全等三角形综合题复习

全等三角形的综合题
一、双等边三角形模型
1.（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，求∠AEB的大小；
（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小。

2.已知：点C为线段AB上D点，△ACM，△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O。

①求证：AN=BM
②求∠AOB的度数
③若AN、MC相交于点P，BM、NC相交于点Q，求证:PQ∥AB
3.如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF 和BE。

（1）线段AF和BE有怎样的大小关系？连接AF和BE.
（2）讲图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；
（3）若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c（草图即可），（1）中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由。

1.如图，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，
△AMN是等边三角形。

（1）当把△ADE绕点A旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当△ADE绕点A旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由。

已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别BE，CD的中点。

（1）求证：①BE=CD；②AM=AN;
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形，请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立。

如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H。

（1）证明：△ABG≌△ADE;
（2）试猜想∠BHD的度数，并说明理由；
（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°<∠BAE<180°），设△ABE的面积为S，△ADG的面积为S，判断S与S的大小关系，并给与证明。

已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE，CD
（1）求证：△AGE≌△DAC;
（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF使怎样的三角形，试证明你的结论。

二、垂直模型
如图，△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B 作BD⊥BC交CF的延长线于点D
求证:（1）AE=CD；（2）若AC=12cm,求BD的长。

如图（1），已知△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B、C在A、E 的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。

（1）试说明:BD=DE+CE
（2）若直线AE绕点A旋转到图②的位置时（BD<CE）,其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？写结论，并说明理由。

（3）若直线AE绕点A旋转到图③位置时（BD>CE）,其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？写结论，并说明理由。

直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB。

E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°,则EF= |BE-AF|（填“>”“<”或“=”）；
②如图2，若0°<∠BCA<180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是；
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、BE、AF三条线段的数量关系，并给与证明。

已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB,试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
如图，在等腰RT△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点,DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF ∥AC交DE的延长线于点F，连接CF。

（1）求证：CD=BF;
（2）求证：AD⊥CF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状
如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线,交AB于点E，交AD于点F，求证:∠ADC=∠BDE.
如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC。

（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在边BC上，如图2，连接AE和GC，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。

三、等腰三角形
如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,D 是BC 中点，ED ⊥FD ，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ，求证：BE=AF ，AE=CF.
已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°,CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC,且BE ⊥AC 于E,与CD 相交于点F,H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

（1）BF=AC
（2）CE=2
1BF （3）CE 与BC 的大小关系如何。

如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一条直角边与∠CBM的角平分线BF相交于点F。

（1）如图1，当点E在AB边的中点位置时；
①通过测量DE、EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；
③请证明你的上述两猜想。

（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明。

在RT△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G。

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF,连接EF与CF，过点F 作FH⊥FC，交直线AB于点H。

①求证:DG=DC
②判断FH与FC的数量关系并加以证明。

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点,点F在射线DG上，（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形。

在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）
四、角平分线问题
如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°,设AD=x,BC=y,且x,y 满足x2+y2-6x-8y+25=0
（1）求AD和BC的长；
（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；
（3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能,请说明理由。

如图①,OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图②,在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE=2
1（AB+AD ） 则∠ABC+∠ADC 等于多少？
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a,AC=b,求AE，BE的长。

五、中点问题
在△ABC中，D为BC的中点,过D点DE直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于点G。

DE ⊥GF，并交AB于点E，连接EG。

（1）求证：BG=CF;
（2）请猜想BE+CF与EF的大小关系，并加以证明
已知△ABC中，AB=AC,BD为AB的延长线，且BD=AB,CE为△ABC的AB边上的中线，求证CD=2CE。