高中函数的基本性质
高中数学教案《函数的基本性质》
教学计划高：《函数的基本性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握函数单调性、奇偶性的定义及判断方法;能够运用函数图像理解并阐述这些性质;能够识别并解决与函数基本性质相关的简单问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、比较等数学活动，引导学生发现函数的基本性质;通过小组讨论、合作探究等学习方式，培养学生团队协作和问题解决的能力;通过练习和实践，提高学生应用函数性质解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度;通过探索函数性质的过程，让学生体会数学中的对称美、和谐美，增强对数学美的感受力。
二、教学重点和难点教学重点：函数单调性、奇偶性的定义、性质及判断方法;函数图像在理解函数性质中的应用。
教学难点：理解函数单调性、奇偶性的本质，能够灵活运用这些性质解决问题;通过函数图像准确判断函数的性质。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）情境导入：通过生活中的实例(如气温变化、股票价格波动等)引出函数的概念，让学生感受到函数在生活中的广泛应用。
提出问题：设问“这些函数有哪些共同的特点或性质?”引导学生思考并引出函数的基本性质——单调性和奇偶性。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握函数单调性、奇偶性的定义、性质及判断方法，并能够通过函数图像理解这些性质。
2. 讲授新知（约15分钟）定义讲解：详细讲解函数单调性(增函数、减函数)和奇偶性(奇函数、偶函数)的定义，结合实例帮助学生理解。
性质阐述：阐述函数单调性和奇偶性的基本性质，如单调函数的图像特征、奇偶函数的图像对称性等。
示例分析：通过具体函数示例(如一次函数、二次函数、反比例函数等)，分析它们的单调性和奇偶性，加深学生的理解。
3. 观察探究（约10分钟）图像观察：利用多媒体展示不同函数的图像，引导学生观察图像的特点，尝试从图像中判断函数的单调性和奇偶性。
小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自观察到的图像特征和判断结果，相互纠正错误，共同探究函数性质的图像表示方法。
高中数学函数知识点归纳
高中数学函数知识点归纳高中数学函数知识点归纳函数在高中数学中占据了非常重要的地位。
无论是在初中学习时，还是不同领域的工作和生活中，函数都有着重要的应用。
因此，在高中数学中，系统地学习函数知识点是很有必要的。
下面就对高中数学的函数知识点进行一个简单的归纳。
一、函数基本概念函数是将一个数集和另一个数集之间的对应关系，称作函数。
通常用f(x)表示，其中x称作自变量，f(x)称作函数值或因变量。
其中，自变量的取值有一定的范围，称作函数的定义域；函数的值域则是所有可能的函数值的集合。
二、函数的性质1.函数的单调性：单调递增和单调递减。
2.函数的奇偶性：奇函数和偶函数。
3.函数的周期性：周期函数。
4.函数的反函数。
5.函数的对称性：对称轴和中心对称。
三、函数的图像1.函数图像的表示方法：解析法和图像法。
2.函数的基本图像：常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数和对数函数。
3.函数的平移和伸缩。
四、函数的应用1.函数模型。
2.函数的变化率。
3.函数的最值。
4.函数的极限。
5.导数。
以上就是高中数学中函数知识点的主要内容。
虽然这个知识点占据了高中数学的很大一部分，但是要想真正掌握函数知识，还需要大量的练习。
因此，在学习函数知识时，我们需要掌握以下几个技巧。
一、常常理解概念，注重基础学习函数知识时，首先需要掌握函数的基本概念，例如定义域、值域、单调性、图像等等。
这些基本概念很重要，是后续学习和应用的关键。
因此，我们需要常常理解这些概念，注重基础。
二、多观察函数图像，探讨函数性质函数的图像是我们理解函数性质的重要途径。
因此，在学习函数知识时，需要多观察函数图像，探讨函数的性质，例如函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等等。
通过对函数图像的观察和分析，我们可以更好地理解函数性质。
三、勤于练习，熟练掌握应用函数知识不仅仅是理论性的知识，还有很多实际应用。
因此，在学习函数知识时，我们需要勤于练习，熟练掌握函数的应用，例如函数模型、函数的变化率、函数的最值、函数的极限和导数等等。
高中数学—函数的基本性质—完整版课件
• 当 > 时， − < ，则
• − ＝ −
− ＝ − ＝ − ()．
• 综上，对 ∈ (−∞，) ∪ (，＋∞)，
• ∴ ()为奇函数．
都有 − ＝ − ()．
奇偶性判定
• 【解析】 (4) =
−
−
• 定义域为 −， 关于原点对称
• ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ．
函数的奇偶性
• 判断函数的奇偶性
• 1、首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据
原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非
奇非偶函数．
• 2、如果满足定义域对称，则计算(−)，看与()是否有相等或互为
相反数的关系.
