2018-2019学年浙江省“温州十五校联合体”高二下学期期中考试数学试题
解：（Ⅰ）由
得
于是在
处的切线的斜率为
由于切线与直线
垂直，所以
当 时，切点为
，切线为
当
时，切点为
，切线为
………2 分
. 故实数 的值为 . ………4 分
;
.
………6 分
（Ⅱ）设切点坐标
，切线斜率为 ，则有
切线方程为：
因为切线过
，所以将
代入直线方程可得：
………8 分
………10 分
所以问题等价于方程
，令
19．（本小题满分 15 分）
已知函数
f
(x)
54
x
，
g(x)
x2
，设
F (x)
g ( x),
f (x),
（Ⅰ）求函数 F (x) 的解析式；
（Ⅱ）求不等式 F (x) x 1 的解集.
f (x) g(x), f (x) g(x).
20．（本小题满分 15 分）
已知正项数列{an}满足 a1 1，前 n 项和 Sn 满足 4Sn (an 1)2(n N ) ， （Ⅰ）求 a2 ， a3 ， a4 的值 （Ⅱ）猜测数列 {an } 的通项公式，并用数学归纳法证明.
（Ⅱ）猜想得
下面用数学归纳法证明：
①当
时
，
，满足
。
………7 分 ………8 分
②假设
时，结论成立，即
，则
时
，将
代入化简
得
故
时 结论成立 .
综合①②可知，
．
………14 分 ………15 分
21. 已知函数
，
（Ⅰ）若
的图像在
处的切线与直线
垂直，求实数 的值及切线方程；
（Ⅱ）若过点
存在 3 条直线与曲线
相切，求 的取值范围
则 a0 a1 a2 a6 a7 =
， a6 =
.
14.已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的 2 个白球和 3 个黑球，现从中随机取出一球，
再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放
回一个白球）. 记换好后袋中的白球个数为 X ，则 X 的数学期望 E( X ) =
一、选择题 (本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1、D 2、A
3、B
4、C
5、A
6、B 7、C
8、D
9、C 10、B
(10.提示: 方程
转化为
，借助函数图象求解)
二、填空题 (本大题共 7 小题，多空题 每小题 6 分，单空题 每小题 4 分，共 36 分)
11.
； 2 12.
14.
.
12.在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数： C21 C30 3 ；
C32
C41
C50
8
；
C
3 4
C52
C61
C70
21 ； C54
C63
C72
C81
C90
55
，请根据上
面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结
果：
.
13.若 2 x7 a0 a1 1 x a2 1 x2 a7 1 x7 ，
共有(
)
A. 60 种
B.36 种
C.48 种
D. 54 种
9.
下
列
命
题
正
确
的
是
(
)
A. 若 ln a ln b a 2b ，则 a b 0
B.
若
ln a ln b a 2b ，则 b a 0
C. 若 ln a ln b 2b a ，则 a b 0
.
16. 已知函数 f (x) 1 ax2 2ax ln x 在 1, 3 内不单调，则实数 a 的取值
2
范围是
.
4x 5, x 0
17.
已知函数
f
(
x)
x2
,
x
0
，若 f (x1) f (x2 ) 且 x1 x2 ，则 f (x1 x2 ) 的取值范围
(
)
A． 1, 2
B． 2, 1
C． 2,1
D． 1, 2
3. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是
A. f (x) 2x
B. f (x) x x
C. f (x) 1 x
1
1
4. 若 a 22 ,b 33 , c log3 2
；
13. 128； 21
16.
或
17.
三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18. 已知函数
.
（Ⅰ）若 为偶函数，求
在
上的值域；
（Ⅱ）若 在区间
上是减函数，求
在
上的最大值.
解：（Ⅰ）因为函数 为偶函数，故
，得 .………2 分
，
故值域为
………5 分
（Ⅱ）若 在区间
上是减函数，则
，
………7 分
时函数
递减，
时函数
递增
故当
时，
………10 分
………12 分
由于
故
在
上的最大值为
.
………14 分
19. 已知函数
，
，设
（Ⅰ）求函数
的解析式；（Ⅱ）求不等式
解：（Ⅰ）当
时，
当
时，
解得
或
的解集. 解得
.
………5 分
（Ⅱ）（1）当
时，由
，得
解得
或
，于是
………8 分
在
上单调递减；
②若
，则
在
上有两个实数解
，
当
时，
此时
在
递减。
，此时
在
上单调递增；当
上单调递减；当
时，
，此时
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当
时有两个极值点
，
时，
，
在
上单调
………7 分
且满足
，
，
.
………9 分
构造函数
当
时，
又
，。则
，
在
上单调递减。
。即
………11 分 ， ………13 分
。………15 分
（2）当
或 时由
①若
时，不等式化为
②若 时，不等式化为
，得 ， 无解. ，解得
………14 分
由（1），（2）得
.
故不等式
的解集为
.
………15 分
20. 已知正项数列 满足
，前 项和 满足
，
（Ⅰ）求 ， ， 的值 （Ⅱ）猜测数列 的通项公式，并用数学归纳法证明.
解（Ⅰ）当
时，
解得
当
时，
，
当
时，
，
………5 分
21．（本小题满分 15 分）
已知函数 f x 2x3 3x ， （Ⅰ）若 f x 的图像在 x a 处的切线与直线 y 1 x 1垂直，求实数 a 的值及切线方
3
程；
（Ⅱ）若过点 P 1, t 存在 3 条直线与曲线 y f x 相切，求 t 的取值范围
D. 若 ln a ln b 2b a ，则 b a 0
10. 已知函数 f (x) x x a ax a R ，若方程 f (x) 2x 3 有且只有三个不同的实数
根，
则
a
(
)
A. 1 3,3
1 3,
的
取
B. ,1 3 ∪ 1 3,3
22．（本小题满分 15 分）
已知函数 f (x) a ln 1 x 1 x2 ， a 为大于 0 的常数.
2
（Ⅰ）讨论函数 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）若函数
f
(x)
有两个极值点
x1,
x2
，且
x1
x2 ，求证：
f
(x2 )
x1
3
2 ln 8
2
.
2018 学年第二学期“温州十五校联合体”期中考试联考 高二年级数学学科参考答案
绝密★考试结束前 2018-2019 学年浙江省“温州十五校联合体”高二下学期期中考试数学试题
考生须知： 1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应
数字。 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸。
值
范
C. ,1 3
围
是
D. 1,1 3 ∪
二、填空题 (本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分)
11.已知函数
f
(x)
2x
x
2
1 ax
x 1
，且
x 1
f
f
0 4a ，则
f (2) =
，实数 a
即直线
与
有三个不同交点.
由
，令
解得
所以
在
单调递减，在
单调递增
………13 分
所以若有三个交点，则
所以当
时，过点
存在 3 条直线与曲线
浙江“温州十五校联合体”高二下学期期中考试数学试题 含答案
绝密★考试结束前2018学年第二学期“温州十五校联合体”期中考试联考高二年级数学学科 试题考生须知：1．本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题 (本题共10小题，每小题4分，共40分) 1．已知集合{}20A x x x =-≤，{}11B x x =-<<，则A B ＝ ( )A ．(]1,1-B ．()0,1C ．[]0,1D ．[)0,12. 已知复数z 满足()113i z i -=+，则复数z 在复平面内对应的点为 ( ) A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()2,1D ．()1,2--3. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 ( ) A. ()2x f x =B. ()f x x x =C. 1()f x x=-D. ()lg f x x =4. 若113232,3,log 2a b c ===,则下列结论正确的是 ( )A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<5. 已知21()cos 2f x x x =-,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是 ( )6. 在34510(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++++的展开式中，含2x 项的系数是 ( )AA. 165B. 164C. 120D. 1197. 已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象上的两个动点，则当MN达到最小时，t 的值为 ( ) A ．1B. 2C.128. 现有甲，乙，丙，丁，戊5位同学站成一列，若甲不在右端，且甲与乙不相邻的不同站法共有( ) A. 60种 B.36种C.48种D. 54种9. 下列命题正确的是 ( )A. 若ln ln 2a b a b -=-，则0a b >>B.若ln ln 2a b a b -=-，则0b a >>C. 若ln ln 2a b b a -=-，则0a b >>D. 若ln ln 2a b b a -=-，则0b a >>10. 已知函数()f x x x a ax =-+()a R ∈，若方程()23f x x =+有且只有三个不同的实数根， 则a的取值范围是( )A. ()1+B.(,1-∞∪()1+C. (,1-∞D. (1,1-∪()1+∞二、填空题 (本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分)11.已知函数2211()1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，且()04f f a =⎡⎤⎣⎦，则(2)f -= ，实数a = . 12.在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：10233C C +=；2103458C C C ++=；3210456721C C C C +++=；432105678955C C C C C ++++=，请根据上面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结果： . 13.若()()()()72701272111x a a x a x a x -=+++++++，则01267a a a a a +++++= ， 6a = .14.已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）. 记换好后袋中的白球个数为X ，则X 的数学期望()E X = ，方差()D X = .15.已知定义域为R 的函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，且(2)(3)2f f -==，则函数()f x 的增区间为 ，若()(1)()g x x f x =-，则不等式()22g x x ≥-的解集为 . 16. 已知函数21()2ln 2f x ax ax x =-+在()1,3内不单调，则实数a 的取值范围是 .17. 已知函数245,0(),0x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩，若12()()f x f x =且12x x <，则12()f x x +的取值范围是 .三、解答题 ( 本大题共5小题，共74分。
2018-2019学年浙江省温州十五校联合体高二下学期期末联考数学试题 解析版
