高中数学重要结论
高中数学重要二级结论
函数二级结论1.若奇函数()f x 在原点处有定义,则(0)0f =,若奇函数()f x 周期为T ,则()0,()02Tf T f ==(需在相应点有定义)2.幂函数()a y x a Z =∈,当a 为奇数时为奇函数，当a 为偶数时为偶函数.3.形如()()y f x f x =+-的函数为偶函数,形如()()y f x f x =--的函数为奇函数.4.形如()y f x =的函数为偶函数.5.形如11x x a y a -=+的函数为奇函数6.形如)log ay bx =的函数为奇函数7.形如()2log 1bxa y a bx =+-的函数为偶函数8.形如x n y a m =+的函数关于点(log ,)2anm m中心对称 9.形如()(2)y f x f a x =+-的函数关于x a =轴对称,形如()(2)y f x f a x =--的函数关于点(,0)a 中心对称.10.形如()y f x a =-的函数关于x a =轴对称. 11.若()f x 满足()()x b f x a f -=+,则()f x 关于2ba x +=轴对称（括号内相加除以2）. 12.若()f x 满足()()c x b f x a f 2=-++,则()f x 关于点⎪⎭⎫⎝⎛+c b a ,2中心对称；13.函数()f x a +与函数()f b x -关于2b ax -=轴对称（括号内零点之和除以2）. 14.函数()f x a c ++与函数()d f b x --关于点(,)22b ac d-+中心对称 15.若()f x 满足()()f x a f x b +=+,则()f x 周期为a b - 16.若()f x 同时关于x a x b ==和轴对称,则()f x 周期为2a b - 若()f x 同时关于(,)(,)a m b m 和中心对称,则()f x 周期为2a b -若()f x 关于(,)a m 中心对称,同时关于x b =轴对称,则()f x 周期为4a b -17.若函数()f x 满足：()+()()f x a f x b C C ++=为常数,则()f x 周期为2a b - 特殊地：若()()f x a f x +=-,则()f x 周期为2a .18.若函数()f x 满足：()()()f x a f x b C C +⋅+=为常数,则()f x 周期为2a b - 特殊地：若1()()f x a f x +=±,则()f x 周期为2a . 19.若函数()f x 满足1()()1()f x f x a f x -+=+,则()f x 周期为2a .若函数()f x 满足()1()()1f x f x a f x ++=-,则()f x 周期为2a .若函数()f x 满足1()()1()f x f x a f x ++=-,则()f x 周期为4a .若函数()f x 满足()1()()1f x f x a f x -+=+,则()f x 周期为4a .20.若函数()f x 满足1()1()f x a f x +=-,则()f x 周期为3a .21.若函数()f x 满足()()(2)f x f x a f x a =+-+,则()f x 周期为6a 22.函数奇偶性的叠加：==//==,/= /±±⨯÷⎫⨯÷⨯÷⎬⨯÷⎭奇奇奇,偶偶偶奇偶奇奇偶,奇偶偶偶偶奇 奇（奇）=奇，奇（偶）=偶，偶（奇）=偶，偶（偶）=偶；（内偶则偶，内奇同外） 23.若()f x 为奇函数则()f x '为偶函数,若()f x 为偶函数则()f x '为奇函数. 24.32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图像关于点(,())33b bf a a--中心对称.三角函数二级结论1.当A B C π++=时,tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅2.当4A B π+=时,(1+tan )(1tan )2A B += 当3A B π+=时,)(1)4A B +=当6A B π+=时,4(1+tan )(1tan )333A B += 3.在△ABC 中,sin()sin cos()cos tan()tan A B C A B C A B C +=⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩,sin 2()sin 2cos 2()cos 2tan 2()tan 2A B C A B C A B C +=-⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩,sin cos 22cos sin 221tan 2tan 2A B C A B C A B C ⎧⎪+=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎪⎩4.△ABC 中,若1122(,),(,)AB x y AC x y == ,则122112ABC S x y x y =-5.△ABC 三边长分别为,,a b c ,则)2ABC a b cS p ++==6.△ABC 三边长分别为,,a b c ,内切圆半径为r ,则=,()2ABC a b cS p r p ++⋅=7.△ABC 三边长分别为,,a b c ,外接圆半径为R ,=4ABC abcS R8.积化和差：[][][][]1cos cos =cos()cos()21sin sin =cos()cos()21sin cos =sin()sin()21cos sin =sin()sin()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧⋅-++⎪⎪⎪⋅--+⎪⎨⎪⋅++-⎪⎪⎪⋅+--⎩和差化积：+cos +cos =2cos cos 22+cos cos =2sin sin 22+sin sin 2sin cos 22+sin sin 2cos sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-⎧⋅⎪⎪-⎪--⋅⎪⎨-⎪+=⋅⎪⎪-⎪-=⋅⎩9.正弦平方差公式：22sin()sin()sinsin αβαβαβ+⋅-=- 余弦平方差公式:22cos()cos()cossin αβαβαβ+⋅-=-向量二级结论1.向量平方差公式：向量平方差公式1（极化恒等式）：C如图：△ABC 中,D 为BC 中点则:22()()()()AB AC AD DB AD CD AD DB AD DB AD DB ⋅=+⋅-=+⋅-=-向量平方差公式2：C如图：平行四边形ABCD 中,22()()AC BD AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-=-2.三角形四心的向量表达式与奔驰定理：（1）奔驰定理：已知点O 为△ABC 平面上一点,则0BOC AOC AOB OA O S B O S C S ⋅+⋅+⋅=（2）三角形四心的向量表达：①已知O 为△ABC 的重心,则0OA OB OC ++=②已知O 为△ABC 的垂心,则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=（OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅ ）③已知O 为△ABC 的外心,则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=（OA OB OC == ）④已知O 为△ABC 的内心,则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=3.单位向量：（1）对于非零向量a ,则aa是与a 共线的单位向量.（2）对于非零向量,a b ,若()a bp a bλ=+ ,则p 与,a b 夹角平分线共线（3）任意单位向量可设坐标为(cos ,sin )θθ4.向量与三点共线及向量的等和线：（1）三点共线的向量表达：如图,,A B C 三点共线,O 为线外一点：CA①若OC xOA yOB =+,则1x y +=,反之也成立.②若AC BC λμ=,则OC OA OB μλλμλμ=+++③若AC CB λ= ,即()OC OA OB OC λ-=-,将此式整理即能用,,OA OB OC 中任意两个为基底表示第三个. （2）向量的等和线：如图,向量,OA OB 不共线,若直线l 与直线AB 平行（或重合），称直线l 为基底,OA OB的等和线.若P 在直线l 上,且OP xOA yOB =+,则x y +为定值,x y +随O 与l 的距离成比例扩大或缩小：①当l 与AB 重合时：1x y += ②当l 过点O 时：0x y +=③当l 在O 与AB 之间时：01x y <+<④当l 在O 与AB 同侧,O 到AB 这一侧时：1x y +> ⑤当l 在O 与AB 同侧,AB 到O 这一侧时：0x y +<5.平行四边形对角线定理：平行四边形的两对角线平方和等于四边平方之和C如图：平行四边形ABCD 中,222222()()2()AC BD AD AB AD AB AD AB +=++-=+6.矩形对角线定理：矩形所在平面内任意一点到矩形两对角线端点距离的平方和相等.D CBAP如图,四边形ABCD 为矩形,P 为矩形所在平面上一点,则2222PA PC PB PD +=+数列二级结论1.等差数列{}n a 中,若,,0m n m n a n a m a +===且则 .2.等差数列{}n a 中,若,,()m n m n S n S m S m n +===-+且则.3.等差数列{}n a 中,21221(21),()m m m i m i S m a S m a a -+-=-=+ .4.等差数列{}n a 和{}n b 前n 项和分别为n S 和n T ,则2121n n n n a S b T --=,21212121p p q q a S q b T p ---=⋅-. 5.等差数列{}n a ,若()M N S S M N =≠ ,则K M N K S S +-=.6.