数学建模之传染病问题
数学建模之传染病问题
摘要医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
本论文通过建立传染病模型，分析被传人数多少与哪些因素有关，如何预报传染病高潮的到来等等。
传染病问题的研究一﹑模型假设1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N 。
人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t 时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。
）占总人数的比例。
2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。
该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。
二﹑模型构成在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：在假设1s(t) + i(t) + r(t) = 1对于病愈免疫的移出者的数量应为r td N Ni d μ= 不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为0s （0s ＞0），0i （0i ＞0），0r =0. SIR 基础模型用微分方程组表示如下：di dt ds dtdr dt si isi i λμλμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩s(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ， i(t)的一般变化规律。
数学建模之传染病模型
第五章 微 分 方 程 模 型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.§1 传 染 病 模 型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.一. SI 模 型假设条件：1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述()t i 变化的数学模型.解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染.于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有i s N dt di Nλ=………………………………………………(1) i s dtdi λ=∴ 而1=+i s .又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=001i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111［结果分析］作出()t t i ~和i dt di ~的图形如下：1. 当21=i 时，dt di 取到最大值m dt di ⎪⎭⎫ ⎝⎛，此时刻为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11ln 01i t m λ2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二. SIS 模 型在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.假设1、2同SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为μ，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然μ1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为i N i Ns dtdi N μλ-= 于是 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=001i i i i i dt di μλ解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=--- ＝ －μλλμλμλλμλλμλ,1,11010i t e i t i t ［结果分析］1. 令μλσ=. 注意到λ和μ1的含义，可知σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.()⎪⎩⎪⎨⎧-=∞ 011σi 11≤>σσ1-2. 接触数1=σ是一个阈值.当1≤σ时，病人比例()t i 越来越小，最终趋于零.当1>σ时，()t i 的增减性取决于0i 的大小，其极限值()σ11-=∞i .3. SI 模型是SIS 模型中0=μ的情形. 三. SIR 模 型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型.三类人在总人数N 中占的比例分别记作()i s 、()t i 和()t r .1. 病人的日接解率为λ，日治愈率为μ（与SIS 模型相同），传染期接触数为μλσ＝.解：由假设1，有()()()1=++t r t i t s 0=++∴dtdr dt di dt ds 由假设2，得i N dt dr N μ= N i N i s dt di N μλ-= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴i i s dtdi i dt dr μλμ 又设()()()00,0,000===r i i s s 于是()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00s 0s ,0i i i s dt ds ii s dt di λμλ (2)我们在相平面上来讨论解的性质.相轨线的定义域为(){}1s ,0,0s ,s ≤+≥≥=i i i D 由(2)式消去dt ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==0s s 01s 1s i i d di σ 这里 μλσ= 解得()000s s ln 1s -i s σ++=i ………………………………………(3) 在定义域D 内，(3)式表示的曲线即为相轨线..。
数学建模例题题
数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。
