画法几何及工程制图第二章相对位置
画法几何2相对位置
h
2、过直线EF作正垂
e 平面P。
3、求平面P与平面 KMN的交线ⅠⅡ。
he
4、求交线ⅠⅡ 与 EF的交点H。
5、连接KH，KH即 为所求。
k
27
2-3 垂直问题
2.3.1 直线与平面垂直 2.3.2 平面与平面垂直
28
2.3.1 直线与平面垂直
V
C A
E BDΒιβλιοθήκη H 几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问 题（交点、交线）和空间几何元素的度量问题（如 距离、角度）。
综合问题解题的一般步骤： 1. 分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤
43
2.4.1 空间几何元素定位问题
例14 已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与CD平
行，并且与EF、GH均相交。
38
A
Ⅰ Ⅱ
B
两平面垂直
A
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点 向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
39
例12 平面由 BDF给定，试过定h点K作已知平面的垂面
f
c
g
k
a
b
d
X
a d
f c
O k
g
b h
40
例13 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否
24
例7 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相 交。
b
X
b
c f
a
a f
k
e
eO
工程制图第二章习题答案
第二章点、直线、平面的投影————点的投影班级学号姓名. 学习帮手.第二章点、直线、平面的投影————点的投影班级学号姓名. 学习帮手.13 第二章点、直线、平面的投影————点的投影班级学号姓名. 学习帮手.14 第二章点、直线、平面的投影————直线的投影班级学号姓名. 学习帮手.15 第二章点、直线、平面的投影————直线的投影班级学号姓名. 学习帮手.16 第二章点、直线、平面的投影———直线的实长班级学号姓名. 学习帮手.. 学习帮手.17 第二章点、直线、平面的投影———直线的实长班级学号姓名. 学习帮手.18 第二章点、直线、平面的投影———直线上的点班级学号姓名. 学习帮手.19 第二章点、直线、平面的投影———两直线的相对位置班级学号姓名. 学习帮手.. 学习帮手.20 第二章点、直线、平面的投影———直线的相对位置班级学号姓名. 学习帮手.. 学习帮手.21第二章点、直线、平面的投影———两直线的相对位置班级学号姓名. 学习帮手.. 学习帮手.22 . 学习帮手.第二章点、直线、平面的投影———两直线的相对位置班级学号姓名. 学习帮手.23第二章点、直线、平面的投影———两直线的相对位置班级学号姓名. 学习帮手.24第二章点、直线、平面的投影———两直线的相对位置班级学号姓名. 学习帮手.25第二章点、直线、平面的投影——平面的投影班级学号姓名. 学习帮手.. 学习帮手 .26第二章 点、直线、平面的投影——平面的投影 班级 学号 姓名A 面是 正垂面B 面是水平面C 面是 侧平面A 面是 水平面B 面是 圆柱面C 面是 正平面A 面是侧平面 。
B 面是 正平面 C 面是 水平面. 学习帮手 .27第二章 点、直线、平面的投影——平面的投影 班级 学号 姓名A 面是 圆柱面B 面是 水平面A 面是 正平面A 面是 侧垂面 。
B 面是 水平面 。
. 学习帮手.28第二章点、直线、平面的投影——平面的投影班级学号姓名. 学习帮手.. 学习帮手.29第二章点、直线、平面的投影——平面的投影班级学号姓名2-56 完成下列平面的两面投影。
《机械制图》教案——第二章-3 直线、平面的相对位置关系
直线、平面的相对位置关系教学目的要求：研究直线与平面以及平面与平面的相对位置关系在投影图中的投影特性和基本作图方法。
包括：平行、相交和垂直。
教学重点难点：相交关系的作图方法与步骤，及可见性的判断，线、面相对位置综合作图。
学时：3§ 1平行关系1．1直线与平面平行几何条件：如果平面外的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线平行于该平面，反之亦然。
投影：如果直线的投影与平面内任意一直线的同面投影平行，在空间则直线与平面平行。
根据此定理，我们可以在投影图上判断直线与平面是否平行，并解决直线与平面平行的作图问题。
作图：如图5-1所示，已知b’d’∥e’f’,bd∥ef,且BD是ABC平面上的一直线，因此，直线BD∥ΔABC。
图5-1例1：过点K作一水平线，使之平行于ΔABC（图5-2）解：①在ΔABC上作一水平线AD。
（先作正面投影 aˊdˊ∥X）②过K点作直线KL∥AD。
（kl∥ad，kˊlˊ∥aˊdˊ）直线KL即为所求。
图5-2例2：过点K作一铅垂面（用迹线表示），使之平行于直线AB解：由于铅垂面的H投影为一直线，所以作铅垂面平行于直线AB，则P H必平行于ab。
1）过k作P H∥ab,与X轴交于P X点。
2）过P X点作P V⊥X轴，则P平面即为所求。
