人教版九上课件-2214二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
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九年级数学上册 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件 (新版)新人教版
１.顶点(dǐngdiǎn)坐标与对称轴
２.位置(wèi zhi)与开口方向
３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线
顶点坐标 对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a 第十九页，共21页。
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴 的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
y=a(x+k)2+k(a≠0)的 顶点都在
（B）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上
D.y轴上
()
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则aA的值是
4
B. -1
C. 3
D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x +
轴的一个交点为(1,0B),则下列
c
第二十一页，共21页。
y 3x 12 2 … 29 14 5 2 5 14 29 …
4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数(hánshù)y=3(x1)2+2的图象．
第三页，共21页。
２.位置(wèi zhi)与开口方向
３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线
顶点坐标 对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a 第十九页，共21页。
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴 的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
y=a(x+k)2+k(a≠0)的 顶点都在
（B）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上
D.y轴上
()
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则aA的值是
4
B. -1
C. 3
D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x +
轴的一个交点为(1,0B),则下列
c
第二十一页，共21页。
y 3x 12 2 … 29 14 5 2 5 14 29 …
4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数(hánshù)y=3(x1)2+2的图象．
第三页，共21页。
人教版九年级数学上册 22.1.4 二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第一课时)(课件)
<6
3)当x________时，抛物线从左到右呈下降趋势；
>6
当x________时，抛物线从左到右呈上升趋势.
探究新知
探究新知
【问题】你能用前面的方法讨论二次函数 = − − + 的图象和性质？
= −2 2 − 4 + 1 = −2 + 1
2
+3
向下
1)抛物线 = −2 2 − 4 + 1的开口方向________、
5)y=-2x2+8x-8
5）开口向下，x = 2，（2,0）
-
针对训练
针对训练
1．已知二次函数y=–x2+2mx，以下点可能成为二次函数顶点的是（
A．(–2，4)
B．(1，2)
C．(–1，–1)
）．
D．(2，–4)
【详解】y=﹣x2+2mx=-( x2-2mx)=-( x2-2mx+m2)+m2=-( x-m)+m2,
=
向左(或右)
平移h个单位
= ( ± )
向上（或下）
向上（或下）
h>0,k>0
平移k个单位
平移k个单位
=
±k
向左(或右)
平移h个单位
= ( ± ) ± k
一般地，抛物线y=a(x-h)2+由y=ax2向上（或下）向左(或右)平移得到，抛
形状相同、位置不同
1）通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思
想．
2）由二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征及性质类比地学习二次函数y＝
ax2＋bx＋c的图象特征及性质，并能发现它们的联系，培养类比学习能
3)当x________时，抛物线从左到右呈下降趋势；
>6
当x________时，抛物线从左到右呈上升趋势.
探究新知
探究新知
【问题】你能用前面的方法讨论二次函数 = − − + 的图象和性质？
= −2 2 − 4 + 1 = −2 + 1
2
+3
向下
1)抛物线 = −2 2 − 4 + 1的开口方向________、
5)y=-2x2+8x-8
5）开口向下，x = 2，（2,0）
-
针对训练
针对训练
1．已知二次函数y=–x2+2mx，以下点可能成为二次函数顶点的是（
A．(–2，4)
B．(1，2)
C．(–1，–1)
）．
D．(2，–4)
【详解】y=﹣x2+2mx=-( x2-2mx)=-( x2-2mx+m2)+m2=-( x-m)+m2,
=
向左(或右)
平移h个单位
= ( ± )
向上（或下）
向上（或下）
h>0,k>0
平移k个单位
平移k个单位
=
±k
向左(或右)
平移h个单位
= ( ± ) ± k
一般地，抛物线y=a(x-h)2+由y=ax2向上（或下）向左(或右)平移得到，抛
形状相同、位置不同
1）通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思
想．
2）由二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征及性质类比地学习二次函数y＝
ax2＋bx＋c的图象特征及性质，并能发现它们的联系，培养类比学习能
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(共53张PPT)
|个单
位，
向上平移 |个4单a4ca位-b。2 |
b
2a ＞0
4ac-b2 4a
＜0
由y=ax2
向左平移
|
b 2a
|个单
位，
向下平移 |个4单a4ca位-b。2 |
b
2a ＜0
4ac-b2 4a
＞0
由y=ax2
向右平移
|
b 2a
|个单
位，
向上平移 |个4单a4ca位-b。2 |
都是 （-
b 2a
，
4ac-b2 4a
＝a(x＋ b
2a
)2＋4
ac 4
a
b
2
\识记
因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是
x＝－ b 顶点坐标是（－ b ，4ac b 2 ）
2a
2a
4a
yax2 bxc图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把yax2 bxc
化为yaxh2 k 的形式。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
22.1.4 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质
a>0,在对称轴
y ax2
左侧,y都随x 的增大而减小,
a>0, 在对称轴右
yax2 c 开口 侧,y都随 x的
向上; 增大而增大.;
yaxh2
a<0,在对称轴 左侧,y都随x
a<0, 的增大而增大,
yaxh2k
开口 向下.
