Mathematica矩阵的各种运算
第六节用Mathematica作向量、矩阵运算
4
运行得出 向量的维 数为4 矩阵是2行3列 的
2, 3
6.3.2矩阵的加、 6.3.2矩阵的加、减法 矩阵的加 相同维数的表可以相加，它的和是对 应元素的相加所得的同维的表
@D D@D DD@D @D@D@ y i D@D@D@D @D @ { @ k
m1 = Array a, 3, 2 m2 = Array b, 3, 2 MatrixForm m1 + m2 a 1, 1 + b 1, 1 a a 2, 1 + b 2, 1 a a 3, 1 + b 3, 1 a ; ;
6.4 向量和矩阵的乘法
a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
6.4.2 矩阵乘矩阵 计算下列矩阵的乘积
a1 b1 c1 c2 a2 a3 . d1 d2 b2 b3 e1 e2
iy J N{ k
J
m = a ,a ,a , b ,b ,b 1 1 2 3 1 2 3 m = c ,c , d ,d , e ,e 2 1 2 1 2 1 2 m .m 1 2
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
向量和矩阵的输入 获得表的元素 表的维数和加、减法 表的维数和加、 向量和矩阵的乘法 关于矩键盘输入一个表，用{ }将表的元素 括起，元素之间用逗号分隔。 括起，元素之间用逗号分隔。 例1 输入数据列0，16，64，144，256。定 义为变量data data={0,16,64,144,256} 例2 输入矩阵M= 2 5 1 0 1 3 1 2 2
1 1 1 1 1 1 ,0 - , 0 , - , - ,- , , ,0 2 2 2 2 2 4
例14 求上例中矩阵的特征值
8D8 < < < 8 @> > :> : : @D 8<
mathematica 矩阵 符号运算
mathematica 矩阵符号运算
在Mathematica 中进行矩阵的符号运算是一个相对直接的过程。
以下是一些基本的示例：
创建矩阵：
在Mathematica 中，可以使用大括号{} 来创建矩阵。
例如，创建一个3x3 的矩阵A：
, a2, a3}, {b1, b2, b3}, {c1, c2, c3}}
a1, a2, ...` 是元素。
矩阵乘法：
使用* 运算符进行矩阵乘法。
例如，将矩阵A 和B 相乘：
, e2, e3}, {f1, f2, f3}}
A * B
法。
矩阵加法：
使用+ 运算符进行矩阵加法。
两个矩阵必须有相同的维度才能相加。
例如：
这将执行矩阵加法。
4. 元素级别的运算：
使用 .* 和/.* 运算符进行元素级别的乘法和除法。
例如：
B (点乘)
A/B (逐元素除法)
的逆**：
使用Inverse 函数计算矩阵的逆。
注意，不是所有的矩阵都有逆矩阵，只有可逆的矩阵才有。
例如：
]
使用Det 函数计算矩阵的行列式。
不是所有的矩阵都有行列式，只有方阵才有。
例如：
行列式。
7. 求矩阵的特征值和特征向量：
使用Eigenvalues 和Eigenvectors 函数分别计算矩阵的特征值和特征向量。
注意，不是所有的矩阵都有特征值或特征向量，只有方阵才可能有。
例如：
Eigenvalues[A]
Eigenvectors[A]
特征向量。
9、用Mathematic计算行列式、矩阵
9、用Mathematic 计算行列式、矩阵 在Mathematica 系统中，有固定的输入法和函数对矩阵的有关问题进行计算。
所以必须要掌握这些输入法与函数。
如：1、求行列式在Mathematica 系统中，用函数Det[b]求行列式的值，其中b 是所给行列式的元素所构成的二维数表，b 的一维子表顺次由行列式的逐行（或列）上的元素构成.例1计算行列式.1245101124126853D -= 解：}};1,2,4,5{},1,0,1,1{},2,4,1,2{},6,8,5,3{{b ]1[In -==：]b [Det ]2[In =：122]2[Out -=2、矩阵的加法在Mathematica 系统中，矩阵的加减法实际上就是二维数表间的相应加减法.在二维数表的表达式后输入//MatrixForm 可输出矩阵形式的表达式.例2已知矩阵,612342017915,864202109751⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A 求.B A +解：}};8,6,4,2{},0,2,1,0{},1,5,7,9{{a ]1[In -==：}};6,1,2,3{},4,2,0,1{},7,9,1,5{{b ]2[In --==：b a ]3[In +=：b a ]4[In +=：//MatrixForm}{5,6,5,14},{1,-1,0,4}6},{{6,6,16,1]3[Out ==MatrixForm //]4[Out⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1456540111616663、矩阵的乘法在Mathematica 系统中，矩阵用二维数表表示，矩阵a 与b 的乘法运算用ba ⋅表示.