【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。
语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
数学建模传染病模型例题
数学建模传染病模型例题（最新版）目录一、引言二、数学建模传染病模型的基本概念1.SEIR 模型2.SIS 模型3.SIR 模型三、数学建模传染病模型的例题1.模型假设2.模型建立3.模型求解四、结论正文一、引言随着全球化的发展，传染病的传播越来越引起人们的关注。
为了更好地预测和控制传染病的传播，数学建模传染病模型被广泛应用。
本文将以数学建模传染病模型为例，介绍相关的模型概念和例题。
二、数学建模传染病模型的基本概念（1）SEIR 模型SEIR 模型是传染病数学模型中最基本的模型之一，它将人群分为四类：易感者 (Susceptibles)、暴露者 (Exposed)、感染者 (Infectives) 和抵抗者 (Resistances)。
该模型假设人群数量不变，感染者会以一定的速率传染给易感者，同时易感者会以一定的速率转变为暴露者，暴露者在一定时间后转为感染者，感染者又会在一定时间后转为抵抗者。
（2）SIS 模型SIS 模型是 SEIR 模型的一种特殊形式，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。
该模型假设易感者与感染者的接触会导致疾病传播，感染者会在一定时间后恢复为易感者，恢复者则具有免疫力。
（3）SIR 模型SIR 模型是另一种常见的传染病数学模型，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。
与 SIS 模型不同的是，SIR 模型假设感染者会以一定的速率恢复为易感者，而恢复者则具有免疫力。
SIR 模型适用于短期传染病，例如流感。
三、数学建模传染病模型的例题假设某个地区有 10000 人，其中易感者占 80%，感染率为 0.01，恢复率为 0.9。
我们需要建立一个数学模型来预测疾病传播的过程。
（1）模型假设我们假设疾病传播满足 SEIR 模型，人群分为易感者、暴露者、感染者和恢复者四类。
传染病数学建模
传染病数学建模(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第30题传染病传播的数学模型由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。
在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。
在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性：设Sk表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者的人数，Hk 表示在开始观察后第k天传染病人的人数，Ik表示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数，那么Sk+1=(1)Hk+1=＋(2)I k +1=Ik+(3)其中(1)式表示从第k天到第k＋1天有1％的易受感染者得病而离开了易受感染者的人群；(2)式表示在第k+1天的传染病人的人数是第k天的传染病人的人数减去痊愈的人数(假设该病的患病期为5(3)式表示在第k＋1天免疫者的人数是第k天免疫者的人数加上第k天后病人痊愈的人数。
将(1)，(2)和(3)式化简得2如果已知S0，H，I的值，利用上式可以求得S1，H 1，I1的值，将这组值再代入上式，又可求得S2，H2，I2的值，这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组S k ，Hk，Ik的值。
因此，我们把Sk+1，Hk＋1，Ik+1和Sk，H k ，Ik之间的关系式叫做递推关系式。
现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为将上述数据(5)代入(4)式右边得利用递推关系式(4)反复计算得表30-1。
在建立上述数学模型的过程中，如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出，人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素，那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。
所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。
如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后，与传染病传播的情况大致吻合，那么我们就可以利用该模型对得病人数进行预测和估计。
数学建模传染病模型例题
数学建模传染病模型例题一、传染病模型简介传染病模型是数学建模的一个重要分支，主要用于描述传染病在人群中的传播规律。
通过构建合适的数学模型，可以研究传染病的传播动力学、预测疫情发展趋势以及评估防控措施的效果。
本文将重点介绍几种常见的传染病模型及其应用。
二、传染病模型的类型及应用1.SIR模型SIR模型是一种基于微分方程的传染病模型，其中S、I、R分别代表易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。
该模型通过描述易感者感染、感染者康复以及康复者不再易感的动态过程，揭示了传染病在人群中的传播规律。
SIR模型在分析疫情爆发、研究防控措施等方面具有广泛应用。
2.SEIR模型SEIR模型是在SIR模型基础上发展的一种传染病模型，其中E代表潜伏者（Exposed）。
与SIR模型相比，SEIR模型增加了潜伏期这一概念，使得模型更加符合实际情况。
该模型可以用于研究传染病的传播速度、预测疫情发展趋势以及评估疫苗的效果。
3.SI模型SI模型是一种简化的传染病模型，仅包含易感者和感染者两个群体。
该模型适用于分析短期传染病，如流感等。
通过研究易感者与感染者的动态关系，可以预测疫情爆发的时间和规模。
三、传染病模型的参数估计与预测传染病模型的参数估计是数学建模的关键环节，通常采用最大似然估计、贝叶斯估计等方法。
此外，基于传染病模型的预测技术在疫情防控中也具有重要意义。
通过构建时间序列模型，如ARIMA、SVM等，可以预测未来一段时间内疫情的发展趋势。
四、数学建模在传染病防控中的实际应用数学建模在传染病防控中具有广泛应用，如疫情监测、防控措施评估、疫苗研究等。
通过对传染病模型的深入研究，可以为政府部门提供科学依据，协助制定针对性的防控策略。
