【师说】2016届高考数学(理)一轮课件：4-2平面向量基本定理及坐标表示
③基底
④平行
⑤向量
⑥
⑨坐标 ⑫(x1＋x2， y1＋y2) ⑬ 1 ⑰± 2 2 x ＋y
⑩(x2－x1， y2－y1)
⑪ x2－x12＋y2－y12
(x1－x2， y1－y2) ⑭(λx1， λy1) (x，y) ⑱x1＝x2 且 y1＝y2
a ⑮x1y2－x2y1＝0 ⑯± |a|
1．基底的不唯一性 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的 选取不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组基底 e1，e2 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
2．向量坐标与点的坐标区别 → 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝a，点 A 的位 置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x，y)， → 但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)，向量 a＝OA＝(x，y)． → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变即O1A1＝OA＝(x， → y)，但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化．
)
1→ 1 → → → 解析：依题意得AB＝OB－OA＝(－4,6)， AB＝ (－4,6)＝(－ 2 2 2,3)，选 A.
答案：A
2．已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，x)，若 a＋b 与 4b－2a 平行， 则实数 x 的值是( A．－2 C ．1 ) B．0 D．2
解析：依题意得 a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)， ∵a＋b 与 4b－2a 平行， ∴3(4x－2)＝6(x＋1)， 由此解得 x＝2， 选 D.
考点一
平面向量基本定理
例
1
如图所示， 在平行四边形 ABCD 中， M， N 分别为 DC，
→ → → → BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
→ → 解析：设AB＝a，AD＝b. 因为 M，N 分别为 CD，BC 的中点， → 1 → 1 所以BN＝2b，DM＝2a. 1 c＝b＋2a 因而 d＝a＋1b 2 2 a＝32d－c， ⇒ b＝22c－d， 3
(3) 非 零 向 量 a ＝ (x ， y) 的 单 位 向 量 为 ⑯ ____________ 或 ⑰ __________________. (4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b⇔⑱________________.
答案： ①不共线 xi＋yj ⑦a＝(x，y)
②λ1e1＋λ2e2 ⑧坐标
第四章 平面向量
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
考纲导学 1.了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1→ → → 1．已知向量OA＝(1，－2)，OB＝(－3,4)，则2AB等于( A．(－2,3) C．(2,3) B．(2，－3) D．(－2，－3)
)
①a＝(1,2)，b＝(2,4) ②a＝(1,1)，b＝(－1，－1) ③a＝(2， －3)，b＝(－3,2) ④a＝(5,6)，b＝(7,8)． A．①② B．②③ C．③④ D．②④
解析：对于①，显然 b＝2a，对于②，b＝－a，故①②不能作 为基底；对于③，因为 2×2－(－3)×(－3)≠0，所以 a，b 不共线， 故③能作为基底；对于④，因为 5×8－6×7≠0，所以 a，b 不共 线，故④能作为基底．综上应选 C.
答案：C
5．已知向量 a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋ b)∥c，则 m＝__________.
解析： a＋b＝(2－1， －1＋m)＝(1， m－1)， 由(a＋b)∥c， 得 1×2 －(m－1)×(－1)＝0，即 m＝－1.
答案：－1
1．平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个①______向量，那么对于这一 平面内的任意向量 a， 有且只有一对实数 λ1， λ2， 使 a＝②__________. 我们把不共线的向量 e1， e2 叫做表示这一平面内所有向量的一 组③______.
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
【师说点拨】 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用 平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底， 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式， 再通过向量的运算 来解决．
3．平面向量的坐标运算 → 10 __________________， (1)已知点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则AB＝○ → |AB|＝⑪______________________. (2) 已 知 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ， 则 a ＋ b ＝ ⑫ __________________ ， a － b ＝ ⑬ ______________ ， λa ＝ ⑭ ____________，a∥b(b≠0)的充要条件是⑮__________________.