其中“∙”表示矩阵乘法运算符号.例3设矩阵,01202131,431103⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A 求.AB 解：]b ,a [Clear ]1[In =：；：}}1,4{},0,3{},13,{{a ]2[In -== ；： 2,1,0}}0,{1,3,1,2}{{b ]3[In -== b a ]4[In ⋅=：；，，，，，，5,5,2}}{1,0},36{06},211{{3]3[Out --= 4、矩阵的转置在Mathematica 系统中，求矩阵A 的转置矩阵用函数Transpose[A].例4若矩阵,452331021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 求.AA ,A T T 解：；：}},2,453,3,{},1,2,0,1{{a ]1[In == MatrixForm//a]Transpose[]2[In =： a];T ranspose[b ]3[In ==：orm b//MatrixF a ]4[In ⋅=：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=452331021MatrixForm //]2[Out ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=204754546MatrixForm //]4[Out 5、矩阵的逆矩阵在Mathematica 系统中，求矩阵A 的逆矩阵用函数Inverse[A].例5求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A 的逆矩阵。
Mathematica教程第五章线性代数运算命令与例题
北京交通大学
5.1向量与矩阵的定义
数学上矩阵是这样定义的: 由个数排成m行n列的数表:
称为m行n列矩阵，特别，当m=1时就是线性代数中的向量。 记作:
两个矩阵称为同型矩阵。
nSinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6in5Sin4SinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6in5S4inSinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6in5Sin4SinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6in5Sin4SinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6in5S4inSinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6inS5inS4inS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6in5S4inSinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nS
{{d,b}{,c, a}
Out[20]:={a + 2 b， 3 a + 4 b， 5 a + 6 b}
1 2 3
4
bacdbacdbac{d{bdac,db}{,c, a}
例15:求矩阵
2 1
3 1
1 1
与 2
1
的乘积。
bacdbacdbacdbacd
1
mathematica矩阵相乘
mathematica矩阵相乘Mathematica是一种强大的数学软件，其中的矩阵相乘功能可以帮助我们进行矩阵运算。
矩阵相乘是线性代数中的重要概念之一，它可以帮助我们解决各种实际问题。
我们来看看什么是矩阵相乘。
矩阵相乘是指将两个矩阵进行运算，得到一个新的矩阵的过程。
在Mathematica中，我们可以使用Dot 函数来进行矩阵相乘运算。
在Mathematica中，我们可以用以下的方式定义一个矩阵：m1 = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};m2 = {{9, 8, 7}, {6, 5, 4}, {3, 2, 1}};这样我们就定义了两个3x3的矩阵m1和m2。
