2021届广西桂林十八中高三上学期第二次月考数学(理)试题

2021届广西桂林十八中高三上学期第二次月考

数 学（理科）

注意事项：

① 试卷共4页，答题卡2页。考试时间120分钟，满分150分；

②正式开考前，请务必将自己的姓名、学号用黑色水性笔填写清楚填涂学号； ③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分。 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

{}{}{}{}

{}

2|3100,|22,.|21.|51..0x A x x x B x A B A x x B x x C D =--<=<=-<<-<

1.已知集合则

2+32=

32.1.1

.2.2

i

z z i

A B C D ---.设,则的虚部为

00

200222200003:2,.2.2.2.=2n n n n

n

p n N n p A n N n B n N n C n N n D n N n ?∈>??∈>?∈≤?∈≤?∈.已知命题，则为，，，，

{}256439,.36

.32

.28

.24

n n S a n a a S A B C D ===.记为等差数列的前项和，若，则

1

53,2

.6.9.12.6

ABC BD DC AD AC A B C D =?=

-.在边长为的等边三角形中,则 (

)(

2620,..

.y px p M F MF A B C D =>-.已知抛物线经过点焦点为，则直线的斜率为

()()()()12121

72cos ,2

3.

..2.42

f x x x R f x f x f x x x A B C D ππ

π

ππ

??=-∈≤≤- ???.设函数若对任意都有成立，则的最小值为

()()4

238121.8

.6.8.6

x x x x A B C D -++--.的展开式中含的项的系数为

0.40.8890.8,0.4,log 4,....a b c A a b c

B a c b

C c a b

D b c a

===<<<<<<<<.已知则

()()(]()()()1010,132,20192020.0

.1

.1

.2

x f x R f x x f x f f A B C D +∈=-+=-.已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，则112902,,,3

.15.20.25.30ABCD ABD ABD ABD BD A BD C A B C D A B C D π

ππππ

?∠=?--.在平行四边形中，是腰长为的等腰直角三角形，,现将沿折起，使二面角的大小为，若四点在同一个球面上，则该球的表面积为

E P

()()()()()()()()(

))

1122112112ln ,,,.19021,13021..0

.1

.2

.3

x l f x e g x x A x y B x y AOB O x x x x A B C D ==∠>∈-<->.已知直线与曲线和分别相切于点有以下命题：

为原点；；当时，则真命题的个数为

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13tan 2tan 4παα??=-=

???

.已知，则30

14,11x y y x y x z x y +-≤??

≥=??≥?

.已知实数满足约束条件，则的最小值为

{}()1110212

15,.22n n n n a n S a a a n N S n n

*+=-+=∈=+.已知数列的前项和为,满足且则()22222216:1:2193x y F C A B E x y AB AF -=+=+.已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上,为圆+上一点，

则的最小值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选作题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）

2

,,,,,,,cos ,63

ABC A B C a b c D BC c B ADC π

?==

∠=的内角的对边分别为为边上一点 (1)AD 求的长;

(2)AC DC =若求的长;

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，1

22

PA PB AD CD BC ====

=，//AD BC

，

AD CD ⊥，E 是线段PA 上的点，且||3||PA EA =，平面PAB ⊥平面ABCD ．

（1）证明：PB CE ⊥；

B

D

C

A

（2）求直线CE 与平面PBC 所成的角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有123,,A A A 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1

2

；L2路线上有123,,B B B 三个路口，各路口遇到

红灯的概率依次为233

,,345

.

(1)若L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；

(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X 的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左焦点F

在直线30x y -+=

上，且2a b +=+（1）求椭圆的方程；

（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC △的重心，探求PAC △面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.

21．（本小题满分12分）

已知函数2()x f x e x a =-+，x ∈R 的图像在点0x =处的切线为y bx =．（ 2.71828e ≈）. （1）求函数()f x 的解析式；

（2）若k ∈Z ，且21

()(352)02

f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值.

（二）选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为θ

ρ2cos 23

2

+=

，又

在直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为?

