2020年浙江省温州市十五校联合体高二(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2-x≤0}，B={x|-1＜x＜1}，则A∩B=（）A. （-1，1]B. （0，1）C. [0，1]D. [0，1）2.已知复数z满足（1-i）z=1+3i，则复数z在复平面内对应的点为（）A. （-1，2）B. （2，-1）C. （2，1）D. （-1，-2）3.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.4.若，则下列结论正确的是（）A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. c＜a＜bD. c＜b＜a5.已知，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的图象是（）A. B.C. D.6.在（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）10的展开式中，含x2项的系数是（）A. 165B. 164C. 120D. 1197.已知M（t，f（t）），N（s，g（s））是函数f（x）=ln x，g（x）=2x+1的图象上的两个动点，则当达到最小时，t的值为（）A. 1B. 2C.D.8.现有甲，乙，丙，丁，戊5位同学站成一列，若甲不在右端，且甲与乙不相邻的不同站法共有（）A. 60种B. 36种C. 48种D. 54种9.下列命题正确的是（）A. 若ln a-ln b=a-2b，则a＞b＞0B. 若ln a-ln b=a-2b，则b＞a＞0C. 若ln a-ln b=2b-a，则a＞b＞0D. 若ln a-ln b=2b-a，则b＞a＞010.已知函数f（x）=x|x-a|+ax（a∈R），若方程f（x）=2x+3有且只有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A. B. ∪C. D. ∪二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知函数，且f[f（0）]=4a，则f（-2）=______，实数a=______．12.在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：；；；……，请根据上面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结果：______．13.若，则a0+a1+a2+…+a6+a7=______，a6=______．14.已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）．记换好后袋中的白球个数为X，则X的数学期望E（X）=______，方差D（X）=______．15.已知定义域为R的函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，且f（-2）=f（3）=2，则函数f（x）的增区间为______，若g（x）=（x-1）f（x），则不等式g（x）≥2x-2的解集为______．16.已知函数在（1，3）内不单调，则实数a的取值范围是______．17.已知函数f（x）=，若f（x1）=f（x2）且x1＜x2，则f（x1+x2）的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f（x）=x2-2（a-1）x+4．（Ⅰ）若f（x）为偶函数，求f（x）在[-1，2]上的值域；（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，求f（x）在[1，a]上的最大值．19.已知函数f（x）=5-4|x|，g（x）=x2，设F（x）=（Ⅰ）求函数F（x）的解析式；（Ⅱ）求不等式F（x）≥|x-1|的解集．20.已知正项数列{a n}满足a1=1，前n项和S n满足，（Ⅰ）求a2，a3，a4的值（Ⅱ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．21.已知函数f（x）=2x3-3x，（Ⅰ）若f（x）的图象在x=a处的切线与直线垂直，求实数a的值及切线方程；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围22.已知函数，a为大于0的常数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|0≤x≤1}；∴A∩B=[0，1）．故选：D．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：由（1-i）z=1+3i，得z=，∴复数z在复平面内对应的点为（-1，2）．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=2x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=x|x|=，既是奇函数又是增函数，符合题意；对于C，f（x）=-，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=lg|x|，是偶函数，不符合题意；故选B．