接下来，我们可以使用Dot函数将这两个矩阵进行相乘运算：result = Dot[m1, m2];运行以上代码后，我们可以得到一个新的矩阵result，它是矩阵m1和m2相乘的结果。
我们可以使用MatrixForm函数来美化输出结果：MatrixForm[result]矩阵相乘的结果如下所示：10 8 628 23 1846 38 30矩阵相乘的运算规则是：两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
相乘后的矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
如果不满足这个条件，矩阵相乘将无法进行。
矩阵相乘在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用矩阵相乘来进行坐标变换。
在机器学习中，矩阵相乘可以帮助我们进行特征提取和数据降维。
在网络推荐系统中，矩阵相乘可以帮助我们计算用户的偏好和物品的相似度。
除了矩阵相乘，Mathematica还提供了其他一些与矩阵相关的功能。
例如，我们可以使用Transpose函数来进行矩阵的转置操作。
我们也可以使用Eigenvalues和Eigenvectors函数来计算矩阵的特征值和特征向量。
这些功能可以帮助我们更好地理解和分析矩阵。
总结一下，Mathematica提供了强大的矩阵相乘功能，可以帮助我们进行矩阵运算。
mathematica矩阵运算
二、实验目的
熟悉Mathematica软件中关于矩阵运算的各 种命令
三、常用命令
1. MatrixForm[A] 功能：把矩阵A屏幕输入．
2. Transpose［A］ 功能：乘矩阵A的转置矩阵．
3. A+B 功能：求矩阵A与B的和运算．
4. A-B 功能：求矩阵A与B的减运算．
MatrixForm[A]
Out[1]:={{-2,5,-1,3},{1,-9,13,7},{3,-1,5,-5},{2,8,-7,-10}}
2 5 1 3
Out[2]//MatrixForm=
1
3
9 13 1 5
7
5
2
8
7
10
In[3]:=Det[A]
Out[3]:=312
2.In[4]：B=Transpose[A] MatrixForm[B]
四、例子
简单操作步骤
In[1]:=A={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,3}} MatrixForm[A]
Out[1]:={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,3}}
Out[2]//MatrixForm=
3 1 1
2
1
2
1 2 3
In[3]:=B={{1,1,-1},{2,-1,0},{1,0,1}} MatrixForm[B]
Out[4]:={{-2,1,3,2},{5,-9,-1,8},{-1,13,5,-7},{3,7,-5,-10}}
2 1 3 2
Out[5]//MatrixForm=
5
9 1
8
1 13 5 7
3
Mathematica的主要功能
3、数
Mathematica 以符号运算为主，这与一些语言有所不同，例如源自, e, 2 ,3
2 等符号表示准确数，近似数用带小数点的数表示，例如
1.2，2.3*10^5 等。Mathematica 中求近似值以及近似值的精度控制
函数为函数“N”，其调用格式如下：
N[表达式] 计算表达式的近似值，具有机器规定的精度（16 位有 效数字），但是按标准输出只显示前 6 位有效数字
每次运行结束后，Mathematica 会自动在输入的式子前面加上 “In[n]：=”（n 表示输入命令的序列号），在输出的答案前面加上 “Out[n]=”（n 表示输出结果的序列号），以便分清输入和输出并 自动加上编号。可以用“%”表示前一个输出的内容，“%%” 表 示倒数第 2 个输出的内容，依此类推，“% n”表示第 n 个（即 Out[n]）输出的内容。也就是说 Mathematica 输出的内容被系统 记忆，它们可以像其它变量一样在后面的计算中引用。
四、编程基础
1、自定义函数
前面介绍了 Mathematica 本身自带的内置函数，下面我们以实 例来说明定义函数的方法。例如，要定义函数 f (x) ex (sin x 1) ln x2 ， 我们只要键入命令 f[x_]:=Exp[x]*(Sin[x]+1)+Log[x^2] 运行即可。
注意：在函数的自变量后面有一个下划线“_”，这表示 x 为自变量， 可以把 x 代入为任何的值进行计算；等号前面的有个冒号，表示定 义函数。同样可以定义多变量函数。定义了函数 f[x]后，可以直接 地调用 f[x]来进行符号数学运算（例如积分、微分等）
三、基本代数运算