答案：D
3． 已知向量 a＝(1,2)， b＝(1,0)， c＝(3,4)． 若 λ 为实数， (a＋λb) ∥c，则 λ＝( 1 A. 4 C ．1 ) 1 B. 2 D．2
解析： 可得 a＋λb＝(1＋λ， 2)， 由(a＋λb)∥c 得(1＋λ)×4－3×2 1 ＝0，∴λ＝2.
答案：B
4．下列各组向量中，能作为基底的是(
2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴④______的两个单 位⑤______i、j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一 对实数 x，y，使得 a＝⑥__________，则有序数对(x、y)叫做向量 a 的坐标，记作⑦__________，其中 x，y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上 的坐标，a＝(x，y)叫做向量 a 的坐标表示，相等的向量其⑧______ 相同，⑨______相同的向量是相等向量．
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高三数学(文)一轮复习课件4-2 平面向量基本定理及坐标表示ppt版本
由于MG与GN共线，根据共线向量定理知 M→G＝λG→N⇒13－xA→B＋13A→C ＝λy－13A→C－13A→B，
→→ ∵AB，AC不共线，
13－x＝－31λ ∴13＝λy－13
⇒13－－13x＝y－13 13⇒x＋y－3xy＝0，
两边同除以 xy 得1x＋1y＝3。
解析：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2,3)， ∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)。 ∵向量 λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，∴λ＝2。
→→
→
解析：(2)方法一：由 O，P，B 三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP
的坐标为( C )
A．(2,0)
B．(－3,6)
C．(6,2)
D．(－2,0)
(2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示。若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则μλ＝___4_______。
→
→
解析：(1)MN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设 N(x，y)，则MN＝(x－5，y
解析：∵M→N＝M→D＋D→A＋A→N＝－14a－b＋12a ＝14a－b， ∴m＝14，n＝－1。∴mn ＝－4。 答案：－4
微考点 大课堂
考点例析 对点微练
微考点
平面向量基本定理及其应用
【典例 1】已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交 于 M、N 两点，且A→M＝xA→B，A→N＝yA→C，则1x＋1y的值为__________。
＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
解析：设 C(x，y)，∵A(0,1)，A→C＝(－4，－3)，∴xy＝ －－ 1＝4－，3， 解得
→→ ∵AB，AC不共线，
13－x＝－31λ ∴13＝λy－13
⇒13－－13x＝y－13 13⇒x＋y－3xy＝0，
两边同除以 xy 得1x＋1y＝3。
解析：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2,3)， ∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)。 ∵向量 λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，∴λ＝2。
→→
→
解析：(2)方法一：由 O，P，B 三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP
的坐标为( C )
A．(2,0)
B．(－3,6)
C．(6,2)
D．(－2,0)
(2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示。若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则μλ＝___4_______。
→
→
解析：(1)MN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设 N(x，y)，则MN＝(x－5，y
解析：∵M→N＝M→D＋D→A＋A→N＝－14a－b＋12a ＝14a－b， ∴m＝14，n＝－1。∴mn ＝－4。 答案：－4
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考点例析 对点微练
微考点
平面向量基本定理及其应用
【典例 1】已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交 于 M、N 两点，且A→M＝xA→B，A→N＝yA→C，则1x＋1y的值为__________。
＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
解析：设 C(x，y)，∵A(0,1)，A→C＝(－4，－3)，∴xy＝ －－ 1＝4－，3， 解得
【与名师对话】高考数学一轮复习 4.2平面向量的基本定理及坐标运算课件 文
(x，y) 叫做向量 a 的 一对实数 x，y 使 a＝x i＋yj，把有序数对________
x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， (x，y) ， y 坐标， 记作 a＝________ 其中_____ ____
叫做 a 在 y 轴上的坐标．
→ → 向量OA的坐标(x，y) 就是终点 A 的坐 ②设OA＝x i＋yj， 则____________________
【解析】
→ → → 1→ 2→ 1→ 2 → → DE ＝ DB ＋ BE ＝ AB ＋ BC ＝ AB ＋ ( BA ＋ AC ) 2 3 2 3
1→ 2→ 1 2 1 ＝－ AB＋ AC，所以λ1＝－ ，λ2＝ ，即λ1＋λ2＝ . 6 3 6 3 2
【答案】
1 2
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形 法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定 理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表 示都是唯一的．
【拓展探究】 如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B， → → → C的任一点，M为AH的中点，若 AM ＝λ AB ＋μ AC ，则λ＋μ＝ ________.