等差数列{}n a ,110(0)a a >< ,且()M N S S M N =≠,若M N +为偶数,则当2M Nn +=时, n S 最大,若M N +为奇数,则当1122M N M N n n +++-==或 时,n S 最大（最小）. 7.等差数列{}n a ,公差为d ,则232,,m m m m m S S S S S -- 也成等差数列且公差为2m d .8.等差数列{}n a ,公差为d ，则m n m n S S S mnd +=++9.等差数列{}n a 前2n 项中：+1=n n S a S a 奇偶,前21n -项中：=1S n S n -奇偶 10.等差数列{}n a 首项为1a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等差数列且首项仍为1a ,公差为2d .11.等比数列{}n a 中：211232112321,()m m m m m m m a a a a a a a a a a a --+⋅⋅⨯⨯=⋅⋅⨯⨯=⋅ .12.{}n a 是公比为q 的正项等比数列,则{}log m n a 是公差为log m q 的等差数列.13.等比数列{}n a 公比为q ,前n 项和为n S ,数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，数列111n a q -⎧⎫⎛⎫⎪⎪⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭前n 项和为n M ,则1nn nS a a T = ；1n n n S q M -=14.等比数列{}n a 公比为q ,则232,,m m m m m S S S S S -- 也成等比数列且公比为mq . 15.等比数列{}n a 公比为q ,前n 项连乘积为n T ,则232,,m mm m mT T T T T 也成等比，且公比为2m q 16.{}n a 为公差不为零的等差数列,且,,m k p a a a 依次成等比数列,则公比为p kk m-- 17.等比数列{}n a 公比为q ,若11q -<<，则n S 趋近于11a q- 18.等比数列{}n a ,mm n m n S S q S +=+。
高中数学常见结论
高中数学常见结论三角形中的结论 1、三角形中，任意两角的余弦之和大于零，即coscos 0,cos cos 0,cos cos 0A B A C B C +>+>+>2、三角形中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⨯⨯3、三角形中，sin sin A B A B >⇔>,其他同理4、锐角三角形中，任意一个角的正弦值大于另一个角的余弦值，即sincos ,sin cos A B A C >>,其他同理5、钝角三角形中（角C 为钝角），一个锐角的正弦值小于另一个锐角的余弦值。
即sin cos ,sin cos A B B A <>6、直角三角形中的结论都有逆定理7、三角形内切圆的半径：2S r a b c ∆=++，特别地，直角三角形中：2a b cr +-=8、三角形中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…函数中的结论1、函数()y f x =在定义域D 上单调递增⇔对任意的12,,x x D ∈若12x x >，都有12()()f x f x >⇔对任意的12,,x x D ∈1212()(()())0x x f x f x -->⇔对任意的12,,x x D ∈1212()()0f x f x x x ->- ⇔对任意的,x D ∈/()0f x ≥恒成立⇔对任意的,x D ∈总存在t>0，使()()f x t f x +>2、函数()y f x =在定义域D 上单调递减，对应以上结论是什么？3、函数单调递增、递减的运算性质：（加、减、乘、除、开方） （1）增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减，（2）()k f x ⨯与()f x 的单调性的关系是 （3）1()f x 与()f x 的单调性的关系是 （4()f x 的单调性的关系是4、对称轴、对称中心、周期之间的结论是：（1）若函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(a-x)↔x=a 是y=f(x)的一条对称轴.函数y=f(x)满足:f(x)=f(2a-x) ↔ x=a 是y=f(x)的一条对称轴.函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(b-x) ↔ x=2a b+是y=f(x)的一条对称轴.（2）函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心. 函数y=f(x)满足:f(x)=-f(2a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心.函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(b-x) ↔A(2a b+,0)是y=f(x)的一个对称中心 （3）函数y=f(x)满足:f(x+T)=f(x) ↔T 是y=f(x)的一个周期函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(x+b) ↔T=a-b 是y=f(x)的一个周期(a ＞b ) 函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(x) ,则T=2a 是y=f(x)的一个周期（4）若x=a,x=b 是函数y=f(x)的两条对称轴，则T=2(a-b) (a ＞b ) ，反之也成立若A(a,0),B(b,0)是函数y=f(x)的两个对称中心，则T=2(a-b) (a ＞b )， 反之也成立 若x=a,B(b,0)分别是函数y=f(x)的对称轴和对称中心，则T=4(a-b) (a ＞b )5、若两个函数()y f x a =+，()y f b x =-有对称轴，则对称轴是2b a x -=6、函数奇偶性：函数y=f(x)是定义域D 上的偶函数⇔对任意的,x D ∈()()0f x f x --=恒成立⇔对任意的,x D ∈()1()f x f x -=恒成立7、函数y=f(x)是定义域D 上的奇函数⇔对任意的,x D ∈()()0f x f x -+=恒成立⇔对任意的,x D ∈()1()f x f x -=-恒成立8、函数奇偶性的运算性质：加减乘除：偶+偶=偶，偶-偶=偶，偶⨯偶=偶，偶÷偶=偶奇+奇=奇，奇-奇=奇，奇⨯奇=奇，奇÷奇=奇 偶⨯偶=偶，偶⨯奇=奇，奇⨯奇=偶 除法运算结论依然 9、奇偶性与单调性的关系：奇函数在关于原点对称的两区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的两区间上的单调性相反 10、奇函数定义域中若有0，则(0)0f =11、奇函数定义域中若有最大值M 和最小值N ，则M+N=0 12、奇偶性与导数的关系：奇函数的导函数是偶函数 偶函数的导函数是奇函数 13、若函数y=f(x)是偶函数，则()()f x f x =14、若函数y=f(x)是D 上的上凸函数⇔对12,,x x D ∈有1212()()()22f x f x x x f ++<15、若函数y=f(x)是D 上的上凹函数⇔对12,,x x D ∈有1212()()()22f x f x x xf ++>16、二次函数2y ax bx c =++是偶函数⇔b=0三次函数32y ax bx cx d=+++是奇函数⇔b=d=017、二次函数在限定区间上的最值问题：讨论对称轴与区间的位置关系----大大小小（1）当a>0时，求最小值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最大值讨论对称轴与区间中点的位置关系（2）当a<0时，求最大值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最小值讨论对称轴与区间中点的位置关系18、二次函数2y ax bx c =++的对称轴是2b x a=-，三次函数32y ax bx cx d =+++的对称中心是,()33b b f aa ⎛⎫--⎪⎝⎭19、若函数y=f(x)在定义域D 上连续可导，且在定义域的任何子区间上导函数不恒为0，则/()0f x ≥⇔y=f(x)在D 上单调递增/()0f x ≤⇔y=f(x)在D 上单调递减20、若函数y=f(x)在定义域D 上连续可导，/0()0f x =不能保证0()f x 为极值，反之成立。
高中数学四心常用结论
高中数学四心常用结论
高中数学四心常用结论如下：
“四心”定义：
1、重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1。
2、垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直。
3、内心：三条角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等。
4、外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
结合奔驰定理分析四心性质：
对于△ABC，若O为△ABC平面内一个点，设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则：
1、重心：若O为重心，根据相似的知识可知由OA，OB，OC分成的三个三角形的面积相同，都为△ABC的1/3，则有：向量OA+向量OB+向量OC=向量0。
2、外心：若O为外心，则由三角形的正弦定理可知，a/Sin∠A=b/Sin∠B=c/Sin ∠C=2R，则有：OA=OB=OC=a/2sin∠A=b/2sin∠B=c/2sin∠C。