温州市十五校联合体2018-2019学年高二下学期期末联考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．已知集合A ＝{x ∈R ｜－1≤x ≤3}，B ＝{x ∈R ｜－2≤x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x ｜﹣2≤x ≤3} B ．{x ｜﹣1≤x ≤2}C ．{0，1，2}D ．{1，2}答案：B考点：集合的运算。
解析：在数轴上画出集合A 和集合B ，找出公共部分，可知 A ∩B ＝{x ｜﹣1≤x ≤2}2．已知直线20mx y --=与直线30x ny ++=垂直，则m ，n 的关系为（ ） A ．m +n ＝0 B ．m +n +1＝0C ．m ﹣n ＝0D ．m ﹣n +1＝0答案：C考点：两直线垂直的关系。
解析：当n ＝0时，两直线不垂直，所以，n ≠0， 两直线化为：2y mx =-，13y x n n=--， 因为两直线垂直， 所以，1()1m n⨯-=-， 化简，得：m ﹣n ＝0 选C 。
3．若实数x ，y 满足不等式组，则z ＝x +2y 的最大值为（ ）A ．8B ．10C ．7D ．9 答案：D考点：线性规划。
解析：不等式组表示的平面区域如下图所示，当目标函数z＝x+2y过点C（1,4）时取得最大值为9，选D。
4．下列命题中不正确的是（）A．空间中和两条相交直线都平行的两个平面平行B．空间中和两条异面直线都平行的两个平面平行C．空间中和两条平行直线都垂直的两个平面平行D．空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行答案：D考点：空间中直线、平面之间的关系。
解析：如下图，m∥n，且m，n与底面α、左面β都平行，但α、β相交，所以，D不正确。
由面面平行的判定可知A、B、C都正确。
5．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝32n+a，则“a＝﹣3”是“数列{a n}是等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C考点：充分必要条件。
2018-2019学年人教A版浙江省温州市十五校联合体高二第二学期期中数学试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣x≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1] B．（0，1）C．[0，1] D．[0，1）2．已知复数z满足（1﹣i）z＝1+3i，则复数z在复平面内对应的点为（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．f（x）＝2x B．f（x）＝x|x| C．D．f（x）＝lg|x| 4．若，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a5．已知，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的图象是（）A．B．C．D．6．在（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）10的展开式中，含x2项的系数是（）A．165 B．164 C．120 D．1197．已知M（t，f（t）），N（s，g（s））是函数f（x）＝lnx，g（x）＝2x+1的图象上的两个动点，则当达到最小时，t的值为（）A．1 B．2 C．D．8．现有甲，乙，丙，丁，戊5位同学站成一列，若甲不在右端，且甲与乙不相邻的不同站法共有（）A．60种B．36种C．48种D．54种9．下列命题正确的是（）A．若lna﹣lnb＝a﹣2b，则a＞b＞0B．若lna﹣lnb＝a﹣2b，则b＞a＞0C．若lna﹣lnb＝2b﹣a，则a＞b＞0D．若lna﹣lnb＝2b﹣a，则b＞a＞010．已知函数f（x）＝x|x﹣a|+ax（a∈R），若方程f（x）＝2x+3有且只有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．B．∪C．D．∪二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分）11．已知函数，且f[f（0）]＝4a，则f（﹣2）＝，实数a＝．12．在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：；；；……，请根据上面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结果：．13．若，则a0+a1+a2+…+a6+a7＝，a6＝．14．已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）．记换好后袋中的白球个数为X，则X的数学期望E（X）＝，方差D（X）＝．15．已知定义域为R的函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，且f（﹣2）＝f（3）＝2，则函数f（x）的增区间为，若g（x）＝（x﹣1）f（x），则不等式g（x）≥2x﹣2的解集为．16．已知函数在（1，3）内不单调，则实数a的取值范围是．17．已知函数f（x）＝，若f（x1）＝f（x2）且x1＜x2，则f（x1+x2）的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4．（Ⅰ）若f（x）为偶函数，求f（x）在[﹣1，2]上的值域；（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，求f（x）在[1，a]上的最大值．19．已知函数f（x）＝5﹣4|x|，g（x）＝x2，设F（x）＝（Ⅰ）求函数F（x）的解析式；（Ⅱ）求不等式F（x）≥|x﹣1|的解集．20．已知正项数列{a n}满足a1＝1，前n项和S n满足，（Ⅰ）求a2，a3，a4的值（Ⅱ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．21．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，（Ⅰ）若f（x）的图象在x＝a处的切线与直线垂直，求实数a的值及切线方程；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值范围22．已知函数，a为大于0的常数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣x≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1] B．（0，1）C．[0，1] D．[0，1）【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|0≤x≤1}；∴A∩B＝[0，1）．故选：D．2．已知复数z满足（1﹣i）z＝1+3i，则复数z在复平面内对应的点为（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（1﹣i）z＝1+3i，得z＝，∴复数z在复平面内对应的点为（﹣1，2）．故选：A．3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．f（x）＝2x B．f（x）＝x|x| C．D．f（x）＝lg|x| 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝2x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x|x|＝，既是奇函数又是增函数，符合题意；对于C，f（x）＝﹣，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）＝lg|x|，是偶函数，不符合题意；故选：B．4．若，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】容易得出a6＝8，b6＝9，且a，b＞1，从而得出1＜a＜b，并可得出log32＜1，从而可以得出a，b，c的大小关系．解：∵a6＝8，b6＝9；∴a6＜b6，且a，b＞1；∴1＜a＜b；又log32＜log33＝1；∴c＜a＜b．故选：C．5．已知，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】求的导数，得f′（x）的表达式，判断f′（x）的奇偶性和对称性，然后设g （x）＝f′（x），求g′（x），研究函数g（x）的单调性，利用极限思想求出当x→0时，f（x）→2，利用排除法进行求解即可．解：函数的导数f′（x）＝x+sin x，设g（x）＝f′（x），则g（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D：g′（x）＝1+cos x≥0，即函数f′（x）为增函数，当x＞0且x→0，g′（x）＝1+cos x→2，故排除B，故选：A．6．在（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）10的展开式中，含x2项的系数是（）A．165 B．164 C．120 D．119【分析】由题意可得展开式中含x2项的系数为C32+C42+…+C102，再利用二项式系数的性质化为C113﹣C22，从而得到答案．解：（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）10的展开式中含x2项的系数为C32+C42+…+C102＝C113﹣C22＝164，故选：B．7．已知M（t，f（t）），N（s，g（s））是函数f（x）＝lnx，g（x）＝2x+1的图象上的两个动点，则当达到最小时，t的值为（）A．1 B．2 C．D．【分析】M，N是函数f（x）＝lnx，g（x）＝2x+1的图象上的两个动点，则当达到最小时，此时函数f（x）的切线方程，与g（x）＝2x+1平行，求导，根据导数的几何意义即可求出．解：M，N是函数f（x）＝lnx，g（x）＝2x+1的图象上的两个动点，则当达到最小时，此时函数f（x）的切线方程，与g（x）＝2x+1平行，∵f′（x）＝，∴k＝＝2，解得t＝故选：C．8．现有甲，乙，丙，丁，戊5位同学站成一列，若甲不在右端，且甲与乙不相邻的不同站法共有（）A．60种B．36种C．48种D．54种【分析】根据题意，用间接法分析：先计算甲与乙不相邻站法数目，再计算其中甲在右端且甲与乙不相邻的站法，进而分析可得答案．解：根据题意，用间接法分析：先计算甲与乙不相邻站法数目，先将丙，丁，戊3位同学站成一列，有A33＝6种情况，排好后有4个空位，将甲乙安排在4个空位中，有A42＝12种情况，则甲与乙不相邻站法有6×12＝72种；其中甲在右端，甲乙不相邻的站法有6×3＝18种；则甲不在右端，且甲与乙不相邻的不同站法有72﹣18＝54种；故选：D．9．下列命题正确的是（）A．若lna﹣lnb＝a﹣2b，则a＞b＞0B．若lna﹣lnb＝a﹣2b，则b＞a＞0C．若lna﹣lnb＝2b﹣a，则a＞b＞0D．若lna﹣lnb＝2b﹣a，则b＞a＞0【分析】lna﹣lnb＝2b﹣a，令＝t，则b＝at，记f（t）＝lnt+2at﹣a，通过求导得单调性，利用单调性可得．解：∵lna﹣lnb＝2b﹣a，令＝t，则b＝at，lna﹣ln（at）＝2at﹣a，即lnt+at﹣a＝0，记f（t）＝lnt+2at﹣a，则f′（t）＝+2a＞0，∴f（t）在（0，+∞）上单调递增，∴f（1）＝ln1+2a﹣a＝a＞0＝f（t），∴1＞t，即1＞，∴a＞b＞0．故选：C．10．已知函数f（x）＝x|x﹣a|+ax（a∈R），若方程f（x）＝2x+3有且只有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．B．∪C．D．∪【分析】由题意，，原问题等价于函数y＝f（x）与函数y＝2x+3的图象有三个交点，分类讨论结合数形结合即可得到答案．解：若方程f（x）＝2x+3有且只有三个不同的实数根，即函数y＝f（x）与函数y＝2x+3的图象有三个交点，由题意，，且a2＝﹣a2+2a•a，f（x）＝﹣x2+2ax恒过点（0，0），f（x）＝x2与函数y＝2x+3相交于（﹣1，1）及（3，9），①当a≤﹣1时，作出函数草图如下，由图观察可知，此时函数y＝f（x）与函数y＝2x+3的图象显然有三个交点；②当﹣1＜a≤0时，作出函数草图如下，由图象可知，此时只需﹣x2+2ax＝2x+3有两个不同的根即可，即△＝（2﹣2a）2﹣12＞0，解得或，则此时；③当0＜a＜3时，作出函数草图如下，由图象可知，此时只需﹣x2+2ax＝2x+3有两个不同的根即可，即△＝（2﹣2a）2﹣12＞0，解得或，此时；④当a＝3时，作出函数草图如下，此时只有两个交点，不符合题意；⑤当a＞3时，作出函数草图如下，此时只有一个交点，不符合题意；综上，实数a的取值范围为．