北师大版数学高一(北师大)必修4素材 2.1平面向量疑难问题辨析(2)
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量小结与复习
几何意义： 数量积 a · 等于 a 的长度 |a|与 b 在 b
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B b B b
B
b
O θ
a
B1 A B1
θ
O a
θ
A O (B1)
a
16
A
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律： ( a ) b ( a b ) a ( b ) ⑶分配律： ( a b ) c a c b c
= (λ x , λ y)
14
1、平面向量的数量积 （1）a与b的夹角：
a θ b
共同的起点
[00 ，1800] •（2）向量夹角的范围：
• （3）向量垂直：
B B A A O B A O A O B
15
B A
a O θ
O
b
（4）两个非零向量的数量积：
a · = |a| |b| cosθ b
3)向量的表示 4)向量的模（长度）
4
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律
注:
AB a , AD b
(1) a
b , 则四边形是什么图形
? ?
( 2) a b
a b , 则四边形是什么图形
5
2)实数λ与向量 a 的积
3)平面向量的数量积：
(1)两向量的交角定义 (2)平面向量数量积的定义 (3)a在b上的投影 (4)平面向量数量积的几何意义 (5)平面向量数量积的运算律
数学北师大版高中必修4高一数学期中复习2 平面向量有详解
word资料可编辑试题试卷参考学习高一数学期中复习2--- 平面向量例1. 已知A、B、C分别为ABC△的三边a、b、c所对的角，向量)sin,(sinBAm?，)cos,(cosABn?，且Cnm2sin??.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若Asin，Csin，Bsin成等差数列，且18)(???ACABCA，求边c的长.例2.如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=23?,∠BAC=θ,记()fABBC??。
（1）求()f?关于θ的表达式;（2）求()f?的值域。
word资料可编辑试题试卷参考学习例3.已知ABC?中，角ABC、、的对边分别为abc、、，且满足(2)coscosacBbC??。
（I）求角B的大小；（Ⅱ）设(sin,1),(1,1)mAn???，求m n的最小值。
平面向量检测1．给出下列等式：(1)a·0 ＝0；(2)0·a＝0；(3)若a，b同向共线，则a·b＝|a|·|b|；(4)a≠0，b≠0，则a·b≠0；(5)a·b＝0，则a·b中至少有一个为0；(6)若a，b均是单位向量，则a2＝b2.以上成立的是( )．A．(1)(2)(5)(6) B．(3)(6) C．(2)(3)(4) D．(3)(6) 2．已知向量a＝(1，3)，b＝(3＋1，3－1)，则a与b的夹角为( )．A.π 4 B.π 3 C.π 2 D.3π 4word资料可编辑试题试卷参考学习3．设a，b是共线的单位向量，则|a＋b|的值是( )．A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于24．已知线段AB的中点为C，则AB→－BC→＝( )．A．3AC→ B.AC→C.CA→ D．3CA→5．已知△ABC中，CB→＝a，CA→＝b，a·b<0，S△a|＝3，|b|＝5，则a与b的夹角为( )．ABC＝154，|A．30° B．－150° C．150° D．30°或150°6．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )．A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝ 12，－3 47．已知非零向量a，b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则|a||b|等于( )．A.1 4 B．4 C.1 2 D．28．点O是△ABC所在平面内的一点，满足OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，则点O是△ABC的( )．A．三条内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点9．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的word资料可编辑试题试卷参考学习运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )．A．(－2,4) B．(－30,25) C．(10，－5) D．(5，－10)10．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)等于( )． A．－49 B．－4 3C.4 3D.4911．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.12．已知e为单位向量，||a=4，ae与的夹角为?32，则a e在方向上的投影为13．与a＝(12,5)平行的单位向量是________．．14．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=22，则CAAB?=_________15．如果向量与b的夹角为θ，那么我们称×b 为向量与b的“向量积”，×b是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=3, |b |=2, ·b=-2，则| ×b|=______。
北师大版高中数学高一必修4学案复习课(二)平面向量
复习课(二) 平面向量平面向量的有关概念及线性运算1．本考点多以选择、填空题形式考查，着重考查向量的有关概念辨别、平面向量的线性运算及共线向量定理，难度中档．2．知识归纳整合 (1)向量与有向线段：向量常用有向线段表示，它们是两个不同概念，有向线段由起点、终点方向唯一确定，而向量是由大小和方向来确定的．(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定，在解题时注意它们的特殊性．如“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”是假命题，因为当b 为零向量时，a 与c 为任意向量，两者不一定平行．(3)共线向量也叫平行向量，两向量所在的直线可以共线也可以平行． (4)相等向量一定是平行向量． (5)向量a 的单位向量为a|a |.(6)向量加法三角形法则：AB ＋BC ＝AC ，首尾相连，只需找到第一个向量的起点，最后一个向量的终点，则和向量就可找到．(7)向量减法的三角形法则：AB －AC ＝CB .差向量是第二个的终点指向第一个向量的终点的向量．(8)λa 依然是一个向量，与a 的方向相同(λ>0)或相反(λ<0)． [典例] (1)下列命题中，正确命题的个数是 ( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a |.A ．3B ．2C ．1D ．0(2)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝ ( ) A ．BC B ．AD C.12BC D.12AD(3)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，tb ，13(a＋b )三向量的终点在同一条直线上．[解析] (1)根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．(2)由向量的加法法则，得BE ＝12(BA ＋BC )，CF ＝12(CB ＋CA )，因此EB ＋FC ＝－12(BA ＋BC )－12(CB ＋CA )＝－12(BA ＋CA )＝12(AB ＋AC )＝12×2AD ＝AD ，故选 B.[答案] (1)D (2)B(3)解：设OA ＝a ，OB ＝tb ，OC ＝13(a ＋b )，∴AC ＝OC －OA ＝13(a ＋b )－a ＝－23a ＋13b ，AB ＝OB －OA ＝tb －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC ＝λAB ， 即－23a ＋13b ＝λ(tb －a )．又非零向量a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧ 13＝λt ，－λ＝－23，∴⎩⎨⎧t ＝12，λ＝23.∴当t ＝12时，三向量终点在同一条直线上．[类题通法](1)辨别向量概念问题时：一要紧扣相关定义，二要注意零向量易忽视． (2)平面向量的线性运算：①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．[题组训练]1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下列结论正确的是 ( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析：选B 因为|a －b |＝|a ＋b |，由向量的加法和减法法则，知以a ，b 为邻边的平行四边形对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以a ⊥b . 2.