在对称轴右 侧,y都随 x的
95.二 次 函 y数 ax2bxc的 图 象 开 口 向 图 象 经(过 1,2点 )(1,0)且 与 y轴 相 交 于 负
人教版九年级数学上册2214函数y=ax2bxc图象性质课件共24张
指出其图象的开口方向 ，对称轴和顶点坐标（ 不画图）
(1) y ? x 2 ? 5 x
(2) y ? x2 ? 6 x ? 10
(3) y ? ? 2x2 ? 3x ? 4 (4) y ? 2x2 ? 4x ? 7
解：
(1) y ? ( x ? 5 )2 ? 25 24
对称轴：x ? 5 ,顶点坐标：（5 ，? 25）
5 3
???配系方数:绝加对上值再一减半去的一平次方项
?
3????x ? 1?2 ?
2? 3 ??
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
? 3?x ? 1?2 ? 2. 化简:去掉中括号
直接画函数 y=ax2+bx+c的图象
?2.根据配方式 (顶点式)确定开口方向 ,对称轴,顶点坐标 . ?∵a=3>0,∴ 开口向上 ;对称轴:直线x=1;顶点坐标 :(1,2). ?3.列表:根据对称性 ,选取适当值列表计算 .
?我们知道 ,作出二次函数 y=3x2的图象,通过平移抛物线
y=3x2怎样得到二次函数 y=3x2-6x+5的图象.
y ? 3x2 ? 6x ? 5
?1.配方:
老师提示:
配方后的表达 式通常称为 配 方式或顶点式
? 3?? x2 ? 2x ? 5 ??
提取二次项系数
?
3?
?
3?? x2 ?
?
2x? 1? 1?
x
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
y? 3?x?1?2 ? 2 … 29 14 5 2 5 14 29 …
?4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数 y=3(x-1) 2+2 的图象 ．
学了就用
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图象与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图象与性质
2(x 2x 1 ） 3
2
-（ 2 x 1 ） 3
2
开口方向：向下 对称轴：直线 x 1 顶点坐标： (1,3) 增减性：当 x 1 时， y随x的增大而增大； 当x 1 时， y随x的增大而减小。
你知道 y 2x 是如何平移而得到
2
y 2x 4x 1 的吗？
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
2 2 b 4 ac b b 4 ac b 当 x , 最小值 y x , 最大值 y 2 a 4 a 当 2 a 4 a
当堂训练
1.写出下列抛物线的开口 方向、对ห้องสมุดไป่ตู้轴和顶点：
2
（ 1 ）y 3x 2x; (2) y x 2x;
2
(3) y 2x2 8x 8; 1 2 (4) y x 4x 3. 2
2 . 教材 41 页“综合运用 ---7 题”
22.1.4 二次函数y = ax + bx + c 的 图象和性质
2
鹿邑县实验中学数学组
• 学习目标：
2 y = a （ x h ） + k 之间 1．理解二次函数 y = ax + bx + c 与 的联系，体会转化思想； 2．通过图象了解二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质，体 会数形结合的思想．
1 2 = （x - 12x +36 +6） 2 1 2 = （x - 6） +3 2
12 x21 自学2：二次函数 y2x 6 的图象和性质 12 x21 （1）如何直接画出 y x 6 的图象吗？ 2 12 x21 （2）观察图象，总结二次函数 y x 6 的 2 开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等性质
新人教版九年级上册初中数学 22-1-4课时1 二次函数y=ax2+bx+c图像和性质 教学课件
2
例 1 怎样将 y 1 x2 6x 21化成 y=a(x-h)2+k 的形式？ 2
第五页，共二十九页。
新课讲解
解：配方可得
y 1 x2 6x 21 2
1 (x2 12x 42) 2
1 (x2 12x 62 62 42) 2
1 [(x2 12x 62 ) 62 42] 2
2
2
平移方法 1：
先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的；
平移方法 2：
先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的.
