【光学】第三章光的衍射-3
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第三章 光的衍射
2.679
0.0042
3.238 3.699
0 0.00016
29
y
圆孔衍射因子
2 J1 ( x) y x
2
中央的圆形亮斑称为艾里斑（Airy disk）
30
艾里斑集中了总光能的84% 第二个暗纹内达到91%
x ka sin 1.220 sin 1.22 1.22
17
强度分布公式
L2
B P
C N
P0
单缝宽度b，从B到C相位差逐点增加，BC两点的相位差为
2
2
b sin
θ称为衍射角
18
矢量图解法
O
2
R B A
C
A0
2
A 2 R sin A0 2R
I0为接收屏中央的强度
A A0
sin
I I0
sin 2
波长的影响 ，所以长波长
2
I
4I0 I0
b 的光衍射半角宽度大。 根据基尔霍夫积分公式 ： I 1
蓝光
2
，所以波长短的光
I
红光
衍射峰值大。
关于强度的结论只能从衍射积分公式中得出
22
主极大的半角宽度，即波长与缝宽的比值可作为衍射效应的标志
b
Δ θ越大，衍射效应越强；越小，衍射效应越弱，趋于几何光学
i ~ ~ ikr U ( P) U ( Q ) e dS 0 r0
我们有以下条件
~ U0 (Q) A, r0 f , r L( x0 ), x0 cosf, dS dfd
衍射-3
极 N 大方向 干涉主极 大方向
结论：光栅衍射的强度分布受单槽衍射因子调制 单槽衍射主极大方向的衍射光最强—闪耀方向 平面反射光栅的光栅方程
d (sin ϕ − sin ϕ ′) = mλ (m = 0, ± 1, ± 2,...)
单色光的某级谱线位置（即干涉主极大）由光 栅常数 d 和相对光栅平面的入射角 ϕ 决定
2
(1) 各级主极大的强 度受到单缝衍射因子 的调制。各级主极大 的强度为: (2) sinθ同为λ/d和 λ/a的整数倍，会出 现干涉主极大缺级。
sin α α
2
d m=n a
(3) d/a决定一个衍射级 内干涉主极大的级数
sin α α
2
sin Nβ sin β
0
0
1 解：(1) d = mm 1200
(2) Dθ =
k 1 = = 1.7 ×10 −4 rad / nm d cos θ k d cos θ1
0
δθ = Dθ δλ = 3.4' δλ = 5.9 A (3) Nd = 15 cm λ ∆θ = = 5.55 × 10 − 6 rad = 0.019' Nd cos θ
θb
n θb 衍射主 极大
N
Qϕ = i + θb ,ϕ ′ = i′ − θb ∆′ = d (sin(i + θb ) − sin(i′ − θb ))
干涉主 极大 多槽干涉主极大的谱线级次
对于闪耀方向 i = i′ , ∆′ = 2d cos i sin θ b
2d cos i sin θ b = mλ
2
d =4 a
缺级
思考：1. 光栅的缝数 N 是多少？ 2. 能看出缺哪些级次吗? d / a 是多少?
结论：光栅衍射的强度分布受单槽衍射因子调制 单槽衍射主极大方向的衍射光最强—闪耀方向 平面反射光栅的光栅方程
d (sin ϕ − sin ϕ ′) = mλ (m = 0, ± 1, ± 2,...)
单色光的某级谱线位置（即干涉主极大）由光 栅常数 d 和相对光栅平面的入射角 ϕ 决定
2
(1) 各级主极大的强 度受到单缝衍射因子 的调制。各级主极大 的强度为: (2) sinθ同为λ/d和 λ/a的整数倍，会出 现干涉主极大缺级。
sin α α
2
d m=n a
(3) d/a决定一个衍射级 内干涉主极大的级数
sin α α
2
sin Nβ sin β
0
0
1 解：(1) d = mm 1200
(2) Dθ =
k 1 = = 1.7 ×10 −4 rad / nm d cos θ k d cos θ1
0
δθ = Dθ δλ = 3.4' δλ = 5.9 A (3) Nd = 15 cm λ ∆θ = = 5.55 × 10 − 6 rad = 0.019' Nd cos θ
θb
n θb 衍射主 极大
N
Qϕ = i + θb ,ϕ ′ = i′ − θb ∆′ = d (sin(i + θb ) − sin(i′ − θb ))
干涉主 极大 多槽干涉主极大的谱线级次
对于闪耀方向 i = i′ , ∆′ = 2d cos i sin θ b
2d cos i sin θ b = mλ
2
d =4 a
缺级
思考：1. 光栅的缝数 N 是多少？ 2. 能看出缺哪些级次吗? d / a 是多少?