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB ＝a ，AC ＝b ，则AD ＝ ( ) A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b解析：选D 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD ＝12AB ＝12a ，所以AD ＝AC ＋CD ＝b ＋12a . 3.如图，在平行四边形ABCD 中，AE ＝13AB ，AF ＝14AD ，CE 与BF 相交于点G ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AG ＝( ) A.27a ＋17b B.27a ＋37b C.37a ＋17b D.47a ＋27b解析：选C 设AG ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则AG ＝mAB ―→＋4n AF ，∵F ，G ，B 三点共线，∴m ＋4n ＝1.连接AC ，则CG ＝AG －AC ＝AG －(AB ＋AD )＝(m －1)a ＋(n －1)b ，CE ＝BE －BC ＝－23AB －AD ＝－23a －b .∵C ，G ，E 三点共线，∴m －1－23＝n －1－1，即3m －2n ＝1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4n ＝1，3m －2n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝37，n ＝17.∴AG ＝37a ＋17b .平面向量的坐标运算1．考情本考点多以选择题、填空题形式考查，着重考查平面向量的坐标运算及共线向量定理的坐标表示及数量积的坐标运算，难度中档．2．知识归纳整合(1)向量加法、减法、数乘向量的坐标运算 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)向量坐标与起点、终点坐标的关系及向量的模①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.[典例] (1)(四川高考)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝ ( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6(2)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ＝(－4，－3)，则向量BC ＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)(3)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)． ①若AB ·AC ＝0，求c 的值； ②若c ＝5，求cos A 的值．[解析] (1)∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，解得x ＝3. (2)法一：设C (x ，y )，则AC ＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A. 法二：AB ＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC ＝AC －AB ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.[答案] (1)B (2)A(3)解：①AB ＝(－3，－4)，AC ＝(c －3，－4)． 由AB ·AC ＝0，可得 －3(c －3)＋16＝25－3c ＝0， 所以c ＝253.②∵AB ＝(－3，－4)，AC ＝(c －3，－4)＝(2，－4)，∴cos A ＝AB ·AC| AB ||AC |＝－6＋16520＝55.[类题通法](1)向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系．(2)对向量坐标运算注意a ∥b ，a ·b 的坐标运算形式易混淆．[题组训练]1．已知向量a ＝(1,2)，(a ＋b )∥b ，则b 可以为 ( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)解析：选A 设b ＝(x ，y )，则a ＋b ＝(x ＋1，y ＋2)，因为(a ＋b )∥b ，所以(x ＋1)y －x (y ＋2)＝0，化简得y －2x ＝0，只有A 满足．2．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么 ( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D ∵a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1,1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然，c 与d 不平行，排除A ，B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1,1)，d ＝a －b ＝－(－1,1)，即c ∥d 且c 与d 反向．3．(江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－3平面向量的数量积1．考情本考点在各种题型均有考查，在解答题中常与三角函数交汇考查，着重考查数量积的计算、模、夹角及垂直问题，难度中档．2．知识归纳整合 (1)平面向量数量积①a ，b 是两个非零向量，它们的夹角为θ，则|a ||b |·cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |·cos θ.规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a·b ＝0. ②a·b 的几何意义：a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． (2)已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).[典例] (1)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)如果向量a 和b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，那么a 和b 的夹角θ的大小为 ( )A ．30°B ．45°C ．75°D ．135°(3)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. ①若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；②设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．[解析] (1)由题意，得MA ·MD ＝⎝⎛⎭⎫12CB ＋BA ·⎝⎛⎭⎫－12 CB ＋CD ＝－14|CB |2＋12CB ·CD －12CB ·BA ＋BA ·CD ＝－14×(2)2＋12×2×1×cos 135°－12×2×2×cos 135°＋2×1×cos 0°＝－12－12＋1＋2＝2.(2)由a ·(a －b )＝0，∴a 2－a ·b ＝0， ∴a·b ＝1.又cos θ＝a·b |a |·|b |＝11×2＝22，且0°≤θ ≤180°，∴θ＝45°.[答案] (1)B (2)B(3)解：①证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .②因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.[类题通法](1)平面向量数量积的计算方法：①已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解． ②已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．(3)计算|a |时注意|a |＝a 2，易出错．[题组训练]1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b |＝ ( ) A ．1 B. 3 C. 5 D ．3解析：选C 由于投影相等，故有|a |cos 〈a ，b 〉＝|b |cos 〈a ，b 〉，因为|a |＝1，|b |＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ，则|a －b |＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 5.2．已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA ＋3 PB 的最小值为________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝h ，则A (2,0)，B (1，h )．设P (0，y )(0≤y ≤h )，则PA ＝(2，－y )，PB ＝(1，h －y )，∴|PA ＋3 PB |＝25＋(3h －4y )2≥25＝5.故|PA＋3PB |的最小值为5. 答案：53．在平行四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD ＝(－3,2)，则AD ·AC ＝________. 解析：AD ·AC ―→＝⎣⎡⎦⎤12(AC ＋BD )·AC ＝12[(1,2)＋(－3,2)]·(1,2)＝(－1,2)·(1,2)＝3. 答案：31.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF ＝( )A.12AB －13ADB.14AB ＋12AD C.13AB ＋12DA D.12AB －23AD 解析：选D 在△CEF 中，EF ＝EC ＋CF .