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分）11．已知函数，且f[f（0）]＝4a，则f（﹣2）＝，实数a ＝ 2 ．【分析】先根据分段函数的解析式求出f（0），进而可表示f[f（0）]，即可求解．解：∵，∴f（0）＝2，f[f（0）]＝f（2）＝4+2a＝4a，∴a＝2，则f（﹣2）＝2﹣2+1＝，a＝2，故答案为：．12．在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：；；；……，请根据上面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结果：C＝144 ．【分析】本题根据题干中的四个式子的特点可以很明显写出下一个算式，然后根据组合的定义式进行计算可得到结果．解：根据题中的四个式子的特点可以很明显写出下一个算式为：C＝＝6+35+56+36+10+1＝144．故答案为：C＝144．13．若，则a0+a1+a2+…+a6+a7＝128 ，a6＝21 ．【分析】由二项式定理及展开式系数的求法得：x＝0得：a0+a1+a2+…+a6+a7＝27＝128．又（2﹣x）7＝[3﹣（1+x）]7，由[3﹣（1+x）]7展开式的通项为T r+1＝37﹣r（1+x）r，令r＝6得a6＝＝21，得解．解：由，令x＝0得：a0+a1+a2+…+a6+a7＝27＝128，故a0+a1+a2+…+a6+a7＝128，又（2﹣x）7＝[3﹣（1+x）]7，由[3﹣（1+x）]7展开式的通项为T r+1＝37﹣r（1+x）r，令r＝6得a6＝＝21，故a6＝21，故答案为：128 21．14．已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）．记换好后袋中的白球个数为X，则X的数学期望E（X）＝，方差D（X）＝．【分析】X的所有可能的取值为1，3，根据古典概型求出概率，再用期望和方差公式求得．解：X的所有可能的取值为1，3，P（X＝1）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴E（X）＝1×+3×＝，D（X）＝（1﹣）2×+（3﹣）2×＝．故答案为：，．15．已知定义域为R的函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，且f（﹣2）＝f（3）＝2，则函数f（x）的增区间为[1，+∞），若g（x）＝（x﹣1）f（x），则不等式g（x）≥2x﹣2的解集为[﹣2，1]∪[3，+∞）．【分析】根据图象得到函数f（x）的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．解：由题意得：当x≥1时，f′（x）≥0，故f（x）在[1，+∞）递增，由题意得：f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，解不等式g（x）≥2x﹣2，即解不等式（x﹣1）f（x）≥3（x﹣1），①x﹣1≥0时，上式可化为：f（x）≥2＝f（2），解得：x≥3，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f（x）≤3＝f（﹣2），解得：﹣2≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣2，1]∪[3，+∞），故答案为：[1，+∞），[﹣2，1]∪[3，+∞），16．已知函数在（1，3）内不单调，则实数a的取值范围是a＞1或a．【分析】函数f（x）在（1，3）内不单调⇔函数f（x）在（1，3）内存在极值⇔f′（x）＝0在（1，3）内有解，即ax2﹣2ax+1＝0在（1，3）内有解．即可得出a的取值范围．解：∵f（x）＝ax2﹣2ax+lnx，x∈（1，3）当a＝0时，f（x）＝lnx在（1，3）上单调递增，不符合题意，当a≠0时，∴f′（x）＝ax﹣2a+＝，∵f（x）＝ax2﹣2ax+lnx在（1，3）上不单调，∴f′（x）＝0在（1，3）上有解，设g（x）＝ax2﹣2ax+1，其对称轴为x＝1，∴g（1）g（3）＜0，∴（﹣a+1）（3a+1）＜0，解得a＞1或a＜﹣，故答案为：a＞1或a＜﹣．17．已知函数f（x）＝，若f（x1）＝f（x2）且x1＜x2，则f（x1+x2）的取值范围是[﹣4，+∞）．【分析】作出f（x）的图象，可令f（x1）＝f（x2）＝t（t≥0），即有x1＝﹣，x2＝，可得x1+x2＜0，由分段函数解析式，运用配方法，结合二次函数的性质可得所求取值范围．解：作出函数f（x）＝的图象，可令f（x1）＝f（x2）＝t（t≥0），可得﹣4x1﹣5＝x22＝t，x1＜0，x2≥0，即有x1＝﹣，x2＝，可得x1+x2＝﹣（t﹣4+5）＝﹣（（﹣2）2+1）＜0，则f（x1+x2）＝﹣4•[﹣（t﹣4+5）]﹣5═t﹣4＝（﹣2）2﹣4≥﹣4，当t＝4时，取得最小值﹣4，故答案为：[﹣4，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4．（Ⅰ）若f（x）为偶函数，求f（x）在[﹣1，2]上的值域；（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，求f（x）在[1，a]上的最大值．【分析】（Ⅰ）求出函数的对称轴，由偶函数的性质分析可得a﹣1＝0，解可得a＝1，即可得函数的解析式，由二次函数的性质分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，由二次函数的性质分析可得a﹣1≥2，则a≥3；分析函数f（x）在区间[1，a]上的单调性，求出并比较f（1）、f（a）的值，即可得答案．解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4，为二次函数，其对称轴为x＝a ﹣1，若f（x）为偶函数，则a﹣1＝0，解可得a＝1；则f（x）＝x2+4，又由﹣1≤x≤2，则有4≤f（x）≤8，即函数f（x）的值域为[4，8]；（Ⅱ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4，为二次函数，其对称轴为x＝a﹣1，若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，则a﹣1≥2，则a≥3；又由1＜a﹣1＜a，则f（x）在区间[1，a﹣1]上递减，在[a﹣1，a]递增，且f（1）＝7﹣2a，f（a）＝﹣a2+2a+4，f（1）﹣f（a）＝（7﹣2a）﹣（﹣a2+2a+4）＝a2﹣4a+3＝（a﹣2）2﹣1，又由a≥3，则f（1）≥f（a），则f（x）在[1，a]上的最大值为f（1）＝7﹣2a．19．已知函数f（x）＝5﹣4|x|，g（x）＝x2，设F（x）＝（Ⅰ）求函数F（x）的解析式；（Ⅱ）求不等式F（x）≥|x﹣1|的解集．【分析】（Ⅰ）根据分段函数的定义可得；（Ⅱ）分2种情况解不等式再相交．解：（Ⅰ）当f（x）≥g（x）时，5﹣4|x|≥x2（|x|﹣1）（|x|+5）≤0解得﹣1≤x≤1 当f（x）＜g（x），5﹣4|x|＜x2解得x＜﹣1或x＞1．∴F（x）＝………（Ⅱ）（1）当﹣1≤x≤1时，由F（x）≥|x﹣1|，得x2≥|x﹣1|x2+x﹣1≥0解得x≥或x≤，于是≤x≤1 ………（2）当x＜﹣1或x＞1时由F（x）≥|x﹣1|，得5﹣4|x|≥|x﹣1|①若x＜﹣1时，不等式化为5+4x≥1﹣x，无解．②若x＞1时，不等式化为5﹣4x≥x﹣1，解得 1＜x≤………由（1），（2）得．≤x≤故不等式F（x）≥|x﹣1|的解集为{x|≤x≤}．………20．已知正项数列{a n}满足a1＝1，前n项和S n满足，（Ⅰ）求a2，a3，a4的值（Ⅱ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【分析】（Ⅰ）分别令n＝2，3，4，解方程可得数列的前三项；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想a n＝2n﹣1；用数学归纳法证明a n＝2n﹣1．注意步骤，由n＝k等式成立，运用数列的递推式推理证得n＝k+1也成立．【解答】解（Ⅰ）当n＝2时，4S2＝（a2+1）2，∴4（a2+1）＝（a2+1）2，解得a2＝3，当n＝3时，4S3＝（a3+1）2，∴4（S2+a3）＝（a3+1）2，解得a3＝5，当n＝4时，4S4＝（a4+1）2，解得a4＝7，（Ⅱ）猜想得a n＝2n﹣1，下面用数学归纳法证明：①当n＝1，2时a1＝1，a2＝3，满足a n＝2n﹣1．②假设n＝k时，结论成立，即a k＝2k﹣1，则n＝k+1时4S k+1＝（a k+1+1）2，∴4（S k+a k+1）＝（a k+1）2+4a k+1＝（a k+1+1）2，将a k＝2k﹣1代入化简得（a k+1﹣1）2＝4k2，∴a k+1＝2k+1＝2（k+1）﹣1，故n＝k+1时结论成立．综合①②可知，a n＝2n﹣1．21．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，（Ⅰ）若f（x）的图象在x＝a处的切线与直线垂直，求实数a的值及切线方程；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值范围【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a，进而得到所求切线方程；（Ⅱ）设切点坐标（m，n），切线斜率为k，可得切线方程，代入P（1，t），运用构造函数法，求得导数和单调性，可得极值，即可得到所求范围．解：（Ⅰ）由f（x）＝2x3﹣3x得f′（x）＝6x2﹣3，于是在x＝a处的切线的斜率为6a2﹣3，由于切线与直线垂直，所以6a2﹣3＝3．故实数a的值为±1．当a＝1时，切点为（1，﹣1），切线为y＝3x﹣4；当a＝﹣1时，切点为（﹣1，1），切线为y＝3x+4；（Ⅱ）设切点坐标（m，n），切线斜率为k，则有切线方程为y﹣（2m3﹣3m）＝（6m2﹣3）（x﹣m），因为切线过P（1，t），所以将P（1，t）代入直线方程可得：t﹣﹣（2m3﹣3m）＝（6m2﹣3）（1﹣m），即为t＝（6m2﹣3）（1﹣m）+（2m3﹣3m）＝﹣4m3+6m2﹣3，令g（x）＝﹣4x3+6x2﹣3，即直线y＝t与g（x）＝﹣4x3+6x2﹣3有三个不同交点．由g′（x）＝﹣12x2+12x＝﹣12x（x﹣1），令g′（x）＞0解得0＜x＜1，所以g（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）单调递减，在（0，1）单调递增，g（x）极大值＝g（1）＝﹣1，g（x）极小值＝g（0）＝﹣3，所以若有三个交点，则t∈（﹣3，﹣1），所以当t∈（﹣3，﹣1）时，过点P（1，t），存在3条直线与曲线y＝f（x）相切．22．已知函数，a为大于0的常数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可（Ⅱ）结合函数极值和导数之间的关系，转化为根与系数之间的关系，构造函数，利用函数单调性进行证明即可解：（Ⅰ）函数定义域为（﹣∞，1），求导得f′（x）＝﹣+x＝，令g（x）＝﹣x2+x﹣a＝﹣（x﹣）2+﹣a，①若a≥，则g（x）≤0恒成立，此时f（x）在（﹣∞，1）上单调递减；②若0＜a＜，则g（x）＝0在（﹣∞，1）上有两个实数解x1＝，x2＝当x＜x1时，f′（x）＜0，此时f（x）在（﹣∞，x1）上单调递减；当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，此时f（x）在（x1，x2）上单调递增；当x1＜x＜1，f′（x）＜0，此时f（x）在（x2，1）上单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0＜a＜时有两个极值点x1，x2，且满足x1+x2＝1，x1x2＝a，x1＝∈（0，），∴f（x2）﹣x1＝aln（1﹣x2）+﹣x1＝x1（1﹣x1）lnx1﹣x1+（1﹣x1）2＝x1（1﹣x1）lnx1﹣x1+（x12﹣4x1+1），构造函数h（x）＝x（1﹣x）lnx+（x2﹣4x+1）．则h′（x）＝（1﹣2x）lnx﹣1，当x∈（0，）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，）上单调递减．又x1∈（0，），∴h（x1）＞h（）＝﹣．即．。