→ AB
＝
B．(－3，－5) D．(2,4)
→ → → → → → → → 解析：由题意得BD＝AD－AB＝BC－AB＝(AC－AB)－AB＝ → → AC－2AB＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．故选B.
答案：B
3．(2015· 南京模拟)已知A(－3,0)，B(0，
3 )，O为坐标原
答案：1
考 点
互 动 探 究
考点一 平面向量基本定理及其应用
1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的 任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表 示也不同． 2．对于两个向量a，b，将它们用同一组基底表示，我们可 通过分析这两个表示式的关系，来反映a，b.
2016届高考数学一轮复习 第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标运算课件 理
(2)∵A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，B→C＝O→C－O→B＝(6，k－5)， 且A→B∥B→C，∴(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，∴k2－9k－22＝0，∴k ＝－2 或 11.
[答案] (1)－12 (2)－2 或 11
考向 3 平面向量的坐标运算(高频考点)
命题视角 通过对近两年高考试题的分析可以看出，平面向量 的坐标运算是高考命题的重点．主要命题角度有：(1)通过坐标运 算考查平面向量的基本定理；(2)通过坐标运算考查两向量平行、 垂直的关系；(3)平面向量的坐标运算在解析几何、三角函数中的 应用．
[解析] 设 C 的坐标为(x，y)，则A→B＝(－6,9)，B→C＝(x＋4，y －8)．
由A→B＋3B→C＝0，得－9＋6＋3y3－x＋8＝4＝0，0， ∴yx＝＝5－. 2， [答案] (－2,5)
3．下列各组向量中，能作为基底的有________(填序号)． ①a＝(－1,2)，b＝(5,7)； ②a＝(2，－3)，b＝(4，－6)； ③a＝(2，－3)，b＝(12，－34)． ④a＝(3,5)，b＝(6,10)．
【变式训练 1】 如图 4-2-2 所示，在△ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且A→N＝12N→C，BN 与 CM 相交于点 E，设A→B＝a，A→C＝b， 试用基底 a，b 表示向量A→E.
图 4-2-2
[解] 设A→E＝ma＋nb， 则N→E＝N→A＋A→E＝－13A→C＋A→E ＝－13b＋ma＋nb＝ma＋n－13b， N→B＝N→A＋A→B＝－13b＋a＝a－13b， ∵N，E，B 三点共线，
∴N→E∥N→B，
∴m1 ＝n－－1313，
即 m＋3n＝1，
①
C→E＝C→A＋A→E＝－b＋ma＋nb
[答案] (1)－12 (2)－2 或 11
考向 3 平面向量的坐标运算(高频考点)
命题视角 通过对近两年高考试题的分析可以看出，平面向量 的坐标运算是高考命题的重点．主要命题角度有：(1)通过坐标运 算考查平面向量的基本定理；(2)通过坐标运算考查两向量平行、 垂直的关系；(3)平面向量的坐标运算在解析几何、三角函数中的 应用．
[解析] 设 C 的坐标为(x，y)，则A→B＝(－6,9)，B→C＝(x＋4，y －8)．
由A→B＋3B→C＝0，得－9＋6＋3y3－x＋8＝4＝0，0， ∴yx＝＝5－. 2， [答案] (－2,5)
3．下列各组向量中，能作为基底的有________(填序号)． ①a＝(－1,2)，b＝(5,7)； ②a＝(2，－3)，b＝(4，－6)； ③a＝(2，－3)，b＝(12，－34)． ④a＝(3,5)，b＝(6,10)．
【变式训练 1】 如图 4-2-2 所示，在△ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且A→N＝12N→C，BN 与 CM 相交于点 E，设A→B＝a，A→C＝b， 试用基底 a，b 表示向量A→E.