因为点E 为DC 的中点，所以EC ＝12DC .因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF ＝23CB .所以EF ＝12DC ＋23CB ＝12AB ＋23DA ＝12AB －23AD .故选D.2．已知向量a ＝(m,1)，b ＝(m 2,2)．若存在λ∈R ，使得a ＋λb ＝0，则m ＝ ( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．0或－2 解析：选C ∵a ＝(m,1)，b ＝(m 2,2)，a ＋λb ＝0， ∴(m ＋λm 2,1＋2λ)＝(0,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋λm 2＝0，1＋2λ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，m ＝0或2.故选C. 3．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(2m ，m ＋1)．若AB ∥OC ，则实数m 的值为 ( )A.15 B ．－35 C ．－17D ．－3解析：选D AB ＝OB －OA ＝(3,1)，由AB ∥OC ，得3(m ＋1)＝2m ，解得m ＝－3，故选D.4．在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C 由(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，得AC ·(BC ＋BA －AC )＝0，即AC ·(BC＋BA ＋CA )＝0，∴2AC ·BA ＝0，∴AC ⊥BA ，∴A ＝90°.故选C.5．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，则|a －c |的最小值为 ( ) A ．1 B.12C.34D.32 解析：选D ∵|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向， ∴a 与c 的夹角为60°. 又|a －c |＝a 2－2a·c ＋c 2＝1－|c |＋|c |2＝⎝⎛⎭⎫|c |－122＋34，故|a －c |min ＝32. 6．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin B ＝1，向量p ＝(a ，b )，q＝(1,2)．若p ∥q ，则C 的大小为 ( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 由sin B ＝1，得B ＝π2，所以在△ABC 中，cos C ＝a b .又由p ＝(a ，b )，q ＝(1,2)，p ∥q ，得2a －b ＝0，a ＝b 2，故cos C ＝12，所以C ＝π3. 7．对于向量a ，b ，当且仅当________________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b|>||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向8．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．解析：依题意得|e 1|＝|e 2|＝1，且e 1·e 2＝12，|b |＝2，所以向量a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b |＝2＋6×122＝52. 答案：529．已知向量a ＝(2,5)，b ＝⎝⎛⎭⎫14，y ，且a ⊥(a ＋2b )，则y ＝________.解析：由题意，知a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫52，5＋2y ，因为a ⊥(a ＋2b )，所以5＋5(5＋2y )＝0，解得y＝－3.答案：－310．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ，求点C ，D 和CD 的坐标． 解：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由题意可得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB ＝(3,6)，DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA ＝(－3，－6)．∵AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ， ∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)． 则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. ∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此CD ＝(－2，－4)．11.如图，平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，DC 的中点，BE ，BF 与AC 分别交于点R ，T ，证明：R ，T 为AC 的三等分点．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AC ＝a ＋b ，BE ＝12b －a . 由于AR 与AC 共线，因此存在实数m ，使得AR ＝m (a ＋b )．又BR 与BE 共线，因此存在实数n ，使得BR ＝n BE ＝n ⎝⎛⎭⎫12b －a . 由AR ＝AB ＋BR ＝AB ＋n BE ，得m (a ＋b )＝a ＋n ⎝⎛⎭⎫12b －a ，整理得(m ＋n －1)a ＋⎝⎛⎭⎫m －12n b ＝0. 由于向量a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1＝0，m －12n ＝0， 解得⎩⎨⎧m ＝13，n ＝23.所以AR ―→＝13AC . 同理TC ―→＝13A AC ，所以RT ―→＝13AC ，所以AR ＝RT ＝TC ， 所以R ，T 为AC 的三等分点．12．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[]0，π，向量b ＝(3，－1)．(1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝ 3.又θ∈[]0，π，∴θ＝π3. (2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8⎝⎛⎭⎫12sin θ－32cos θ＝8＋8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3. 又θ∈[]0，π，∴θ－π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3. ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴|2a －b |2的最大值为16.∴|2a －b |的最大值为4.又|2a －b |<m 恒成立，∴m >4.，即实数m 的取值范围为(4，＋∞)．。
2019-2020年数学北师大必修四课件：第二章 平面向量 2.1
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)因为点 A 在点 O 北偏东 45°处,所以在坐标纸上点 A 距点 O
的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|������������|=4√2,小方格边长为 1, 所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数都为 4,于是点 A
位置可以确定,画出向量������������如图所示.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)所作向量如图所示. (2)由题意,易知������������与������������方向相反,∴������������与������������共线. ∵|������������ |=|������������ |, ∴在四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD. ∴四边形ABCD为平行四边形. ∴|������������|=|������������|=200 km,且 AD∥BC, ∴������������与������������同向,即������������的方向也是西偏北 50°,且|������������|=200 km.
正确的序号是
.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:①正确,模等于0的向量就是零向量; ②错误,单位向量模都相等,但方向不一定相同,因此,单位向量不 一定相等; ③错误,由于零向量与任一向量共线,但其方向任意,因此,当a与b 共线且其中有一个零向量时,它们的方向不一定相同或相反; ④错误,向量的模是非负实数,可能是零; ⑤正确,对于一个向量只要不改变其模的大小和方向,是可以任 意移动的,因此相等向量可以起点不同; ⑥错误,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不 要求两个向量必须在同一直线上. 答案:①⑤
新版高中数学北师大版必修4课件：第二章平面向量 2.1
其中,正确的说法是
(只填序号).