下面介绍一些实现基本代数运算的函数，用于变换数学表达式、解 方程和解不等式。Mathematica 具有强大的符号运算功能，下面列 举的函数均可代入具有字母的表达式进行计算，得到精确解。
mathematics矩阵运算
mathematics矩阵运算矩阵运算是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括物理、工程、计算机科学和金融等。
本文将一步一步地介绍矩阵的定义、基本运算、特殊类型的矩阵以及一些常见的矩阵运算。
一、矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，可以用方括号表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2} \\a_{3,1} & a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]其中，\[a_{i,j}\]表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵中的元素可以是实数或者复数。
二、基本运算1. 矩阵的加法和减法：两个相同大小的矩阵可以进行加法和减法运算。
对应位置上的元素相加或相减，得到的结果矩阵具有相同的大小。
例如，对于两个3行2列的矩阵\[A\]和\[B\]，它们的和\[A + B\]可以表示为：\[A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} \\a_{3,1}+b_{3,1} & a_{3,2}+b_{3,2} \\\end{bmatrix}\]2. 矩阵的标量乘法：矩阵可以与一个实数或者复数进行乘法运算，我们称之为标量乘法。
将矩阵中的每一个元素与标量相乘，得到的结果矩阵具有相同的大小。
例如，对于一个3行2列的矩阵\[A\]和一个标量\[k\]，它们的乘积\[k \cdot A\]可以表示为：\[k \cdot A =\begin{bmatrix}k \cdot a_{1,1} & k \cdot a_{1,2} \\k \cdot a_{2,1} & k \cdot a_{2,2} \\k \cdot a_{3,1} & k \cdot a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]3. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是定义在两个矩阵之间的运算，它不同于矩阵加法和减法。
mathematica数值计算
mathematica数值计算Mathematica是一款强大的数学计算软件，可以进行各种数值计算和符号计算。
本文将介绍Mathematica在数值计算方面的应用。
一、数值计算的基础在Mathematica中，我们可以使用各种内置函数进行数值计算。
比如，我们可以使用N函数将一个表达式或方程转化为数值，并指定精度。
例如，我们可以计算sin(π/4)的数值：N[Sin[π/4]]结果为0.707107。
二、数值积分Mathematica提供了强大的数值积分功能。
我们可以使用NIntegrate函数对函数进行数值积分。
例如，我们可以计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的积分：NIntegrate[x^2, {x, 0, 1}]结果为0.333333。
三、数值方程求解Mathematica还可以解决各种数值方程。
我们可以使用NSolve函数对方程进行数值求解。
例如，我们可以求解方程x^2 - 2x + 1 =0的解：NSolve[x^2 - 2x + 1 == 0, x]结果为{{x -> 1}}，即方程的解为x=1。
四、数值优化Mathematica也可以进行数值优化。
我们可以使用NMinimize函数对一个函数进行最小化。
例如，我们可以求解函数f(x) = x^2的最小值：NMinimize[x^2, x]结果为{x -> 0.}，即函数的最小值为0。
五、数值微分Mathematica还提供了数值微分的功能。
我们可以使用ND函数对函数进行数值微分。
例如，我们可以计算函数f(x) = x^2的导数在x=1的值：ND[x^2, x, 1]结果为2，即函数在x=1处的导数为2。
六、数值级数求和Mathematica可以对级数进行数值求和。
我们可以使用NSum函数对级数进行数值求和。
例如，我们可以计算级数1/2^k的和：NSum[1/2^k, {k, 1, ∞}]结果为1，即级数的和为1。
数学实验3-用Mathematica的相应功能进行向量、矩阵运算