4.【答案】C【解析】解：∵a6=8，b6=9；∴a6＜b6，且a，b＞1；∴1＜a＜b；又log32＜log33=1；∴c＜a＜b．故选：C．容易得出a6=8，b6=9，且a，b＞1，从而得出1＜a＜b，并可得出log32＜1，从而可以得出a，b，c的大小关系．考查分数指数幂的运算，幂函数和对数函数的单调性．5.【答案】A【解析】解：函数的导数f′（x）=x+sin x，设g（x）=f′（x），则g（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D：g′（x）=1+cos x≥0，即函数f′（x）为增函数，当x＞0且x→0，g′（x）=1+cos x→2，故排除B，故选：A．求的导数，得f′（x）的表达式，判断f′（x）的奇偶性和对称性，然后设g（x）=f′（x），求g′（x），研究函数g（x）的单调性，利用极限思想求出当x→0时，f（x）→2，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，求出函数的导数，利用函数的对称性和极限思想是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）10的展开式中含x2项的系数为C32+C42+…+C102=C113-C22=164，故选：B．由题意可得展开式中含x2项的系数为C32+C42+…+C102，再利用二项式系数的性质化为C113-C22，从而得到答案．本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：M，N是函数f（x）=ln x，g（x）=2x+1的图象上的两个动点，则当达到最小时，此时函数f（x）的切线方程，与g（x）=2x+1平行，∵f′（x）=，∴k==2，解得t=故选：C．M，N是函数f（x）=ln x，g（x）=2x+1的图象上的两个动点，则当达到最小时，此时函数f（x）的切线方程，与g（x）=2x+1平行，求导，根据导数的几何意义即可求出．本题考查了导数的几何意义，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，8.【答案】D【解析】解：根据题意，用间接法分析：先计算甲与乙不相邻站法数目，先将丙，丁，戊3位同学站成一列，有A33=6种情况，排好后有4个空位，将甲乙安排在4个空位中，有A42=12种情况，则甲与乙不相邻站法有6×12=72种；其中甲在右端，甲乙不相邻的站法有6×3=18种；则甲不在右端，且甲与乙不相邻的不同站法有72-18=54种；故选：D．根据题意，用间接法分析：先计算甲与乙不相邻站法数目，再计算其中甲在右端且甲与乙不相邻的站法，进而分析可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：∵ln a-ln b=2b-a，令=t，则b=at，ln a-ln（at）=2at-a，即ln t+at-a=0，记f（t）=ln t+2at-a，则f′（t）=+2a＞0，∴f（t）在（0，+∞）上单调递增，∴f（1）=ln1+2a-a=a＞0=f（t），∴1＞t，即1＞，∴a＞b＞0．故选：C．ln a-ln b=2b-a，令=t，则b=at，记f（t）=ln t+2at-a，通过求导得单调性，利用单调性可得．本题考查了不等式的基本性质，属中档题．10.【答案】B【解析】解：若方程f（x）=2x+3有且只有三个不同的实数根，即函数y=f（x）与函数y=2x+3的图象有三个交点，由题意，，且a2=-a2+2a•a，f（x）=-x2+2ax恒过点（0，0），f（x）=x2与函数y=2x+3相交于（-1，1）及（3，9），①当a≤-1时，作出函数草图如下，由图观察可知，此时函数y=f（x）与函数y=2x+3的图象显然有三个交点；②当-1＜a≤0时，作出函数草图如下，由图象可知，此时只需-x2+2ax=2x+3有两个不同的根即可，即△=（2-2a）2-12＞0，解得或，则此时；③当0＜a＜3时，作出函数草图如下，由图象可知，此时只需-x2+2ax=2x+3有两个不同的根即可，即△=（2-2a）2-12＞0，解得或，此时；④当a=3时，作出函数草图如下，此时只有两个交点，不符合题意；⑤当a＞3时，作出函数草图如下，此时只有一个交点，不符合题意；综上，实数a的取值范围为．故选：B．由题意，，原问题等价于函数y=f（x）与函数y=2x+3的图象有三个交点，分类讨论结合数形结合即可得到答案．本题主要考查根据函数零点个数确定参数的取值范围，考查分类讨论思想及数形结合思想，有一定难度．11.【答案】 2【解析】解：∵，∴f（0）=2，f[f（0）]=f（2）=4+2a=4a，∴a=2，则f（-2）=2-2+1=，a=2，故答案为：．先根据分段函数的解析式求出f（0），进而可表示f[f（0）]，即可求解．本题主要考查了分段函数的性质的简单应用，属于基础试题．12.【答案】C=144【解析】解：根据题中的四个式子的特点可以很明显写出下一个算式为：C==6+35+56+36+10+1=144．故答案为：C=144．本题根据题干中的四个式子的特点可以很明显写出下一个算式，然后根据组合的定义式进行计算可得到结果．本题主要考查对算式规律的归纳能力，以及根据发现的规律猜想出下一个算式．本题属基础题．13.