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解析:利用向量、零向量与共线向量的定义进行判断.
序号 正误
①√ ②× ③× ④×
⑤×
原因
|AB| = |BA| 方向相同或相反的两个向量平行 0 是一个向量,而 0 是一个数量 向量不能比较大小 共线的向量,若起点不同,则终点可以相同,也可 以不同
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123
【做一做2-3】 下列命题中错误的是 ①若向量������������与������������是共线向量,
(只填序号).
则������, ������, ������, ������四点必在同一条直线上; ②单位向量都相等; ③若向量a与向量b同向,且|a|>|b|,则a>b; ④若a∥b,b∥c,则a∥c.
答案:①
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反思1.向量的模为表示向量的有向线段的长度,与方向无关. 2.若两个向量平行,则它们的方向相同或相反. 3.0是一个向量,且模为0,方向任意,而0是一个数量. 4.数量能比较大小,而向量不能比较大小.
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(2)由图可得������������, ������������, ������������与������������方向相同, ������������, ������������, ������������,������������与������������ 方向相反,所以与向量������������共线的向量有������������, ������������, ������������ , ������������, ������������,������������, ������������.
高中数学 第二章 平面向量应用易错辨析素材 北师大版必修4
平面向量应用易错辩析运用向量知识解题常可收到化繁为简、化难为易的神奇功效，随着新教材的逐步实施，它已成为高考数学的新宠。
但学生在初学这部分内容时，往往会出现这样或那样的错误，现列举几种常见错误，以期起到防患于未然的作用。
一、忽略共线向量致误例1、已知同一平面上的向量、、两两所成的角相等，并且1||=，2||=，3||=，求向量++的长度。
错解：易知、、皆为非零向量，设、、所成的角均为θ，则 3603=θ，即 120=θ，所以，1120cos ||||-=⋅=⋅ b a b a ，同理3-=⋅，23-=⋅，由⋅+⋅+⋅+++=++222||2222=3，故3||=++。
剖析：本例误以为a 、b 、c 皆为非共线向量，而当向量a 、b 、c 共线且同向时，所成的角也相等均为0，符合题意。
正解：(1)当向量a 、b 、c 共线且同向时，所成的角均为 0,所以||c b a ++ 6||||||=++=c b a ；(2)当向量a 、b 、c 不共线时，同错解.综上所述, 向量++的长度为6或3。
二、忽视两向量夹角的意义致误例2、正ABC ∆的边长为1，且=，=，=，求||++的值。
错解：由于正ABC ∆的边长为1，所以， 60=∠=∠=∠C B A 且1||||||===， 所以，21cos ||||=∠⋅=⋅C b a b a ，同理可得21=⋅c b ，21=⋅a c ， 由⋅+⋅+⋅+++=++222||2222=6，故6||=++。
剖析：本题误以为a 与b 的夹角为BCA ∠。
事实上，两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段之间的夹角，范围是]180,0[，因此，a 与b 的夹角应为BCA ∠- 180。
正解：作=，与的夹角即与的夹角为 120180=∠-BCA ，所以，21120cos ||||-=⋅=⋅ ，同理可得21-=⋅，21-=⋅， 由a c c b b a c b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++222||2222=0，故0||=++c b a 。
新版高中数学北师大版必修4习题第二章平面向量2.1含解析
02第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量课时过关·能力提升1.下列说法中正确的是( ) A.若|a |=|b |,则a =bB.若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 是平行四边形”的等价条件 C.若非零向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AB ∥CD D .AB⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的等价条件是A 与C 重合,B 与D 重合 解析:本题考查向量的有关概念,只有选项B 正确. 答案:B 2.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P ,点E ,F 分别在两腰AD ,BC 上,EF 过点P ,且EF ∥AB ,则下列等式成立的是( ) A .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .PE⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ D.EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:根据相等向量的定义,分析可得.A 中,AD⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 错误;B 中,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 错误;C 中,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 错误;D 中,EP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 正确. 答案:D 3.如图,梯形ABCD 为等腰梯形,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系是( )A .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ | C .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >DC ⃗⃗⃗⃗⃗D .AB⃗⃗⃗⃗⃗ <DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |表示等腰梯形两腰的长度,故两者相等. 答案:B4.已知A={与a 共线的向量},B={与a 长度相等的向量},C={与a 长度相等、方向相反的向量},其中a 为非零向量,则下列命题中错误的是( ) A .C ⫋A B .A ∩B={a } C .C ⫋B D .A ∩B ⫌{a }答案:B 5.有下列说法:①若向量a 与向量b 不平行,则a 与b 的方向一定不相同; ②若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ③若|a |=|b |,则a ,b 的长度相等,且方向相同或相反; ④由于零向量的方向不确定,故其不能与任何向量平行. 其中,说法正确的个数是( ) A.1B.2C.3D.4解析:对于①,由共线向量的定义,知两向量不平行,方向一定不相同,故①正确;对于②,因为向量不能比较大小,故②错误;对于③,由|a |=|b |,只能说明a ,b 的长度相等,确定不了它们的方向,故③错误;对于④,零向量与任意向量平行,故④错误. 答案:A 6.如图,设O 是正方形ABCD 的中心,则有下列结论:①AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;②AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;③AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线;④AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO⃗⃗⃗⃗⃗ .其中,所有正确结论的序号为 . 答案:①②③ 7.如图,在△ABC 中,已知|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |∶|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |∶|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为3,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为1,则DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为 .解析:∵|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |∶|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |∶|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,且|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32. 答案:328.已知a ,b 是任意两个向量,有下列条件:①a=b ;②|a|=|b|;③a 与b 的方向相反;④a =0或b =0;⑤a 与b 都是单位向量. 其中,使向量a 与b 平行的有 .(只填序号) 解析:根据平行向量的概念,可知①③④均能得到a ∥b . 答案:①③④★9.如图,O 是正三角形ABC 的中心,四边形AOCD 和四边形AOBE 均为平行四边形,则与向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量为 ;与向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量为 ;与向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量为 .(填图中所画出的向量)解析:∵O 是正三角形ABC 的中心,∴OA=OB=OC ,∴结合相等向量及共线向量的定义可知,与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量有OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:OC ⃗⃗⃗⃗⃗ DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 10.