−
−−
+
++
−+
• 即
= 恒成立，
• 则2(＋)2＋2＝0对任意的实数恒成立．
• ∴ ＝＝0.
函数的单调性
+
•
(2)∵ =
∈ 是奇函数, 只需研究(, ＋∞)上()的单调区间即可．
•
任取， ∈ (，＋∞)，且 < ，则
应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．
抽象函数的单调性
• 函数()对任意的、 ∈ ，都有 ＋ ＝ ＋ − ，并且当
> 时，() > .
• (1)求证：()是上的增函数；
• (2)若()＝，解不等式( − − ) < .
抽象函数的单调性
• ∴ ()＝， ∴原不等式可化为( − − ) < ()，
• ∵ ()是上的增函数，
高考数学函数的定义和性质
高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。
它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。
本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。
1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。
用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。
2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。
2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。
2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。
如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。
2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。
如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。
2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。
如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。
3. 常见函数的性质在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。
3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。
高中函数基础知识
高中函数基础知识引言函数是高中数学中非常重要的一个概念，它是描述两个变量之间关系的一种工具。
高中数学中的函数主要分为线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
在本篇文章中，我们将介绍高中函数的基础知识，包括函数的定义、性质以及常见函数的图像和变换等。
一、函数的定义函数是一个集合，它由两个非空集合的有序对组成。
通常我们用字母 f, g, h 等来表示函数，如 f(x), g(x), h(x)。
其中，x 称为自变量，f(x) 称为因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数可以用一个或多个方程或不等式来表示。
函数的定义有以下几个要点： - 函数必须有定义域，即自变量的取值范围。
- 函数的定义域是实数集的一个子集。
- 函数的值域是实数集或实数集的子集。
二、函数的性质高中数学中的函数具有一些特殊的性质，下面介绍几个常见的性质：1. 奇偶性如果对于函数 f(x)，它满足 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 是偶函数；如果满足 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 是奇函数。
函数的奇偶性可以通过图像的对称性来判断。
如果对于函数 f(x) 的任意两个不同的自变量 x1 和 x2，当 x1<x2 时，有f(x1)<f(x2) 则函数 f(x) 是增函数；反之，如果当 x1<x2 时，有 f(x1)>f(x2)，则函数 f(x) 是减函数。
3. 对称轴与顶点对于二次函数 f(x) = ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数。
二次函数的对称轴是确定顶点的直线。
对称轴的表达式为 x = -b/2a。
顶点的坐标可以通过将 x = -b/2a代入 f(x) 中求得。
4. 零点与平移函数 f(x) = 0 的解称为函数的零点。
对于函数 f(x) = a(x-h)^2+k，其中 a、h、k是常数，如果 h>0，则表示向右平移 h 个单位；如果 h<0，则表示向左平移 h 个单位；如果 k>0，则表示向上平移 k 个单位；如果 k<0，则表示向下平移 k 个单位。
高中数学上册函数的概念及性质
高中数学上册函数的概念及性质
函数是高中数学的一个重要概念，它是一种映射关系，它把一组输入值映射到一组输出值。
函数可以用来描述一些物理现象、社会现象等等，是数学建模的重要工具。
一般来说，函数指的是满足一定性质的关系。
如果输入值是x，输出值是f(x)，则称f(x)为x的函数值。
函数的性质包括：
1、定义域：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，即函
数f(x)可以接受的输入值的范围。
2、值域：函数f(x)的值域是指函数f(x)的输出值的范围，即f(x)的所有可能的值的范围。
3、单调性：函数f(x)的单调性是指当x的取值发生变化时，f(x)的取值只有一种变化趋势，即f(x)的取值只会变大或
只会变小。
4、对称性：函数f(x)的对称性是指当x取值发生变化时，f(x)的取值也发生相应的变化，但f(x)的曲线不发生变化。
5、凹凸性：函数f(x)的凹凸性是指在函数f(x)的曲线上，当x取某个值时，f(x)的曲线在此点处有凸点或凹点。
6、奇偶性：函数f(x)的奇偶性是指当x取一定的值时，f(x)的值必须满足f(-x)=-f(x)的性质。
函数的性质是高中数学上册研究的必备知识，函数的性质是函数的重要特性，是数学建模过程中不可缺少的知识。
通过理解函数的性质，可以更加准确、深入地研究函数的性质，更好地描述实际问题，从而实现数学建模。
高中数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
高一数学的函数知识点归纳
高一数学的函数知识点归纳在高一的数学学习中，函数是一个非常重要的知识点。
函数的概念在数学中具有广泛的应用，并且在之后的学习中也会经常用到。
因此，熟练掌握函数的相关知识对于学习数学是非常重要的。
一、函数的定义和表示方式函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
函数可以用多种不同的方式来表示，包括文字描述、图像、表格和公式等。