浙江省温州十五校联合体2018-2019学年高二下学期期末联考数学试卷 含解析
温州市十五校联合体2018-2019学年高二下学期期末联考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．已知集合A ＝{x ∈R ｜－1≤x ≤3}，B ＝{x ∈R ｜－2≤x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x ｜﹣2≤x ≤3} B ．{x ｜﹣1≤x ≤2}C ．{0，1，2}D ．{1，2}答案：B考点：集合的运算。
解析：在数轴上画出集合A 和集合B ，找出公共部分，可知 A ∩B ＝{x ｜﹣1≤x ≤2}2．已知直线20mx y --=与直线30x ny ++=垂直，则m ，n 的关系为（ ） A ．m +n ＝0 B ．m +n +1＝0C ．m ﹣n ＝0D ．m ﹣n +1＝0答案：C考点：两直线垂直的关系。
解析：当n ＝0时，两直线不垂直，所以，n ≠0， 两直线化为：2y mx =-，13y x n n=--， 因为两直线垂直， 所以，1()1m n⨯-=-， 化简，得：m ﹣n ＝0 选C 。
3．若实数x ，y 满足不等式组，则z ＝x +2y 的最大值为（ ）A ．8B ．10C ．7D ．9 答案：D考点：线性规划。
解析：不等式组表示的平面区域如下图所示， 当目标函数z ＝x +2y 过点C （1,4）时取得最大值为9， 选D 。
4．下列命题中不正确的是（ ）A ．空间中和两条相交直线都平行的两个平面平行B ．空间中和两条异面直线都平行的两个平面平行C ．空间中和两条平行直线都垂直的两个平面平行D ．空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行 答案：D考点：空间中直线、平面之间的关系。
解析：如下图，m ∥n ，且m ，n 与底面α、左面β都平行，但α、β相交，所以，D 不正确。
由面面平行的判定可知A 、B 、C 都正确。
5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝32n+a ，则“a ＝﹣3”是“数列{a n }是等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：C考点：充分必要条件。
浙江省温州十五校联合体2019-2020学年高二下学期期中考试数学参考答案
2019学年第二学期“温州十五校联合体”期中考试联考高二数学参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1. C2. C3. A4. A5. C6. B7.B8. D9. D 10. A二、填空题 (本大题共7小题，多空题 每小题6分，单空题 每小题4分，共36分)11.1 ,12. 3 13.3π14.8315.[)2,-+∞; 1,52⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16. 1,0- 17. []8,1-三、解答题 ( 本大题共5小题，共74分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18. （本小题满分14分）解析：(I) a b ⊥r r Q ，0a b ∴⋅=r r，故sin 0x x -=，tan x ∴= ………4分0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，3x π∴=，2tan 2tan 3x π∴== ………6分（II ）Q a r 与b r 的夹角为23π，sin 1cos ,212a b x x a b a b⋅-∴<>===-⨯⋅r rr r r r ，……8分 1sin()32x π∴-=-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，,336x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，36x ππ∴-=-，………13分即6x π=. 故x的值为6π. ………14分19. (本小题满分15分)解析：(I)()sin cos )4f x x x x π=+=+Q ， (2)分())4f x x πθθ∴+=++ ，由函数()f x θ+是偶函数得sin()14πθ+=±， ………4分42k ππθπ∴+=+ 故4k πθπ=+ [],θππ∈-Q ，θ∴的值为34π-和4π. ………7分（II）())4f x x π=+Q, ()sin()4222A A f ππ∴+=+=，sin()22A π∴+= A Q 为ABC ∆的内角，3A π∴=. (9)分由余弦定理2222cos a b c bc A =+- ，得224b c bc +-=。
浙江省温州市十五校联合体2017-2018学年高二下学期期中联考数学试题(精编含解析)
1．A【解析】分析：先解二次不等式以及对数不等式，再根据数轴求集合交集得结果.详解：，所以选A.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2．D【解析】根据题意可得：，故选点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．4．B【解析】分析：先作出可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图像取截距最大时，取最大值.详解：作可行域，则直线过点A时取最大值选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.点睛：本题考查圆锥曲线定义，从与圆锥曲面所截的角度确定轨迹形状.6．B【解析】分析：解题关键去掉绝对值，根据a的大小讨论，再根据最小值与最大值的取法判断命题真假.详解：当时，当时，当时，综上： M-m的值与a有关，与b无关，选B.点睛：涉及绝对值问题，一般利用绝对值定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数，再根据函数单调性确定函数最值.7．A【解析】分析：根据圆之间位置关系，结合折线大于线段不等关系得的最大值.详解：由折线大于线段得 ,选A.点睛：涉及圆的最值问题，一般根据圆心与半径，建立不等式关系，根据不等式关系求最值.8．C【解析】分析：先根据向量模的定义以及向量数量积定义化为二次函数形式，再根据二次函数性质求最小值取值条件，最后根据三角形面积公式求面积.详解：当时，的最小值为从而△ABC的面积为选C.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.过O作OE垂直AB于E,则∠PEO为面PAB与底面ABCD所成的二面角；,选B.点睛：线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小,二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11．9【解析】分析：先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，根据函数值所属区间再代入对应解析式解得结果.详解：=点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.12． x=-1 5【解析】分析：根据抛物线标准方程即得准线方程，先根据三角形面积求M纵坐标，代入抛物线方程得M横坐标，最后根据抛物线定义求结果.详解：的准线方程为因为三角形MFO的面积为2，所以点睛： 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．13． 24 25π【解析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为则长方体外接球半径为r，则S=4πr2=25π．故填（1）24（2）25π.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15．【解析】分析：根据垂径定理求圆中弦长，再根据直线与圆相切得圆心到切线距离等于半径，解得实数m值.详解：若m=2时，圆心（1，2）到直线的距离为，所以若直线与圆相切，则圆心（1，m）到直线的距离为1,即，点睛：涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断. 16．【解析】分析：详解：因为，所以的最大值为.点睛：对于条件不等式可利用均值不等式可直接得到最值.点睛：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小;线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小;二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可18．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)或.【解析】分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期及单调增区间；（2）先根据求C，再根据三角形面积公式得，由余弦定理得，最后解方程组得结果.详解：（Ⅰ），所以最小正周期T=π；由，得函数的增区间为（Ⅱ）由得，∴，∵，∴，∴，∴，，①由余弦定理，∴，②由①②解得或点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．19．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).（2）过A作AH⊥PD于H，连HE，由（1）得AE⊥平面PAD所以EH⊥PD，即EH=，∵AE=，∴AH=，∴PA=2以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A（0,0,0），E（，0,0），D（0,2,0），C（，1,0），P（0,0,2）∴F（，，1）∵，，∴平面AEF的法向量又，∴所以直线PD与平面AEF所成的角的余弦值为点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20．(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）先根据等差数列性质得，再通过和项与通项关系得，最后根据等比数列定义以及通项公式求结果，（2）先化简，再利用裂项相消法求，即证得结论.∴数列是以为首项，2为公比的等比数列.（2）∵∴点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或. 21．(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.【解析】分析：（1）取F关于y轴的对称点，根据三角形中位线性质得，再根据椭圆定义以及标准方程得结果，（2）由∠MQO=∠NQO，得直线得MQ与NQ斜率和为零，设点坐标,利用斜率公式化简得，设直线方程，并与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理代入化简得.最后验证斜率不存在时情况也符合题意.详解：（Ⅰ）设PF的中点为S，切点为T，连OS，ST，则，取F关于y轴的对称点，连，故.所以点B的轨迹是以，F为焦点，长轴长为4的椭圆.其中，a=2，c=1，曲线C的方程为.（Ⅱ）假设存在满足题意的定点Q，设Q（0,m），设直线的方程为，,. 由消去x，得.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22．(1)；(2).【解析】分析：（1）先根据绝对值定义去掉绝对值，并分离变量得当x>1时，；当x<1时，，当x=1时，a∈R；再根据函数最值得a的取值范围；（2）先根据图像得函数最大值只能在f(1)，f(2)，f(-2)三处取得，再根据三者大小关系以及对应对称轴确定最大值取法，最后用分段函数书写.详解：（1）即（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；当x≠1时，（*）可变形为，令②当x>1时，，③当x<1时，，所以，故此时.综合①②③，得所求实数a的取值范围是.③当时，∵，，∴，即所以点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.。