如图,在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,N,M 分别是AD,BC 上的点,且CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:四边形DNBM 是平行四边形. 证明∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴四边形ABCD 为平行四边形, ∴AD ,BC 平行且相等.又CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴四边形CNAM 为平行四边形, ∴AN ,MC 平行且相等, ∴AD-AN=BC-MC ,即DN=MB , ∴DN ,MB 平行且相等, ∴四边形DNBM 是平行四边形.★11.如图,A ,B ,C 三点的坐标依次是(-1,0),(0,1),(x ,y ),其中x ,y ∈R .当x ,y 满足什么条件时,向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线(其中O 为坐标原点)?解∵点A ,B 的坐标分别是(-1,0),(0,1),∴∠BAO=45°.①当点C (x ,y )的坐标满足x=y=0时,点C 与点O 重合,则有OC=0,即|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,这时OC⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线(零向量与任一向量都共线); ②当点C (x ,y )的坐标满足xy ≠0,且x=y ,即点C 在第一、三象限角平分线上时,有AB ∥OC ,这时OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 综上可知,当x=y 时,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.。
北师大版高中数学必修四第二章 平面向量.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量课时目标1．通过对物理模型和几何模型的探究，了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示．2．掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量：既有________，又有______的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为____的向量叫做零向量，记作____．(2)单位向量：长度为____的向量叫做单位向量．(3)相等向量：____________且____________的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向____________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作______．②规定：零向量与____________平行．一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件中能得到a＝b的是()A．|a|＝|b| B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝03．下列说法正确的有()①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2个B．3个C．4个D．5个4．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”()A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立5．下列各命题中，正确的命题为()A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B ．模为0的向量与任一向量平行C ．向量就是有向线段D ．|a |＝|b |⇒a ＝b6．下列说法正确的是( )A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．零向量长度等于0D ．共线向量是在一条直线上的向量二、填空题7．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)8．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________．9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________．10．如图所示，E 、F 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．三、解答题11．在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1．(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？12．如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．能力提升13．如图，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→．求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′；(2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→．14．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ．(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a >b 没有意义，而|a |>|b |有意义．3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行．第二章 平面向量§1 从位移、速度、力到向量答案知识梳理1．大小 方向 2．AB → 3．(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反非零 ①a ∥b ②任一向量作业设计1．D 2．D3．A [②与⑤正确，其余都是错误的．]4．C [当b ＝0时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．]5．B [由于模为0的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选B ．]6．C [向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线平行于CD →所在的直线和AB →所在的直线与CD →所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A 、B 、D 均错．]7．①③④解析 相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．8．菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC∴四边形ABCD 是平行四边形，∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．9．①单位圆 ②相距为2的两个点 ③一条直线10．FE →，BC →，CB →解析 ∵E 、F 分别为△ABC 对应边的中点，∴EF ∥BC ，∴符合条件的向量为FE →，BC →，CB →．11．解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．12．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC ．又因为D 是BC 的中点， 所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →．(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →．(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →．13．证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→，∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→．又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′．∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′→|．同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|．∴△ABC ≌△A ′B ′C ′．(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|．∴AB →＝A ′B ′→．同理可证AC →＝A ′C ′→．14．解 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →．(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →．(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →．。