?

?-=+-=t y t

x 71（t 为参数）。

（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；

L2A1+

+++++B3B2B1A3A2C H

（2）已知点P 在曲线1C 上，P 到2C

的最短距离为P 的直角坐标．

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()243f x x x =---. （1）不等式()2f x ≤的解集M ，求M ．

（2）243()0,x k k f x k --=若关于的方程有实数根求实数的的取值范围.

桂林十八中18级高三第二次月考数学理科答案

一、选择题：ABCAD ACDDB BC

11014.15.

16.9

1

3211

13二.填空题:

.-

三、解答题答案

2cos sin 3ADC ADC ∠=

?∠=

17.由 ………………………1分 ,

ABD ?在中由正弦定理 ………………………2分

,,sin sin sin 6AB AD AD

ADB B π==∠得

………………………5分

3AD =得; ……………………6分

(2),ADC ?在中由余弦定理

………………………7分

2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-∠得

………………8分

222

:63233

DC DC =+-??即 2:430DC DC --=即 ………………10分

3 1.DC DC ==得或者

………………12分 18．证明：（1）已知可得在直角梯形ABCD

中，AB AC ==4BC =，

所以222AB AC BC +=，所以AC AB ⊥

又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ?平面ABCD AB =

所以AC ⊥平面PAB ，所以AC PB ⊥ ……………………2分 又2PA PB ==

，AB =222PA PB AB +=，所以PB PA ⊥ ……………………4分 故PB ⊥平面PAC ，又CE ?平面PAC ，所以PB CE ⊥ ……………………6分 （2）如图所示建立空间直角坐标系， ……………………7分 则(0,0,0)A

，B

，C

，P

，3

3E ? ??

设平面PBC 的一个法向量为

(,,)n x y z

=，

(22,2CB =-，(2,CP =-

由0

000n CB x y z n CP ???=-=??

??==??=-=??，

故取(1,1,1)n = ……………………9分

y

又

2

CE

?

=-

?

?

……………………10分

所以cos,

57

||||3

n CE

n

CE

n CE

?

<>====-

?

即直线CE与平面PBC……………………12分19．解(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，……………………1分

则P(A)＝C03×?

?

??

?1

2

3＋C1

3×

1

2

×

?

?

??

?1

2

2＝

1

2

. ……………………3分所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为

1

2

. ……………………4分

(2)依题意，X的可能取值为0,1,2，3.…………………5分

1121

(0)

34530

P X==??=，

21213211313

(1)

34534534560

P X==??=??=??=(每对一个1分)

232213133279

(2)

3453453456020

P X==??=??=??==

2333

(3)

34510

P X==??=…………………9分

11分

11393121

123

3060201060

EX=?

+?+?+?=

数学期望

………………12分20．.解析：（1）∵直线3

x y

-+=与x轴的交点为()，∴c=………………1分

∴

2

22

2

a b

a b

?-=

?

?

+=+

??

………………3分∴解得2

a=，b=

22

1

42

x y

+=.……………………………………4分（2）若直线l的斜率不存在，则

1

3

22

S==..……………………………………5分

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y kx m

=+，

代入椭圆方程可得()222

124240

k x kmx m

+++-=..……………………………………6分

设()

11

,

A x y，()

22

,

C x y，

则

122

4

12

km

x x

k

+=-

+

，

()

2

122

22

12

m

x x

k

-

?=

+

，()

12122

2

2

12

m

y y k x x m

k

+=++=

+

.…………………7分由题意点O为PAC

△的重心，设()

00

,

P x y，则1200

3

x x x

++

=，1200

3

y y y

++

=，……………8分

所以()

0122

4

12

km

x x x

k

=-+=

+

，()

0122

2

12

m

y y y

k

=-+=-

+

，

代入椭圆

22

1

42

x y

+=，得

()()

2222

2

22

22

4212

1

2

1212

k m m k

m

k k

+

+=?=

++

，.…………………9分

设坐标原点O到直线l的距离为d，则PAC

△的面积

1

3

2

S AC d

=?