浙江省“温州十五校联合体”2018_2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)
浙江省“温州十五校联合体”2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）考生须知：1．本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题 (本题共10小题，每小题4分，共40分)1.已知集合，，则＝ ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，然后求两个集合的交集得出正确结论.【详解】由，解得，故，故选D.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算，化简为的形式，由此求得对应的点的坐标.【详解】依题意，对应的点为，故选A. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点的坐标，属于基础题.3.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，，故函数为非奇非偶函数.对于B选项，，函数为奇函数，当时，为递增函数，根据奇函数图像关于原点对称可知函数在时也是增函数，且，故函数在上为递增函数，符合题意，B选项正确.对于C选项，函数的定义域为，函数在这个区间上没有单调性，C选项不符合题意.对于D选项，由于函数定义域是，且，所以函数为偶函数，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用定义判断函数的奇偶性，属于基础题.4.若,则下列结论正确的是 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先用作为分段点，找到小于和大于的数.然后利用次方的方法比较大小.【详解】易得，而，故，所以本小题选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题.5.已知,为的导函数，则的图像是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得函数的导函数，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】依题意，令，则.由于，故排除C 选项.由于，故在处导数大于零，故排除B,D选项.故本小题选A. 【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题.6.在的展开式中，含项的系数是 ( )A. 165B. 164C. 120D. 119【答案】B【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，求得表达式中每一项中展开式的项的系数，然后相加求得结果.【详解】依题意，项的系数为.故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式的性质，属于中档题.7.已知是函数，的图象上的两个动点，则当达到最小时,的值为 ( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】求得图像上切线斜率为的切点的横坐标，即是的值.【详解】依题意可知，当图像上的切线和平行时，取得最小值，令，解得，故，所以选C.【点睛】本小题考查函数导数，考查切线斜率与导数的对应关系，属于基础题.8.现有甲，乙，丙，丁，戊5位同学站成一列，若甲不在右端，且甲与乙不相邻的不同站法共有( )A. 60种B. 36种C. 48种D. 54种【答案】D【解析】【分析】先排甲，然后排乙，最后排丙、丁、戊，由此计算出不同的站法数.【详解】甲排号位，乙可以排号位，故方法数有种.甲排号位，乙可以排号位，故方法数有种.甲排号位，乙可以排号位，故方法数有种.甲排号位，乙可以排号位，故方法数有种.故总的方法数有种.故选D.【点睛】本小题主要考查有限制条件的排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.9.下列命题正确的是 ( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则D. 若，则【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数求得函数的单调性，由此判断出正确的选项.【详解】根据对数函数的定义域可知.构造函数，，故在上是增函数.故当，即时，根据单调性可知.故选C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查构造函数法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，则的取值范围是 ( ) A. B. ∪C.D.∪【答案】B 【解析】 【分析】 分别令和，画出和的图像，根据两个图像交点的个数，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】当时，，画出函数和的图像如下图所示，由图可知，有且仅有三个不同的实数根，符合题意，由此排除A,D 两个选项.当时，，注意到，即，此时判别式，有两个根.由此画出函数和的图像如下图所示，由图可知，有且仅有三个不同的实数根，符合题意，由此排除C选项.故本小题选B.【点睛】本小题主要考查含有绝对值的函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题 (本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分)11.已知函数，且，则=_____，实数_______. 【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】利用分段函数解析式，求得的值.利用求得的值.【详解】依题意.，，解得.【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查复合函数求值，属于基础题.12.在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：；；；，请根据上面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结果：____.【答案】【解析】【分析】观察等式左边表达式的上标和下标，找到规律；观察等式右边表达式可知，右边是斐波那契数列中的某些项，由此写出下一组的规律并计算其结果.【详解】观察等式左边表达式可知，下一组有六个式子相加，上标从逐一递减至，下标从逐一递增至.斐波那契数列为，故等式右边为，由此可知下一组为.【点睛】本小题主要考查合情推理，考查分析与思考问题的能力，属于基础题.13.若，则=____，= ___.【答案】 (1). 128 (2). 21【解析】【分析】令，求得的值.利用展开式的通项公式，求得的值.【详解】令，得.展开式的通项公式为，当时，为，即.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.14.已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）. 记换好后袋中的白球个数为，则的数学期望=___，方差=___ . 【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先求得的可能取值，然后求得分布列，由此计算出期望和方差.【详解】依题意可知的可能取值为，且.故的分布列为所以,.【点睛】本小题主要考查分布列的计算，考查数学期望和方差的计算，属于基础题.15.已知定义域为的函数的导函数的图象如图所示，且，则函数的增区间为_______，若，则不等式的解集为_________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据导函数图像的正负判断出函数的增区间.化简，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.【详解】根据导函数图像可知，当时，，函数单调递增，故函数的增区间为.不等式等价于.由于，且函数在上递减，在上递增，所以：当时，，则；当时，；当时，；当时，.故不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查利用导函数的图像判断原函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.16.已知函数在内不单调，则实数的取值范围是________.【答案】或【解析】【分析】求得函数的导函数，对分成两类，根据函数在内不单调列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】函数的定义域为，，当时，，单调递增，不符合题意.当时，构造函数，函数的对称轴为，要使在内不单调，则需，即，解得或. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.17.已知函数，若且，则的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】画出的图像，根据图像判断出，由此求得的表达式，利用二次函数值域的求法求得的取值范围.【详解】由且得.画出的图像，如下图所示，由图可知，，故，故的取值范围是.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题 ( 本大题共5小题，共74分。
浙江省温州十五校联合体2018-2019学年高二下学期期末联考数学试卷 含解析
温州市十五校联合体2018-2019学年高二下学期期末联考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．已知集合A ＝{x ∈R ｜－1≤x ≤3}，B ＝{x ∈R ｜－2≤x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x ｜﹣2≤x ≤3} B ．{x ｜﹣1≤x ≤2}C ．{0，1，2}D ．{1，2}答案：B考点：集合的运算。
解析：在数轴上画出集合A 和集合B ，找出公共部分，可知 A ∩B ＝{x ｜﹣1≤x ≤2}2．已知直线20mx y --=与直线30x ny ++=垂直，则m ，n 的关系为（ ） A ．m +n ＝0 B ．m +n +1＝0C ．m ﹣n ＝0D ．m ﹣n +1＝0答案：C考点：两直线垂直的关系。
解析：当n ＝0时，两直线不垂直，所以，n ≠0， 两直线化为：2y mx =-，13y x n n=--， 因为两直线垂直， 所以，1()1m n⨯-=-， 化简，得：m ﹣n ＝0 选C 。
3．若实数x ，y 满足不等式组，则z ＝x +2y 的最大值为（ ）A ．8B ．10C ．7D ．9 答案：D考点：线性规划。
解析：不等式组表示的平面区域如下图所示， 当目标函数z ＝x +2y 过点C （1,4）时取得最大值为9， 选D 。
4．下列命题中不正确的是（ ）A ．空间中和两条相交直线都平行的两个平面平行B ．空间中和两条异面直线都平行的两个平面平行C ．空间中和两条平行直线都垂直的两个平面平行D ．空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行 答案：D考点：空间中直线、平面之间的关系。
解析：如下图，m ∥n ，且m ，n 与底面α、左面β都平行，但α、β相交，所以，D 不正确。
由面面平行的判定可知A 、B 、C 都正确。
5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝32n+a ，则“a ＝﹣3”是“数列{a n }是等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：C考点：充分必要条件。
2018-2019学年浙江省温州十五校联合体高二下学期期末联考数学试题
2018学年第二学期“温州十五校联合体”期末考试联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页，考试时间120分钟，试题满分150分。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名等信息。