(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》测试(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ）A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．30,(1,)3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．3,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞2．已知非零向量a →，b →夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（ ）A ．22B ．2C ．3D ．23．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ） A ．4B ．37+C ．25D ．54．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B 6C 5D ．25．已知,M N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则2PM PN -的最大值为（ ）A ．53+B ．53C ．523+D ．56．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）A ．13B ．26C 6D ．237．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,222]B ．[0,2]C ．[222,222]-+D ．[222,2]-8．已知ABC ∆为等边三角形，则cos ,AB BC =( )A ．3-B ．12-C ．12D ．329．设O 为ABC 内一点,已知2332OA OB OC AB BC CA ++=++,则::AOB BOC COA S S S ∆∆∆= （ ）A ．1:2:3B ．2:3:1C ．3:1:2D ．3:2:110．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-11．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12C ．13 D ．2312．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题13．已知向量()3,2OA =，()2,1OB =，O 点为坐标原点，在x 轴上找一个点M ，使得AM BM ⋅取最小值，则M 点的坐标是___________.14．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．15．如图，边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在线段BD 上运动，若1AB AO ⋅=，则AP PD ⋅的最大值为______.16．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.17．在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.18．已知(2,1)a =，(3,4)b =，则a 在b 的方向上的投影为________． 19．在ABC ∆中，1AC BC ==，3AB =CE xCA =，CF yCB =，其中(),0,1x y ∈，且41x y +=，若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，当线段MN 取最小值时x y +=__________.20．已知向量(1,3)a =，1(2,)2b =-，若单位向量c 与2a b -平行，则c =___________.三、解答题21．已知()1,2a =，()2,1b =-，k 为何值时， （1）ka b +与a b -垂直？ （2）ka b +与a b -平行？22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=-，且m n ⊥.（1）求角C 的大小； （2）若3c =，求2a b +的取值范围.23．已知4a =，8b =，a 与b 的夹角是120（1）计算：①a b +，②42a b-；（2）当k 为何值时，2a b +（）与ka b -（）垂直？ 24．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （2）求AM AN ⋅的取值范围．25．已知()sin ,3a x x =，()cos ,cos b x x =-，函数3()2f x a b =⋅+． （1）求函数()f x 图象的对称轴方程； （2）若方程1()3f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，求()12cos x x +的值． 26．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标； （2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，找出a 所满足的条件，最后求得结果. 【详解】 由题意得24,(0,0),(,1),(3,1)2T a O A a B a aππ==-，因为OAB 为钝角三角形，所以0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，即2310a -<，或2220a -+<，从而30a <或1a >． 故选：B.该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.2．A解析：A 【分析】根据数量积的运算，2a b →→-=两边平方即可求解. 【详解】2a b →→-=,=2a →,a→，b →夹角为45︒, 2222()24a b a b a a b b →→→→→→→→∴-=-=-⋅+=, 2422||cos||44b b π→→∴-⨯+=,解得：||b →= 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.3．C解析：C 【分析】利用基本不等式得到222a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】因为1a =，2b =，所以222222252a b a ba b a b a b ++-++-≤=+=，当且仅当a b a b +=-，即a b ⊥时取等号， 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.4．C解析：C以,AD AB 为一组基底，表示向量,AE BF ，然后利用12AE BF ⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴sin 3BAD ∠==， ∴梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠=．故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据条件可知22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，即可求出最大值. 【详解】由1MN =可知，OMN 为等边三角形，则1cos602OM ON OM ON ⋅=⋅⋅︒=， 由PM PO OM =+，PN PO ON =+，得22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，()224413OM ON OM ON -=-⋅+=，又()3,4P ，则5PO =，因此当PO 与2OM ON -同向时，等号成立，此时2PM PN -的最大值为5+故选：A. 【点睛】本题考查向量模的大小关系，属于中档题.6．C解析：C 【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b⋅=，进而可得()ba a+⋅、a b+，代入投影表达式即可得解.【详解】因为a，b为单位向量，所以1==a b，又2a b a b+=-，所以()()222a b a b+=-所以22222242a ab b a a b b+⋅+=-⋅+，即121242a b a b+⋅+=-⋅+，所以13a b⋅=，则()2263a b a b+=+=，()243a ab a a b⋅+=+⋅=，所以a在a b+上的投影为()46326a a ba b⋅+==+.故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.7．D解析：D【解析】如图所示：OA a=，OB b=，OC c=，OD a b=+∵()()0a cb c-⋅-≤，∴点C在劣弧AB上运动，a b c +-表示C 、D 两点间的距离CD ．CD 的最大值是BD ＝２，CD 最小值为OD 2222-=-.故选D8．B解析：B 【分析】判断,AB BC 两向量夹角容易出错，是23π，而不是3π 【详解】由图发现,AB BC 的夹角不是B 而是其补角23π，21cos ,cos32AB BC π<>==- 【点睛】本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图.9．B解析：B 【分析】根据23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，化简得到12033OA OB OC ++=，设12,33OB OD OC OE ==，则O 为ADE 的重心，有AODAOEDOES SS==，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===求解. 【详解】由23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，得233322OAOA OB OC OB OA OC OB OA OC ++=-+-+-， 整理得：320OA OB OC ++=，12033OA OB OC ∴++=，设12,33OB OD OC OE ==，则0OA OD OE ++=，即O 为ADE 的重心，AODAOEDOESSSS ∴===，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===， 93::3::2:3:122AOB BOC AOC S S S ∆∆∆∴==，故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的平面几何中的应用，属于中档题.10．D解析：D 【分析】 根据题意得出()12BD BA BC =+，13AE BC BA =-，运用数量积求解即可． 【详解】解：等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 2=-．故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题．11．D解析：D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=，又由3BC =，所以13BD BC =, 由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．C解析：C 【分析】首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =， 故14AE EB =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.二、填空题13．