图 4-2-2
[解] 设A→E＝ma＋nb， 则N→E＝N→A＋A→E＝－13A→C＋A→E ＝－13b＋ma＋nb＝ma＋n－13b， N→B＝N→A＋A→B＝－13b＋a＝a－13b， ∵N，E，B 三点共线，
∴N→E∥N→B，
∴m1 ＝n－－1313，
即 m＋3n＝1，
①
C→E＝C→A＋A→E＝－b＋ma＋nb
人教版高三数学(理)一轮总复习PPT课件：4-2 平面向量基本定理及坐标表示
x＝－4， → 所以 从而BC＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)． y＝－2，
故选 A.
第8页
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数学
→ 法二：AB＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)， → → → BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选 A.
第9页
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数学
3． (2015· 高考四川卷)设向量 a＝(2， 4)与向量 b＝(x， 6)共线， 则实数 x＝( A．2 C．4 ) B．3 D．6
1 1 答案：2 －6
第13页
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数学
考点一 平面向量基本定理及应用 命题点 平面向量线性运算的几何表示 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平 面 内 的 任 意 向 量 a ， 有且只有 一 对 实数 λ1 ， λ 2 ， 使 a ＝ λ1e1＋λ2e2 ．其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底．
C．－
2a＋ 1－
2a＋ 1－
2 b 2
第18页
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数学
解析： 选 B. 根据题意可得 △ABC 为等腰直角三角形 ， 由 ∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以 B 为原点， AB 所在直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直 角坐标系，
第10页
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数学
解析：∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得 x＝3.
第11页
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数学
→ → 4．(2015· 高考北京卷)在△ABC 中，点 M，N 满足AM＝2MC， → → → → → BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则 x＝ ；y＝ ．
故选 A.
第8页
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数学
→ 法二：AB＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)， → → → BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选 A.
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数学
3． (2015· 高考四川卷)设向量 a＝(2， 4)与向量 b＝(x， 6)共线， 则实数 x＝( A．2 C．4 ) B．3 D．6
1 1 答案：2 －6
第13页
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数学
考点一 平面向量基本定理及应用 命题点 平面向量线性运算的几何表示 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平 面 内 的 任 意 向 量 a ， 有且只有 一 对 实数 λ1 ， λ 2 ， 使 a ＝ λ1e1＋λ2e2 ．其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底．
C．－
2a＋ 1－
2a＋ 1－
2 b 2
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数学
解析： 选 B. 根据题意可得 △ABC 为等腰直角三角形 ， 由 ∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以 B 为原点， AB 所在直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直 角坐标系，
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数学
解析：∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得 x＝3.
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数学
→ → 4．(2015· 高考北京卷)在△ABC 中，点 M，N 满足AM＝2MC， → → → → → BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则 x＝ ；y＝ ．
高考数学一轮复习 4.2平面向量的基本定理及坐标运算课件 文
提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能 表示成xx12＝yy12，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1 ＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1 －x2y2＝0等．
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11
1．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于( )
答案：B
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13
3．(2015·南京模拟)已知A(－3,0)，B(0， 3 )，O为坐标原
点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，
→ OC
＝λ
→ OA
＋
→ OB
，则实数λ
的值为__________．
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14
解析：∵∠AOC＝30°，设C(x0，－ 33x0)，其中x0<0. 又O→C＝λO→A＋O→B，
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能 作基底．
问题探究2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标 是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的 向量O→A的坐标与点A的坐标相同．
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8
2．平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
叫做 a 在 y 轴上的坐标．
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6
②设O→A＝x i＋yj，则__向__量__O→_A_的__坐__标___(x_，__y_)_就是终点 A 的坐 标，即若O→A＝(x，y)，则 A 点坐标为__(x_，__y_)___，反之亦成立(O 是坐标原点)．
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7
问题探究1：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底 吗？
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11
1．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于( )
答案：B
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3．(2015·南京模拟)已知A(－3,0)，B(0， 3 )，O为坐标原
点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，
→ OC
＝λ
→ OA
＋
→ OB
，则实数λ
的值为__________．
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14
解析：∵∠AOC＝30°，设C(x0，－ 33x0)，其中x0<0. 又O→C＝λO→A＋O→B，
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能 作基底．
问题探究2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标 是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的 向量O→A的坐标与点A的坐标相同．
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2．平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
叫做 a 在 y 轴上的坐标．
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6
②设O→A＝x i＋yj，则__向__量__O→_A_的__坐__标___(x_，__y_)_就是终点 A 的坐 标，即若O→A＝(x，y)，则 A 点坐标为__(x_，__y_)___，反之亦成立(O 是坐标原点)．
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7
问题探究1：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底 吗？
2016版高考数学大一轮复习课件：第4章-第2节平面向量基本定理及坐标表示
与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题．
核
(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法
课 时
心
限
考 向
则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．
时 检
测
菜单
第十六页，编辑于星期五：二十三点 五十五分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基 础 知 识 点
方
对点训练
(2013·江苏高考)设 D，E 分别是△ABC 的边
时 检
测
a＝λb＋μ c.