图5-31.2平面与平面平行几何条件：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。
投影：一个平面内任意两条直线的投影分别与另一个平面内两条相交直线的同面投影对应平行，则这两个平面平行。
作图：由于AB∥A1B1,BC∥B1C1,所以平面ABC∥平面A1B1C1，如图5-4所示图5-4两平行平面的同面迹线一定平行，反之，如果两平面的两对同面迹线分别相互平行，则不能确定两平面是相互平行的。
在图5-5中两平面平行，在图5-6中两平面不平行。
图5-5图5-6§2相交关系求直线与平面的交点和两平面的交线是解决相交问题的基础。
画法几何及机械制图-点的相对位置
Z
a’
a”
H 面上：左右，前后
b’
X
O
a b
b” V 面上：左右，上下 W 面上：上下，前后
YW
B 点在A 点的左、
前、下方
YH
§2-4 点的相对位置
二、重影点
定义：在同一条投射线上的两点，其在某投影面上的
投影重合，称这两点为该投影面的重影点。
A、B 为H 面上的重影点。
V a’
Z
a’
Z a”
b’ A
B X
a” O b”
b’ X
b” O
YW
a ( b)
Y a( b)
YH
水平投影重影，由正(侧)面投影判断上下关系。
§2-4 点的相对位置
二、重影点
C、D 为V面上的重影点。
Z
V
c’( d)’
c(’ d)’
D
d”
C O
c” X
ห้องสมุดไป่ตู้
X d
d
c
Yc
Z d” c”
O YW
YH
正面投影重影，由水平(和侧面)投影判断前后。
一、两点相对位置的判断方法
▪ 空间两点的相对位置，可以通过两点的同组投影
判断其前后、上下、左右关系。
V
b’
X
左右
Z 上 约定:
a’ A
下 X 轴方向 称 左右
a”
Y 轴方向 称 前后
Z 轴方向 称 上下
B
O
a b
b”
后 B 点在A 点的 前 左、前、下方
Y
§2-4 点的相对位置
一、两点相对位置的判断方法
画法几何与土木工程制图-第2章-直线
第五页，共43页。
第二章 直线
5
§2—2 直线上的点
迹点投影的两个特征：
1.迹点所在投影面上的投影
就是迹点本身，即Mm、Nn′、 Ss″；
2.迹点的其他投影必在直 线的相应投影与投影轴的相交
处，即m′在OX轴上，m″在OY 轴上（因zm=0）；n在OX轴上， n″在OZ轴上（因yn=0）；s 在OY轴上，ｓ′在OZ轴上（因 xs=0）。
α有 倾角 β= 0° 迹点
γ=有
M有
N有
S无
第十九页，共43页。
第二章 直线
19 19
§2—5 两直线的相对位置
有三种情况：平行、相交、交错（交叉）
相交
平行
交错
第二十页，共43页。
20
第二章 直线
20
§2—5 两直线的相对位置
一、两直线平行
空间平行的两直线，其所有的同面投影彼此平行.
反之，若三面体系中两直线的所有同面投影都平行，则空间两直 线平行。
倾斜态，并非直线的远近、上下、左右、前 后等线性度量关系。
铅垂线
投影面垂直线 正垂线 侧垂线
水平线
投影面平行线 正平线
侧平线
一般位置直线
第十一页，共43页。
11
第二章 直线
11
§2—4 各种位置直线的投影
二、特殊位置直线的投影特征
投影面垂直线和投影平行线，统
称为特殊位置直线。
投影面垂直线的投影特征:
第九页，共43页。
第二章 直线
9
§2—3 直线的倾角和直线段的实长
例2-2 已知直线CD的正面
投影c′d′和点C的水平 投影c，且知直线CD对H面
的 倾 角 α=30° ， 求 作 线
画法几何制图—平面的投影及相对位置
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
点的投影
[例2] 已知点A(6,3,4),B点在A点的右、前、上方各2个
的投影
单位，C点在B点的正下方3个单位，求各点的投影。
b
a c
2
X
6
2
3
Z
4
a"
0
b" c"
YW
a b (c)
2
3
YH
[ ]
[例3] 已知点A(10,15,20),点B距W、V、H面分别为20mm、 影投的点求 3例 10mm、15mm，点C在点A之左15mm，之前5mm、 之下10mm，求各点的投影。
点A到W面的距离为：
Aa"=a’az=aayH =X坐标；
点A到V面的距离为：
Aa’=a"az=aax =Y坐标；
点A到H面的距离为：
Aa=a"ayW=a’ax=Z坐标；
Z A到W面
A到V面 Va' aZ
距离
距离
A
A到H面X ax
O
a" W
距离
a
aY
H
Y
A到W面
距离 Z
点的H面投影反映点的X、Y坐标；
水平投影面（水平面、H面） 正立投影面（正面、V面） 投影轴：X轴。
四个分角：H、V两投影面将空间划分为四个分角。
A点的投影：H面投影a , V面投影a’。
投影面的展开：V面不动，H面绕X轴向下旋转与V面重合。
实际画图不画外框线
Ⅱ Ⅰ
Ⅲ Ⅳ
a' V
X X ax H
a
V第
Ⅰ
A
分
角
aH H
V a'
X ax
a H
画法几何第二章
e k l f a b b l f a
d
X
d
g g
3(4)
2 k c 1 e
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
35
垂直问题
三、垂直问题
m k
e
c
f
d
1.直线与平面垂直 a
X
b
a
e
k
f d
c
m
b
直线与平面垂直，则直线 垂直平面上的任意直线。
X
a
b a
c Y
b
YV
