概率与统计第2章——概率论课件PPT

2)正则性
pk 1 其中“
pk "
表示对一切 p 求和。 k
k
k
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例2.5 掷一颗均匀的骰子，用R.V 表示掷出的 点数，写出的分布律。 解： 的所有可能取值为：1，2 ，…，6
1 2 3 4 56
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
一般地：如果 的分布律为：
P{= xk}=
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例2.2 掷一颗骰子，令X ：出现的点数． 则 X就是一个随机变量．它的取值为1，2，3，
4，5，6．
X 4
表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；
X 取偶
表示掷出的点数为偶数这一随机事件．
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在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量．
我们还可以定义其它的随机变量，例如
等等．
Y
1 0
出现偶数点 出现奇数点
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2.1.3 随机变量的分类
R.V的取值范围是多种多样的，R.V按取值 的情况可分为两类： 一类：
若R.V X 的所有可能取值为有限个或无穷 可列个，则称 X为离散型R.V 。 另一类： R.V X 可以取值于某一区间中的任一数， 这种R.V 称为非离散型R.V 。
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离散型(有限个或无限可列个) 随机变量 非离散型连续型
3 4 16 16
P0.5 X 3 PX 1 PX 2
4 16
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例2.7 自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p ,生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品的分布律。 解：设X为两次调整之间生产的合格品数, X 的可能取值为：0，1，2，…
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自动生产线在调整以后出现废品的概率为p
这一章我们将通过随机变量(random variable, R.V. )并借助于微积分等数学工具全面系统地来 研究随机现象。这也是从古典概率走向现代概 率的重要转折点。 总的线索：
随机试验E 试验的每一个可能结果 随机事件 数量化 R.V.
从定量方面来研究随机事件的统计规律性。
R.V.的引入为利用高等数学来解决概率问题 铺平了道路。
1、两点分布 or 0—1分布 如果随机变量 X 的分布律为
PX 0 1 p， PX 1 p（0 p 1）
1 点数为6 Z 0 点数不为6
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随机变量的取值是无穷多个 例2.3 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令：
Y：该时间间隔内通过的汽车数． 则 Y 就 是一个随机变量．它的取值为 0，1，…．
50 Y 表10示0通过的汽车数大于 50 辆但
不超过 100 辆这一随机事件．
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随机变量的取值是无穷多个 例2.4 观察某生物的寿命（单位：小时），令Z：
P{X =0} = p 调整后的第一后的第一个产品是合
格品，第二个是废品。 P{X =2} =(1-p)2p 调整后的第一、二个产品
是合格品，第三个是废品。
P{X =k} =(1-p)k p ( k = 0, 1, 2 ,…)
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2.2.2 常见的离散型随机变量及其分布
该生物的寿命． 则Z 就是一个随机变量．它的取值为所有非负
实数．
Z 1500表示该生物的寿命不超过1500
小时这一随机事件．
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随机变量与一般变量的差异：随机变量 随着试验结果的不同而取不同的值，因 此在试验前只能知道它可能取值的范围， 而不能预知它取哪个值。
并且，由于试验的各个结果的出现有 一定的概率，所以随机变量取某个值 或某个范围内的值也有一定的概率。
这些随机试验的样本空间都是数集，对于数 量性质的随机现象,我们可以建立样本点与数 之间的直接的对应关系。
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在有些试验中，试验结果看来与数值无关， 但我们可以引进一个变量来表示它的各种结 果.也就是说，把试验结果数值化. 正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字 而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.
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称P{X = xk} = pk (k =1,2,…) 为离散型 R.V X 的 概率分布或分布律。
分布律也可以用表格的形式来表示：
X
x 1 x 2 ……xk …….
P
p1 p2 …… pk ……
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根据概率的性质，离散型R.V X的分布律满足
两条基本性质：
1)非负性 pk 0 ( k =1,2,….)
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2.2 离散型随机变量
2.2.1 离散型随机变量及其概率分布 定义：如果随机变量 X 的取值是有限个或无 穷可列个，则称 X 为离散型随机变量． 关心的问题：
1. R.V X 取哪些值；
2. 以怎样的概率取这些值。
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定义：
设 X为离散型R.V，它的所有可能取值为： x1 , x2 ,…, xk ,… ,
种映射
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2.1.2 随机变量的定义
设E是一个随机试验，是其样本空间．若对每 一试验结果 都唯一对应一个实数值X()， 称定义在样本空间上的单值实值函数X = X() 为一个随机变量，简记为 X 。 随机变量通常用字母 X、Y、Z…或希腊字母
、、 等表示。
注：对于任意的实数 x ，集合
： X x X x 是随机事件．
例2.1 ：抛一枚硬币的试验，试验的可能结果：
1 {出现正面}， 2 {出现反面}，
： 1 1 用数字“1”代表正面朝上，
2 0 用数字“0”代表反面朝上。
{1,2}
， ()
1 0
, ,
1 2
由以上的讨论可知：
不过是随机试验结果与实数间的一个对应关系。
随机变量是随机事件样本点在实数范围内的一
1 n
(k =1,2,…,n )
则称 服从离散型的均匀分布。
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例2.6 设离散型随机变量 X 的分布律为
X0 1 2 3 4 5
P
1
3
1
4
3
4
16
16
16
16
16
16
求PX 2，PX 3, P0.5 X 3
解：PX 2 PX 0 PX 1 PX 2
5 16
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PX 3 PX 4 PX 5
2
2.1 随机变量
2.1.1 随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量 来表示，由此就产生了随机变量的概念. 有些试验结果本身与数值有关（本身就是 一个数）. 例如，掷一颗骰子朝上一面出现的点数；
每天从北京站下火车的人数；
3
昆虫的产卵数；
七月份北京的最高温度；
抽样检查产品时出现的不合格品数； 某电话交换台在某一段时间内接到的呼叫 次数，等等…。