3、内心：若O为内心，则圆与△ABC的三条边相切，则三个小三角形的面积就可以用底乘高来表示，且高相同都为圆的半径，则三个小三角形的面积比就等价
于底边之比，即S△BOC：S△AOC：S△AOB=a：b：c。
根据奔驰定理，即可得出结论：a向量OA+b向量OB+c向量OC=向量0。
4、垂心：若O为垂心，向量OA·tan∠A+向量OB·tan∠B+向量OC·tan∠C=0向量。
高中数学圆锥曲线重要结论
1.点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，那么焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.,以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4.假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，那么过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=. 5.假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，那么过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，那么切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y ab+=.6.椭圆22221x y ab+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，那么122tan 2F PF S b γ∆=.7.椭圆22221x y a b+=〔a ＞b ＞0〕的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).8.过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q ，A 为椭圆长轴上一个顶点，连AP 和AQ 交F椭圆准线于M 、N 两点，那么MF ⊥NF.9.过椭圆焦点F 的直线与椭圆交于P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，那么MF ⊥NF.10.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，那么22OM ABb k k a⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，那么焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切〔内切：P 在右支；外切：P 在左支〕4.假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕上，那么过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 5.假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕外 ，那么过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，那么切点弦00221x x y ya b-=. 6.双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线上一点12F PF γ∠=，那么双曲线的焦点角形122t 2F PF S b co γ∆=.7.双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上，10||MF ex a =+,20||MF ex a =- 当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--8.过双曲线焦点F 作直线与双曲线交于P 、Q ，A 为双曲线长轴上一顶点，连AP 和AQ 交于焦点F 双曲线准线于M 、N ，那么MF ⊥NF. 焦点F 的直线与双曲线交于P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，那么MF ⊥NF.10.AB 是双曲线22221x y a b-=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点那么0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a xb K AB =。
高中数学圆锥曲线常用98条结论
高中数学圆锥曲线常用98条结论1.椭圆的离心率小于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
2. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则椭圆的标准方程为(x/a)+(y/b)=1。
3. 椭圆的焦距为c=√(a-b)。
4. 椭圆的面积为πab。
5. 椭圆的周长近似为2π√((a+b)/2)。
6. 椭圆的离心率为e=c/a。
7. 双曲线的离心率大于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
8. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则双曲线的标准方程为(x/a)-(y/b)=1。
9. 双曲线的焦距为c=√(a+b)。
10. 双曲线的面积为πab。
11. 双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。
12. 双曲线的离心率为e=c/a。
13. 抛物线的离心率等于1，且焦点在抛物线的顶点上。
14. 抛物线的标准方程为y=4ax。
15. 抛物线的焦距等于a。
16. 抛物线的面积为2/3×a×(4a/3)。
17. 抛物线的顶点坐标为(0,0)。
18. 抛物线的准线方程为y=-a。
19. 圆的标准方程为(x-a)+(y-b)=r。
20. 圆的直径为圆心的两倍半径。
21. 圆的周长为2πr。
22. 圆的面积为πr。
23. 直线与圆相交，切点到圆心的距离垂直于直线。
24. 切线方程为y-y=k(x-x)，其中k为切线斜率。
25. 直线与圆相切，切点坐标为(x,y)，则切线方程为(y-y)=k(x-x)，其中k为直线斜率。
26. 椭圆的切线方程为(ay/b)+(x/a)=1。
27. 双曲线的切线方程为(ay/b)-(x/a)=1。
28. 抛物线的切线方程为y=2ax。
29. 椭圆的法线方程为(by/a)+(x/a)=1。
30. 双曲线的法线方程为(by/a)-(x/a)=1。
31. 抛物线的法线方程为y=-x/(2a)。
32. 椭圆的两条直径的交点在椭圆的中心点上。
33. 椭圆的两条直径的长度之和为2a。
34. 椭圆的两条直径的中垂线交于椭圆的中心点。
高中数学重要二级结论及典型例题
高中数学16个---------------二级结论结论一 奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在集合D 上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D 上有最值,则f(x)max +f(x)min =0,且若0∈D,则f(0)=0.例1 设函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值为M,最小值为m,则M+m= .跟踪集训1.(1)已知函数2()ln(193)1f x x x =++,则1(lg 2)(lg )2f f + =( ) A.-1B.0C.1D.2(2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．( )A.4和6 B.3和1C.2和4D.1和2结论二 函数周期性问题已知定义在R 上的函数f(x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=1()f x (a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a. 例2 已知定义在R 上的函数f(x)满足f 3()2x + =-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)+f(2 015)=( )A.-2B.-1C.0D.1跟踪集训2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( )A.-2B.-1C.0D.1(2)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= 2log (1),0,(1)(2),0,x x f x f x x -≤⎧⎨--->⎩则f(2 014)=( )A.-1B.0C.1D.2结论三 函数的对称性已知函数f(x)是定义在R 上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x= 2a b+对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点(,)22a b c+中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.例3 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x -1)对任意的x∈1[,1]2恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.[-3,-1] B.[-2,0] C.[-5,-1]D.[-2,1]跟踪集训3.(1)若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= .