002001101200101201111120112A E A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ……4分 200120012X ⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭……6分 3、解：由225A A E O --=有()()32A E A E E -+= ……3分320A E A E -+=≠有30A E -≠ 所以3A E -可逆 ……6分 且11(3)()2A E A E --=+ ……7分4、解：()1234310111512112370122318100001397000TTTTαααα⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭……3分 ∴1234,,,αααα线性相关，1234(,,,)2R αααα=，12,αα是它的一个极大无关组，……4分且31241237, 222αααααα=-=+. ……7分5、解：矩阵A 的特征方程为0)1)(2(163530642=--=-+--=-λλλλλλA E得特征值 12321==-=λλλ ……3分当21-=λ时有⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=--00,036303306632313212121x x x x x x x x x x x 即它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，所以对应于21-=λ的全部特征向量是)0(111≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-c c ……5分当132==λλ时有 02,6306306321212121=+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=--x x x x x x x x 即它的基础解系是向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012及，所以对应于132==λλ的全部特征向量是不全为零）2121,(100012c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ……7分6、解： 22020021201002000410011201001201001A E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪⎪⎪⎪-⎛⎫=→⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……3分112012001P -⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭……6分 222123123(,,)24f x x x y y y=-+ ……7分 四、证明题（每题5分，共10分）1、证明：由 AB O = 有 12(,,,)s A X X X O = 即12(,,,)s AX AX AX O = 得i AX O = ()1,2,i s =即i X 为A X O =的s 个解 ……2分 显然12()(,,,)()s R B R X X X n R A =≤-即()()R A R B n +≤ ……3分 2、证明：()123,,3R ααα= ，()1234,,,3R αααα= 123,,ααα 线性无关 1234,,,αααα线性相关 则有 4112233m m m αααα=++ 成立 ……2分 设 112233454()0k k k k ααααα+++-=有 112233454112233()0k k k k k m m m ααααααα+++-++= 1411242234334()()()0k k m k k m k k m kαααα-+-+-+=……3分 ()1235,,,4R αααα=1235,,,αααα 线性无关则有141242343400k k m k k m k k m k -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩ 解之有 12340k k k k ==== ……4分故 12354,,,ααααα-线性无关 即12354(,,,)4R ααααα-=……5分。
线性代数2008A答案
上海财经大学成人高等教育线性代数试题参考 答案（2008A 卷）姓名 学号 专业 班级一、 单选题(每小题2分，共计10分)1. 设,A B 均为方阵，且0AB =, 则以下结论中正确的是 ( 4 ) .(1) 0AB = (2) 0,0A B == (3) 0A =或0B = (4) 0A =或0B =2. 以下矩阵中是对称矩阵的是 ( 2 ).(1) 123212025⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ (2)123204341⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (3) 123211301⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4) 111011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 以下矩阵中是初等矩阵的是 ( 2 ).(1) 100010000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ (2)100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (3) 101010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (4) 101011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4. 下列不是n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件的为 ( 1 ) .(1) 0A ≠ (2) 0A ≠ (3) ()R A n = (4) A 与单位阵E 等价5. 下列矩阵中是分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为 ( 4 ). (1) 1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ (2) 1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭(3) 1100A B--⎛⎫⎪⎝⎭(4) 1100B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭二、 填选题(每小题3分，共计30分)6. 行列式 111253_____.4259= （- 6）7. 设4阶行列式的第三行元素为1，2，3，4，其对应的余子式为4，3，2，1，则该行列式的值等于______.（ 0 ）……………………………………………………………装订线…………………………………………………8. 设A 是3阶方阵，TA 是A 的转置矩阵且 2,A =则 3____.T A =； （ 54 ）9. 设211123223,322141113A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭, 则 _____________AB =； （487731112514⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭）10．设矩阵 120340002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=__________. ； （312212210000--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭） 11. 设矩阵 200030004A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*A =__________.