2016年高考文科圆锥曲线大题

在直角坐标系xOy 中，直线():0l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线C ：()220y px p =>于点P M ，关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（I ）求OHON； （II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点说明理由.2. （新课标Ⅱ文数）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（I ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积(II)当2AM AN =2k <<.已知抛物线22C y x =：的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12l l ，分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.4. （2016年北京文数）已知椭圆C ：22221x y a b+=过点2,00,1A B （），（）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率；（II ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.已知椭圆:C ()222210x y a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为22.（I ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过动点()(0)0M m m >，的直线交x 轴与点N ，交C 于点A P ， (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B .(i)设直线PM QM 、的斜率分别为'k k 、，证明'k k为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点.（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b = 若l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.7. （2016年四川文数）已知椭圆E ： ()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2P ，在椭圆E 上。

(Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A B ，，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C D ，，证明： MA MB MC MD =g g设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；学.科.网（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.9. （2016年浙江文数）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1.AF - （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N AN ，与x 轴交于点.M 求M 的横坐标的取值范围.答案1. （Ⅰ）由已知得),0(t M ，),2(2t pt P . 又N 为M 关于点P 的对称点，故),(2t p t N ，ON 的方程为x tp y =，代入pxy 22=整理得0222=-x t px ，解得01=x ，p t x 222=，因此)2,2(2t pt H . 所以N 为OH 的中点，即2||||=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x tp t y 2=-，即)(2t y p tx -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H以外直线MH 与C 没有其它公共点.2. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k . 试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=.（2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故12||2|34AM x k =+=+.由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k=-+，故同理可得||AN =. 由2||||AM AN =得2223443kk k=++，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在2)2k <<. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.3. 解：（Ⅰ）由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a bA aB b P a Q b R +---. 记过B A ,学科&网两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. ......5分 （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，学科&网所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分4. 解：（I ）由题意得，2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．又c =所以离心率c e a ==． （II ）设()00,x y P （00x <，00y <），则220044x y +=．又()2,0A ，()0,1B ，所以， 直线PA 的方程为()0022y y x x =--． 令0x =，得0022y y x M =--，从而002112y y x M BM =-=+-． 直线PB 的方程为0011y y x x -=+．令0y =，得001x x y N =--，从而00221x x y N AN =-=+-．所以四边形ABNM 的面积12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+ 00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=．从而四边形ABNM 的面积为定值．5. 【答案】(Ⅰ) 22142x y +=.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB的斜率的最小值为 .【解析】试题分析：(Ⅰ)分别计算a,b 即得. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由M(0,m)，可得()()00,2,,2.P x m Q x m -得到直线PM 的斜率002m m m k x x -== ，直线QM 的斜率0023'm m mk x x --==-.证得.(ii)设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y=kx+m ， 直线QB 的方程为y=-3kx+m.联立 22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得()222214240kx mkx m +++-=.应用一元二次方程根与系数的关系得到()()()()()()()222221222222223221812118121m m k m x x kx k x k k x -----=-=++++，()()()()()()()()2222212222622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，得到2212161116.44ABy y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭应用基本不等式即得.试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，由题意知24,2a c ==所以2,a b ==， 所以椭圆C 的方程为22142x y +=.(Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由M(0,m)，可得()()00,2,,2.P x m Q x m -所以 直线PM 的斜率002m m mk x x -== ，直线QM 的斜率0023'm m m k x x --==-.此时'3k k =-， 所以'k k 为定值-3.(ii)设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y=kx+m ， 直线QB 的方程为y=-3kx+m.联立 22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()21202221m x k x -=+ ，所以()()21122221k m y kx m mk x -=+=++， 同理()()()()2222222262,181181m k m x y mk x k x ---==+++.所以()()()()()()()222221222222223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++，()()()()()()()()2222212222622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44ABy y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭由00,0m x >>，可知k>0，所以16k k +≥，等号当且仅当k =时取得.=，即m =，符号题意.所以直线AB的斜率的最小值为 .6. 解：（1）设(),x y A A A ．由题意，()2F ,0c，c =，()22241y b c b A =-=，因为1F ∆AB是等边三角形，所以2c A =，即()24413b b +=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =． （2）由已知，()2F 2,0．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．由212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，得()()()2212223613k x x k +-=-， 故()21226143k x k +AB ==-==-，解得235k=，故l 的斜率为．7. （I ）由已知，a =2b .又椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点1)2P ，故2213414b b+=，解得21b =. 所以椭圆E 的方程是2214x y +=. （II ）设直线l 的方程为1(0)2y x m m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ， 由方程组221,41,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 得222220x mx m ++-=，①方程①的判别式为24(2)m ∆=-，由∆>0，即220m ->，解得m <<.由①得212122,22x x m x x m +=-=-. 所以M 点坐标为(,)2m m -，直线OM 方程为12y x =-， 由方程组221,41,2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得(22C D -.所以25)(2)4MC MD m m m⋅=-=-.又222212121212115[()()][()4]4416MA MB AB x x y y x x x x⋅==-+-=+-22255[44(22)](2)164m m m=--=-.所以=MA MB MC MD⋅⋅.8.【答案】（Ⅰ）22143x y+=（Ⅱ）4±【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||cOF OA FA+=，得113()cc a a a c+=-，再利用2223a c b-==，可解得21c=，24a=（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO∠=∠⇔||||MA MO=，即M再OA中垂线上，1Mx=，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B；利用两直线方程组求H，最后根据HFBF⊥，列等量关系解出直线斜率.试题解析：（1）解：设(,0)F c，由113||||||cOF OA FA+=，即113()cc a a a c+=-，可得2223a c c-=，又2223a c b-==，所以21c=，因此24a=，学.科网所以椭圆的方程为22143x y+=.（2）设直线的斜率为(0)k k≠，则直线l的方程为(2)y k x=-，设(,)B BB x y，由方程组221,43(2),x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y，整理得2222(43)1616120k x k x k+-+-=，解得2x=或228643kxk-=+，由题意得228643B k x k -=+，从而21243B ky k -=+， 由（1）知(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =-u u u r ，2229412(,)4343k kBF k k -=++u u u r ， 由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅=u u u r u u u r ，所以222124904343Hky k k k -+=++， 解得29412H k y k -=，因此直线MH 的方程为219412k y x k k-=-+，设(,)M M M x y ，由方程组2194,12(2),k y x k k y k x ⎧-=-+⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2220912(1)M k x k +=+， 在MAO ∆中，MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即2222(2)M MMMx y x y -+=+，化简得1M x =，即22209112(1)k k +=+，解得4k =-或4k =， 所以直线l的斜率为k =或k =. 考点：椭圆的标准方程和几何性质，学.科网直线方程9. 【答案】（1）p=2；（2）()(),02,-∞+∞U . 【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离. 由抛物线的第一得12p=，即p=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为()24,F 1,0y x =，可设()2,2,0,1A t t t t ≠≠±.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠,由241y xx sy ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又直线AB 的斜率为221tt -，故直线FN 的斜率为212t t --，从而的直线FN:()2112t y x t -=--，直线BN:2y t=-，所以2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭， 设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：222222231t t t t t m t t +=+---， 于是2221t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞U . 考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.。