光学3(光的衍射)讲义
菲涅耳简介
法国物理学家，主要成就有：
(1)用定量形式建立了惠更斯--菲涅耳原 理，完善了光的衍射理论；
(2)1821年与阿拉果一起研究了偏振光的 干涉，确定了光是横波；
Augustin-Jean resnel ( 1788 ― 1827 )
(3)1823年发现了光的圆偏振和椭圆偏振 现象，用波动说解释了偏振面的旋转；
例 用波长为λ的单色光照射狭缝，得到单缝的夫琅禾费衍射 图样，第3级暗纹位于屏上的P处，问：
求 (1)若将狭缝宽度缩小一半，那么P处是明纹还是暗纹？
a
(k 1,2, )
a sin a t an a xk （2k 1）
f
2
xk
(2k
1) f
2a
(k 1,2, )
单缝衍射明纹角宽度和线宽度 角宽度 相邻两暗纹中心对应的衍射角之差
线宽度 观察屏上相邻两暗纹中心的间距
观测屏
透镜
x2
1
x1
x
1 o
0
x1
x0
衍射屏 f
中央明纹 角宽度 0 21 2 λ a
E
L1
L2
S
a A
f
D
L1、L2 透镜 A：单缝
E：屏幕
缝宽a
缝屏距D（ L2的焦距 f ）
中央 明纹
二、菲涅尔半波带法
o
*
B
f
AC
x
P·x
0
f
菲涅耳根据通过单缝的光波的对称性，提出了半波带理论， 用代数加法或矢量图解代替积分，可简单解释衍射现象。
A, B P 的光程差 AC asin
( a 为缝 AB的宽度 )
一面元都是子波源。 P 点的光振动 是所有面元光振动的叠加：
第3节 光的衍射
第3节光的衍射衍射(diffraction)是指波遇到障碍物时偏离原来直线传播的物理现象。
在经典物理学中，波在穿过狭缝、小孔或圆盘之类的障碍物后会发生不同程度的弯散传播。
假设将一个障碍物置放在光源和观察屏之间，则会有光亮区域与阴晦区域出现于观察屏，而且这些区域的边界并不锐利，是一种明暗相间的复杂图样。
这现象称为衍射，当波在其传播路径上遇到障碍物时，都有可能发生这种现象。
除此之外，当光波穿过折射率不均匀的介质时，或当声波穿过声阻抗(acoustic impedance)不均匀的介质时，也会发生类似的效应。
在一定条件下，不仅水波、光波能够产生肉眼可见的衍射现象，其他类型的电磁波(例如X射线和无线电波等)也能够发生衍射。
由于原子尺度的实际物体具有类似波的性质，它们也会表现出衍射现象，可以通过量子力学进行研究其性质。
在适当情况下，任何波都具有衍射的固有性质。
然而，不同情况中波发生衍射的程度有所不同。
如果障碍物具有多个密集分布的孔隙，就会造成较为复杂的衍射强度分布图样。
这是因为波的不同部分以不同的路径传播到观察者的位置，发生波叠加而形成的现象。
衍射的形式论还可以用来描述有限波(量度为有限尺寸的波)在自由空间的传播情况。
例如，激光束的发散性质、雷达天线的波束形状以及超声波传感器的视野范围都可以利用衍射方程来加以分析。
光的衍射光波遇到障碍物以后会或多或少地偏离几何光学传播定律的现象。
几何光学表明，光在均匀媒质中按直线定律传播，光在两种媒质的分界面按反射定律和折射定律传播。
但是，光是一种电磁波，当一束光通过有孔的屏障以后，其强度可以波及到按直线传播定律所划定的几何阴影区内，也使得几何照明区内出现某些暗斑或暗纹。
总之，衍射效应使得障碍物后空间的光强分布既区别于几何光学给出的光强分布，又区别于光波自由传播时的光强分布，衍射光强有了一种重新分布。
衍射使得一切几何影界失去了明锐的边缘。
意大利物理学家和天文学家F.M.格里马尔迪在17世纪首先精确地描述了光的衍射现象，150年以后，法国物理学家A.~J.菲涅耳于19世纪最早阐明了这一现象。
光的衍射3
1.656 10-10 m