第七页，共二十九页。
新课讲解
画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的方法
1.描点法：①用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成 y=a(x-h)2+k 的形式；
b 2a
，4ac 4a
b2
增减性？
最 大值
y ax2 bx c
y ax2 bx c
O
x
最 小值
x
b 2a
（a>0）
O
x
x
b 2a
（a<0）
第十五页，共二十九页。
新课讲解
第十六页，共二十九页。
新课讲解
第十七页，共二十九页。
新课讲解
练一练
填表：
顶点坐标
对称轴
最值 最大值1
第十八页，共二十九页。
函数增减性
向上
向下Leabharlann 直线x=h在对称轴左侧,y随x增大而减小， 在对称轴左侧,y随x增大而增大， 在对称轴右侧,y随x增大而增大 在对称轴右侧,y随x增大而减小
第三页，共二十九页。
新课导入
例 1 怎样将 y 1 x2 6x 21化成 y=a(x-h)2+k 的形式？ 2
第五页，共二十九页。
新课讲解
解：配方可得
y 1 x2 6x 21 2
1 (x2 12x 42) 2
1 (x2 12x 62 62 42) 2
1 [(x2 12x 62 ) 62 42] 2
2
2
平移方法 1：
先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的；
平移方法 2：
先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的.
第七页，共二十九页。
新课讲解
画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的方法
1.描点法：①用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成 y=a(x-h)2+k 的形式；
b 2a
，4ac 4a
b2
增减性？
最 大值
y ax2 bx c
y ax2 bx c
O
x
最 小值
x
b 2a
（a>0）
O
x
x
b 2a
（a<0）
第十五页，共二十九页。
新课讲解
第十六页，共二十九页。
新课讲解
第十七页，共二十九页。
新课讲解
练一练
填表：
顶点坐标
对称轴
最值 最大值1
第十八页，共二十九页。
函数增减性
向上
向下Leabharlann 直线x=h在对称轴左侧,y随x增大而减小， 在对称轴左侧,y随x增大而增大， 在对称轴右侧,y随x增大而增大 在对称轴右侧,y随x增大而减小
第三页，共二十九页。
新课导入
人教版九年级上册学数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性课件
c的正负
y 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 x -1
课堂小结
1. 二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
2. 数学思想方法：数形结合． 3. 常用解题方法：赋值法．
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
数学思想方法：数形结合．
的图象上的三个点．
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
课堂小结
开口方向
y 3
2 1
2a
决定抛物线与y轴的交点位置
巩固落实
类型一：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断各项系数符号．
例1. 若二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，
你可以判断出 a，b，c的符号吗？ a <0
y
3
x
b
2-a
>
0
2
b >0
1
c >0
-2 -1 O -1
1 2 3x
巩固落实
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
-2 -1 O -1
1 2 3x
a的正负
y 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 x -1
对称轴位置
开口方向
y 3
2 1
课堂小结
－
b 2a
的正负
a的正负
b的正负
y 3 2 1
人教版九年级上册数学课件22.1.4(1)二次函数y=ax2 bx c的图象和性质
基础练习，巩固所学
（2）抛物线 y 2 x来自2向左平移1.5 个单位，再向______ 上 平移 ______
3.5 个单位，就可以得到抛物 ______
x 6 x 8 . 线 y2
2
课堂小结，布置作业
x b xc的开 1. 请指出抛物线 ya
2
口方向、对称轴和顶点坐标.
x b xc 2. 请你说明表达形式 ya
配方，化为顶点式
12 y x 6 x21 2
1 = （x2 - 12x + 42） 2 1 = （x2 - 12x + 36 - 36 + 42） 2 1 = （x - 6）2+ 3. 2
动手操作，描出图象
（2）二次函数解析式的配方过程与一
元二次方程的配方过程有何不同之处？ 当二次项系数为1时，一元二次方程 两边同时配一次项系数一半的平方.