(2)函数y=f(x)对任意x∈R 都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 . 结论四 反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D 上的单调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=a x与y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x 对称,即(x 0, f(x 0))与(f(x 0),x 0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.例4 设点P 在曲线y=12e x上,点Q 在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( ) A.1-ln 2B.2(1-ln 2)C.1+ln 2D.2(1+ln 2)跟踪集训4.若x 1满足2x+2x=5,x 2满足2x+2log 2(x-1)=5,则x 1+x 2=( )A.52 B.3 C. 72D.4 结论五 两个对数、指数经典不等式 1.对数形式:1-11x +≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立. 2.指数形式:e x≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.例5 设函数f(x)=1-e -x.证明:当x>-1时, f(x)≥1x x +. 跟踪集训5.(1)已知函数f(x)=1ln(1)x x+-,则y=f(x)的图象大致为( )(2)已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x 2+x+1有唯一公共点.结论六 三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B 不共线,则平面上任意一点P 与A,B 共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得OP OA OB λμ=+,且1λμ+=.特别地,当P 为线段AB 的中点时, 1122OP OA OB =+.例6 已知A,B,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在直线l 上,则使等式20x OA xOB BC ++=成立的实数x 的取值集合为( )A.{-1} B. ∅ C.{0} D.{0,-1}跟踪集训6.在梯形ABCD 中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N 分别为CD 、BC 的中点.若AB AM AN λμ=+,则λμ+= .结论七 三角形“四心”的向量形式设O 为△ABC 所在平面上一点,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,则 (1)O 为△ABC 的外心⇔ ||||||2sin aOA OB OC A===.(2)O 为△ABC 的重心⇔ 0OA OB OC ++=.(3)O 为△ABC 的垂心⇔ OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅.(4)O 为△ABC 的内心⇔ 0aOA bOB cOC ++=. 例7 已知A,B,C 是平面上不共线的三点,动点P 满足1[(1)(1)(12)],3OP OA OB OC R λλλλ=-+-++∈,则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心B.△ABC 的垂心C.△ABC 的重心D.AB 边的中点跟踪集训7.(1)P 是△ABC 所在平面内一点,若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心(2)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足,(0,)2OB OCOP AP λλ+=+∈+∞,则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (3)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足(),[0,)||||AB ACOP OA AB AC λλ=++∈+∞,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心D.垂心结论八 等差数列1.若S m ,S 2m ,S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项,前2m 项,前3m 项的和,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列.2.若等差数列{a n }的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m =m(a m +a m+1),S 偶-S 奇=md,1m m S a S a +=奇偶. 3.若等差数列{a n }的项数为2m-1,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m-1=(2m-1)a m ,S 奇=ma m ,S 偶=(m-1)a m ,S 奇-S 偶=a m ,1S mS m =-奇偶. 例8 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m=( ) A.3 B.4 C.5D.6(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m-1+a m+1- 2m a =0,S 2m-1=38,则m 等于 . 跟踪集训8.(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10=20,S 20=50,则S 30= .(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d= .结论九 等比数列已知等比数列{a n },其公比为q,前n 项和为S n .(1)数列1{}n a 也为等比数列,其公比为1q. (2)若q=1,则S n =na 1,且{a n }同时为等差数列.(3)若q≠1,则S n =11111(1)()11111n n n n a a q a q a a aq q q q q q qλλλ--==-=-=-----. (4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍为等比数列(q≠-1或q=-1且n 为奇数),其公比为q n.(5)S n ,2n n S S , 32nnS S ,…仍为等比数列,公比为2n q .例9 (1)已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列1{}na 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若63S S =3,则96SS =( )A.2 B.73C.83D.3跟踪集训9.在等比数列{a n }中,公比为q,其前n 项和为S n .已知S 5=3116,a 3= 14,则1234511111a a a a a ++++= . 结论十 多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长d 与共点三条棱长a,b,c 之间的关系为d 2=a 2+b 2+c 2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a 2+b 2+c 2.2.棱长为a 的正四面体内切球半径r=612a ,外接球半径R= 64a . 例10 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时,小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于( )A. 76π B. 43π C. 23π D. 2π跟踪集训10.(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为( )A. 14 B. 23 C. 46D.3(2)已知正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点E 是线段AB 的中点,过点E 作球O 的截面,则截面面积的最小值是( )A.74π B.2π C. 94πD.3π 结论十一 焦点三角形的面积公式1.在椭圆22221x y a b+= (a>b>0),F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则△PF 1F 2的面积122tan2PF F Sb θ=,其中θ=∠F 1PF 2.2.在双曲线22221x y a b -=1(a>0,b>0)中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,则△PF 1F 2的面积122tan2PF F b Sθ=,其中θ=∠F 1PF 2.例11 已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=3π,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B. 233C.3D.2跟踪集训11.