【分析】设点的坐标是求出再利用配方法可得答案【详解】设点的坐标是即因为向量所以当时有最小值此时点的坐标是故答案为：【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1几何法；2三角函数有界法；3二次函解析：5,02⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设M 点的坐标是(),0t ，求出AM BM ⋅，再利用配方法可得答案. 【详解】设M 点的坐标是(),0t ，即(),0OM t =， 因为向量()3,2OA =，()2,1OB =， 所以()3,2AM OM OA t =-=--，()2,1BM OM OB t =-=--， ()()()()3221AM BM t t ⋅=--+-⨯- 22575824t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当52t =时，AM BM ⋅有最小值74，此时M 点的坐标是5,02⎛⎫⎪⎝⎭， 故答案为：5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1、几何法；2、三角函数有界法；3、二次函数配方法.14．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求 解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()C ，由中心坐标公式可得：2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭，即23G ⎫⎪⎭，据此有：223,33GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，423,33GC ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：2422203333339GB GC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．15．【分析】以为原点和分别为和轴建立的平面直角坐标系求得设得到即可求解【详解】以为原点和分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系设则因为可得联立方程组解答所以设则当时取得最大值最大值为故答案为：【点睛】本解析：34【分析】以O 为原点，OC 和OD 分别为x 和y 轴建立的平面直角坐标系，求得(1,0),3)A D -，设(0,),[3,3]P t t ∈，得到233(4AP PD t ⋅=--+，即可求解. 【详解】以O 为原点，OC 和OD 分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设(,0),(0,),0,0A a B b a b -->>，则224a b +=， 因为1AB AO ⋅=，可得2(,)(,0)1a b a a -⋅==， 联立方程组，解答1,3a b ==(1,0),3)A D -，设(0,),[3,3]P t t ∈，则22333(1,)3)3(244AP PD t t t t t ⋅=⋅=-+=--+≤， 当3t =AP PD ⋅取得最大值，最大值为34.故答案为：34.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，此类问题通常采取建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解，着重考查转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.16．【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得出点坐标圆M 的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在 解析：116【分析】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值. 【详解】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+4512r -==， 所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D，()3,1M ，圆M 的方程为()()22311x y -+-=，设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--+=-=，其中3tan 4β=， 所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值116， 故答案为：116.【点睛】本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题.17．【分析】用表示向量然后利用平面向量数量积的运算律可求得的值【详解】为的中点故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的计算解答的关键就是选择合适的基底表示向量考查计算能力属于中等题解析：53-【分析】用AB 、AC 表示向量MB 、MC ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得MB MC ⋅的值. 【详解】O 为BC 的中点，()12AO AB AC ∴=+， 3AO MO =，()1136MO AO AB AC ∴==+，()2133AM AO AB AC ==+， ()()11233MB AB AM AB AB AC AB AC ∴=-=-+=-， ()()11233MC AC AM AC AB AC AC AB ∴=-=-+=-， 22AC AB ==，120BAC ∠=，()()()22112252299MB MC AB AC AC AB AB AC AB AC ∴⋅=-⋅-=⋅--221155122122923⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯--⨯-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：53-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.18．2【分析】根据向量在的方向上的投影为结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式即可求解【详解】由题意向量可得则在的方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应解析：2 【分析】根据向量a 在b 的方向上的投影为a b b⋅，结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,1)a =，(3,4)b =，可得231410a b ⋅=⨯+⨯=，2345b =+=，则a 在b 的方向上的投影为1025a b b⋅==. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应用，以及向量的投影的概念与计算，其中解答熟记平面向量的数量积、模及投影的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值再利用中线的性质表示出由此求得计算当的最小时的值即可【详解】解：连接如图所示：由等腰三角形中知所以∵是的中线∴同理可得∴又∴故当时有最小值此时故答案为：【点睛 解析：47【分析】根据平面向量的数量积运算求得CA CB 的值，再利用中线的性质表示出CM 、CN ，由此求得MN ，计算当||MN 的最小时x y +的值即可． 【详解】解：连接CM ，CN ，如图所示：由等腰三角形中，1AC BC ==，3AB =120ACB ∠=︒，所以1=2CA CB ⋅-.∵CM 是CEF ∆的中线，∴()()1122CM CE CF xCA yCB =+=+. 同理可得()1=2CN CA CB +. ∴()()111122MN CN CM x CA y CB =-=-+-， ()()()()222111111114224MN x x y y ⎛⎫=-+--⨯-+- ⎪⎝⎭， 又41x y +=， ∴222131424MN y y =-+，(),0,1x y ∈. 故当17y =时，2MN 有最小值，此时3147x y =-=. 故答案为：47. 【点睛】本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，属于中档题．20．或【分析】由向量的坐标运算求出并求出它的模用除以它的模得一向量再加上它的相反向量可得结论【详解】由题意∴又∴或故答案为：或【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量一般与平行的单位向量有两个它们是相反向量解析：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】由向量的坐标运算求出2a b -，并求出它的模，用2a b -除以它的模，得一向量，再加上它的相反向量可得结论． 【详解】由题意2(1,3)(4,1)(3,4)a b -=--=-，∴222(3)45a b -=-+=，又234,552a ba b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，∴c =34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量，一般与a 平行的单位向量有两个，它们是相反向量：a a±．只写出一个向量a a是错误的．三、解答题21．（1）1（2）-1 【分析】（1）分别表示出ka b +与a b -，再利用数量积为0求解即可； （2）若ka b +与a b -平行，则等价于22131k k -+=，化简即可； 【详解】 （1）()()()1,22,12,21ka b k k k +=+-=-+()3,1a b -=当()()ka a b b +⊥-时()()2,213,10k k -+⋅=36210k k ∴-++= 1k ∴=时()()ka a b b +⊥-（2）当()ka b +与()a b -平行时22131k k -+= 1k ∴=-1k ∴=-时，()ka b +与()a b -平行【点睛】本题考查向量加法与减法的坐标运算，由两向量平行与垂直求参数，属于基础题22．（1）2C 3π=；（2）.【分析】（1）根据向量m n ⊥得到22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角C 的值．（2）利用正弦定理求的△ABC 的外接圆半径，将2a b +表示成A 与B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角A 的函数表达式；再由角A 的取值范围求得2a b +的范围． 