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质
提出问题，引入新知 问题1:
2 中知道什 你能从抛物线 yx1
2
么？这种形式有什么优势？
提出问题，引入新知 问题2: 你能用配方法解一元二次方程
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）y = 3x2 +2x； （2）y = -x2 -2x； （3）y = -2x2 + 8x -8；
1 2 （4）y = 2 x 4 x 3 .
基础练习，巩固所学
练习2：填空：
1 2 （1）二次函数 y x 2x1 中，当 2
2 时，y随x的增大而增大；当 x_______ 2 时， y随x的增大而减小. x_______
二次函数y=ax2bxc的图象和性质课件-人教版九年级数学上册
(
3)2 4
2
（代数式的 恒等变形）
2
( x
3)2 4
41 16
2(x 3)2 41. 48
初中数学
把二次函数 y 2x2 3x 4 转化为 y a(x h)2 k 的情势，并指出抛物线的对称轴和顶点坐标.
解： y 2x2 3x 4
2(x 3)2 41. 48
抛物线的对称轴为x 3，
点坐标吗？
解： y ax2 bx c a(x b )2 4ac b2 .
2a
4a
抛物线的对称轴为x b ，
2a
顶点坐标为 (
b
4ac b2
,
).
2a 4a
初中数学
另解：
y ax2 bx c a(x2 b x) c a
a
x2
b a
x
(
b 2a
)2
(
b )2 2a
c
a(x b )2 b2 c 2a 4a
a(x b )2 4ac b2 .
2a
4a
抛物线 y ax2 bx c 的对称轴为x b ，
2a
顶点坐标为 ( b , 4ac b2 ). 2a 4a
我们也可以利用这个结论来求出抛物线的对称轴 和顶点坐标。
初中数学
初中数学
求抛物线 y 3x2 5x 1 的对称轴和顶点坐标.
24
4
(x 3)2 41. （等式两边同时加上一次 4 16 项系数一半的平方）
初中数学
把二次函数 y 2x2 3x 4 转化为 y a(x h)2 k
的情势，并指出抛物线的对称轴和顶点坐标。
解： y 2x2 3x 4 2(x2 3 x 2)
2
人教版版九年级上册数学 22-1-4 二次函数y=ax2 +bx+c 的图象和性质 教学课件
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.
我们来画 y 1x2 6x21
2
的图象，
并讨论一般地怎样画 yax2bxca0
二次函数的图象．
我们知道，像 yaxh2k
这样的函数，容易确
定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数 y1x2 6x21
+
4ac-b2 4a2
｝
=a(x+
b 2a
)2
+
4ac-b2 4a
一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)的顶点与对称轴
yax2bxc
ax
b
2
4acb2
2a 4a
因此，抛物线 yax2bxc
坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
的对称轴是 x b 顶点 2a
因此，当 l
b 2a
30
2 1
15
时，
S有最大
值，
4ac b2 4a
302
4 1
225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2）
一般地，因为抛物线 y ax2 bx c
的顶点是最低（高）点，
所以当
x
b 2a
有最小（大）值
时，二次函数 y ax2 bx c
4ac b2 4a
y顶
4 2
0
顶点坐标为2, 0
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
（4）
y1x2 4x3 2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.
我们来画 y 1x2 6x21
2
的图象，
并讨论一般地怎样画 yax2bxca0
二次函数的图象．
我们知道，像 yaxh2k
这样的函数，容易确
定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数 y1x2 6x21
+
4ac-b2 4a2
｝
=a(x+
b 2a
)2
+
4ac-b2 4a
一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)的顶点与对称轴
yax2bxc
ax
b
2
4acb2
2a 4a
因此，抛物线 yax2bxc
坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
的对称轴是 x b 顶点 2a
因此，当 l
b 2a
30
2 1
15
时，
S有最大
值，
4ac b2 4a
302
4 1
225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2）
一般地，因为抛物线 y ax2 bx c
的顶点是最低（高）点，
所以当
x
b 2a
有最小（大）值
时，二次函数 y ax2 bx c
4ac b2 4a
y顶
4 2
0
顶点坐标为2, 0
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
（4）
y1x2 4x3 2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上