菜单
第十一页，编辑于星期五：二十三点 五十五分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基 础 知 识 点
上述命题中的向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线，
方 法
技
则真命题的个数是( )
巧
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】 B
课
核
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
第十二页，编辑于星期五：二十三点 五十五分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基
础
知
识
点
考向一 [074] 平面向量基本定理及其应用
方 法 技 巧
(1)在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD
和 BC 的中点．若A→C＝λA→E＋μA→F，其中 λ，μ∈R，则 λ＋μ
＝
.
课
核
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
第十四页，编辑于星期五：二十三点 五十五分。
方
法
)
高考数学(理科)一轮复习课件：第四章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
解析：由题意，得B→D＝A→D－A→B＝B→C－A→B＝(A→C－A→B)－A→B
＝A→C－2A→B＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5).
答案：B
(3)(2015 年江苏)已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 ma＋ nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为__________.
B.c＝a－2b
C.c＝2b－a
D.c＝2a－b
4.(2017 年山东)已知向量 a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若 a∥b，
则λ＝___－__3____.
考点 1 平面向量基本定理的应用
例 1：(2017 年四川成都石室中学统测)在△ABC 中，D 是
BC 的中点，E 是 AB 的中点，CE 交 AD 于点 F，若E→F＝λA→B＋
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示. (1)了解平面向量的基本定理及其意义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这 一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1 ＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底.
易错、易混、易漏 ⊙利用方程的思想求解平面向量问题 例题：如图 4-2-1，在△ABO 中，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B， AD 与 BC 相交于点 M，设O→A＝a，O→B＝b，试用 a 和 b 表示向 量O→M.
图 4-2-1
正解：设O→M＝ma＋nb， 则A→M＝O→M－O→A＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb， A→D＝O→D－O→A＝12O→B－O→A＝－a＋12b. ∵A，M，D 三点共线，∴A→M与A→D共线. ∴存在实数 t，使得A→M＝tA→D， 即(m－1)a＋nb＝t－a＋12b.
高考数学一轮复习 必考部分 第四篇 平面向量 第2节 平
3
CN = 1 CD ,用 a,b 表示 OM , ON , MN .
3 解:因为
BA
=
OA -
OB
=a-b,
BM
=
1
BA
=
1
a-
1
b,
6 66
所以 OM = OB + BM = 1 a+ 5 b. 66
因为 OD =a+b,所以 ON = OC + 1 CD = 1 OD + 1 OD = 2 OD = 2 a+ 2 b,
知识梳理
1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对于这一平面内的 任一向量a,存在唯一一对实数λ 1,λ 2,使a= λ 1e1+λ 2e2 .我们把不共 线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量. i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,由平面向量基本定理知,有且 只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯 一确定,我们把实数对 (x,y) 叫作向量a的坐标,记作 a=(x,y) .
(2)要熟练运用平面几何的一些性质定理.
