专升本高数二重积分

专转本——二重积分的一般算法——“直角坐标系”、“极坐标系”

首先要明确的问题有以下3点1.首先着眼点从“被积函数”与“积分区域”两个方面进行分析。

2.根据计算的难易程度，确定该题的解法是选择在“直角坐标系”还是在“极坐标系”下进行。

附：1.一般情况下，若积分区域是矩形或三角形，通常用直角坐标系计算；2.若被积函数为)(),(),(22x y f y x f y x f +的形式，或积分区域为圆域，环域，扇域，环扇域时，通常用极坐标来计算；例如：求积分⎰⎰+=D y x y dxdy eI ，其中，D 是由x=0,y=0及x+y=1,所围成的区域。

3.对于“积分区域”不能一次性表示的，需要对其进行拆分，然后计算。

直角坐标系1.解题步骤：① 根据所给的二重积分，作出草图。

② 根据计算的难易程度，确定解法是“Y 型，即：先对X ，后对Y 的积分”，还是“X 型，即：先对Y ，后对X 的积分”。

附：③ 完全转化为定积分的问题，需好好复习定积分的解题方法。

极坐标系1.解题步骤：① 根据所给的二重积分，作出草图。

② 确定θ和ρ的范围。

附：对于这个步骤，有以下几点说明：a. θ的范围一般很好确定，都是特殊角；b. ρ的范围如何确定，可以采取这个方法，即：令θρθρsin ,cos ==y x ，然后将 θρθρsin ,cos ==y x 代入函数，确定ρ与θ的关系。

③ 完全转化为定积分的问题，需好好复习定积分的解题方法。

附：对于这个步骤，有以下几点说明：a. 如果b a ≤≤ρ，二次积分的过程中其是一个常数值，故可以与另一个积分式直接相乘。

b. 如果）（）（θϕρθϕ21≤≤，二次积分的过程中其是一个与θ有关的函数式，与纯三角函数式直接有关的定积分问题。

补充：1. 在积分过程中，被积函数含有绝对值时注意，要结合几何意义进行分析。

eg: 计算⎰⎰-+D221σd y x y ，其中D 是由直线1,1,=-==y x x y 所围成的闭区域。

解：1）作草图，画出积分区域2）⎰⎰-+D 221σd y x y =⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+111221dx dy y x y x =[]⎰-+--111)1(2231dx y x x =⎰---113131dx x ）（ =⎰--103132dx x ）（关键，容易出错！=212.类似于“安尼体”的问题求球体22224a z y x ≤++被圆柱面)0(222>=+a ax y x 所截得的（含在圆柱面的部分）立体的体积分析：由题目可知，此题没有直接告诉我们f(x,y)是什么，但却隐含告诉f(x,y)的点是在球面x 2+y 2+z 2=4a 2上。

专升本高数知识点汇总

专升本高数知识点汇总高等数学在专升本考试中占据着重要的地位，对于许多考生来说，掌握好高数的知识点是成功升本的关键之一。

以下是为大家汇总的专升本高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。

一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。

对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。

2、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。

奇函数满足 f(x) ＝ f(x)，偶函数满足 f(x) ＝ f(x)。

单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的。

周期性函数是指存在一个非零常数 T，使得 f(x ＋ T) ＝ f(x)。

有界性则是指函数的值域在某个范围内。

3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的一个确定的值。

4、极限的计算包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限（＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\），＼（＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e\））以及等价无穷小代换来计算极限。

5、无穷小与无穷大无穷小是以零为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。

无穷小的性质在极限计算中经常用到。

二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的切线斜率。

2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的变化率，反映了函数图像的斜率。

3、基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

4、导数的四则运算法则加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。

5、复合函数求导通过链式法则进行求导。

6、隐函数求导通过方程两边同时对自变量求导来求解。

7、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。

8、微分的几何意义微分表示函数在某一点处切线的增量。

三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。

9山东专升本高等数学第九章二重积分.