3.请将答案写在答题卡上，写在本试卷上答案无效。
4.考试结束后，该试卷与答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x∈R|﹣1≤x≤3}，B＝{x∈R|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2≤x≤3} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{0，1，2} D．{1，2}2．已知直线mx﹣y﹣2＝0与直线x+ny+3＝0垂直，则m，n的关系为（）A．m+n＝0 B．m+n+1＝0 C．m﹣n＝0 D．m﹣n+1＝0 3．若实数x，y满足不等式组，则z＝x+2y的最大值为（）A．8 B．10 C．7 D．94．下列命题中不正确的是（）A．空间中和两条相交直线都平行的两个平面平行B．空间中和两条异面直线都平行的两个平面平行C．空间中和两条平行直线都垂直的两个平面平行D．空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行5．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n a，则“a＝﹣3”是“数列{a n}是等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数f（x）＝x•ln的部分图象可能是（）7．在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+…+a2019＝4038，则a1•a2019的最大值等于（）A．3 B．4 C．6 D．98．已知双曲线1（a＞0，b＞0），两条渐近线与圆（x﹣m）2+y2＝1（m＞0）相切，若双曲线的离心率为，则m的值为（）A．B．C．D．9．已知A，B是半径为的⊙O上的两个点，1，⊙O所在平面上有一点C满足||＝1，则||的最大值为（）A．B．C．2D． 110．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，F为线段CD上一动点（不含端点），现将△ADF沿直线AF进行翻折，在翻折过程中不可能成立的是（）A．存在某个位置，使直线AF与BD垂直B．存在某个位置，使直线AD与BF垂直C．存在某个位置，使直线CF与DA垂直D．存在某个位置，使直线AB与DF垂直二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的体积为cm3，则表面积为cm2．12．已知抛物线y＝ax2过点（4，2），则a＝准线方程为13．设函数f（x），则在点（1，0）处的切线方程为函数的最大值为．14．已知a＞0，b＞0，点P（a，b）在直线l：3x+2y﹣6＝0上，则当a＝，的最小值为15．在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ABD，若AB BD，则∠CAD＝16．三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC，M是PA的中点，N是AB的中点，当二面角P ﹣AB﹣C为时，则直线BM与CN所成角的余弦值为17．已知函数f（x）＝|x2﹣ax|，若对任意x∈[l，2]，f（x）≤2x2+2恒成立，则实数a 的取值范围是三、解答题：本大題有5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．（本题满分14分）已知函数f（x）＝sin sin（）cos2（π）．（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最大值和最小值19．（本题满分15分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且DE ，平面ABCD⊥平面ADE，∠ADE＝30°（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDE；（Ⅱ）求AB与平面BCE所成角的正弦值20．（本题满分15分）已知数列{a n}的前n项的和S n，满足a n＝1（n∈N+），且a2＝3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b n，求数列{b n}的前n项和T n．21．（本题满分15分）已知椭圆C：1，点P（0，1）．（Ⅰ）过P点作斜率为k（k＞0）的直线交椭圆C于A点，求弦长|PA|（用k表示）；（Ⅱ）过点P作两条互相垂直的直线PA，PB，分别与椭圆交于A、B两点，试问：直线AB是否经过一定点？若存在，则求出定点，若不存在，则说明理由？22．（本题满分15分）已知函数f（x），＜，＞（a∈R）．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象的不同两点，其中0＜x1＜1，x2＞1，是否存在实数a，使得OP⊥OQ，且函数f（x）在点Q切线的斜率为f′（x1），若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．1.B．2.C．3.D．4.D．5.C．6.A．.7B．8.A．9.A．10C．11.12；12+2．12.；y＝﹣2．13.x﹣y﹣1＝0；．14.1，．15.．16.．17 ，．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．：（1）函数f（x）＝sin sin（）cos2（π）＝sin cos•sin x sin x sin（x），故它的最小正周期为2π．令2kπx2kπ，求得 2kπx2kπ，可得函数的增区间为[2kπ，2kπ]，k∈Z．（2）在区间[﹣π，0]上，x∈[，]，sin（x）∈[﹣1，]，f（x）∈[﹣1，]．故f（x）的最大值为，最小值为﹣1．19．（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ADE，交线为AD，且CD⊥AD，∴CD⊥平面ADE，从而CD⊥DE，CD⊥AE，∠ADE＝30°，又AD＝2，，由余弦定理得AE＝1，∴AE2+DE2＝AD2，即AE⊥DE，又CD∩DE＝D，∴AE⊥平面CDE．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB⊥平面ADE，从而AB⊥AE，，又，BC＝2，故，由已知，点B到平面CDE的距离等于点A到平面CDE的距离AE＝1，设点A到平面BCE的距离为d，则点D到平面BCE的距离也为d，由V B﹣CDE＝V D﹣BCE得，得，故AB与平面BCE所成角的正弦值．20．（1）根据题意，a n＝1（n∈N+），即2S n﹣na n＝n，2S n+1﹣（n+1）a n+1＝n+1，两式相减得，na n﹣（n﹣1）a n+1＝1，则有（n+1）a n+1﹣na n+2＝1，两式相减得，a n+a n+2＝2a n+1，∴{a n}是等差数列，当n＝1时，2a1＝a1+1，∴a1＝1，又a2＝3，∴d＝2，a n＝2n﹣1．（2）∵，，两式相减得，，∴．21．（Ⅰ）把l PA：y＝kx+1（k＞0）代入x2+4y2﹣4＝0得：（1+4k2）x2+8kx＝0，，所以．（Ⅱ）由题意可知，直线AB的斜率必存在，设直线AB为y＝kx+m，有，⇒ ，＞，，∵PA⊥PB，∴ ⇒（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）＝0，⇒x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0⇒x1x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）＝0⇒（1+k2）x1x2+k（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2＝0，⇒4（1+k2）（m+1）﹣8k2m+（m﹣1）（1+4k2）＝0，⇒ ；所以：，即直线AB过定点，．22．（1）证明：当0＜x≤1，f′（x）＝3x2﹣2x＝x（3x﹣2），令f′（x）＞0，得＜，令f′（x）＜0，得＜＜，当x＞1时，f′（x）＝lnx+1＞0，所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．即当a＝1时，f（x）的增区间为，，减区间为，．（2）P（，），Q（x2，ax2lnx2）（0＜x1＜1，x2＞1），，∴，，′，，令φ（x）＝a，则′，，φ（x）在（0，）单调递增，（，）单调递减，，x→0时，φ（x）→﹣∞，∴存在实数a取值范围是（﹣∞，]．。
2019-2020学年浙江省温州市十五校联合体高二下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省温州市十五校联合体高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}2．若函数f （x ）＝|2x +a |的单调递减区间是（﹣∞，3]，则a 的值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．﹣6D ．63．点P 从（l ，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为（ ）A ．(−12，√32)B ．(−√32，−12)C ．(−12，−√32)D ．(−√32，12)4．已知a ＝log 32，b ＝212，c ＝313，则（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a5．函数f （x ）＝（x +2a ）（x ﹣a ）2的导数为（ ） A ．2（x ﹣a ） B ．2（x +2a ）（x ﹣a ） C ．3（x 2﹣a 2）D ．3（x 2+a 2）6．函数y ＝sin （2x +π3）的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于点（−π6，0）对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x =π6对称7．对任意向量m →，n →，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．|m →•n →|≤|m →||n →| B ．|m →−n →|≤||m →|﹣|n →||C ．（m →+n →）2＝|m →+n →|2D ．（m →+n →）•（m →−n →）＝|m →|2﹣|n →|28．函数f （x ）＝x 2−a|x|（a ∈R ）的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设函数f （x ）={−x 2+2，x ＜11x ，x ≥1，若关于x 的方程f （f （x ））＝t 有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．[12，2]C ．（12，2]D ．（12，2）10．已知函数f （x ）=12x 2+mx +mlnx （m ＞0），若对于区间[1，2]上的任意两个实数x 1，x 2，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜|x 12﹣x 22|成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．12B ．14C ．1eD ．1二、填空题（本大题共7小题，多空悬每小题6分，单空题每小题6分，共36分） 11．已知复数z 满足（1+i ）z ═2i ，i 为虚数单位，则z 的虚部是 ，|z |＝ ． 12．若角θ终边过点P （4，m ），且sin θ=35，则m 等于 ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =π6，a 2+b 2﹣c 2＝ab ，c ＝3，则角C ＝ ，a ＝ ．14．函数f （x ）=13x 3﹣4x +4在[0，3]上的最大值与最小值之和为 ．15．函数f （x ）＝2|x +1|﹣|x ﹣1|的值域为 ；若函数g （x ）＝f （x ）﹣a 的两个不同零点x 1，x 2，满足2≤|x 1﹣x 2|≤10，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数f （x ）＝x 2+ax +b 和g （x ）=√x +ax +b ，若f （x ）•g （x ）≤0恒成立，则a ＝ ，b ＝ ．