YH 投影特性： (1) abc、 abc重影为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影 abc反映 ABC实形 9
c
正平面
b' a' B A C c b a Y Z
b' b"
a" c' X c b a a'
Z
b" a" c" YV
c'
X
c"
YH
投影特性： (1) abc 、 abc 重影为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影 abc反映 ABC实形
反之，直线垂直平面上 的任意两条相交直线，则直 线垂直该平面。
36
垂直问题
分析：
[例题一]求点C到直线AB的距离。 a
过C点作一平面与直线AB垂 直，求出平面与AB的交点K， K 即是C点到AB的垂足。再求出CK 的实长。
c
X
b b
c
a
37
垂直问题
作图过程
a
1
k
d
c 实长
2
X
b
21
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第 2 章几何元素的相对位置3.1 平行问题§ 2.1 平行问题§2.3 垂直问题§2.4 综合问题举例§2.2 相交问题一、直线与平面平行二、平面与平面平行§2.1 平行问题§2.2 相交问题§2.3 垂直问题§2.4 综合举例§2.1 平行问题一、直线与平面平行PCD BA♦若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。
总目录例2-1 试判断直线AB 是否平行于平面 CDE 。
g 'f 'b 'a ' bc 'd 'e dc结论：直线AB 不平行于定平面一、直线与平面平行XOfgae ' 一、直线与平面平行 二、平面与平面平行§2.1 平行问题§2.2 相交问题 §2.3 垂直问题 §2.4 综合举例分析：如果在平面内能作一条直线平行于直线AB ，则AB 平行于定平面。
总 目 录例2-2 过点K 作一水平线AB 平行于已知平面 ΔCDE 。
b ' a 'f ' fabc 'e ' d 'edk 'kcXO一、直线与平面平行§2.1 平行问题§2.2 相交问题 §2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、直线与平面平行 二、平面与平面平行分析： AB 应平行于平面 ΔCDE 内的水平线，因此，先在平面 内作一水平线，然后过点K 作该水平线的平行线。
总 目 录♦若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。
PSEFDACB二、平面与平面平行§2.1 平行问题§2.1 平行问题§2.2 相交问题 §2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、直线与平面平行 二、平面与平面平行总 目 录m ' n 'nr 'rss 'O 例2-3 试判断两平面是否平行f 'd 'c 'c 结论：Xa 'ab b 'fee 'md两平面平行 §2.1 平行问题§2.2 相交问题 §2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、直线与平面平行 二、平面与平面平行总 目 录例2-4 已知定平面由平行两直线AB 和CD 给定。
试过 点K 作一平面平行于已知平面 。
em ' n 'f ' e 'fsr 's 'rd ' d c 'a 'ac b 'bk 'kXOmn §2.1 平行问题§2.2 相交问题 §2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、直线与平面平行 二、平面与平面平行总 目 录例2-5 试判断两平面是否平行ef ' e 'fs r ' s ' d 'd c 'a 'acb ' brP HS HXO§2.1 平行问题§2.2 相交问题 §2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、直线与平面平行 二、平面与平面平行分析：两平面均为铅垂面，且水平迹线平行，因此，两平面平行。
总 目 录一、交点与交线性质 二、积聚性法 三、辅助平面法§2.1 平行问题 §2.2 相交问题§2.3 垂直问题 §2.4 综合举例§2.2 相交问题P ABKDBCA LKEF一、交点与交线的性质♦直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点。
♦两平面的交线是直线，即两个平面的共有线。
♦求交点、交线的实质是求共有点、共有线的投影。
总 目 录♦当直线为一般位置，平面的某个投影有积聚性时，交点的投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一投影可在直线的另一个投影上找到。
VHP HPA BC a cbkN K M m n §2.2 相交问题二、积聚性法1. 求交点 空间分析： 一、交点与交线性质 二、积聚性法 三、辅助平面法§2.1 平行问题 §2.2 相交问题§2.3 垂直问题 §2.4 综合举例总 目 录例2-6 求一般位置直线与投影面垂直面的交点， 并判断其判别可见性。