（*A 是A 的伴随矩阵）； （12000800012⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭） 12. 设矩阵 123024003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*1()A -=__________； （12310246003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭）13. 设矩阵 121211212112121,a a a a a A b b B b b b c c c c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且AP B =,则初等阵P _____________；（1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭） 14. 设 123(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)ααα===，则 123,,ααα的秩等于_______.；（ 2 ） 15. 设123(1,1,1),(1,3,4),(3,4,5)ααα===，则 123,,ααα的极大无关组的个数为 _____.（ 3 ）三、 计算题（共计47分)16. 求解方程:2452450245x x x++=+ (本题满分10分)解：由于311113111132245(1)024500(1)47245(1)245047x r r x xx x x x x x c c x x a A x xx r r x x ++-+--+=-+-==-++-+++则原方程即2(11)0x x += 因而原方程的解为：120,11x x ==。
全国2008年1月自学考试线性代数(经管类)试题+答案
全国2代码：04184 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列 出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后 的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A为三阶方阵且则（ D ） A.-108 B.-12 C.12 D.108 2.如果方程组有非零解,则 k=（ B ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ D ） A.AB=BA B. C. D. 4.设A为四阶矩阵，且则（ C ） A.2 B.4 C.8 D.12 5.设可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量 中只能是( B ) A.（2，1，1） B.（-3，0，2） C.（1，1，0） D.（0,-1,0） 6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s)的充分必要条件是（ C ） A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量 B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量 C. α1 ，α2， …，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出
= 22.设A=,求A. A= 23.设A=,B=,且A,B,X满足(E-BA)求X,X (E-BA) X= = X== 24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 = (1,-1,2,0)的一个极大线性无关组. α1 α2 α4 为极大无关组。 25.求非齐次方程组的通解 通解 26. 设A=,求P使为对角矩阵. = P= = 四、证明题（本大题共1小题,6分） 27.设α1，α2，α3 是齐次方程组A x =0的基础解系. 证明α1，α1+α2， α1 +α2 +α3也是Ax =0的基础解系． 略。
《2008线性代数》试卷参考答案(不完整版)
2 3 10
0
3
C1 证明：β = AZ 有解，Z0 = ⋮ ,则β = C1α1 + ⋯ + Cnαn，故（A，β）的列向 Cn 量组与 A 的列向量组等价，从而秩相等 反过来， （A，β）的列向量组与 A 的列向量组等价 故β可用α1， ⋯ ，αn线性表示 令β = C1α1 + ⋯ + Cnαn,则 Z0= C1 ⋮ 为 AZ=β的解 Cn
1 1 = (a + 2)(a − 1)2 a
当 a≠ −2, a ≠ 1 时，有唯一解； 当 a= 1时，无解； 当 a=-2 时，有无数解。 方程为-2x1+x2+x3=2，,x1+x2-2x3=4 对应齐次方程组基础解为 −1， − 1，1
T
求一特解为 x1=3，x2= 3 ，x3=0
2
10
−1 故通解为 a −1 + −1 六、证明题
n −2 n −1
n
=nn −1
1 + n +n + ⋯+ 0 0 ⋮ 0 0
n+1 2
n −1
0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 −1 −1 0
n+1 2
0 −1 ⋮ 0 0
n
−1 0 ⋮ 0 0
n
=nn −1 五、 a 1 解： A = 1 a 1 1
(−1)n+
n (n +1) 2
= nn −1
(−1)n(n+1)
1 1 1 3、解： A = ⋮ 1 1
2 1 1 ⋮ 1 1−n
3 1 1 ⋮ 1−n 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯
2 n
⋯ n−2 n−1 ⋯ 1 1 ⋯ 1 1−n ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ 1 1 ⋯ 1 1
2008年07月线性代数(经管类)试题及答案
全国2008年07月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A=[321,,ααα]，其中i α（i=1, 2, 3）为A 的列向量，且|A|=2，则|B|=|[3221,,3ααα+α]|=（ C ） A.-2 B.0 C.2 D.62.若方程组⎩⎨⎧=-=+0x kx 0x x 2121有非零解，则k=（ A ）A.-1B.0C.1D.23.设A ，B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ C ） A.|AB|=|A| |B|B. (AB)-1=B-1A-1C. (A+B)-1=A-1+B-1D. (AB)T=BTAT4.设A 为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=（ D ）A.41B.1C.2D.45.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ B ）A. 4321,,,αααα线性无关B. 4321,,,αααα线性相关C. 1α可由432,,ααα线性表示D. 43,αα线性无关 6.向量组s 21,,ααα 的秩为r ，且r<s ，则（ C ） A. s 21,,ααα 线性无关B. s 21,,ααα 中任意r 个向量线性无关C. s 21,,ααα 中任意r+1个向量线性相关D. s 21,,ααα 中任意r-1个向量线性无关 7.若A 与B 相似，则（ D ） A.A ，B 都和同一对角矩阵相似 B.A ，B 有相同的特征向量C.A-λE=B-λED.|A|=|B|8.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ B ） A. η+1α是Ax=0的解B. η+（1α-2α）是Ax=0的解C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α-2α是Ax=b 的解 9.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ D ） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）10.设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111，则二次型f(x1，x2)=xTAx 是（ B ）A.正定B.负定C.半正定D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