第九章二重积分【考试要求】1．理解二重积分的概念、性质及其几何意义．2．掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法．【考试内容】一、二重积分的相关概念1．二重积分的定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域∆σ1，∆σ2，，∆σn，其中∆σi表示第i个小区域，也表示它的面积．在每个∆σi上任取一点n(ξiη,i)，作乘积f(ξi,ηi∆)σii（i=1,2, ,n），并作和∑f(ξ,η)∆σiii=1．如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作⎰⎰f(x,y)dσ，即Dniii⎰⎰f(x,y)dσ=lim∑f(ξ,η)∆σDλ→0． i=1其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)dσ叫做被积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，∑f(ξ,η)∆σiii=1ni叫做积分和．说明：在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ记作dxdy，而把二重积分记作⎰⎰f(x,y)dxdy，其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素．D2．二重积分的几何意义一般地，如果被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,y)处f(x,y)≥0，的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果f(x,y)是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果而在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在f(x,y)在D的若干部分区域上是正的，D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差．3．二重积分的性质（1）设α、β为常数，则⎰⎰[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ=α⎰⎰f(x,y)dσ+β⎰⎰g(x,y)dσ． DDD（2）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．例如D分为两个闭区域D1和D2，则⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ．DD1D2（3）如果在D上，f(x,y)=1，σ为D的面积，则．σ=⎰⎰1⋅dσ=⎰⎰dσDD（4）如果在D上，f(x,y)≤ϕ(x,y)，则有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰ϕ(x,y)dσ．DD特殊地，由于 -f(x,y)≤f(x,y)≤f(x,y)，故又有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰DDf(x,y)dσ．（5）设M、m分别是有 f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ．D（6）（二重积分的中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ,η)，使得⎰⎰f(x,y)dσ=f(ξ,η)⋅σ．D二、二重积分的计算（一）利用直角坐标计算二重积分1．X-型积分区域X-型积分区域是指积分区域D可以用不等式a≤x≤b，ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)来表示的闭区域，其中函数ϕ1(x)、ϕ2(x)在区间[a,b]上连续．