【详解】 （1）∵m n ⊥ ∴0m n ⋅=∴22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++= ∴222c a b ab =++ ∴1cos 2C =- 又()0,C π∈ . ∴23C π=.（2）∵23C π=，c =∴△ABC 外接圆直径2R=2∴24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭4sin sin A A A =+-3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a b + 的取值范围是 .【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题．23．（1）①②2）7k =-. 【分析】利用数量积的定义求解出a b ⋅的值；（1）将所求模长平方，从而得到关于模长和数量积的式子，代入求得模长的平方，再开平方得到结果；（2）向量互相垂直得到数量积等于零，由此建立方程，解方程求得结果. 【详解】由已知得：cos ,48cos12016a b a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=-（1）①222216326448a b a a b b +=+⋅+=-+= 43a b ∴+=②2224216164256256256768a b a a b b -=-⋅+=++= 42163a b ∴-=（2）若2a b +与ka b -垂直，则()()20a b ka b +⋅-=()222120ka k a b b ∴+-⋅-=即：1616(21)2640k k ---⨯=，解得：7k =- 【点睛】本题考查利用数量积求解向量的模长、利用数量积与向量垂直的关系求解参数的问题.求解向量的模长关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和数量积运算的形式，从而使问题得以求解. 24．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点，所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132N ⎛ ⎝， 所以5311848AM AN ⋅=+=． （2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈．所以312t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(13N t -．所以()()223113111122222t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭． 当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1； 当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32． 所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型. 25．（Ⅰ）5()212k x k Z ππ=+∈; （Ⅱ）13. 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标表示求出()f x ,利用二倍角公式与辅助角公式化简()f x ，结合正弦函数的对称性即可求出函数的对称轴；（2）由方程1()3f x =在()0,π（上的解为12,x x ，及正弦函数的对称性可求12x x +，进而可得结果． 【详解】解：(),a sinx =，(),b cosx cosx =-，()2311212222232cos x f x a b sinxcosx x sin x sin x π+⎛⎫∴=⋅+===-- ⎪⎝⎭()1令112232x k πππ-=+可得512x k ππ=+，k z ∈∴函数()f x 图象的对称轴方程512x k ππ=+，k z ∈()2方程()13f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，由正弦函数的对称性可知12526x x k ππ+=+，1x ，()20,x π∈，()1212562x x cos x x π∴+=∴+=-.【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.26．（1）(2,4)-；（2）5-.【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+=∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．。
北师大版数学高一(北师大)必修4素材 轻松识别几个易混概念
轻松识别几个易混概念识别一：向量与有向线段的区别（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，又称为自由向量．只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量．（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．有向线段是具有向量两要素的最简单的几何图形．故向量可以用有向线段表示．（3）对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以自由平行移动的，因此，在用有向线段表示向量时，可以自由选择起点，所以任何一组平行向量都可以移到同一直线上． 识别二：零向量、单位向量概念（1）长度为0的向量叫零向量，记作0．0的起点和终点重合，因此0向量有两个特征：一是长度为0（注意0与0的含义与书写区别）；二是方向不确定，或者说任何方向都是0向量的方向．（2）长度为1个单位长度的向量，叫单位向量．说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小．对于单位向量的认识：有无数个单位向量，在统一的单位长度下，所有的单位向量的大小都是一个单位，所以单位向量的大小都相等，但单位向量不一定相等．因为不同的单位向量有不同的方向，即使是共线的单位向量，它们也不一定相等，因为它们有可能方向相反．例1下列命题中不正确的是 （ ）A ．零向量没有方向B ．零向量只与零向量相等C ．零向量的模为0D ．零向量与任何向量共线解：零向量有方向，它的方向可以是任意的，应选A ．评注：零向量是指长度为0的向量，并规定“0与任一向量平行”，说明零向量的方向不确定．例2判断下列命题的正误：（1）单位向量都共线；（2）单位向量都相等；（3）共线的单位向量必相等；（4）与非零向量a 共线的单位向量是||a a ． 解：（1）（2）（3）（4）均不正确．因为共线向量的方向可能相同或相反，所以（4）中与共线的单位向量有两个：||a a ． 评注：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量．注意这里并未强调向量的方向．识别三：平行向量、共线向量、相等向量由于三者联系较为紧密，所以不少同学经常将三者混为一谈，给解题带来了一些不必要的麻烦，但如果我们能准确识别三者及其关系并应用其知识进行解题，也会给解题带来很大的方便．（1）平行向量①概念：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．②表示方法：如果a 、b 、c 是非零向量且方向相同或相反(向量所在的直线平行或重合)，则可记为////a b c ．③注意点：任一向量都与它自身是平行向量，并且规定：零向量与任一向量是平行向量．（2）共线向量①概念：共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，其所在直线可以平行也可以重合．②含义：“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．因此，任意一组共线向量都可以移到同一条直线上．（3）相等向量①概念：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．②识别依据：两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们相等．如=a b ，就意味着||||=a b ，且a 与b 的方向相同．③理解拓展：由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的，都可以用同一条有向线段表示，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．（4） 平行向量、共线向量、相等向量三者的异同点①共线向量即为平行向量；②共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．例3下列命题正确的是 （ ）A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a 与b都是非零向量，所以应选C．。
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高中数学 2.1 平面向量疑难问题辨析（2）
问：向量a 和实数a ，零向量和实数0各有什么区别？
答：向量a 有大小、方向．大小即向量a 的长度（或模），记作a ，它是非负实数．两个向量的关系只能说相等或不相等，共线或不共线，“大于”、“小于”对向量来说无意义．向量的长度（或模）可比较大小，而实数a 仅有大小，无方向可言．
“0”指长度为０的向量，即=00，方向是任意的．规定“0与任一向量平行（或共线）”；而实数０是一个无方向的实数．例如以下各式是错误的：a a -=0，AB BC CA ++=0，a +0a =，a a -=0．
问：向量的三角形法则、平行四边形法则有什么区别？
答：向量的三角形法则、平行四边形法则都是向量的几何运算．
求和向量时，若一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量的三角形法则，即“始终相接，始指向终”；当两向量的始点相同时，可用向量的平行四边形法则．
求差向量时，可用三角形法则，即“同始连终，指向被减”，如OA OB BA -=．．
当向量共线（或平行）时，平行四边形法则对向量求和不再适用，只能利用三角形法则，即向量加法、减法的三角形法则具有一般性．
向量的和、差的结果仍是向量．
问：a b b c ，∥∥，则a c ∥对吗？
答：不对，若b =0，则a 和c 可能不共线．
问：单位向量有什么特点？
答：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于１的向量，叫做a 的单位向量．它具有以下特点：①长度为１；②方向确定且与向量a 同向；③可有无数个．。