12

x

=-?

12

3

2

x x m

=-?

m

=

m

=

2

==..…………………11分

综上可得，

PAC

△面积S为定值

2

.………………………………………………12分21．解：（1）2

()x

f x e x a

=-+，()2

x

f x e x

'=-. ………………………1分由已知

(0)101

(0)11

f a a

f b b

=+==-

??

?

??

'===

??

， (a,b每个得1分)………………………3分

2

()1

x

f x e x

=--. ………………………4分

（2）2

1

()(352)0

2

f x x x k

+--≥对任意x∈R恒成立，

2

15

10

22

x

e x x k

?+---≥对任意x∈R恒成立，

2

15

1

22

x

k e x x

?≤+--对任意x∈R恒成立. ………………………………………6分

令2

15

()1

22

x

h x e x x

=+--，

5

()

2

x

h x e x

'=+-，易知()

h x

'在R上单调递增，又

3

(0)0

2

h'=-<，

3

(1)0

2

h e

'=->，

1

2

1

()20

h e

'=-<，

333

442

3777771

() 2.56 1.620

4444444

h e

'=->-=-=>-=>，

∴存在唯一的

13

(,)

24

x∈，使得

()0

h x

'=，………………………………………8分

且当

(,)

x x

∈-∞时，()0

h x

'<，

(,)

x x

∈+∞时，()0

h x

'>.

即()

h x在

(,)

x

-∞单调递减，在

(,)

x+∞上单调递增，

2

min000

15

()()1

22

x

h x h x e x x

==+--，又

()0

h x

'=，即0

5

2

x

e x

+-=，0

5

2

x

e x

=-.

∴22

000000

5151

()1(73)

2222

h x x x x x x

=-+--=-+，………………………10分

∵

13

(,)

24

x∈，∴

271

()(,)

328

h x∈--.2

15

1

22

x

k e x x

≤+--对任意x∈R恒成立，

()

k h x

?≤，又k∈Z，∴

max

1

k=-. ………………………………………12分22．解：（1）2

3

2cos2

ρ

θ

=

+

由2

2

3

2cos1

ρ

θ

=

+

得，22

2(cos)3

ρρθ

+=

即，……………2分把θ

ρcos

=

x，θ

ρsin

=

y，2

2

2y

x+

=

ρ，……………3分

得1

3

2

2=

+

y

x，故曲线1C的直角坐标方程为1

3

2

2=

+

y

x；……………4分因为曲线2

C的参数方程为

?

?

?

-

=

+

-

=

t

y

t

x

7

1

（t为参数）。

消去参数t得曲线2C的普通方程为0

6=

-

+y

x。……………………5分

（2）由题意，曲线1C 的参数方程

为cos x y α

α

=???=??(α为参数)，可设点P 的直角坐标

为

(cos )αα，因为曲线2C 是直线，

∴||PQ 即为点P 到直线60x y +-=的距离 ……………………6分 易得点P 到直线60x y +-=的距离为

sin()3|6d απ

=

=+-=， ……………………8分

所以13

sin()1,2(),(,)6

3

22

k k Z P ππααπ∴+=∴=+∈此时点的直角坐标为． ……………………10分

23．（1）1,3()24337,231,2x x f x x x x x x x -≥??

=---?-<

，^^^^^^^^^^^^^^①……………………1分

当3x ≥时，()21233f x x x x ?-≤?≤∴=； ……………………2分 当23x <<时，()2372323;f x x x x ?-≤?≤∴<≤ ……………………3分 当2x ≤时，()212112f x x x x ?-+≤?≥-∴-≤≤， ……………………4分 所以不等式()2f x 的解集{}

13M x x =-≤≤. ……………………5分 （2）由①易知，当2,()1,()1x f x f x =-≥-时有最小值， .……………………7分

由243()0k k f x --= 2

3()4f x k k =-得 ……………………8分

243,1 3.k k k ∴-≥--≤≤只要解得 ……………………10分