此时二重积分可化为如下二次积分的形式：⎰⎰Dϕ2(x)⎡f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dy⎤dx，这个先对y、后对x的⎥a⎢ϕ(x)⎣1⎦b二次积分也常记作如下形式：⎰⎰f(x,y)dσ=⎰dx⎰Dabϕ2(x)ϕ1(x)f(x,y)dy．2．Y-型积分区域Y-型积分区域是指积分区域D可以用不等式c≤y≤d，φ1(y)≤x≤φ2(y)来表示的闭区域，其中函数φ1(y)、φ2(y)在区间[c,d]上连续．此时二重积分可化为如下二次积分的形式：⎰⎰f(x,y)dσ=⎰Ddc⎡φ2(y)f(x,y)dx⎤dy，这个先对x、后对y⎢⎥⎣⎰φ1(y)⎦dc的二次积分也常记作如下形式：⎰⎰f(x,y)dσ=⎰Ddy⎰φ2(y)φ1(y)f(x,y)dx．（二）利用极坐标计算二重积分要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成ρcosθ、ρsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的ρdρdθ．这样二重积分从直角坐标变换为极坐标的变换公式如下：⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ．DD假设积分区域D可以用不等式α其中ϕ1(θ)、≤θ≤β，ϕ1(θ)≤ρ≤ϕ2(θ)来表示，ϕ2(θ)在区间[α,β]上连续．此时极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为：⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=⎰Dβα⎡ϕ2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ⎤dθ．⎢⎥⎣⎰ϕ1(θ)⎦这个先对ρ、后对θ的二次积分也常记作如下形式：⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=⎰Dβαdθ⎰ϕ2(θ)ϕ1(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ．【典型例题】【例9-1】计算⎰⎰xydσ，其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域．D解法1：积分区域D可看作X-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x，故22x⎰⎰xydσ=⎰D4221dx⎰x132x⎡y⎤xxydy=⎰⎢x⋅⎥dx=⎰(-)dx 1122⎣2⎦1⎡xx⎤9=⎢-⎥= ． 4⎦18⎣8 解法2：积分区域D可看作Y2-型区域，1≤y≤2，y≤x≤2，故⎰⎰xydσ=⎰D421dy⎰2y2⎡x⎤y3xydx=⎰⎢y⋅⎥dy=⎰(2y-)dy 112⎣2⎦y222⎡y⎤9=⎢y2-⎥= ． 8⎦18⎣【例9-2】求σ，其中D是由直线y=x、x=-1及y=1所围⎰⎰D2成的闭区域．解：将积分区域D看作X-型区域，-1≤x≤1，x≤y≤1，故113221⎤11⎡2σ=⎰dx⎰=-⎰⎢(1+x-y)⎥dx⎰⎰-1x3-1⎣⎦xD=-⎤122⎡x133(x-1)dx=-(x-1)dx=--x= ．⎢⎥⎰⎰-10333⎣4⎦021141说明：此题若把积分区域D看作Y1-型区域，-1≤y≤1，-1≤x≤y，就有yσ=dy，其中关于x的积分计算比较麻⎰⎰⎰⎰D-1-1烦，所以此题把积分区域D看作X-型区域求解．【例9-3】求2，其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围成的闭区域．xydσ⎰⎰D解：将积分区域D看作Y-型区域，因抛物线y2=x和直线y=x-2的交点坐标为(1,-1)和(4,2)，故-1≤y≤2，y2≤x≤y+2，⎰⎰xydσ=⎰D42-1dy⎰2yy+2⎡x2⎤1225⎤xydx=⎰⎢⋅y⎥dy=⎰⎡y(y+2)-ydy⎣⎦-1-12⎣2⎦y2262y+21⎡y43y⎤452=⎢+y+2y-⎥= ． 