五、案例分析本文将结合具体案例，如我国2003年非典疫情、2020年新冠肺炎疫情等，详细阐述传染病模型在实际应用中的重要作用。
通过分析案例，可以加深对传染病模型的理解，为今后疫情防控提供借鉴。
数学建模-指数函数模型的应用(含答案解析)
数学建模-指数函数模型的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．观察实际情景，提出并分析问题（1）实际情景2022年2月，某地发生了新冠肺炎疫情，新冠肺炎是一种传染病，其传染过程的强度和广度分为：（1）散发：是指传染病在人群中散在发生；（2）流行：是指某一地区或某一单位，在某一时期内，某种传染病的发病率，超过了历年同期的发病水平；（3）大流行：指某种传染病在一个短时期内迅速传播、蔓延，超过了一般的流行强度；（4）暴发：指某一局部地区或单位，在短期内突然出现众多的同一种疾病的病人. 如果在新冠肺炎传染的过程中不认为介入，切断其传染链，则对整个社会经济的发展带来严重的后果.（2）提出问题如果没有人工干预，不同时间段内的病例数会按照怎样的规律进行增长呢，对于某个时间内新增的病例数是否可以预测，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失呢？（3）分析问题可以通过收集合适地区的新增病例数并结合建立适当的数学模型，找出病例数增长规律，并对一定时间后新增病例进行估计以支持卫生部门的防疫工作.2.收集数据利用互联网等信息技术，我们可以搜索到一些原始的数据.例如，我们搜集到某地区一周内的累计病例数，请结合上述数据建立合理的数学模型，并估计第9天新增病例数.3．分析数据累计病例数是时间的函数，但没有现成的函数模型．因此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型，散点图如图所示：当然，我们可以利用信息技术，通过函数拟合的方法来帮助选择适当的函数模型. 4．建立模型根据散点图的形状可设函数模型近似为e at y k =，利用表中的数据可求0.221000e t y =. 5．检验模型画出函数的图形，对比散点图，吻合度很好.6．问题解决该地区病例数y 与时间t 基本满足0.221000e t y =的函数关系，第9天时，预计新增病例数为：0.2291000e 7242y ⨯=≈，我们会发现累计病例数急剧增加，需卫生防疫部门及时介入，采取相应阻断措施.7．问题拓展在上述模型的建立的过程中，我们根据散点图选择了函数模型，然后利用其中的两个点求出模型的两个参数，随着点的选择的不同，所得函数的模型也相异，那么请同学利用课余时间思考如何评价不同模型的优劣？2．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，21Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化规律是0e kh p p -=，0p 是海平面大气压强，10.000126m k -=．当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，求高山上该处的海拔．3．牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h ，而在22℃的厨房中则约是42h.(1)写出保鲜时间y （单位：h ）关于储藏温度x （单位：℃）的函数解析式；(2)利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间；（参考数据15110.125732⎛⎫ ⎪≈⎝⎭，81170.32832⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，精确到1h ）(3)运用上面的数据，作此函数的图象.二、单选题4．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0e ktc c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg/L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）A ．5.32hB ．6.23hC ．6.93hD ．7.52h 5．2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730012t N N ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（0N 表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的2至34，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（）（参考数据：2log 3 1.6≈） A ．2600年 B ．3100年 C ．3200年D ．3300年参考答案：1．略【详解】略2．约为8719m 【分析】解方程001e 3kh p p -=即可得解. 【详解】解：由001e 3kh p p p -==可得ln3kh -=-，可得()ln 38719m h k =≈. 3．(1)22719232x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()0x(2)储藏温度为30C ︒保鲜时间约24小时；储藏温度为16C ︒保鲜时间约为63小时．(3)图象见解析【分析】（1）设(0x y k a k =≠，0a >且1)a ≠，则利用牛奶放在0C ︒的冰箱中，保鲜时间约为192h ，放在22C ︒的厨房中，保鲜时间约为42h ，即可得出函数解析式； （2）将30x =与16x =代入函数解析式，求值即可；（3）根据函数解析式画出函数草图．（1）解：设(0x y k a k =≠，0a >且1)a ≠，则有2219242?k k a =⎧⎨=⎩，∴1221927()32k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，22719232xy ⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭()0x ．（2）解：30x =时，30227192()3242y =≈，即储藏温度为30C ︒保鲜时间约24小时；16x =时，16227192()6332y =≈，即储藏温度为16C ︒保鲜时间约为63小时．（3）解：因为22719232x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()0x ，函数图象如下所示：．4．