(1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1: 2214x y +=与双曲线C 2的公共焦点,A,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D. 62(2)已知F 1,F 2是椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 一上点,且12PF PF ⊥.若△PF 1F 2的面积为9,则b= . 结论十二 圆锥曲线的切线问题1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R 2上一点P(x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=R 2.2.过椭圆22221x y a b +=上一点P(x 0,y 0)的切线方程为00221x x y y a b+=.3.已知点M(x 0,y 0),抛物线C:y 2=2px(p≠0)和直线l:y 0y=p(x+x 0).(1)当点M 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.例12 已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.跟踪集训12.(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0(2)设椭圆C:22143x y+=,点P3(1,)2,则椭圆C在点P处的切线方程为.结论十三圆锥曲线的中点弦问题1.在椭圆E:22221x ya b+= (a>b>0)中:(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=22ba -.(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=22ba -.(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=22ba -.[提醒]该结论常变形为:以椭圆22221x y a b +=内任意一点(x 0,y 0)为中点的弦AB 的斜率k=2020x b a y -⋅.2.在双曲线E: 22221x y a b -= (a>0,b>0)中,类比上述结论有:(1)k 0·k=22b a .(2)k 1·k 2=22b a .(3)k 0·k=22b a. 例13 已知椭圆E: 22221x y a b+= (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E 的方程为( )A.2214536x y += B.2213627x y += C. 2212718x y += D.221189x y += 跟踪集训13.(1)椭圆C: 22143x y +=的左,右顶点分别为A 1,A 2,点P 在椭圆上且直线PA 2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA 1的斜率的取值范围是 .(2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的直线交椭圆22142x y +=于P,A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA 的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.结论十四圆锥曲线中的一类定值问题在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA 与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.图示条件结论已知椭圆22221x ya b+= (a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0 直线AB的斜率k AB为定值22b xa y已知双曲线22221x ya b-= (a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0 直线AB的斜率k AB为定值22b xa y-已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,A,B是抛物线上两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0 直线AB的斜率k AB为定值py-例14 已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0.证明:直线AB的斜率k AB为定值,并求出该定值.跟踪集训14.已知椭圆C:22143x y+=,A为椭圆上的定点且坐标为31,2（）,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.结论十五圆锥曲线中的一类定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆22221x ya b+= (a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB过定点2222(,0)a baa b-⋅+.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线l AB过定点2222(,0)a baa b--⋅+.(2)对于双曲线22221x ya b-= (a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB过定点2222(,0)a baa b+⋅-.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为2222(,0)a baa b+-⋅-.(3)对于抛物线y 2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若0OA OB ⋅=,则弦AB 所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x 2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA OB ⊥,则直线AB 过定点(0,2p).例15 已知抛物线y 2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B 满足以AB 为直径的圆过顶点.求证:AB 所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.跟踪集训15.已知椭圆22143x y +=,直线l:y=kx+m 与椭圆交于A,B 两点(A,B 不是左、右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l 过定点,并求该定点的坐标.结论十六 抛物线中的三类直线与圆相切问题AB 是过抛物线y 2=2px(p>0)焦点F 的弦(焦点弦),过A,B 分别作准线l:2p-的垂线,垂足分别为A 1,B 1,E 为A 1B 1的中点.(1)如图①所示,以AB 为直径的圆与准线l 相切于点E.(2)如图②所示,以A 1B 1为直径的圆与弦AB 相切于点F,且|EF|2=|A 1A|·|BB 1|.(3)如图③所示,以AF 为直径的圆与y 轴相切.例16 过抛物线y 2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N 两点,自M,N 向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为M 1,N 1.当a=2p时,求证:AM 1⊥AN 1.跟踪集训16.已知抛物线C:y 2=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,若0MA MB ⋅=,则k= .答案全解全析结论一 奇函数的最值性质跟踪集训1.(1)D 令g(x)=ln(-3x),x∈R,则g(-x)=ln(+3x),因为g(x)+g(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)=ln(1+9x 2-9x 2)=ln 1=0,所以g(x)是定义在R 上的奇函数.又lg =-lg 2,所以g(lg2)+g=0,所以f(lg 2)+f=g(lg 2)+1+g+1=2.故选D.(2)D 令g(x)=f(x)-c=asin x+bx, 易证g(x)是奇函数.又g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-c=f(-1)+f(1)-2c, 而g(-1)+g(1)=0,c 为整数, ∴f(-1)+f(1)=2c 为偶数. 1+2=3是奇数,故不可能,选D.结论二 函数周期性问题跟踪集训2.(1)D 由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.(2)C 当x>0时,有f(x)=f(x-1)-f(x-2),①同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1),②①+②得f(x+1)=-f(x+2),即f(x+3)=-f(x).所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.故f(2 014)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22-0=1,故选C.结论三函数的对称性跟踪集训3.(1)答案 3解析因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.(2)答案 4解析因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数. f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.