【即时训练】 (2015 厦门模拟)如图, OC =2 OP , AB =2 AC , OM =m OB , ON =n OA ,若 m= 3 ,那么 n 等于( )
8
(A) 1 (B) 2
2
3
(C) 3 4
(D) 4 5
解析:因为 AB =2 AC ,所以 C 为 AB 中点,
解析:选项A中λe1+μe2=(μ,2μ)(λ,μ∈R),不存在μ使(μ,2μ) =(3,2),可排除选项A.选项C,D中e1∥e2,但与a不共线,则a不能由e1,e2 表示,设(3,2)=x(-1,2)+y(5,-2)=(-x+5y,2x-2y)(x,y∈R),可得 x=2,y=1,所以选项B中的e1,e2可把a表示出来.故选B.
CN = 1 CD ,用 a,b 表示 OM , ON , MN .
3 解:因为
BA
=
OA -
OB
=a-b,
BM
=
1
BA
=
1
a-
1
b,
6 66
所以 OM = OB + BM = 1 a+ 5 b. 66
因为 OD =a+b,所以 ON = OC + 1 CD = 1 OD + 1 OD = 2 OD = 2 a+ 2 b,
知识梳理
1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对于这一平面内的 任一向量a,存在唯一一对实数λ 1,λ 2,使a= λ 1e1+λ 2e2 .我们把不共 线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量. i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,由平面向量基本定理知,有且 只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯 一确定,我们把实数对 (x,y) 叫作向量a的坐标,记作 a=(x,y) .
(2)要熟练运用平面几何的一些性质定理.
【即时训练】 (2015 厦门模拟)如图, OC =2 OP , AB =2 AC , OM =m OB , ON =n OA ,若 m= 3 ,那么 n 等于( )
8
(A) 1 (B) 2
2
3
(C) 3 4
(D) 4 5
解析:因为 AB =2 AC ,所以 C 为 AB 中点,
解析:选项A中λe1+μe2=(μ,2μ)(λ,μ∈R),不存在μ使(μ,2μ) =(3,2),可排除选项A.选项C,D中e1∥e2,但与a不共线,则a不能由e1,e2 表示,设(3,2)=x(-1,2)+y(5,-2)=(-x+5y,2x-2y)(x,y∈R),可得 x=2,y=1,所以选项B中的e1,e2可把a表示出来.故选B.
【师说】2016高考(新课标)数学(理)一轮全程复习构想课件：选修4-4-2坐标系与参数方程
得 3－ 2 2 2 2 ＋ ＝ 5 ，即 t －3 2t＋4＝0. t t 2 2
由于Δ＝(3 根，
2 )2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实
t1＋t2＝3 所以 t2＝4. t1·
2，
又直线l过点P(3， 5)， 故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程； (2)圆C的参数方程为 与圆C的位置关系．
x＝1＋cosα， y＝sinα
(α为参数)，试判断直线l
解析：(1)由点A
π π 2，4在直线ρcosθ－4＝a上，可得a＝ 2.
所以直线l的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2， 从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0. (2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1， 所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1， 1 2 因为圆心C到直线l的距离d＝ ＝ 2 <1， 2 所以直线l与圆C相交．
2
2
1 1 7 2－100＝5.
5．设直线l1的参数方程为
x＝1＋t， y＝1＋3t
(t为参数)，直线l2的方
程为y＝3x＋4，则l1与l2间的距离为__________．
解析：将直线l1的参数方程化成普通方程为y＝3x－2，又l2：y ＝3x＋4，故l1∥l2，在直线l1上取一点(0，－2)，其到l2：3x－y＋4 |0＋2＋4| 3 10 ＝0的距离就是l1与l2的距离，即d＝ ＝ 5 . 10
【规律方法】(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程
x＝x0＋tcosα， 的标准形式为 y＝y0＋tsinα
由于Δ＝(3 根，
2 )2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实
t1＋t2＝3 所以 t2＝4. t1·
2，
又直线l过点P(3， 5)， 故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程； (2)圆C的参数方程为 与圆C的位置关系．
x＝1＋cosα， y＝sinα
(α为参数)，试判断直线l
解析：(1)由点A
π π 2，4在直线ρcosθ－4＝a上，可得a＝ 2.