C【分析】利用已知条件()0.100e e 200kt t t c c --==，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L 时需要的时间为1t ，转化求解即可.【详解】解：由题意得：()0.100e e 200kt t t c c --==设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为1t()10.1120001000e t t c -=≥10.12e 1t -≥ 故0.1ln 2t -≥-，ln 2 6.930.1t ≤≈ 故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h故选：C5．A【分析】根据题意列出不等式，求出22922865t <<，从而求出正确答案.57300001324t N N N ⎛⎫<⋅< ⎪⎝⎭，解得：22922865t <<，故选A. 故选：A。
数学建模传染病模型例题
以下是一个简单的数学建模传染病模型的例题：
问题：假设有一个小岛上住着100个人，其中有1个是传染病源。
初始时，这个人不知道自己已经患病，所以没有采取隔离措施。
其他人也不知道有传染病源在岛上。
假设每天，每个健康的人都有可能接触并感染患病的人，感染的概率是p。
另外，健康的人每天也有1个单位的时间用于自我保护，减少被感染的风险。
假设在t天后，岛上有x个人被感染。
我们需要找出p和时间t的关系，以及如何通过调整p来控制传染病的传播。
假设：
1. 每个人每天只能接触一次患病的人。
2. 每个人每天有1个单位的时间用于自我保护。
3. 每个人接触患病的人后，有p的概率被感染。
4. 初始时，只有1个人是患病者。
5. 没有新的外来感染者进入岛上。
模型建立：
根据上述假设，我们可以建立如下的微分方程模型：
dx/dt = p * (100 - x) * (1/100) - x/100
其中，x表示被感染的人数，p表示感染概率，t表示时间。
求解模型：
通过求解这个微分方程模型，我们可以得到x与t的关系。
由于这个方程较为简单，我们可以直接求解它，找出x的解。
然后我们可以根据解的情况，讨论p对x的影响，从而找到控制传染病传播的方法。
通过上述模型和求解过程，我们可以了解传染病的传播情况以及如何通过调整感染概率p来控制其传播。
这个例题可以帮助我们理解数学建模在传染病控制中的应用，并为实际的传染病控制提供理论支持。
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摘要医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
本论文通过建立传染病模型，分析被传人数多少与哪些因素有关，如何预报传染病高潮的到来等等。
传染病问题的研究一﹑模型假设1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N 。
人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t 时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。
）占总人数的比例。
2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。
该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。
二﹑模型构成在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：在假设1s(t) + i(t) + r(t) = 1对于病愈免疫的移出者的数量应为r td N Ni d μ= 不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为0s （0s ＞0），0i （0i ＞0），0r =0. SIR 基础模型用微分方程组表示如下：di dt ds dtdr dt si isi i λμλμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩s(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ， i(t)的一般变化规律。
三﹑数值计算在方程（3）中设λ=1，μ=0.3，i （0）= 0.02，s （0）=0.98，用MATLAB 软件编程： function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];ts=0:50;x0=[0.20,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2))pauseplot(x(:,2),x(:,1))输出的简明计算结果列入表1。
i(t) , s(t)的图形以下两个图形，i~s图形称为相轨线,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值,然后减少,t→∞,i→0,s(t)则单调减四﹑相轨线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i （t ）,s （t ）的性质。
D = ｛（s ，i ）| s≥0，i≥0 ， s + i ≤1｝在方程（3）中消去t d 并注意到σ的定义，可得11i s d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭s σ 00|s s i i == （5） 所以：11i s d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭s σ ⇒00i 11s i s i s d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰s σ （6） 利用积分特性容易求出方程(5)的解为：0001()ln s i s i s s σ=+-= （7） 在定义域D 内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t 的增加s(t)和i(t)的变化趋向下面根据(3),(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作s ∞, i ∞和r ∞).1. 不论初始条件s0,i0如何,病人消失将消失,即：00i =2.最终未被感染的健康者的比例是 ,在(7)式中令i=0得到, 是方程0001ln 0s s i s s σ∞∞+-+= 在(0,1/σ)内的根.