结论四反函数的图象与性质跟踪集训4.C 因为2x+2x=5,所以x+2x-1=,同理x+log2(x-1)=,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=的解,t2是t+log2t=的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.如图所示,t1为函数y=2t与y=-t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=-t的图象交点Q的横坐标,所以P(t1,),Q(t2,log2t2),所以P,Q为对称点,且t1+t2=t1+=t1+=.所以x1+x2=t1+1+t2+1= +2=.故选C.结论五两个对数、指数经典不等式跟踪集训5.(1)B 由题意得f(x)的定义域为{x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.令g(x)=ln(x+1)-x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排除A,C,故选B.(2)证明令g(x)=f(x)-=e x-x2-x-1,x∈R.g'(x)=e x-x-1,由经典不等式e x≥x+1恒成立可知,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上为单调递增函数,且g(0)=0,所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.结论六三点共线的充要条件跟踪集训6.答案解析解法一:由=λ+μ及题意得=λ·(+)+μ·(+),则++ =0,得++=0,得λ+μ-1+=0.又因为,不共线,所以由平面向量基本定理得解得所以λ+μ=.解法二:如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得AB=AT,∴==λ+μ.∴=λ+μ,∵T、M、N三点共线,∴λ+μ=1,则λ+μ=.结论七三角形“四心”的向量形式跟踪集训7.(1)D 由·=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥,∴P是△ABC的垂心.(2)C 设BC的中点为M,则=,则有=+λ,即=λ,∴P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.(3)B 解法一:为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),∴λ的方向与+的方向相同.=+λ,∴点P在上移动.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选B.解法二:由于P点轨迹通过△ABC内一定点且该定点与O点位置和△ABC的形状无关,故取O点与A点重合,由平行四边形法则很容易看出P点在∠BAC的平分线上,故选B.结论八等差数列跟踪集训8.(1)答案90解析(S20-S10)-S10=(S30-S20)-(S20-S10),S30=3S20-3S10=3×50-3×20=90.(2)答案 5解析设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,由已知条件,得解得又S偶-S奇=6d,所以d==5.结论九等比数列跟踪集训9.答案31解析由等比数列的性质知,a1a5=a2a4=,则++++=++====31.结论十多面体的外接球和内切球跟踪集训10.(1)A 因为该三棱柱外接球的表面积是16π,所以外接球的半径R=2.又直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,故该三棱柱的侧棱长是=,故选A.(2)C 由题意知,正三角形ABC的外接圆半径为=,则AB=3,过点E的截面面积最小时,截面是以AB为直径的圆面,截面面积S=π×=.结论十一焦点三角形的面积公式跟踪集训11.(1)D 设双曲线C2的方程为-=1,则有+===4-1=3.又四边形AF1BF2为矩形,所以焦点三角形AF1F2的面积为tan 45°=,即==1.所以=-=3-1=2.故双曲线的离心率e==== .故选D.(2)答案 3解析在焦点三角形PF1F2中,⊥,故=|PF1||PF2|,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,|PF1|+|PF2|=2a,则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=|F1F2|2,4a2-2|PF1|·|PF2|=4c2,所以|PF1||PF2|=2b2,则=b2=9,故b=3.结论十二圆锥曲线的切线问题跟踪集训12.(1)A 如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又k AB·k PC=-1,且k PC==,∴k AB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.(2)答案x+2y-4=0解析由于点P在椭圆+=1上,故所求的切线方程为+=1,即x+2y-4=0.结论十三圆锥曲线的中点弦问题跟踪集训13.(1)答案解析设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,则k1·k2=-=-,又k2∈[-2,-1],所以k1∈.(2)证明设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),C(x0,0),k AC==,又k PA==k,所以k AC=,由k BA·k BP =-知,k BP·k BA=k BP·k AC=·k PB=-,所以k PB·k=-1,即PA⊥PB.结论十四圆锥曲线中的一类定值问题跟踪集训14.解析设直线AE的方程为y=k(x-1)+,联立得消去y,整理得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+4-12=0,则x E==.①同理,可得x F=.②所以k EF===,将①②代入上式,化简得k EF=.所以直线EF的斜率为定值,这个定值为.结论十五圆锥曲线中的一类定点问题跟踪集训15.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得消y,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,则有Δ=(8km)2-4(4k2+3)·(4m2-12)>0,即m2<4k2+3,即m2<4k2+3,①因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),所以(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0, 即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.把①代入化简得7m2+16km+4k2=0,得m=-2k或m=-.当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;当m=-时,直线l:y=kx-过定点,且满足m2<4k2+3,符合题意.所以l:y=kx+m过定点.结论十六抛物线中的三类直线与圆相切问题跟踪集训16.答案 2解析如图所示,因为·=0,所以MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上,又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,0),所以有MF⊥AB,又k MF==-,所以k AB=2.。
高中数学重要结论
一．集合与简易逻辑1． 摩根律： ðU (A ∪B)= (ðU A)∩( ðU B)；ðU (A ∩B)=( ðU A)∪( ðU B). 2． 分配律：（A ∩B ）∪C=(A ∪C)∩(B ∪C)； (A ∪B)∩C=(A ∩C)∪(B ∩C). 3． 结合律：(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C)； (A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) 4． 吸收率：A ∩(A ∪B)=A ； A ∪(A ∩B)=A.5． 容斥原理：card (A ∪B)= card A+ card B- card (A ∩B)；card (A ∪B ∪C)= card A+ card B+ card C- card (A ∩B) -card (B ∩C) - card (C ∩A) + card (A ∩B ∩C)6． 对于条件A 和结论B 若条件A 能推出结论B ，则条件A 是结论B 成立的充分条件；若结论B 能推出条件A则条件A 是结论B 成立的必要条件。
二．函数1． 函数图像变换：① 函数y=f(x)的图像与函数y=f(-x)的图像关于y 轴对称； ② 函数y=f(x)的图像与函数y=-f(x)的图像关于x 轴对称； ③ 函数y=f(x)的图像与函数y=-f(-x)的图像关于原点对称；④ 函数y=f(x)的图像与函数y=f -1(x)的图像关于直线y=x 对称；⑤ 函数y=f(x)的图象与函数y= -f -1(-x)的图象关于直线y= -x 对称； ⑥ 函数y=f(x)的图象与函数y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称； ⑦ 函数f(x)的图象与函数y=2b -f(x)的图象关于直线y=b 对称； ⑧ 函数f(x)的图象与函数y=2b -f(2a -x)的图象关于点(a, b)对称；⑨ 函数y=f(|x|)的图像与函数y=f(x)的图像在y 轴右方重合，然后将右方翻折倒左方（即左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称）。