命令： 命令：Table[n^2,{n,1,10}] 以内的奇数。 例4：给出 以内的奇数。 ：给出30以内的奇数 命令：Table[n,{n,1,30,2}] 命令： 例5：生成四阶单位阵。 ：生成四阶单位阵。 命令： 命令：IdentityMatrix[4] 为对角元的对角矩阵， 例6：生成一个以 ：生成一个以1,2,3,4,5为对角元的对角矩阵， 并用 为对角元的对角矩阵 矩阵形式表示。 矩阵形式表示。 命令： 命令：DiagonalMatrix[{1,2,3,4,5}] MatrixForm[%]
关于矩阵的几个常用函数
a b 例12: (1).求矩阵 c d 的逆矩阵 求矩阵 1 2 3 (2).求矩阵 4 5 6 的转置矩阵 求矩阵 7 8 9 (3).求（2）中矩阵的行列式 求 ） (4).求（2）中矩阵的逆矩阵 求 ）
(1) Inverse[{{a,b},{c,d}}] (2) m={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}} m1=Transpose[m] (3) Det[m] (4) Inverse[m]
1 2 4 5
3 6
的维数
表的维数和矩阵的加、 表的维数和矩阵的加、减法
矩阵的加、 矩阵的加、减法 在Mathematica中，矩阵可以表述成表，而相同维数 中 矩阵可以表述成表， 的表可以相加， 的表可以相加，它的和是两表对应元素相加所得的 同维的表。 同维的表。 例9：{a1,a2,a3}+{b1,b2,b3} ： 例10：m1=Array[a,{3,2}] ： m2=Array[b,{3,2}] MatrixForm[m1+m2]
关于矩阵的几个常用函数
2x1 + x 2 − 5x3 + x 4 = 8 x1 − 3x 2 − 6x 4 = 9 例13：求方程组 2x − x + 2x = −5 ： 的解 2 3 4 x1 + 4x 2 − 7x3 + 6x 4 = 0
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Mathematica可进行矩阵的各种运算,如矩阵求逆、矩阵的转置、矩阵与向量的乘法等.下面列出主要的运算.记k为常数,u,v为向量,A,B为矩阵
k*A------------------------常数乘矩阵
k+u-----------------------向量u的每一个元素加上k
u+v----------------------向量的对应元素相加
u.v-----------------------向量的内积
u*v-----------------------向量的对应元素相乘
A.u---------------------矩阵乘向量
u.A-----------------------向量乘矩阵
A.B--------------------------矩阵乘矩阵
Transpose[A]-----------------求矩阵A的转置阵
Inverse[A]--------------------求矩阵A的逆矩阵
Det[A]-------------------------求矩阵A的行列式
Eigenvalues[A]-----------------求数字阵A的特征值
Eigentvectors[A]---------------求数字阵A的特征向量
LinearSolve[A,v]---------------求解线性方程组Ax=v
Chop[%n]-------------------舍去第n个输出中无实际意义小量
矩阵可以左乘以向量或右乘以向量, Mathematica也不区分“行”,或“列”向量,自动进行可能的运算.
例:
In[1]:=A={{a,b},{c,d}}; v={x,y};
In[2]:=A.v (A左乘以v)
Out[2]={ax+by,cx+dy}
In[3]:=v.A (A右乘以v)
Out[3]={ax+cy,bx+dy}
In[4]:=Inverse[A]
Out[4]=
如果矩阵的元素是近似数，则求出的逆矩阵也是近似的。
In[5]:=B={{1.2,5.7},{4.2,5.6}}; Inverse[B]
Out[5]=
In[6]:=%.B
Out[6]=
结果与单位矩阵有微小误差，用函数Chop消去无实际意义小量
In[7]:=Chop[%]
Out[7]={{1.,0},{0,1.}}
前面已介绍了用Solve解线性方程组，但对于矩阵形式Ax=v的线性方程组，用
LinearSolve[A,v]更方便.
In[8]:=M={{2,1},{1,4}}; LinearSolve[M,{a,b}]
有些符号打不出来，你也可以参见（
http://210.41.4.20/course/22/23/sm00/Mathmatics/smf142.htm）
Out[8]=
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）。