在图形上 是相轨线与s 轴在(0,1/σ)内交点的横坐标3.若0s >1/σ,则开始有11i s d o d ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭s σ，i(t)先增加, 令11i s d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭s σ=0，可得当s=1/σ时,i(t)达到最大值：00011ln )m i s i s σσ=+-+（ 然后s<1/σ时，有11i s d o d ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭s σ ，所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至s ∞,如图3中由P1(0s ，0i )出发的轨线4.若0s ≤1/σ,则恒有110i s d d ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭s σ，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至s ∞,如图3中由P2(s0,i0)出发的轨线可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/σ是一个阈值,当0s >1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得0s ≤1/σ(即σ ≤1/0s ),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值0s 是一定的,通常可认为0s接近1)。
并且,即使0s >1/σ,从(19),(20)式可以看出, σ减小时, s ∞增加(通过作图分析), m i 降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中,人们的卫生水平越高,日接触率λ越小;医疗水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延. 从另一方面看, 1/s s σλμ=∙是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被s σ个健康者交换.所以当 01/s σ≤ 即01s σ≤时必有 .既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。
五﹑群体免疫和预防根据对SIR 模型的分析,当01/s σ≤ 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值1/σ变大以外,另一个途径是降低0s ,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到.忽略病人比例的初始值0i 有001s r =-,于是传染病不会蔓延的条件01/s σ≤ 可以表为011r σ≥-这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足（11）式，就可以制止传染病的蔓延。
这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。
据估计当时印度等国天花传染病的接触数 σ=5，由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。
据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高0r ，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。
而有些传染病的σ更高，根除就更加困难。
六﹑模型验证上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。
死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了r td d 的实际数据，Kermack 等人用这组数据对SIR 模型作了验证。
首先，由方程（2），（3）可以得到s r t d d si si s d dt λσμσ=-=-=- 1s r d d sσ⇒=-t 上式两边同时乘以d 可 ，两边积分得 0001sr s r s r d d s σ==-⎰⎰0l n |s s s r σ⇒=-0r s e s σ-⇒= 所以： ()0()r t s t s e σ-= (12)再0(1)(1)r r td i r s r se d σμμμ-⇒==--=-- (13) 当 1/r σ≤ 时，取（13）式右端r e σ-Taylor 展开式的前3项得：22000(1)2r t s r d r s s r d σμσ=--+- 在初始值0r =0 下解高阶常微分方程得:0201()(1)()2t r t s th s αμσαϕσ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦其中222000(1)2s s i ασσ=-+，01s th σϕα-=从而容易由（14）式得出：22202()2r t d t d s ch αμαμσϕ=- 然后取定参数 s0, σ等，画出（15）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。
七﹑被传染比例的估计在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值0s 与s ∞之差，记作x,即0x s s ∞=- (16)当i0很小，s0接近于1时，由（9）式可得1ln(1)0x x s σ+-≈ (17)取对数函数Taylor 展开的前两项有2001(1)02x x s s σσ--≈ (18) 记 01s δσ=+ , δ 可视为该地区人口比例超过阈值1σ的部分。
当 1δσ≤时（18）式给出00122x s s σδσ⎛⎫≈-≈ ⎪⎝⎭ （19） 这个结果表明，被传染人数比例约为δ的2倍。
对一种传染病，当该地区的卫生和医疗水平不变，即δ不变时，这个比例就不会改变。
而当阈值1σ提高时，δ减小，于是这个比例就会降低。
参考文献：数学模型，姜启源编，高等教育出版社．数学模型与计算机模拟，江裕钊、辛培情编，电子科技大学出版社(1989)．数学模型选谈(走向数学从书)，华罗庚，王元著，王克译，湖南教育出版社(1991)． 数学建模--方法与范例，寿纪麟等编，西安交通大学出版社(1993)．。