【答案】128 21【解析】解：由，令x=0得：a0+a1+a2+…+a6+a7=27=128，故a0+a1+a2+…+a6+a7=128，又（2-x）7=[3-（1+x）]7，由[3-（1+x）]7展开式的通项为T r+1=37-r（1+x）r，令r=6得a6==21，故a6=21，故答案为：128 21．由二项式定理及展开式系数的求法得：x=0得：a0+a1+a2+…+a6+a7=27=128．又（2-x）7=[3-（1+x）]7，由[3-（1+x）]7展开式的通项为T r+1=37-r（1+x）r，令r=6得a6==21，得解．本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，属中档题．14.【答案】【解析】解：X的所有可能的取值为1，3，P（X=1）==，P（X=3）==，∴E（X）=1×+3×=，D（X）=（1-）2×+（3-）2×=．故答案为：，．X的所有可能的取值为1，3，根据古典概型求出概率，再用期望和方差公式求得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．15.【答案】[1，+∞）[-2，1]∪[3，+∞）【解析】解：由题意得：当x≥1时，f′（x）≥0，故f（x）在[1，+∞）递增，由题意得：f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增，解不等式g（x）≥2x-2，即解不等式（x-1）f（x）≥3（x-1），①x-1≥0时，上式可化为：f（x）≥2=f（2），解得：x≥3，②x-1≤0时，不等式可化为：f（x）≤3=f（-2），解得：-2≤x≤1，综上：不等式的解集是[-2，1]∪[3，+∞），故答案为：[1，+∞），[-2，1]∪[3，+∞），根据图象得到函数f（x）的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．16.【答案】a＞1或a【解析】解：∵f（x）=ax2-2ax+ln x，x∈（1，3）当a=0时，f（x）=ln x在（1，3）上单调递增，不符合题意，当a≠0时，∴f′（x）=ax-2a+=，∵f（x）=ax2-2ax+ln x在（1，3）上不单调，∴f′（x）=0在（1，3）上有解，设g（x）=ax2-2ax+1，其对称轴为x=1，∴g（1）g（3）＜0，∴（-a+1）（3a+1）＜0，解得a＞1或a＜-，故答案为：a＞1或a＜-．函数f（x）在（1，3）内不单调⇔函数f（x）在（1，3）内存在极值⇔f′（x）=0在（1，3）内有解，即ax2-2ax+1=0在（1，3）内有解．即可得出a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．17.【答案】[-4，+∞）【解析】解：作出函数f（x）=的图象，可令f（x1）=f（x2）=t（t≥0），可得-4x1-5=x22=t，x1＜0，x2≥0，即有x1=-，x2=，可得x1+x2=-（t-4+5）=-（（-2）2+1）＜0，则f（x1+x2）=-4•[-（t-4+5）]-5═t-4=（-2）2-4≥-4，当t=4时，取得最小值-4，故答案为：[-4，+∞）．作出f（x）的图象，可令f（x1）=f（x2）=t（t≥0），即有x1=-，x2=，可得x1+x2＜0，由分段函数解析式，运用配方法，结合二次函数的性质可得所求取值范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查化简运算能力和数形结合思想方法，以及配方法，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x2-2（a-1）x+4，为二次函数，其对称轴为x=a-1，若f（x）为偶函数，则a-1=0，解可得a=1；则f（x）=x2+4，又由-1≤x≤2，则有4≤f（x）≤8，即函数f（x）的值域为[4，8]；（Ⅱ）根据题意，函数f（x）=x2-2（a-1）x+4，为二次函数，其对称轴为x=a-1，若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，则a-1≥2，则a≥3；则可得到1＜a-1＜a，则f（x）在区间[1，a-1]上递减，在[a-1，a]递增，且f（1）=7-2a，f（a）=-a2+2a+4，f（1）-f（a）=（7-2a）-（-a2+2a+4）=a2-4a+3=（a-2）2-1，又由a≥3，则f（1）≥f（a），则f（x）在[1，a]上的最大值为f（1）=7-2a．【解析】（Ⅰ）求出函数的对称轴，由偶函数的性质分析可得a-1=0，解可得a=1，即可得函数的解析式，由二次函数的性质分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，由二次函数的性质分析可得a-1≥2，则a≥3；分析函数f（x）在区间[1，a]上的单调性，求出并比较f（1）、f（a）的值，即可得答案．本题考查二次函数的性质，涉及二次函数的单调性以及最值，属于基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）当f（x）≥g（x）时，5-4|x|≥x2（|x|-1）（|x|+5）≤0解得-1≤x≤1当f（x）＜g（x），5-4|x|＜x2解得x＜-1或x＞1．