17．已知e →为单位向量，平面向量a →，b →满足|a →+2e →|＝2，|b →−e →|＝1．则a →•b →的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a →=（1，−√3），b →=（sin x ，cos x ），x ∈（0，π2）．（Ⅰ）若a →⊥b →，求tan2x 的值；（Ⅱ）若a→与b→的夹角为2π3，求x的值．19．设函数f（x）＝sin x+cos x，x∈R．（Ⅰ）已知θ∈[﹣π，π]，函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝2，f（π4+A2）=√62，求△ABC的面积的最大值．20．设函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝xf'（x），x≥0，其中f'（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在原点处的切线方程；（Ⅱ）令g1（x）＝g（x），g n+1（x）＝g（g n（x）），n∈N*，请猜想g n（x）的表达式，并用数学归纳法证明结论．21．已知函数f（x）＝﹣x|x﹣2a|+1（x∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）的零点；（Ⅱ）当a∈（0，32），求函数y＝f（x）在x∈[1，2]上的最大值；（Ⅲ）对于给定的正数a，有一个最大的正数T（a），使x∈[0，T（a）]时，都有|f（x）|≤1，试求出这个正数T（a）的表达式．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性（Ⅱ）若函数f（x）有一个大于1的零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若f（x0）＝0，且x0＞1，求证：x0+1＞2 a．参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{﹣1，0，1，2}，B ={x|−√2＜x ＜√2}， ∴A ∩B ＝{﹣1，0，1}． 故选：C ．2．若函数f （x ）＝|2x +a |的单调递减区间是（﹣∞，3]，则a 的值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．﹣6D ．6【分析】根据绝对值函数、一次函数的性质，求出a 的值．解：∵函数f （x ）＝|2x +a |的单调递减区间是（﹣∞，3]，∴−a2=3，a ＝﹣6， 故选：C ．3．点P 从（l ，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为（ ）A ．(−12，√32)B ．(−√32，−12)C ．(−12，−√32)D ．(−√32，12)【分析】由题意推出∠QOx 角的大小，然后求出Q 点的坐标． 解：点P 从（0，1）出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，所以∠QOx =2π3， 所以Q （cos 2π3，sin2π3），所以Q (−12，√32)．故选：A ．4．已知a ＝log 32，b ＝212，c ＝313，则（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵log 31＜log 32＜log 33，∴0＜a ＜1，∵b 6=(212)6=23=8，c 6=(313)6=32=9，∴c ＞b ＞1， ∴a ＜b ＜c ， 故选：A ．5．函数f（x）＝（x+2a）（x﹣a）2的导数为（）A．2（x﹣a）B．2（x+2a）（x﹣a）C．3（x2﹣a2）D．3（x2+a2）【分析】把给出的函数采用多项式乘多项式展开后直接运用和函数的导数求导即可．解：由f（x）＝（x+2a）（x﹣a）2＝（x+2a）（x2﹣2ax+a2）＝x3﹣3a2x+2a3，所以，f′（x）＝（x3﹣3a2x+2a3）′＝3（x2﹣a2）．故选：C．6．函数y＝sin（2x+π3）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（−π6，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=π6对称【分析】令2x+π3=kπ+π2，k∈z，可得对称轴方程为：x=kπ2+π12，k∈z．令2x+π3=kπ，k∈z，解得对称中心的横坐标x=kπ2−π6，故对称中心为（kπ2−π6，0），k∈z．解：在函数y=sin(2x+π3)中，令2x+π3=kπ+π2，k∈z，可得x=kπ2+π12，k∈z，故对称轴为x＝x=kπ2+π12，k∈z．故C、D均不正确．令2x+π3=kπ，k∈z，解得x=kπ2−π6，故对称中心为（kπ2−π6，0），k∈z，故选：B．7．对任意向量m→，n→，下列关系式中不恒成立的是（）A．|m→•n→|≤|m→||n→|B．|m→−n→|≤||m→|﹣|n→||C．（m→+n→）2＝|m→+n→|2D．（m→+n→）•（m→−n→）＝|m→|2﹣|n→|2【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．解：选项A恒成立，∵|m→•n→|＝|m→||n→||cos＜m→，n→＞|，又|cos＜m→，n→＞|≤1，∴|m→⋅n→|≤|m→||n→|恒成立；选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|m→−n→|≥||m→|﹣|n→||；选项C恒成立，由向量数量积的运算性质可得（m→+n→）2＝|m→+n→|2；选项D恒成立，由向量数量积的运算可得（m→+n→）•（m→−n→）=m→2−n→2＝|m→|2﹣|n→|2故选：B．8．函数f （x ）＝x 2−a|x|（a ∈R ）的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】当a ＝0时容易判断选项C 符合，当a ＞0或a ＜0时，利用极限思维可知，选项D 一定不符合．解：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，其图象如选项C ；当a ＞0或a ＜0时，若x →+∞，则f （x ）→+∞，观察选项可知，只有D 选项不合题意． 故选：D ．9．设函数f （x ）={−x 2+2，x ＜11x ，x ≥1，若关于x 的方程f （f （x ））＝t 有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．[12，2]C ．（12，2]D ．（12，2）【分析】求出函数的解析式，利用数形结合转化求解即可． 解：函数f （x ）={−x 2+2，x ＜11x，x ≥1，f （f （x ））={−f 2(x)+2，f(x)＜11f(x)，f(x)≥1={−(−x 2+2)2+2，x ＜−1−1x 2+2，x ＞112，−1≤x ≤1，函数的图象如图：关于x 的方程f （f （x ））＝t 有三个不相等的实数根，解得y ＝f （f （x ））的图象与y ＝t 的图象由3个交点， 由图形可知：t ∈（12，2）．故选：D ．10．已知函数f （x ）=12x 2+mx +mlnx （m ＞0），若对于区间[1，2]上的任意两个实数x 1，x 2，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜|x 12﹣x 22|成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．12B ．14C ．1eD ．1【分析】依题意，{f(x 1)−x 12＜f(x 2)−x 22f(x 1)+x 12＞f(x 2)+x 22，进而可构造函数g(x)=f(x)−x 2=−12x 2+mx +mlnx ，x ∈[1，2]，函数h(x)=f(x)+x 2=32x 2+mx +mlnx ，x ∈[1，2]，可知函数g （x ）在[1，2]上单调递减，函数h （x ）在[1，2]上单调递减，由此利用导数可求得实数m 的取值范围，进而求得最大值．解：依题意，不妨令2≥x 1≥x 2≥1，则x 22−x 12＜f(x 1)−f(x 2)＜x 12−x 22，即{f(x 1)−x 12＜f(x 2)−x 22f(x 1)+x 12＞f(x 2)+x 22， 构造函数g(x)=f(x)−x 2=−12x 2+mx +mlnx ，x ∈[1，2]，则函数g （x ）在[1，2]上单调递减，∴g′(x)=−x +m +m x =−x 2−mx−m x≤0在[1，2]上恒成立，即m ≤x 2x+1=(x+1)2−2(x+1)+1x+1=x +1+1x+1−2在[1，2]上恒成立， 又y =x +1+1x+1−2在[1，2]上单调递增，故m ≤12，构造函数h(x)=f(x)+x 2=32x 2+mx +mlnx ，x ∈[1，2]，则函数h （x ）在[1，2]上单调递增，∴h′(x)=3x +m +m x =3x 2+mx+m x≥0在[1，2]恒成立，即m ≥−3x 2x+1在[1，2]上恒成立，又函数y =−3x 2x+1在[1，2]上单调递减，故m ≥−32，又m ＞0，故0＜m ≤12， ∴实数m 的最大值为12．故选：A ．二、填空题（本大题共7小题，多空悬每小题6分，单空题每小题6分，共36分） 11．已知复数z 满足（1+i ）z ═2i ，i 为虚数单位，则z 的虚部是 1 ，|z |＝ √2 ． 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：因为复数z 满足（1+i ）z ═2i ，i 为虚数单位， 所以：z =2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=i （1﹣i ）＝1+i ； ∴z 的虚部是：1；|z |=√12+12=√2； 故答案为：1，√2．12．若角θ终边过点P （4，m ），且sin θ=35，则m 等于 3 ． 【分析】根据任意角的三角函数定义，列方程求出m 的值． 解：角θ的终边经过点P （4，m ）， 则r =√42+m 2=√m 2+16， 又sin θ=m √m +16=35，解得m ＝3． 故答案为：3．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =π6，a 2+b 2﹣c 2＝ab ，c ＝3，则角C ＝π3，a ＝ √3 ．【分析】由已知利用余弦定理可求cos C =12，结合范围C ∈（0，π），可求C =π3，结合已知可求B =π2，进而可求a =ctanC 的值． 解：∵a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =ab 2ab =12，∵C ∈（0，π）， ∴C =π3， ∵A =π6，c ＝3， ∴B =π2，a =ctanC =3√3=√3． 故答案为：π3，√3．14．函数f （x ）=13x 3﹣4x +4在[0，3]上的最大值与最小值之和为83．【分析】利用求导公式先求出函数导数，求出导数等于0时x 的值，吧x 值代入原函数求出极值，再求出端点值，极值与端点值比较，求出最大值和最小值，做和． 解：f ′（x ）＝x 2_4 f ′（x ）＝0 则x ＝±2 极值：f （2 ）=−43端点值：f （0）＝4 f （3）＝1所以：最大值为4最小值为−43，最大值和最小值之和为83．故答案为：83．15．函数f （x ）＝2|x +1|﹣|x ﹣1|的值域为 [﹣2，+∞） ；若函数g （x ）＝f （x ）﹣a 的两个不同零点x 1，x 2，满足2≤|x 1﹣x 2|≤10，则实数a 的取值范围是 [−12，5] ．【分析】根据条件得到函数f （x ）的解析式，作出其图象，数形结合求出当|x 1﹣x 2|＝2时a =−12，|x 1﹣x 2|＝10时，a ＝5．解：f （x ）={−x −3，x ≤−13x +1，−1＜x ＜1x +3，x ≥1，作出函数f （x ）图象如图：由图可知，函数f（x）的值域为：[﹣2，+∞）；当|x1﹣x2|＝2时，由图可知﹣3＜x1＜﹣1，﹣1＜x2＜0，且满足﹣x1﹣3＝3x2+1，即有x1＝﹣3x2﹣4，则|x1﹣x2|＝x2﹣x1＝x2﹣（﹣3x2﹣4）＝4x2+4＝2，解得x2=−12，故此时a＝3×（−12）+1=−1 2；当|x1﹣x2|＝10时，由图可知x1＜﹣7，x2＞1，且满足﹣x1﹣3＝x2+3，即有x1＝﹣x2﹣6，则|x1﹣x2|＝x2﹣x1＝x2﹣（﹣x2﹣6）＝2x2+6＝10，解得x2＝2，故此时a＝x2+3＝5；综上，当2≤|x1﹣x2|≤10时，a的取值范围为[−1 2，5]故答案为：[﹣2，+∞）；[−12，5]．