2⎣436⎦-18说明：此题若把积分区域D看作X线x-型区域，则要用经过交点(1,-1)且平行于y轴的直=1把区域D分成D1和D2两部分，其中D1=(x,y)0≤x≤1,≤y≤{，D2=(x,y)≤x≤4,x-2≤y≤因此根据二重积分对积分区域的可加性，就有 {．⎰⎰xydσ=⎰⎰xydσ+⎰⎰xydσDD1D2=⎰dx01xydy+⎰dx14x-2xydy．由此可见，此题把积分区域D看作X-型区域来计算较为繁琐．x22y=x所围成y=Dy=x【例9-4】计算，其中是由直线、dxdy2⎰⎰Dy的闭区域．解：将积分区域D看作Y2-型区域，1≤y≤，y≤x≤y2，故2yx⎡x⎤xdxdy=⎰dx=⎢2⎥dy 22⎰⎰1yy1⎣3y⎦yDy23y2=1yy1⎡yy-2-)dy=⎢-⎥= ． 333⎣52⎦15-xe⎰⎰D2452【例9-5】计算-y2dxdy，其中D是由中心在原点、半径为a（a>0）的圆周所围成的闭区域．解：将积分区域D表示为极坐标，0≤-xe⎰⎰D2ρ≤a，0≤θ≤2π，故 2-y2⎡1⎤dxdy=⎰dθ⎰e-ρρdρ=⎰⎢-e-ρ⎥dθ000⎣2⎦02πa2π2a2π1-a2-a2=(1-e)⎰dθ=π(1-e) ． 022222，其中D是由圆周x+y=1及坐标轴所围成ln(1+x+y)dσ⎰⎰【例9-6】计算D的在第一象限内的闭区域．解：将积分区域D表示为极坐标，0≤π01ρ≤1，0≤θ≤π2，故π01222222ln(1+x+y)dσ=dθln(1+ρ)ρdρ=dθln(1+ρ)d(⎰⎰⎰⎰⎰⎰D00122⎧⎫1ρπ⎪⎡ρ2ρ⎪2⎤ =⋅dρ⎬⎨⎢ln(1+ρ)⎥-⎰022⎪21+ρ⎦0⎪⎩⎣2⎭ρ22)ρ3=ln2-⎰ρ 20421+ρππ1ρ(1+ρ2)-ρ=ln2-⎰ρ 20421+ρππ1ρ=ln2-⎰(ρ-)dρ 20421+ρ1ππππ⎡ρ212⎤=ln2-⎢-ln(1+ρ)⎥ 42⎣22⎦0=1π4ln2-π11(-ln2)=(2ln2-1) ． 2224σ，其中D是圆环形闭区域1≤x2+y2≤4．π【例9-7】计算D解：将积分区域D表示为极坐标，1≤ρ≤2，0≤θ≤2π，故2211Dσ=⎰dθ⎰ρ⋅ρdρ=2π⎰ρ2dρ 02π⎡ρ3⎤8114π=2π⎢⎥=2π(-)=333⎣3⎦1【例9-8】交换下列二重积分的积分次序．1．2 ．⎰21dy⎰lny0f(x,y)dx ．-型区域，1≤y≤2，0≤x≤lny．将此积分区域看解：由题意，积分区域D为Y 成X-区域，可得0≤x≤ln2，ex≤y≤2，故交换积分次序后⎰2．21dy⎰lny0f(x,y)dx=⎰ln20dx⎰xf(x,y)dy ． e2⎰dx⎰012-xxf(x,y)dy ．-型区域，0≤x≤1，x≤y≤2-x．将此积分区域解：由题意，积分区域D为X 看成Y-区域时，该区域需用直线y=1分成D1和D2两部分，其中D1={(x,y)0≤y≤1,0≤x≤y}，D2={(x,y)≤y≤2,0≤x≤2-y}，故交换积分次序后12-x1y22-y⎰dx⎰0xf(x,y)dy=⎰dy⎰f(x,y)dx+⎰dy⎰0010f(x,y)dx ． 3．⎰dx122-xf(x,y)dy ．-型区域，1≤x≤2，2-x≤y≤解：由题意，积分区域D为X积分区域看成Y次序后-型区域，可得0≤y≤1，2-y≤x≤1+11⎰dx122-xf(x,y)dy=⎰dy⎰02-yf(x,y)dx ．4．⎰π0dx⎰sinxx2-sinf(x,y)dy ．解：由题意，积分区域D为X分区域看成Y-型区域，0≤x≤π，-sinx≤y≤sinx．将此积2-区域时，该区域需用直线y=0（即x轴）分成D1和D2两部分，其中D1={(x,y)0≤y≤1,arcsiny≤x≤π-arcsiny}， D2={(x,y)-1≤y≤0,-2arcsiny≤x≤π}，故交换积分次序后⎰πdx⎰sinxx2-sinf(x,y)dy=⎰dy⎰1π-arcsinyarcsinyf(x,y)dx+⎰dy⎰-10π-2arcsinyf(x,y)dx．【历年真题】一、选择题1．（2008年，3分）设D：x2+y2≤1，则⎰⎰dxdy等于（）Dx3y3+C （B）+C （C）π （D）2π （A）33解：二重积分当被积函数为1时，其值就等于积分区域的面积，而积分区域D为圆域x2+y2≤1，故⎰⎰dxdy=π⋅12=π．