高中数学周期性常用结论
高中数学周期性常用结论1. 余数为1的整数的阶一定是2的倍数。
2. 余数为2的整数的阶一定是偶数。
3. 余数为偶数的整数的平方的余数一定是0或1。
4. 模3余数为0或3的平方的余数一定是0。
5. 模3余数为1或2的平方的余数一定是1。
6. 模4余数为1或3的平方的余数一定是1。
7. 模4余数为0或2的平方的余数一定是0。
8. m和m+2都是奇数时，m和m+2互质。
9. 偶数不能表示成两个奇质数之和。
10. 一定存在一个模4余数为3的质数。
11. 模8余数为1或7的质数的平方的余数一定是1。
12. 模8余数为3或5的质数的平方的余数一定是5。
13. 模7余数为3的整数的立方的余数一定是6。
14. 模7余数为2的整数的立方的余数一定是1。
15. 质数p（p>3）的形式一定为6k±1。
16. 奇数次方的结果的模数同底数的模数相同。
17. 质数p（p>3）的倍数n一定可以表示为n=a²+b²（a,b为整数）。
18. 任意正整数都可以表示为四个平方数之和。
19. 若公式$f(x)=ax^2+bx+c$有解，则$(a,b,c)$一定是三个连续自然数。
20. 若$a|b$且$a>1$，则$2a\\leq b$。
21. $gcd(a,b)=gcd(a,a+b)$。
22. 若$gcd(a,b)=1$，则$gcd(a+b,a-b)\\in\\{1,2\\}$。
23. 若$a|b$且$b|c$，则$gcd(a,c)=\\frac{a}{gcd(a,b)}\\cdot\\frac{b}{gcd(b,c)}\\cdot gcd(b,c)$。
24. 若$a|b$且$b|a$，则$a=\\pm b$。
25. 若$a|b$，则$a|bc$。
26. $(\\frac{a}{b},\\frac{c}{d})=\\frac{(a,c)}{(b,d)}$（$a,b,c,d$互质）。
27. $\\varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}$。
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高中数学重要结论一．集合与简易逻辑1．摩根律：U(A∪B)= (U A)∩( U B)；U(A∩B)=( U A)∪( U B).2．分配律：（A∩B）∪C=(A∪C)∩(B∪C)；(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C).3．结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)4．吸收率：A∩(A∪B)=A；A∪(A∩B)=A.5．容斥原理：card(A∪B)= card A+ card B- card(A∩B)；card(A∪B∪C)= card A+ card B+ card C-card(A∩B) - card(B∩C) - card(C∩A) + card(A∩B∩C)6．对于条件A和结论B若条件A能推出结论B，则条件A是结论B成立的充分条件；若结论B能推出条件A则条件A是结论B成立的必要条件。
二．函数1．函数图像变换：①函数y=f(x)的图像与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称；②函数y=f(x)的图像与函数y=-f(x)的图像关于x轴对称；③函数y=f(x)的图像与函数y=-f(-x)的图像关于原点对称；④函数y=f(x)的图像与函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称；⑤函数y=f(x)的图象与函数y= -f -1(-x)的图象关于直线y= -x对称；⑥函数y=f(x)的图象与函数y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称；⑦函数f(x)的图象与函数y=2b-f(x)的图象关于直线y=b对称；⑧函数f(x)的图象与函数y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a, b)对称；⑨函数y=f(|x|)的图像与函数y=f(x)的图像在y轴右方重合，然后将右方翻折倒左方（即左侧部分与其右侧部分关于y轴对称）。
事实上函数y=f(|x|)是偶函数；⑩函数y=|f(x)|的图像与函数y=f(x)的图像在x轴上方重合，然后将原先下方的部分翻折到x轴的上方去；⑪函数y=f(x+a)的图像是将函数y=f(x)的图像向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位；⑫函数y=f(ωx)的图像是将函数y=f(x)的图像上每个点的纵坐标不变横坐标压缩(ω>1)或伸长(０＜ω＜1)到原来的1ω倍；⑬函数y=f(ωx+a)的图像是将函数y=f(ωx)的图像向左(a>0)或向右(a<0)平移|aω|个单位(ω>0)。
2．奇函数和偶函数的特点：①奇函数和偶函数的定义域必关于原点对称；②奇函数若在x=0时有定义则必有f(0)=03．对称性及周期性：①若函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x) 恒成立；②若函数y=f(x)的图像关于点（a,0）对称，则f(a+x)=-f(a-x) ⇔f(x)=-f(2a-x)恒成立；③若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称，则2|a-b|是函数y=f(x)的一个周期；④若函数y=f(x)的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则2|a-b|是函数的一个周期;4．其他：①函数y=a x的图像当a>1时a越大图像越靠近y轴，当0<a<1时a越小图像越靠近y轴；②函数y=log a x的图像当a>1时a越大图像越靠近x轴，当0<a<1时a越小图像越靠近x轴；③ 对于log a x ，当a ，x 都∈(0，1)或都∈（1，+∞）时log a x>0，a 与x 一个∈（0，1）一个∈（1，+∞）时，log a x<0； ④ 对数换底公式：log a N =log log m m Na；推论：1°.log n m a b =log a mb n；②log a b 1·log b1b 2·log b2·b 3……log bn-2b n-1·log bn-1c=log a c ⑤ 对于函数y=ax+bx，当a>0，b<0时在(0)(0+)-∞∞，和，上递增；当a<0，b>0时在-0)∞（，和(0)+∞，上递减；当a>0，b>0时在(-∞，和)+∞上递增，在[)和(0上递减；(事实上当a>0，b>0时，增减性的分界点即bax x=时x 的值)； ⑥ 如果函数y=f(x)对于区间(a ，b)上的任意x 1，x 2都有12()2x x f +≥12()()2f x f x +成立(即弦在图像下方)，则称函数y=f(x)为区间(a ，b)上的上凸函数，若都有12()2x x f +≤12()()2f x f x +成立(即弦在图像上方)，则称函数y=f(x)为区间(a ，b)上的下凸（或凹）函数；三．数列a) 数列{a n }的前n 项和为S n 则a n = 11n n S S S -⎧⎨-⎩12n n =≥2．等差数列的通项公式形式为a n =kn+b,其中k 为公差；前n 项和公式的形式为S n =An 2+Bn ，其中A 为公差的一半即2d 。
由此可得，点（n , S nn）必在同一直线y=Ax+B 上3．等比数列的前n 项和公式形式为S n =A －Aq n ，其中A=1a q-； 4．等差数列{a n }中，公差d=n ma a n m--；等比数列{a n }中，公比q 满足q n-m =n m a a ；5．等差数列{a n }中，若n 为偶数，则S S -偶奇=n2d ， n2n 12a a S S +=奇偶；若n 为奇数，则Ｓ奇－Ｓ偶=a 1+12n -d=a 中，11S n S n +=-奇偶，S n =n n 12a +； 6．等差数列{a n }中，若a n =m ，a m =n ，则a m+n =0；若S n =m ，S m =n ，则S m+n =－(m+n)；7．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则其依次k 项和还成等差数列，且公差为k 2d ； 8．若数列{a n }是公比为q (q ≠-1)的等比数列，则其依次k 项和还成等比数列，且公比为q k ； 9．若数列满足递推关系：a 1=m ，a n =Aa n-1+B （n ≥2），其中A, B 为非零常数且A ≠1，则只需等式两边同时加1B A -，即可构造等比数列{a n +1B A -}，且公比为A ，首项为m+1BA -； 10．若数列{a n }满足递推关系：a 1=m, a n+1=A a n +B p n，A 、B 为非零常数，A ≠1且A ≠p ，则只需两边同加Bp A-p p n+1，即得等比数列{a n + Bp A-p p n },且公比为A ，首项为m + BpA-p p.注： ⑴ 当A=1时，利用累加的方法求通项；⑵ 当A=p 时，只需等式两边同除以p n+1即得等差数列{ a n pn } ，公差为 B p .11．数列求和公式：⑴ 1+2+3+…+n= n(n+1)2；⑵ 1+3+5…+(2n-1)=n 2；⑶ 12+22+32+…n 2= 16n(n+1)(2n+1)； ⑷ 13+23+33+…+n 3= 14n 2(n+1)2四．三角函数1． 降幂公式：sin 2x=1cos 22α-；cos 2x=1cos 22α+； 2． 半角正切公式：tan 2α=1cos sin αα-=sin 1cos αα+；3． 万能置换公式：sin α=22tan21tan 2αα+；cos α=221tan 21tan 2αα-+；tan α=22tan21tan 2αα-；4． 2tan cot 2csc 2sin 2αααα+==，tan cot 2cot 2ααα-=-；5． 函数y=Asin(ωx+φ)+B 与y=Acos(ωx+φ)+B 的对称中心和对称轴：对称中心即使复合角的正弦或余弦等于零的点，对称轴即使复合角的正弦或余弦取得最大值或最小值的直线（即sin(ωx+φ)中的直线ωx+φ=k π+2π，k ∈Z ，cos(ωx+φ)中的直线ωx+φ=k π，k ∈Z ）；6． 函数y=Atan(ωx+φ)+B 的对称中心：y=Atan(ωx+φ)+B 的对称中心是使tan(ωx+φ)=0或不存在的点（即ωx+φ=2k π，k ∈Z 的点）； 7． θ的终边越靠近y 轴|sin θ|和|tan θ|越大；θ的终边越靠近x 轴|cos θ|和|cot θ|越大； 8． 直线y=x 上方的点所对应的角θ满足sin θ>cos θ，直线y=x 下方的点所对应的角θ满足sin θ<cos θ；直线y= -x 上方的点所对应的角θ满足sin θ+cos θ>0，直线下方的点所对应的角θ满足sin θ+cos θ<0； 9． 三角形面积公式：S △ABC =12absinC=12bcsinA=12casinB S，其中s=12(a+b+c)。