08级《线性代数与空间解析几何》试题B参考答案
《线性代数与空间解析几何》试题(B)参考答案与评分标准(090209)一、单项选择（每小题3分，共15分）1.D2.A3.B4.A5.C二、填空题（每小题2分，共10分）1. 3,2. 0,3. 2240x y z ⎧+=⎨=⎩, 4. 43-三、计算题（每小题10分，共30分）1.解 1201120112011001471201120112010001120112001200122322012400000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3 分 向量组的秩为3，一个最大无关组123,,ααα7(22)+ 分 4132ααα=-。
9 分2.解 21111(2)(1)11λλλλλ=+-，3 分12,4λλ≠≠- 当且时方程组有唯一解分2λ=-当时，方程组无解6 分(结论1分，过程1分)1λ=当时，方程组有无穷多解,7 分 通解12111010001x k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9 分 3.解 二次型对应的矩阵为122224242A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1 分 2122||224(2)(7)242I A λλλλλλ---=+-=-+--+，特征值为1232,7λλλ===-3 分12122122222,244000,1,024400001I A λλαα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时基础解系，5 分 82220117,254011,22450002I A λλα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=--→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3当时基础解系，7 分222123132,,2273203X CY C f y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===+- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭经过正交化、单位化，正交变换标准型 9 分四、计算题（每小题8分，共24分）1.解，设所求平面的法向量为n ，则12(6,3,2),(4,1,2)n n n n ⊥=-⊥=-2 分12632(4,4,6)412i j kn n n =⨯=-=---取，5 分 所求的平面方程 2230x y z +-=。
广工2008线代试题A-答案
解：设有关系式 ，即
则有
因为 线性无关，所以
………………………………………….4分
齐次线性方程组的系数行列式为
…………….….…6分
即当 为奇数时，齐次线性方程组只有零解，从而 ，即向量组线性无关；
即当 为偶数时，齐次线性方程组有非零解，从而存在不全为零的数 ，使 ，即向量组线性无关………………………………………………………………..……………8分
解答
一、单项选择题（每题4分，共20分）
1、D；2、D；3、D；4、B；5、B；
二、填空题（每题4分，共24分）
1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ；6、
三、（11分）法一：
解： = --------------------------------------------4分
---------------------------------------------7分
五、（13分）
解：对增广矩阵进行初等行变换
…………3分
（1） ；……………5分
(2) ；………………………………7分
(3) ；………………………9分
----------------------------------------11分
方程组的通解为：
-----------------------------------------------------13分
4、设 是齐次线性方程组 的一个基础解系，则（ ）也是它的基础解系
（A） ；（B） ；
ห้องสมุดไป่ตู้(C) (D) .
5、设A是n阶正交矩阵，则下列结论不正确的是（）
（A） ;（B）A的行列式等于1
（C）A的行向量都是单位向量且两两正交；
2008级线性代数试题和答案A卷
经济学院本科生09-10学年第一学期线性代数期末考试试卷 (A 卷)答案及评分标准一、填空题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 31det =A , 则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛*-A A 1541det 1_____ 2. 已知12,αα均为2维列向量, 矩阵),2(2121αααα-+=A , ),(21αα=B . 若行列式6A =, 则B = _____3.若,),,,(),,,,(2121k r r s s ==αααβααα,1),,,,(21+=k r s γααα 则),,,,,(21γβαααs r = _____4. 设A 为5阶方阵, 且4)(=A r , 则齐次线性方程组0*=x A （*A 是A 的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为 _____5. 设33()ij A a ⨯=是实正交矩阵, 且,a b T11=1,=(1,0,0)则线性方程组Ax b =的解是 _____6. 若使二次型31212322213212242),,(x tx x x x x x x x x f ++++=为正定的, 则 t 的取值范围是 _____7. 设3阶方阵A 满足0322=--E A A , 且0<A <5, 则=A _____ 答案：（1） 3)1(n - （2）-2 （3） k +1 （4） 4（5） T)0,0,1( （6） 2<t （7）3二、单项选择题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, B 是A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵, 则有（ ） (A) B A = (B) B A ≠(C) 若0=A , 则一定有0=B (D) 若0>A , 则一定有0>B2. 设行列式3040222207005322D =--, 则第四行各元素代数余子式之和的值为 ( ) (A) 28 (B) -28 (C) 0 (D) 336 3. 设A 为m 阶方阵, B 为n 阶方阵, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00B AC , 则 C 等于 ( )(A) B A (B) B A - (C) B A mn )1(- (D) B A n m +-)1( 4. 设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关, 则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充分必要条件是 （ ）(A) 向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示 (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示 (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价 (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价 5．