选项（C）正确．D2．（2006年，2分）交换积分次序⎰dx⎰10f(x,y)dy=（）101（A）⎰⎰-10dy01f(x,y)dx （B）⎰dy⎰00f(x,y)dx（C）-1dy⎰f(x,y)dx （D）⎰0⎰f(x,y)dx解：原积分区域为X域，得-1≤-型区域，0≤x≤1，≤y≤0，将其看作Y-型区y≤0，0≤x≤⎰dx⎰010f(x,y)dy=⎰dy-100f(x,y)dx．选项（A）正确．ydxdy=（） 3．（2005年，3分）设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则⎰⎰D1+x（A）ln2 （B）2+ln2 （C）2 （D）2ln2 解：由题意可知，积分区域为矩形区域，此时便可把原二重积分化成两个定积分的乘积的形式，故12112yydxdy=⎰dx⎰dy=⎰dx⋅⎰ydy ⎰⎰00001+x1+xD1+x22⎡y⎤4⎤=⎡ln(1+x⋅=ln2⋅=2ln2．选项（D）正确．⎣⎦0⎢2⎥2⎣⎦01二、计算题1．（2010年，5分）求二重积分成的闭区域．解：画出积分区域，将其看成X2x2⎰⎰Dx，其中D是由y=1，y=x2，x=2所围y-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x2，故二重积分 2x222xx2⎡⎤=dx=xlnydx=2xlnxdx=lnxd(x) ⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰111111yDy 222=⎡x⎣lnx⎤⎦1-⎰1⎡x2⎤3xdx=4ln2-⎢⎥=4ln2-． 2⎣2⎦12，其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围xydσ⎰⎰22．（2009年，5分）计算成的闭区域．解：画出图形，抛物线分区域看作YDy2=x与直线y=x-2的交点坐标为(1,-1)和(4,2)，将积-型区域，-1≤y≤2，y2≤x≤y+2，则二重积分2-1⎰⎰xydσ=⎰Ddy⎰2yy+2y2+4y+4y4xydx=⎰y(-)dy -1222436⎡⎤11y4yy453252=⎰(y+4y+4y-y)dy=⎢++2y-⎥=． -122⎣436⎦-1822 3．（2007年，5分）计算所围成的闭区域． 2cosydxdy，其中D是由直线x=1，y=2与y=x-1⎰⎰D解：画出图形，根据被积函数的特点，只能将积分区域看作Y-型区域，0≤y≤2，1≤x≤y+1，则二重积分⎰⎰cosydxdy=⎰dy⎰2D02y+11cosy2dx⎡1⎤1=⎰ycosy2dy=⎢siny2⎥=sin4． 0⎣2⎦02224．（2006年，4分）求2，D由x=0，y=1，x=y（y>0）围成． edxdy⎰⎰xyD解：画出图形，将积分区域看作Yxyy2xy-型区域，0≤y≤1，0≤x≤y2，则二重积分 1xyy2⎰⎰eD1dxdy=⎰dy⎰0y110⎡⎤1edx=⎰⎢ye⎥dy=⎰(yey-y)dy 00⎣⎦0y1121y⎡y⎤11y1⎤⎡⎤=⎰yd(e)-⎰ydy=⎡ye-edy-=e-e-⎢2⎥⎣⎦0⎰0⎣⎦02=2． 00⎣⎦0 5．（2005年，5分）计算二重积分域的公共部分．解：画出图形，积分区域为半圆域，故用极坐标，其中0≤θπ2coθs2222，D为x+y≤2x与y≥0两个区xydxdy⎰⎰D≤π2，0≤ρ ≤2cosθ，故⎰⎰xydxdy=⎰dθ⎰222D0022ρ2cosθ⋅ρsinθ2⋅ρdρ⎡ρ⎤=⎰2sin2θcos2θ⎢⎥0⎣6⎦0π62cosθπdθ=⎰2(1-cos2θ)cos2θ⋅032cos6θdθ3 32π327531π97531π=⎰2(cos8θ-cos10θ)dθ=(⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅) 303864221086422327531π17π． =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=3864221048。