10．对于角α、β，若满足α+β= π4，则(tan α+1)(tan β+1)=2；若满足α+β= 3π4，则 (tan α-1)(tan β-1)=2五．平面向量1．对于平面上任意一点O 及点P ，A ，B ，且12OP OA OB λλ=+，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是λ1+λ2=12．△ABC 的重心坐标是G(123123)33x x x y y y ++++，；(其中A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3) )；3．向量a 在向量b 上的投影为|a |cos<a b ，>=||a bb ⋅； 4．与向量a 共线的单位向量为||a a ±； 5．设点A(x, y)，B(x, y)，O 为坐标原点，S △AOB = 12x 12y 22+x 22y 12-2x 1x 2y 1y 2 = 12|x 1y 2-x 2y 1|6. 设O ，A ，B ，C 为平面上四点，且λ1→OA +λ2→OB +λ3→OC =o ，则S △AOB ：S △AOC ：S △BOC =λ3:λ2:λ1 7. S △ABC =(|→AB ||→AC |)2-(→AB ·→AC )2 六．不等式1． 利用均值不等式求最值时需注意“一正”,“二定”，“三等”；2． ≥2a b +2ab a b +=211a b+；3． |f(x)|>g(x)⇔f(x)<-g(x)或f(x)>g(x) ；|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x)。
4．[]2()0()0()()0()()g x g x g x f x f x g x ≥⎧<⎧⎪>⇔⎨⎨≥>⎩⎪⎩或[]2()0()()0()()f x g x g x f x g x ⎧≥⎪⎪<⇔>⎨⎪<⎪⎩七．直线和圆1． 设点P(x 0，y 0)关于直线Ax+By+C=0的对称点为 '('')P x y ，则 00022000222()'2()'A Ax By C x x A B B Ax By C y y A B++⎧=-⎪⎪+⎨++⎪=-⎪⎩+；2． 经过两直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0和l 2：A 2x+B 2y+C 2=0的交点的直线系为：A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0 (不包括l 2) ；3． 经过两圆C 1：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0和C 2：x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0的交点的圆系为：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0 （不包括C 2），特别的两圆方程相减所得的直线方程即为两相交圆公共弦所在直线方程；4． 圆与直线的位置关系一般用圆心到直线的距离同半径的大小关系判定；两圆的位置关系用圆心距同半径的和与差的大小关系判定； 5． 圆的弦长一般用弦心距和半径求得；6． 圆上的点到定点P 的距离的最大值为点P 到圆心的距离加半径，最小值为点P 到圆心的距离与半径的差；7． 圆外一条直线l 与圆上的点的最大距离为圆心到直线l 的距离加半径，最小距离为圆心到直线l 的距离减半经；8． 若点P 0(x 0，y 0)在圆C ：x 2+y 2=r 2上则方程x 0x+y 0y=r 2表示圆C 在P 0处的切线方程；若点P 0(x 0，y 0)在圆C 外则方程x 0x+y 0y=r 2表示过P 0的切线与圆C 的两切点之间的连线（即切点弦所在直线）方程；类似的若点P 0在圆C ：(x －a)2+(y －b)2=r 2上则方程(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2表示圆C 在P 0处的切线方程；若点P 0(x 0，y 0)在圆C 外则方程(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2表示过P 0的切线与圆C 的两切点之间的连线方程； 9． 与直线Ax+By+C=0平行的直线系为Ax+By+C ’=0（C ’≠C ）；与直线Ax+By+C=0垂直的直线系为Bx-Ay+C ’=0；10．以A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)为直径的圆的方程为：(x －x 1) (x －ｘ2)＋（ｙ－y 1）(ｙ－ｙ2)=0 11．当B>0时Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0上方的区域，Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0下方的区域；当B<0时Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0下方的区域，Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；八．圆锥曲线1． 弦长公式：设直线y=kx+b 与二次曲线交于两点A(x 1，y 1)和B(x 2，y 2)，则12|x x -==12|y y -= 2． 焦半径公式：设F 1和F 2分别为中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆或双曲线的左、右两焦点，P(x 0，y 0)为椭圆或双曲线上任意一点，则|PF 1|=|a+ex 0|，|PF 2|=|a －ex 0|；若P(x 0，y 0)为焦点在x 轴上的抛物线y 2=kx ，(k ≠0)上任意一点，F 是其焦点，则|PF| =0||||4kx +（若是焦点在y 轴上的抛物线x 2=ky 则|PF|=|4k|+|y 0|）；若F 为椭圆的左焦点、双曲线的右焦点及开口向右的抛物线的焦点，P 是圆锥曲线上的任意一点，θ为以FX 为始边FP 为终边的角，则|PF|=1cos epe θ-，其中e 为离心率，p 为焦点到准线的距离，特别地若是椭圆或双曲线则|PF|=2cos b a c θ-，若是抛物线则|PF|=1cos pθ-3． 通径：椭圆和双曲线的通径为22b a；抛物线的通径为2p ；4． 椭圆和双曲线的焦点到准线的距离为2b c；抛物线的焦点到准线的距离为p ；5． 设椭圆的左右两焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上任意一点，∠F 1PF 2=ϕ，则12F PF S=b 2tan2ϕ且当P 为椭圆的短轴端点时∠F 1PF 2最大；若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，则椭圆离心率e=cos2cos2αβαβ+-； 6． 设双曲线的左右两焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任意一点，∠F 1PF 2=ϕ，则12F PF S=b 2cot2ϕ；若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，则双曲线的离心率e=sin2|sin |2αβαβ+-；7． 双曲线22(000)x y k m n k m n -=>>≠，，，的渐近线方程为：220x y m n-=（即让常数项为零的两直线）；反之以直线0x ya b±=为渐近线的双曲线系为：2222,0)x y k a b -=≠（k ；（k>0时焦点在x 轴上，k<0时交点在y 轴上）；8． 双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足恰为渐近线与相应准线的交点； 9． 椭圆中包含a ，b ，c 的直角三角形的三个顶点是原点、短轴端点及焦点；双曲线中包含a ，b ，c 的直角三角形三个顶点为原点、顶点及过顶点的切线与渐近线的交点，或实轴、虚轴端点及原点，或原点、焦点及过焦点向渐近线所引垂线的垂足；10．过抛物线y 2=2px 的焦点的直线与抛物线交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，则y 1y 2= -p 2，x 1x 2=24p ；11．过抛物线y 2=2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，设A 、B 两点在抛物线的准线上的射影分别为A ’、B ’，则∠A ’FB ’=90°；12．设直线l 与抛物线y 2=2px 交于两点A 、B ，若∠AOB=90°则直线l 必过定点(2P ，0)； 13．以过圆锥曲线焦点的弦为直径的圆，同相应准线的位置关系如下：若是椭圆则相离；若是双曲线则相交；若是抛物线则相切。