==2k+m· 2/N, (a+b)· sin=k +m /N, k=0,±1, ±2· · · m=1,2,3, ·,N-1 · ·
在相邻暗条纹之间必定有明纹，称为次极大。相邻 主极大之间有(N-2)个次极大。 当N 很大时，在主极大 明条纹之间实际上形成 一片相当暗的背底。
N=2
取k' 2.所以共有k' 0,1,2, 等5个主机大。
36.波长为 500nm 的单色光，以 30°入射 角照射在光栅上，发现原在垂直入射时的中 央明条纹的位置现在改变为第二级光谱的位 置，求此光栅每 1cm 上共有多少条缝？最 多能看到几级光谱？共可看到几条谱线？
解： )斜入射时( a b)(sin sin ) k (1
解：（1）由单缝衍射的暗纹公式： a sin 2 22 a sin 1 1 由题意知 1 2 ,
代入可得
1
2
2
（2） a sin k 2 k , 1 1 1 2 2
(k1 1,2,3 )
sin 1 k 1 2 2k 2 2 a a
光栅常数越小，条纹分布就越稀疏；反之越密。
相同级次的各色光，其衍射角展开的宽度随着 级次k的增高、衍射角的增大而增加：
所以，级次高的 光谱 中发生重叠。
k k (a b) cos k
播放动画
播放动画
播放动画
六、缺级现象
1. 光栅衍射是单缝衍射与多光束干涉合 成的结果，光栅中各主极大受到单缝衍射 光强的调制。 I
又 a sin 2 k2 2
对于 k2 2k1 , 则 1 2，相应的两暗纹重合。
物理光学第三章 光的衍射
8
6.1.2 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯-菲涅耳原理
9
菲涅耳在研究了光的干涉现象后，考虑到次波来自 于同一个光源，应该是相干的，因而光场中任意一 点的光振动应该是光源和该点之间任一波阵面上所 有子波相干叠加的结果，这就是惠更斯-菲涅耳原理。
波阵面法线
光源
任意波阵面
光场中的任 意一点
6.1.2 惠更斯-菲涅耳原理
2 E P k 2 E P 0
6.1.3 基尔霍夫衍射公式
假设另一个任意复函数也满足亥姆赫兹方程
2 G k 2 G 0
12
6.1.3 基尔霍夫衍射公式
基尔霍夫的研究弥补了菲涅耳理论的不足，他从微 分波动方程出发，利用数学场论中的格林定理以及 电磁场的边值条件，给出了惠更斯-菲涅耳原理较完 善的数学表达式，将空间P点的光场与其周围任一封 闭曲面上的各点光场建立起了联系，并且在某些近 似条件下，得到了菲涅耳理论中没有确定的常量 C 和倾斜因子 K 0 , 的具体表达式，建立起了光的衍 射理论。 该理论将光波作为标量来处理，只考虑电场或磁场 的一个横向分量，而假定其他有关分量可以用同样 方法独立处理，完全忽略了电磁场矢量分量间的耦 合特性，因此称为标量衍射理论。
13
6.1.3 基尔霍夫衍射公式
假设单色光波通过闭合曲 面 传播，空间P点处的 光场为
E P , t E P e i t
14
n
V
P
如果P点是无源场，该点光场应满足标量波动方程
2 1 E 2 E 2 2 0 c t
即：亥姆赫兹（Helmholtz）方程
本章授课内容及学时安排
本章共13学时
• 衍射的基本原理（3学时）
大学物理光的衍射
XX,
汇报人：XX
01
02
03
04
05
06
光的衍射是指光在传播过程中遇到障碍物时，会绕过障碍物继续传播的现象。
光的衍射是光的波动性的表现，与光的干涉、反射等现象一起构成了光的传播规律。
光的衍射现象在光学、物理学、天文学等领域有着广泛的应用。 光的衍射现象的发现，为光的波动说提供了有力的证据，推动了光学的发展。
单缝衍射：光通过单缝时，形成明暗相间 的条纹
双缝干涉：光通过双缝时，形成明暗相间 的条纹
薄膜干涉：光通过薄膜时，形成彩色的条 纹
光栅衍射：光通过光栅时，形成彩色的条 纹