函数的定义通常形式为“y=f(x)”，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数的定义域和值域之间的关系。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，而值域是函数输出的所有可能值的集合。
2. 单调性：函数的单调性指函数在自变量增大的过程中是否单调递增或单调递减。
如果函数在整个定义域上都是单调递增，则称为严格递增函数；如果函数在整个定义域上都是单调递减，则称为严格递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性指函数图像是否对称于y轴。
如果对于任意x∈定义域，f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果对于任意x∈定义域，f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。
4. 周期性：函数的周期性指函数图像是否在某个区间内重复出现。
如果存在一个正数T，对于任意正整数n，有f(x+Tn)=f(x)，则函数具有周期T。
三、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是函数图像为一条直线的函数，表示为f(x)=kx+b，其中k和b为常数。
线性函数的图像是直线，且斜率为k，截距为b。
2. 幂函数：幂函数是形如f(x)=x^a的函数，其中a为常数。
幂函数的图像形状与a的正负和大小有关，当a为正数时，图像从左上方逼近x轴，当a为负数时，图像从右上方逼近x轴。
3. 指数函数：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正常数且不等于1。
指数函数的图像具有一定的特点，包括过点(0,1)、严格递增或递减等。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，表示为f(x)=loga(x)，其中a为正常数且不等于1。
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一 函数的概念
①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到
B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．
②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，
()
2
x k k Z π
π≠+
∈．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零． 二 函数的表示法
函数的表示方法：表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 映射的概念
①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合
B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．
② 给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 三 单调性与最大（小）值 1函数的单调性
①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，
都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的
最大值，记作
max ()f x M
=．
(2) 一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，
都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x
m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小
值，记作:()f x min = m 四 函数的奇偶性 ② 函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．
③ 奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相
反．
偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 五 函数周期性、对称性
1周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的 正数叫做最小正周期。
nT （ n ∈Z,n ≠0 ）
2 函数)(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为
)()(x f T x f -=+；
)(1
)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=
+或；
ƒ(x+T)=ƒ( x -T )
3、函数f(x)满足f(x ＋a)=f(x ＋b),则函数f(x)的周期是T=|(x ＋a)－(x ＋b)|=|a －b|
六 两个函数的图象对称性 1、 与关于X 轴对称。
2、
与关于Y 轴对称。
3 函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称
4
)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线
2b
a x +=
对称。
七 函数零点
1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数
))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y = 的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．
3、函数零点的求法： 求函数)(x f y =的零点：
)(x f y =)(x f y -=)(x f y =)(x f y -=
○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根；
○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点：
二次函数
)0(2
≠++=a c bx ax y ． １）△＞０，方程
02
=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程02
=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一
个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程02
=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零
点．。