设A 、B 为n 阶方阵, 且)()(B r A r =, 则（ ）(A) 0)(=-B A r (B) )(2)(A r B A r =+ (C) )()()(B r A r B A r +≤ (D) )(2)(A r AB r =6. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000000000004,1111111111111111B A , 则A 与B （ ）（A ）合同且相似 （B ）合同但不相似( C ) 不合同但相似 （D) 不合同且不相似7．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为21,αα, 则221),(ααα+A 线 性无关的充分必要条件是 （ ）（A ）01≠λ （B ）02≠λ ( C )01=λ (D) 02=λ 答案：CCC CCA A三、计算题（每小题8分、本题共32分）1．计算n +1阶行列式 nnnn d b d b d b a a a a D 00000022112101=+. 解 分三种情况讨论：（1）当n d d d ,,,21 全不为0时，D 为箭型行列式且∑∑==--=-=====n k n k k k nnnk k k k c c d d d d ba a d d d a a a db a a D jjd jb 1210212110;)(000000001（2）当n d d d ,,,21 中只有一个为0时，不妨假设0=i d ，则ni i i i ni i i inni i i i ni i i c c d d d d b a d d b d d a d b d b b d b d a a a a a a D i111111111111011000011+-+-+--+-↔-=-=-====+（3）当n d d d ,,,21 中有两个以上为0时，显然0=D .综合以上三种情况，我们有⎪⎩⎪⎨⎧=∃-=≠-=+-=∑0,;...),...,2,1(0;)(11211210i n i i i i k nk n kk k d i d d d d d b a n k d d d d d b a a D 2. 设矩阵A 满足关系式11)2(--=-C A B C E T , 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1000210002101021,1000210032102321C B , 求A ？ 解 在等式11)2(--=-C A B C E T等号两边同时乘以C , 得[]TB C A 1)2(--=,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--1000210012100121)2(,100021003210432121B C B C ,[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-1210012100120001)2(1TB C A . 3．设线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++-=+--=+--bx x x x x ax x x x x x x x x x x 43214321432143217107141253032（1）问：a , b 取何值时, 线性方程组无解、有解?（2）当线性方程组有解时, 试用基础解系表示通解.解 设题中线性方程组为.Ax b =用消元法, 对线性方程组Ax b =的增广矩阵A 施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=ｂ－４０１００００００－１００１３２０ｂ１－１０初等行变换a a A 32117107141125313211 由此可知：当b ≠4时,)()(A r A r ≠ 线性方程组Ax b =无解; 当b =4时, 恒有)()(A r A r = 线性方程组Ax b =有解.若,3)()(,1==≠A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T T )1,0,21,27()0,0,21,21(--+k k 为任意实数 若,2)()(,1===A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T 2T 1T )1,0,21,27()0,1,23,21()0,0,21,21(--+-+k k 21k k 、为任意实数 4．设矩阵,,321101210,324202423*1Q A Q B Q A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 求E B 2010+的特征值和特征向量. 其中*A 是A 的伴随矩阵, E 为3阶单位矩阵. 解 计算A 的特征多项式32422423--------=-λλλλA E .)1()8(2+-=λλ故A 的特征值为1,8321-===λλλ. 因为.,,8*X AX A X AX A i λλλ====∏则若所以*A 的特征值为1,-8,-8.由于Q A Q B *1-=与*A 相似, 相似矩阵有相同的特征值，所以E B 2010+的特征值为：2011，2002，2002.下面求特征向量, 因为X Q A X A Q X Q Q A Q X Q B 1*11*11||))(()(-----===λ,我们有矩阵B 的属于λA的特征向量为X Q 1-, 因此矩阵E B 2010+的属于2010+λA的特征向量为X Q 1-第三步 求出A 的全部特征向量对于81=λ，求解线性方程组0)8(=-x A E 得特征向量 .2121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 对于132-==λλ，求解线性方程组0)(=--x A E 得特征向量.021,10132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αα第四步 求出E B 2010+ 的全部特征向量，即计算312111,,ααα---Q Q Q .,012,23223,23121,21211111212113121111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=----αααQ Q Q Q综合以上分析我们有：矩阵E B 2010+属于特征值2011的特征向量为k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--27121, k 为任意实数属于特征值2002的特征向量为 ,0122322321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--k k 21k k 、为任意实数四、证明题（每题6分，共12分）1. 已知向量组)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 向量组s βββ,,21 可表示为),,2,1(1s i t i i i i =+=+ααβ, 其中i t 是实数. 证明s βββ,,21 线性无关.证明 用定义. 假设存在 s 个数s k k k ,,21 , 使 02211=+++s s k k k βββ , 即 0)()()(132222111=+++++++s s s s t k t k t k αααααα , 也就是0)()()(11133212221111=++++++++++--s s s s s s s t k k t k k t k k t k k ααααα .又因为)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 所以上式中系数部分都为0, 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=--0000112111s s s s s t k k t k k t k k 解得 021====s k k k , 故s βββ,,21 线性无关. 2. 设n 阶矩阵 A 满足022=-+E A A 且E A ≠. 证明A 相似于对角矩阵. 证 由022=-+E A A 可得 ))(2(0)2)((E A A E A E A E ---==+- (1)可得A 的特征值为 1或 -2，要证明A 相似于对角矩阵，也就是A 可以对角化，即要证明A 有n 个线性无关的特征向量。