菲涅尔衍射：光通过菲涅尔透镜时，形成 彩色的条纹
光子衍射：光子通过狭缝时，形成明暗相 间的条纹
光的衍射：光在传 播过程中遇到障碍 物时，会发生衍射 现象
衍射图样：单缝衍 射图样是明暗相间 的条纹，条纹间距 与狭缝宽度有关
单缝衍射的条纹间距与狭缝 的宽度、光的波长和观察屏 的距离有关。
单缝衍射是光的衍射现象之 一，当光通过狭缝时，会在 其后形成明暗相间的条纹。
单缝衍射的条纹亮度与狭缝 的宽度和光的强度有关。
单缝衍射的条纹形状与狭缝 的形状有关，可以是直线、
光的波动性：光 波在传播过程中 具有周期性和振 幅变化的特点。
干涉现象：当两 束或多束相干光 波相遇时，它们 在空间某些区域 会相互加强或减 弱，形成明暗相 间的干涉条纹。
双缝干涉实验： 通过双缝干涉实 验可以观察到明 暗交替的干涉条 纹，证明了光波
的波动性。
干涉条件：只有 相干光波才能产 生干涉现象，而 相干光波需要满 足频率相同、振 动方向相同和相 位差恒定等条件。
曲线或折线等。
光学仪器制造：利用 单缝衍射现象制造各 种光学仪器，如望远 镜、显微镜等。
汇报人：XX
01
02
03
04
05
06
光的衍射是指光在传播过程中遇到障碍物时，会绕过障碍物继续传播的现象。
光的衍射是光的波动性的表现，与光的干涉、反射等现象一起构成了光的传播规律。
光的衍射现象在光学、物理学、天文学等领域有着广泛的应用。 光的衍射现象的发现，为光的波动说提供了有力的证据，推动了光学的发展。
单缝衍射：光通过单缝时，形成明暗相间 的条纹
双缝干涉：光通过双缝时，形成明暗相间 的条纹
薄膜干涉：光通过薄膜时，形成彩色的条 纹
光栅衍射：光通过光栅时，形成彩色的条 纹
菲涅尔衍射：光通过菲涅尔透镜时，形成 彩色的条纹
光子衍射：光子通过狭缝时，形成明暗相 间的条纹
光的衍射：光在传 播过程中遇到障碍 物时，会发生衍射 现象
衍射图样：单缝衍 射图样是明暗相间 的条纹，条纹间距 与狭缝宽度有关
单缝衍射的条纹间距与狭缝 的宽度、光的波长和观察屏 的距离有关。
单缝衍射是光的衍射现象之 一，当光通过狭缝时，会在 其后形成明暗相间的条纹。
单缝衍射的条纹亮度与狭缝 的宽度和光的强度有关。
单缝衍射的条纹形状与狭缝 的形状有关，可以是直线、
光的波动性：光 波在传播过程中 具有周期性和振 幅变化的特点。
干涉现象：当两 束或多束相干光 波相遇时，它们 在空间某些区域 会相互加强或减 弱，形成明暗相 间的干涉条纹。
双缝干涉实验： 通过双缝干涉实 验可以观察到明 暗交替的干涉条 纹，证明了光波
的波动性。
干涉条件：只有 相干光波才能产 生干涉现象，而 相干光波需要满 足频率相同、振 动方向相同和相 位差恒定等条件。
曲线或折线等。
光学仪器制造：利用 单缝衍射现象制造各 种光学仪器，如望远 镜、显微镜等。
物理光学-第3章 光的衍射
f x = ρ cos φ
f y = ρ sin
dx0 dy 0 = r0 dr0 dα 0
( x0 , y 0 ) = A
α0
0 ~ 2π
r0
0~a
24
3-4 夫琅和费圆孔衍射
光强分布公式
ie iKz 2 z ( x12 + y12 ) + ∞ i 2π ( f x x0 + f y y0 ) u ( x, y ) = e u ( x 0 y 0 )e dxo dy 0 ∫ ∫∞ λz
4
3.2衍射的基本理论
①狭缝衍射 ②圆孔衍射
5
3.2衍射的基本理论
惠更斯-菲涅耳原理
6
3.2衍射的基本理论
惠更斯原理是描述波的传播过程的一个原理。设波 源在某一时刻的波阵面，面上每一点都是一个次波 源，发出球面次波。次波在随后的某一时刻的包迹 面形成一个新的波阵面。波面的法线方向就是波的 传播方向。这就是惠更斯原理。 菲涅耳在研究了光的干涉现象以后，考虑到次波来 自同一光源，应该相干，因而波阵面上每一点的光 振动应该是在光源和该点间任意一个波面上发出的 次波迭加的结果。这样用干涉理论补充的惠更斯原 理叫作惠更斯-菲涅耳原理。