16．已知函数f（x）＝x2+ax+b和g（x）=√x+ax+b，若f（x）•g（x）≤0恒成立，则a ＝﹣1，b＝0．【分析】由题意可得x＝0，x＝1恒成立，代入计算即可得到所求a，b的值，检验可得结论．解：由题意可得x＝0时不等式恒成立，可得b2≤0，但b2≥0，即有b＝0，又x＝1时，不等式恒成立，可得（1+a）2≤0，但（1+a）2≥0，可得a＝﹣1，当a＝﹣1，b＝0时，f（x）•g（x）＝（x2﹣x）（√x−x）＝x√x（x﹣1）（1−√x），当x≥0时，（x﹣1）（1−√x）≤0，故f（x）•g（x）≤0恒成立．故答案为：﹣1，0．17．已知e→为单位向量，平面向量a→，b→满足|a→+2e→|＝2，|b→−e→|＝1．则a→•b→的取值范围是[﹣8，1]．【分析】设e→=（1，0），a→=（x，y），b→=（m，n），利用柯西不等式得到a→⋅b→≤√−4x+x，利用换元法得到最大值，当两向量反向时最小．解：不妨设e →=（1，0），a →=（x ，y ），b →=（m ，n ）， 则根据条件可得（x +2）2+y 2＝4，（m ﹣1）2+n 2＝1， 根据柯西不等式，a →⋅b →=mx +ny ＝（m ﹣1）x +ny +x ≤√(m −1)2+n 2•√x 2+y 2+x =√−4x +x ，令t =√−4x ∈[0，8]，则a →⋅b →=√−4x +x ＝t −t 24=−14（t ﹣2）2+1≤1，又因为当a →，b →反向时，a →⋅b →最小，即有a →=（﹣4，0），b →=（2，0），此时a →⋅b →=−8， 综上，a →⋅b →的取值范围是[﹣8，1]，故答案为：[﹣8，1]． 一、选择题18．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a →=（1，−√3），b →=（sin x ，cos x ），x ∈（0，π2）．（Ⅰ）若a →⊥b →，求tan2x 的值； （Ⅱ）若a →与b →的夹角为2π3，求x 的值．【分析】（Ⅰ）根据a →⊥b →即可得出a →⋅b →=0，从而可得出tanx =√3，进而得出tan2x =−√3；（Ⅱ）根据向量夹角的余弦公式即可得出sinx−√3cosx2=−12，从而得出sinx =√3cosx −1，然后根据sin 2x +cos 2x ＝1即可得出cosx =√32，从而可得出x 的值． 解：（Ⅰ）∵a →⊥b →，∴a →⋅b →=sinx −√3cosx =0，且x ∈(0，π2)，∴tanx =√3， ∴x =π3， ∴tan2x =tan2π3=−√3； （Ⅱ）∵a →与b →的夹角为2π3，∴cos 2π3=a →⋅b →|a →||b →|=sinx−√3cosx 2=−12， ∴sinx =√3cosx −1，∴(√3cosx −1)2+cos 2x =4cos 2x −2√3cosx +1=1，且x ∈(0，π2)，∴cos x ≠0，cosx =√32，∴x =π6．19．设函数f （x ）＝sin x +cos x ，x ∈R ．（Ⅰ）已知θ∈[﹣π，π]，函数f （x +θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，f （π4+A 2）=√62，求△ABC 的面积的最大值．【分析】把已知函数解析式利用辅助角公式化简．（Ⅰ）由函数f （x +θ）是偶函数，得f （﹣x +θ）＝f （x +θ），进一步得到θ+π4−x +θ+π4+x =π+2kπ，k ∈Z 恒成立，得到θ=π4+kπ（k ∈Z ），再由θ的范围求得θ值；（Ⅱ）由f （π4+A 2）=√62求解角A ，由已知结合余弦定理及基本不等式求得bc 的最大值，则△ABC 的面积的最大值可求． 解：f （x ）＝sin x +cos x =√2sin(x +π4)．（Ⅰ）由函数f （x +θ）是偶函数，得f （﹣x +θ）＝f （x +θ）， 即√2sin(θ+π4−x)=√2sin(θ+π4+x)， ∴θ+π4−x =θ+π4+x +2kπ，k ∈Z （舍） 或θ+π4−x +θ+π4+x =π+2kπ，k ∈Z 恒成立． 即θ=π4+kπ（k ∈Z ）， ∵θ∈[﹣π，π]，∴θ=−3π4或π4； （Ⅱ）由f （π4+A 2）=√62，得√2sin(π4+A 2+π4)=√2cos A 2=√62，即cos A 2=√32，∵0＜A＜π，∴0＜A2＜π2，得A2=π6，即A=π3．由余弦定理可得：a2=4=b2+c2−2bc⋅cos π3=b2+c2﹣bc，∴4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc（当且仅当b＝c时取等号），即bc≤4．∴△ABC的面积S=12bc⋅sinπ3≤√3．即△ABC的面积的最大值为√3．20．设函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝xf'（x），x≥0，其中f'（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在原点处的切线方程；（Ⅱ）令g1（x）＝g（x），g n+1（x）＝g（g n（x）），n∈N*，请猜想g n（x）的表达式，并用数学归纳法证明结论．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由直线方程斜截式求函数f（x）的图象在原点处的切线方程；（Ⅱ）分别求出g1（x）、g2（x）、g3（x）的解析式，归纳猜测g n（x）=x1+nx．用数学归纳法证明时，验证n＝1时结论成立；假设n＝k（k≥2且k∈N*）时结论成立，即g k（x）=x1+kx．再由归纳假设及g k+1（x）＝g（g k（x））证明当n＝k+1时结论成立，然后下结论．解：（Ⅰ）由f（x）＝ln（x+1），得f′（x）=1x+1，∴f′（0）＝1，∴函数f（x）的图象在原点处的切线方程为y＝x；（Ⅱ）由题设得，g（x）=xx+1（x≥0）．由已知得，g1（x）＝g（x）=xx+1（x≥0），g2（x）＝g（g1（x））=xx+1xx+1+1=x1+2x，g3（x）＝g（g2（x））=x1+2x1+x1+2x=x1+3x，…，归纳可得g n（x）=x1+nx．下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1（x）=x1+x，结论成立．②假设n ＝k （k ≥2且k ∈N *）时结论成立，即g k （x ）=x1+kx ． 那么，当n ＝k +1时， g k +1（x ）＝g （g k （x ））=x 1+kx1+x 1+kx=x1+(k+1)x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N *成立． ∴g n （x ）=x1+nx ．21．已知函数f （x ）＝﹣x |x ﹣2a |+1（x ∈R ）． （Ⅰ）当a ＝1时，求函数y ＝f （x ）的零点；（Ⅱ）当a ∈（0，32），求函数y ＝f （x ）在x ∈[1，2]上的最大值；（Ⅲ）对于给定的正数a ，有一个最大的正数T （a ），使x ∈[0，T （a ）]时，都有|f （x ）|≤1，试求出这个正数T （a ）的表达式．【分析】（Ⅰ）将a ＝1代入，令f （x ）＝0，去掉绝对值直接求解即可得出零点； （Ⅱ）依题意，最大值在f （1），f （2），f （2a ）中取得，然后分类讨论即可得出答案； （Ⅲ）问题可转化为在给定区间内f （x ）≥﹣1恒成立，分﹣a 2+1≤﹣1及﹣a 2+1＞﹣1讨论得出答案．解：（Ⅰ）由题意得a ＝1时，f （x ）＝﹣x |x ﹣2|+1，令f （x ）＝0， 当x ≥2时，﹣x （x ﹣2）+1＝0，解得x =1+√2； 当x ＜2时，x （x ﹣2）+1＝0，解得x ＝1，； 故函数f （x ）的零点为1+√2和1；（Ⅱ）f(x)={−x 2+2ax +1，x ≥2a x 2−2ax +1，x ＜2a ，其中f （0）＝f （2a ）＝1，由于a ∈(0，32)， 于是最大值在f （1），f （2），f （2a ）中取， 当0＜2a ≤1，即0＜a ≤12时，f （x ）在[1，2]上递减， 故f （x ）max ＝f （1）＝2a ；当a ＜1＜2a ＜2，即12＜a ＜1时，f （x ）在[1，2a ]上递增，在[2a ，2]上递减，故f （x ）max ＝f （2a ）＝1；当1≤a ＜2＜2a ，即1≤a ＜2时，f （x ）在[1，a ]上递减，在[a ，2]上递增，故f （x ）max ＝max {f （1），f （2）}，由于f （1）﹣f （2）＝（2﹣2a ）﹣（5﹣4a ）＝2a ﹣3＜0，故f （x ）max ＝f （2）＝5﹣4a ；综上，f(x)max={2a ，0＜a ≤121，12＜a ＜15−4a ，1≤a ＜32；（Ⅲ）∵x ∈（0，+∞）时，f （x ）max ＝1，故问题可转化为在给定区间内f （x ）≥﹣1恒成立，因为f （a ）＝﹣a 2+1，分两种情况讨论：当﹣a 2+1≤﹣1时，T （a ）是方程x 2﹣2ax +1＝﹣1的较小根，即a ≥√2时，T(a)=a −√a 2−2；当﹣a 2+1＞﹣1时，T （a ）是方程﹣x 2+2ax +1＝﹣1的较大根，即0＜a ＜√2时，T(a)=a +√a 2+2；综上，T(a)={a −√a 2−2，a ≥√2a +√a 2+2，0＜a ＜√2．22．已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +a ． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性（Ⅱ）若函数f （x ）有一个大于1的零点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若f （x 0）＝0，且x 0＞1，求证：x 0+1＞2a．【分析】（Ⅰ）求导，分a ≤0及a ＞0讨论即可得出单调性情况；（Ⅱ）分a ≤0，0＜a ＜1及a ≥1三种情况讨论，结合函数的单调性及零点存在性定理得出结论；（Ⅲ）问题转化为证明lnx 0＞2(x 0−1)x 0+1，构造函数h(x)=lnx −2(x−1)x+1，利用导数求其最值，容易得证．解：（Ⅰ）由题意知，函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1x −a =1−axx， ①当a ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；②当a ＞0时，令f ′（x ）＝0，解得x =1a ，易知f （x ）在(0，1a )上单调递增，在(1a ，+∞)上单调递减；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时显然不符合题意；当0＜1a≤1，即a ≥1时，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，又f （1）＝0，故f （x ）＜0在（1，+∞）上恒成立，无零点，不符合题意； 当1a ＞1，即0＜a ＜1时，f （x ）在(0，1a )上单调递增，在(1a，+∞)上单调递减，∴f(1a )=ln 1a+a −1＞f(1)=0，又f(e 1a )=1a−ae 1a +a =a(12+1−e 1a )，令t =1a＞1，设g （t ）＝t 2+1﹣e t ，则g ′（t ）＝2t ﹣e t ，g ''（t ）＝2﹣e t ＜0， ∴g ′（t ）在（1，+∞）上递减， ∴g ′（t ）＜g ′（1）＝2﹣e ＜0， ∴g （t ）在（1，+∞）上递减，∴g （t ）＜g （1）＝2﹣e ＜0，即f(e 1a )＜0，故f （x ）在(1，1a )上无零点，在(1a ，+∞)有唯一零点；综上，满足条件的a 的取值范围为（0，1）；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得，x 0∈(1a ，+∞)且0＜a ＜1，由lnx 0＝a （x 0﹣1），要证x 0+1＞2a，即证(x 0+1)lnx 0x 0−1＞2，即证lnx 0＞2(x 0−1)x 0+1， 令h(x)=lnx −2(x−1)x+1，则h′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2＞0， ∴h （x ）在（1，+∞）上递增，∴h （x ）＞h （1）＝0，故lnx 0＞2(x 0−1)x 0+1，即x 0+1＞2a ．。