所以直线l的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2， 从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0. (2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1， 所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1， 1 2 因为圆心C到直线l的距离d＝ ＝ 2 <1， 2 所以直线l与圆C相交．
2
2
1 1 7 2－100＝5.
5．设直线l1的参数方程为
x＝1＋t， y＝1＋3t
(t为参数)，直线l2的方
程为y＝3x＋4，则l1与l2间的距离为__________．
解析：将直线l1的参数方程化成普通方程为y＝3x－2，又l2：y ＝3x＋4，故l1∥l2，在直线l1上取一点(0，－2)，其到l2：3x－y＋4 |0＋2＋4| 3 10 ＝0的距离就是l1与l2的距离，即d＝ ＝ 5 . 10
【规律方法】(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程
x＝x0＋tcosα， 的标准形式为 y＝y0＋tsinα
人教版高考数学文科一轮总复习配套课件4.2平面向量的基本定理及坐标运算
������1 ������2
= ������1 吗?
2
������
答案:若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成
������1 ������2
= ������1 ,
2
������
因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表示为 x1y2-x2y1=0.同时,a∥b 的充要 条件也不能错记 x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0 等.
7
-8基础自测
1.若 a=(3,2),b=(0,-1),则 2b-a 的坐标是( A.(3,-4) C.(3,4) B.(-3,4) D.(-3,-4)
)
关闭
∵ 2b-a=2×(0,-1)-(3,2)=(0,-2)-(3,2)=(-3,-4), 故 2b-a=(-3,-4). D
解析
关闭
答案
8
-9-
)
关闭
a+b=(1,-m)+(m2,m)=(m2+1,0).其横坐标恒大于零,纵坐标等于零,故向 量 a+b 所在的直线可能为 x 轴. 关闭
A
解析 答案
-11-
4.(2013 辽宁高考)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量������������同方向的单位向量为 ( A. )
3 4 ,5 5 3 4 5 5
2.已知 a=(4,5),b=(8,y)且 a∥b,则 y 等于( A.5 B.10 C.
32 5
) D.15
关闭
∵ a∥b,∴ 4y-40=0,得 y=10.
关闭
B
解析 答案
9
-10-
3.已知向量 a=(1,-m),b=(m2,m),则向量 a+b 所在的直线可能为( A.x 轴 C.y 轴 B.第一、三象限的角平分线 D.第二、四象限的角平分线
= ������1 吗?
2
������
答案:若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成
������1 ������2
= ������1 ,
2
������
因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表示为 x1y2-x2y1=0.同时,a∥b 的充要 条件也不能错记 x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0 等.
7
-8基础自测
1.若 a=(3,2),b=(0,-1),则 2b-a 的坐标是( A.(3,-4) C.(3,4) B.(-3,4) D.(-3,-4)
)
关闭
∵ 2b-a=2×(0,-1)-(3,2)=(0,-2)-(3,2)=(-3,-4), 故 2b-a=(-3,-4). D
解析
关闭
答案
8
-9-
)
关闭
a+b=(1,-m)+(m2,m)=(m2+1,0).其横坐标恒大于零,纵坐标等于零,故向 量 a+b 所在的直线可能为 x 轴. 关闭
A
解析 答案
-11-
4.(2013 辽宁高考)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量������������同方向的单位向量为 ( A. )
3 4 ,5 5 3 4 5 5
2.已知 a=(4,5),b=(8,y)且 a∥b,则 y 等于( A.5 B.10 C.
32 5
) D.15
关闭
∵ a∥b,∴ 4y-40=0,得 y=10.
关闭
B
解析 答案
9
-10-
3.已知向量 a=(1,-m),b=(m2,m),则向量 a+b 所在的直线可能为( A.x 轴 C.y 轴 B.第一、三象限的角平分线 D.第二、四象限的角平分线