12
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
夫琅和菲近似：衍射屏到孔的距离z很大，透光孔很小 2 2
2 2 x0 + y 0 k ( x0 + y 0 ) max ≈0 z >> 2 z 2 2 2 2 2 1 ( x1 x0 ) + ( y1 y 0 ) 1 x12 + y12 1 x0 + y 0 x1 x0 + y1 y 0 r ≈ z 1 + = z 1 + 2 z 2 + 2 z 2 2 z2 2 z k [( x x ) + ( y y ) ] i i ikz u ( x1 y1 ) = e ∫∫ u ( x 0 y 0 )e 2 Z dx 0 dy 0 λz k 2 2 2 2
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• 不同的单元之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
光
多栅
束衍
衍射
射的
光实
之质
间：
的
相
da
da
干 叠
加
一、衍射强度分布 衍射积分求解 （振幅矢量法略）
• 满足近轴条件 F ( 0, ) E
1
ikr
er
d
d
a
KE
r0
eikr d
0
不透光部分 E
N
KE
ikrn
r
0
n
[
1
ne
n
d]
若各缝彼此不相干，接收屏上花样分布与单缝一样，
sin(N ) e
e iN
i
e
e iN
i
e
(
e e1 ikL i( N 1)
sin
e e1 ikL i( N 1)
N(
)
d sin )
N ( ) sin(N ) sin
N元干涉因子
光栅衍射的复振幅与强度
E
KE
I (P)
I0
(
sinu u
)2
sin N (
sin
)2
ikr0 ikL1
r e ei(N 1)
)2
sin N (
sin
)2
当干涉的最大值与衍射的极小值重合时，出现缺级 干涉极大位置sinθ=jλ/d
衍射极小位置sinθ=nλ/a j/d= n/a，即 j=nd/a。谱线级数缺失。
j=-3 j=-2 j=-1j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
对于实用的衍射光栅，只有主极大的前几个衍射级 是可用的；其它的衍射主极大和次级大完全可以忽略。
d sin j
色散本领
d cos
j
D
j
d cos
j d cos
由Rayleigh判据， = 为可以分辨的极限。
Nd cos
j d cos
jN
可分辨的最小波长间隔
A
jN
色分辨本领
光栅的分辨本领
0 1 N=20
500nm 510nm 2
0 1 N=200
0
d 0
相邻单元间总的光程差
d (sin sin 0)
N元干涉因子取得主极大的条件
d (sin sin 0) j j 0, 1, 2,...
0 0
光栅方程为
d (sin sin 0) j
入射光与衍射光在光栅法线同侧，取+； 入射光与衍射光在光栅法线异侧，取-。
五、 光栅光谱的角宽度和色分辨本领
• 1．谱线的半角宽度（角半径） 极大值到相邻极小值的角距离
四、光栅方程
• 光栅光谱由N元干涉因子，即缝间干涉因子决定。 β=πdsinθ/λ=jπ对应j级光谱。
• 平行光正入射时，各个衍射主极大值的位置由方 程sinθ=jλ/d，即dsinθ=jλ确定。 光栅方程：
d sin j , j 0, 1, 2,...