9山东专升本高等数学第九章二重积分.

第九章二重积分【考试要求】1．理解二重积分的概念、性质及其几何意义．2．掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法．【考试内容】一、二重积分的相关概念1．二重积分的定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域∆σ1，∆σ2，，∆σn，其中∆σi表示第i个小区域，也表示它的面积．在每个∆σi上任取一点n(ξiη,i)，作乘积f(ξi,ηi∆)σii（i=1,2, ,n），并作和∑f(ξ,η)∆σiii=1．如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作⎰⎰f(x,y)dσ，即Dniii⎰⎰f(x,y)dσ=lim∑f(ξ,η)∆σDλ→0． i=1其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)dσ叫做被积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，∑f(ξ,η)∆σiii=1ni叫做积分和．说明：在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ记作dxdy，而把二重积分记作⎰⎰f(x,y)dxdy，其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素．D2．二重积分的几何意义一般地，如果被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,y)处f(x,y)≥0，的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果f(x,y)是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果而在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在f(x,y)在D的若干部分区域上是正的，D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差．3．二重积分的性质（1）设α、β为常数，则⎰⎰[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ=α⎰⎰f(x,y)dσ+β⎰⎰g(x,y)dσ． DDD（2）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．例如D分为两个闭区域D1和D2，则⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ．DD1D2（3）如果在D上，f(x,y)=1，σ为D的面积，则．σ=⎰⎰1⋅dσ=⎰⎰dσDD（4）如果在D上，f(x,y)≤ϕ(x,y)，则有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰ϕ(x,y)dσ．DD特殊地，由于 -f(x,y)≤f(x,y)≤f(x,y)，故又有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰DDf(x,y)dσ．（5）设M、m分别是有 f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ．D（6）（二重积分的中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ,η)，使得⎰⎰f(x,y)dσ=f(ξ,η)⋅σ．D二、二重积分的计算（一）利用直角坐标计算二重积分1．X-型积分区域X-型积分区域是指积分区域D可以用不等式a≤x≤b，ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)来表示的闭区域，其中函数ϕ1(x)、ϕ2(x)在区间[a,b]上连续．此时二重积分可化为如下二次积分的形式：⎰⎰Dϕ2(x)⎡f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dy⎤dx，这个先对y、后对x的⎥a⎢ϕ(x)⎣1⎦b二次积分也常记作如下形式：⎰⎰f(x,y)dσ=⎰dx⎰Dabϕ2(x)ϕ1(x)f(x,y)dy．2．Y-型积分区域Y-型积分区域是指积分区域D可以用不等式c≤y≤d，φ1(y)≤x≤φ2(y)来表示的闭区域，其中函数φ1(y)、φ2(y)在区间[c,d]上连续．此时二重积分可化为如下二次积分的形式：⎰⎰f(x,y)dσ=⎰Ddc⎡φ2(y)f(x,y)dx⎤dy，这个先对x、后对y⎢⎥⎣⎰φ1(y)⎦dc的二次积分也常记作如下形式：⎰⎰f(x,y)dσ=⎰Ddy⎰φ2(y)φ1(y)f(x,y)dx．（二）利用极坐标计算二重积分要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成ρcosθ、ρsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的ρdρdθ．这样二重积分从直角坐标变换为极坐标的变换公式如下：⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ．DD假设积分区域D可以用不等式α其中ϕ1(θ)、≤θ≤β，ϕ1(θ)≤ρ≤ϕ2(θ)来表示，ϕ2(θ)在区间[α,β]上连续．此时极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为：⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=⎰Dβα⎡ϕ2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ⎤dθ．