∴F（x）=………（5分）（Ⅱ）（1）当-1≤x≤1时，由F（x）≥|x-1|，得x2≥|x-1|x2+x-1≥0解得x≥或x≤，于是≤x≤1………（8分）（2）当x＜-1或x＞1时由F（x）≥|x-1|，得5-4|x|≥|x-1|①若x＜-1时，不等式化为5+4x≥1-x，无解．②若x＞1时，不等式化为5-4x≥x-1，解得 1＜x≤………（14分）由（1），（2）得．≤x≤故不等式F（x）≥|x-1|的解集为{x|≤x≤}．………（15分）【解析】（Ⅰ）根据分段函数的定义可得；（Ⅱ）分2种情况解不等式再相交．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．20.【答案】解（Ⅰ）当n=2时，4S2=（a2+1）2，∴4（a2+1）=（a2+1）2，解得a2=3，当n=3时，4S3=（a3+1）2，∴4（S2+a3）=（a3+1）2，解得a3=5，当n=4时，4S4=（a4+1）2，解得a4=7，（Ⅱ）猜想得a n=2n-1，下面用数学归纳法证明：①当n=1，2时a1=1，a2=3，满足a n=2n-1．②假设n=k时，结论成立，即a k=2k-1，则n=k+1时4S k+1=（a k+1+1）2，∴4（S k+a k+1）=（a k+1）2+4a k+1=（a k+1+1）2，将a k=2k-1代入化简得（a k+1-1）2=4k2，∴a k+1=2k+1=2（k+1）-1，故n=k+1时结论成立．综合①②可知，a n=2n-1．【解析】（Ⅰ）分别令n=2，3，4，解方程可得数列的前三项；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想a n=2n-1；用数学归纳法证明a n=2n-1．注意步骤，由n=k等式成立，运用数列的递推式推理证得n=k+1也成立．本题主要考查数学归纳法的应用，考查数列的通项公式，正确运用数学归纳法是关键，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3-3x得f′（x）=6x2-3，于是在x=a处的切线的斜率为6a2-3，由于切线与直线垂直，所以6a2-3=3．故实数a的值为±1．当a=1时，切点为（1，-1），切线为y=3x-4；当a=-1时，切点为（-1，1），切线为y=3x+4；（Ⅱ）设切点坐标（m，n），切线斜率为k，则有切线方程为y-（2m3-3m）=（6m2-3）（x-m），因为切线过P（1，t），所以将P（1，t）代入直线方程可得：t--（2m3-3m）=（6m2-3）（1-m），即为t=（6m2-3）（1-m）+（2m3-3m）=-4m3+6m2-3，令g（x）=-4x3+6x2-3，即直线y=t与g（x）=-4x3+6x2-3有三个不同交点．由g′（x）=-12x2+12x=-12x（x-1），令g′（x）＞0解得0＜x＜1，所以g（x）在（-∞，0），（1，+∞）单调递减，在（0，1）单调递增，g（x）极大值=g（1）=-1，g（x）极小值=g（0）=-3，所以若有三个交点，则t∈（-3，-1），所以当t∈（-3，-1）时，过点P（1，t），存在3条直线与曲线y=f（x）相切．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得a，进而得到所求切线方程；（Ⅱ）设切点坐标（m，n），切线斜率为k，可得切线方程，代入P（1，t），运用构造函数法，求得导数和单调性，可得极值，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）函数定义域为（-∞，1），求导得f′（x）=-+x=，令g（x）=-x2+x-a=-（x-）2+-a，①若a≥，则g（x）≤0恒成立，此时f（x）在（-∞，1）上单调递减；②若0＜a＜，则g（x）=0在（-∞，1）上有两个实数解x1=，x2=当x＜x1时，f′（x）＜0，此时f（x）在（-∞，x1）上单调递减；当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，此时f（x）在（x1，x2）上单调递增；当x1＜x＜1，f′（x）＜0，此时f（x）在（x2，1）上单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0＜a＜时有两个极值点x1，x2，且满足x1+x2=1，x1x2=a，x1=∈（0，），∴f（x2）-x1=a ln（1-x2）+-x1=x1（1-x1）ln x1-x1+（1-x1）2=x1（1-x1）ln x1-x1+（x12-4x1+1），构造函数h（x）=x（1-x）ln x+（x2-4x+1）．则h′（x）=（1-2x）ln x-1，当x∈（0，）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，）上单调递减．又x1∈（0，），∴h（x1）＞h（）=-．即．【解析】（Ⅰ）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可（Ⅱ）结合函数极值和导数之间的关系，转化为根与系数之间的关系，构造函数，利用函数单调性进行证明即可本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性，极值和导数之间的关系进行求解是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．。