• 如果入射光与光栅不垂直，则必须计算入射光的 光程差。
I (P)
I
0
(
sinu u
)2
(sin N sin
)2,
• 而杨氏干涉为
2
I (P)
4I0
sin2
u
2
cos
u
I 2I0[1 cos( )] 2d
2I0[1 cos( sin )]
I1 I2 I0 sin
当a 时，u= a sin 0 sinu u
E [K
r
0
a
nu N ]
eikLn
u n1
E
a n u 单缝衍射的结果，对每个缝都一样
r
u
N~( )
0
N
eikL n
多缝间的干涉
n1 N
eik[L (n 1)d sin ] 1
n1
N
eikL1
eik(n 1)d sin
n1
N1
e e ikL1
i2n
n0
1
ikL1
e1
e2iN e 2i
iN
e e ikL1 i
L1
x
rn
n
Ln
L2
xn
L3
nz
LL
L 4
2
1
L3 L2
rn Ln xn sin
d sin
Ln L1 (n 1)
E KE
r
0 n1
N
ikLn
r
0
n
1e
ikrn
n
ne d ]
KE
dx a/2 ikx sin
n
n
a/2 e
N
a/2 ik( L x sin )
[ e dx ] n n
n
r0 n 1 a/2
1 两者相等
杨氏干涉中，狭缝足够细，每一缝只有一个次 波中心。此时没有单缝衍射。
三、衍射花样的特点
• 1．衍射极大值位置
I (P)
I0
(
sinu u
)2
(sin N sin
)2
(1) 主极大由 N( )决定
极大值
j , N( ) sin N
sin
sinu 2 2
(2)对I应( j一)系列I0的( 亮u 条)纹N（光谱线）
d sin j ，
d sin(
d cos
)j 1 N
1 N
0 1
dsin /
2
与j无关 Nd cos L cos
L Nd 光栅的有效宽度
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
• 2．光栅的色分辨本领
非单色光入射时，除零级条纹外，各级主极大的位置不同 波长相差 的同一级光谱在空间分开的角距离
sinu sin N u sin
0
KE
I0 a
0
r0
单个狭缝在像方焦点处的光强 (0级光强)
(sinu )2 u
单缝衍射因子
a sin
sin N (
)2
缝间干涉因子
d sin
sin
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
N=6,d=5a
N=20,d=3a
随着N的变大，谱线变锐
二、双缝衍射，N=2
各缝强度直接相加。
若各缝彼此相干，则空间某点的总振幅为所有缝在 该场点处的复振幅的相干叠加。
E
物理过程：
N
r
0 n1
ikrn n
ne d ]
da
1.每一个狭缝的光在场点的衍射， 即求单缝衍射复振幅；
2.各个狭缝的衍射光在场点的复振幅 再进行干涉。
先处理每个单元的衍射，再处理所有单元间的干涉。
0
d
d sin j 与N无关
N, j：谱线级数
(3)谱线强度受衍射因子调制。
j 0, 1, 2,...
• 2．极小值位置
(1)衍射因子极小值 (sinu )2 0 u n ,u 0
u
u a sin
a sin n
(2)干涉因子极小值
sin N (
2
n 1, 2,...
N m, j
sin ) 0,
d sin m / N,且d sin j
极小值出现在以下位置
s(iNn 1) 0/ N, d/, (NNd, 2) / Nd, / Nd, / d ,
两主极大值之间有N-1个最小值，N-2个次极大值。
N=4 d=3a
I0(sinu/u)2 (sinNβ /sinβ )2
u=π asinθ /λ
• 3．谱线的缺级
I (P)
I0
(
sinu u
3.6 多缝夫琅和费衍射（光栅衍射）
光栅：具有周期性空间结构或光学性能（如透射率和 反射率）的衍射屏。
a
•可以具有反射
bd
或透射结构。
d称为光栅常数
夫琅和费多缝衍射是 典型的光栅衍射。
透射光栅
反射光栅
0
0
da
P f
• 经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
• 光栅的每一个单元，是次波的叠加，按衍射分析；