b 'bacc 'm 'mn 'k 'n♦ 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性----观察法k 在平面之前a '一、交点与交线性质 二、积聚性法 三、辅助平面法§2.1 平行问题 §2.2 相交问题§2.3 垂直问题 §2.4 综合举例总 目 录XOa 'a (b )b 'c ' e 'd ' ce fdf 'k k’ 例2-7 求铅垂线AB 与一般位置平面ΔCDE 的交点， 并判别可见性。
§2.1 平行问题 §2.2 相交问题§2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、交点与交线性质 二、积聚性法 三、辅助平面法总 目 录2.求交线f 'k '■求两平面交线实质是求两直线与平面的交点,由于平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。
nlm m 'l ' n ' ba cc 'a 'b 'XO fk VHMmnlBCackf FK NL§2.1 平行问题 §2.2 相交问题§2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、交点与交线性质 二、积聚性法 三、辅助平面法总 目 录平面可见性的判别b 'ba cnlmc 'm ' a 'l ' n 'fk f 'k 'XO§2.1 平行问题 §2.2 相交问题§2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、交点与交线性质 二、积聚性法 三、辅助平面法总 目 录在平面之前♦ 一特殊位置面和一般位置面相交，根据积聚性平面的投影能直接判别另一平面的可见性----观察法三、辅助平面法DECBK1 2AXOa 'b ' ba cd 'e ' edc '121'2'k 'k作题步骤：1. 过AB 作铅垂平面P 。
2. 求P 平面与ΔCDE 的交线ⅠⅡ。
3. 求交线ⅠⅡ与AB 的交点K 。
§2.1 平行问题 §2.2 相交问题求一般位置直线与一般位置平面的交点§2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、交点与交线性质 二、积聚性法 三、辅助平面法P H总 目 录X a ' b ' ba ce 'edc ' 12' 1'k 'kd '2344' 3'§2.1 平行问题 §2.2 相交问题判断可见性：三、辅助平面法第1步：在V 面投影上任选一重影点，判断V 面投影的可见性 第2步：在H 面投影上任选一重影点，判断H 面投影的可见性§2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、交点与交线性质 二、积聚性法 三、辅助平面法总 目 录利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。
FB CA L KED两一般位置平面相交求交线的方法§2.1 平行问题 §2.2 相交问题三、辅助平面法§2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、交点与交线性质 二、积聚性法 三、辅助平面法总 目 录1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K 、L 。
b a cc ' b 'a 'dd ' eff ' e ' P V Q V1k 'kl ' 2、连接两个共有点，画出交线KL 。
XO作题步骤： 1'2' 233' 4'4l§2.1 平行问题 §2.2 相交问题§2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、交点与交线性质 二、积聚性法 三、辅助平面法总 目 录利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性 bacc ' b 'a 'dd 'eff ' e '1XO1' 2'23'4'3 4§2.1 平行问题 §2.2 相交问题§2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、交点与交线性质 二、积聚性法 三、辅助平面法总 目 录例2-8 试过K 点作一直线平行于已知平面ΔABC ， 并与直线EF 相交 。
ac 'ba 'cb 'f 'e 'e f k 'kXOP Vmm '§2.1 平行问题 §2.2 相交问题§2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、交点与交线性质 二、积聚性法 三、辅助平面法总 目 录F P例2-8 空间分析：CAB EKM过已知点K 作平面P 平行于 ABC ；直线EF 与平面P 交于H ；连接KH ，KH 即为所求。
§2.1 平行问题 §2.2 相交问题三、辅助平面法§2.3 垂直问题 §2.4 综合举例一、交点与交线性质 二、积聚性法 三、辅助平面法总 目 录一、直线与平面垂直§2.3 垂直问题VADCBE a ' d 'c ' b 'd cbe 'ell 'XOa定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。
§2.1 平行问题 §2.2 相交问题 §2.3 垂直问题一、直线与平面垂直 二、两平面垂直§2.4 综合举例总 目 录a 'cac ' n 'kf 'd 'b ' dbf k 'n例2-9 过点K 作直线与平面垂直。