⎢⎥⎣⎰ϕ1(θ)⎦这个先对ρ、后对θ的二次积分也常记作如下形式：⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=⎰Dβαdθ⎰ϕ2(θ)ϕ1(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ．【典型例题】【例9-1】计算⎰⎰xydσ，其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域．D解法1：积分区域D可看作X-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x，故22x⎰⎰xydσ=⎰D4221dx⎰x132x⎡y⎤xxydy=⎰⎢x⋅⎥dx=⎰(-)dx 1122⎣2⎦1⎡xx⎤9=⎢-⎥= ． 4⎦18⎣8 解法2：积分区域D可看作Y2-型区域，1≤y≤2，y≤x≤2，故⎰⎰xydσ=⎰D421dy⎰2y2⎡x⎤y3xydx=⎰⎢y⋅⎥dy=⎰(2y-)dy 112⎣2⎦y222⎡y⎤9=⎢y2-⎥= ． 8⎦18⎣【例9-2】求σ，其中D是由直线y=x、x=-1及y=1所围⎰⎰D2成的闭区域．解：将积分区域D看作X-型区域，-1≤x≤1，x≤y≤1，故113221⎤11⎡2σ=⎰dx⎰=-⎰⎢(1+x-y)⎥dx⎰⎰-1x3-1⎣⎦xD=-⎤122⎡x133(x-1)dx=-(x-1)dx=--x= ．⎢⎥⎰⎰-10333⎣4⎦021141说明：此题若把积分区域D看作Y1-型区域，-1≤y≤1，-1≤x≤y，就有yσ=dy，其中关于x的积分计算比较麻⎰⎰⎰⎰D-1-1烦，所以此题把积分区域D看作X-型区域求解．【例9-3】求2，其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围成的闭区域．xydσ⎰⎰D解：将积分区域D看作Y-型区域，因抛物线y2=x和直线y=x-2的交点坐标为(1,-1)和(4,2)，故-1≤y≤2，y2≤x≤y+2，⎰⎰xydσ=⎰D42-1dy⎰2yy+2⎡x2⎤1225⎤xydx=⎰⎢⋅y⎥dy=⎰⎡y(y+2)-ydy⎣⎦-1-12⎣2⎦y2262y+21⎡y43y⎤452=⎢+y+2y-⎥= ． 2⎣436⎦-18说明：此题若把积分区域D看作X线x-型区域，则要用经过交点(1,-1)且平行于y轴的直=1把区域D分成D1和D2两部分，其中D1=(x,y)0≤x≤1,≤y≤{，D2=(x,y)≤x≤4,x-2≤y≤因此根据二重积分对积分区域的可加性，就有 {．⎰⎰xydσ=⎰⎰xydσ+⎰⎰xydσDD1D2=⎰dx01xydy+⎰dx14x-2xydy．由此可见，此题把积分区域D看作X-型区域来计算较为繁琐．x22y=x所围成y=Dy=x【例9-4】计算，其中是由直线、dxdy2⎰⎰Dy的闭区域．解：将积分区域D看作Y2-型区域，1≤y≤，y≤x≤y2，故2yx⎡x⎤xdxdy=⎰dx=⎢2⎥dy 22⎰⎰1yy1⎣3y⎦yDy23y2=1yy1⎡yy-2-)dy=⎢-⎥= ． 333⎣52⎦15-xe⎰⎰D2452【例9-5】计算-y2dxdy，其中D是由中心在原点、半径为a（a>0）的圆周所围成的闭区域．解：将积分区域D表示为极坐标，0≤-xe⎰⎰D2ρ≤a，0≤θ≤2π，故 2-y2⎡1⎤dxdy=⎰dθ⎰e-ρρdρ=⎰⎢-e-ρ⎥dθ000⎣2⎦02πa2π2a2π1-a2-a2=(1-e)⎰dθ=π(1-e) ． 022222，其中D是由圆周x+y=1及坐标轴所围成ln(1+x+y)dσ⎰⎰【例9-6】计算D的在第一象限内的闭区域．解：将积分区域D表示为极坐标，0≤π01ρ≤1，0≤θ≤π2，故π01222222ln(1+x+y)dσ=dθln(1+ρ)ρdρ=dθln(1+ρ)d(⎰⎰⎰⎰⎰⎰D00122⎧⎫1ρπ⎪⎡ρ2ρ⎪2⎤ =⋅dρ⎬⎨⎢ln(1+ρ)⎥-⎰022⎪21+ρ⎦0⎪⎩⎣2⎭ρ22)ρ3=ln2-⎰ρ 20421+ρππ1ρ(1+ρ2)-ρ=ln2-⎰ρ 20421+ρππ1ρ=ln2-⎰(ρ-)dρ 20421+ρ1ππππ⎡ρ212⎤=ln2-⎢-ln(1+ρ)⎥ 42⎣22⎦0=1π4ln2-π11(-ln2)=(2ln2-1) ． 2224σ，其中D是圆环形闭区域1≤x2+y2≤4．π【例9-7】计算D解：将积分区域D表示为极坐标，1≤ρ≤2，0≤θ≤2π，故2211Dσ=⎰dθ⎰ρ⋅ρdρ=2π⎰ρ2dρ 02π⎡ρ3⎤8114π=2π⎢⎥=2π(-)=333⎣3⎦1【例9-8】交换下列二重积分的积分次序．1．2 ．⎰21dy⎰lny0f(x,y)dx ．-型区域，1≤y≤2，0≤x≤lny．将此积分区域看解：由题意，积分区域D为Y 成X-区域，可得0≤x≤ln2，ex≤y≤2，故交换积分次序后⎰2．21dy⎰lny0f(x,y)dx=⎰ln20dx⎰xf(x,y)dy ． e2⎰dx⎰012-xxf(x,y)dy ．-型区域，0≤x≤1，x≤y≤2-x．将此积分区域解：由题意，积分区域D为X 看成Y-区域时，该区域需用直线y=1分成D1和D2两部分，其中D1={(x,y)0≤y≤1,0≤x≤y}，D2={(x,y)≤y≤2,0≤x≤2-y}，故交换积分次序后12-x1y22-y⎰dx⎰0xf(x,y)dy=⎰dy⎰f(x,y)dx+⎰dy⎰0010f(x,y)dx ． 3．⎰dx122-xf(x,y)dy ．-型区域，1≤x≤2，2-x≤y≤解：由题意，积分区域D为X积分区域看成Y次序后-型区域，可得0≤y≤1，2-y≤x≤1+11⎰dx122-xf(x,y)dy=⎰dy⎰02-yf(x,y)dx ．4．⎰π0dx⎰sinxx2-sinf(x,y)dy ．解：由题意，积分区域D为X分区域看成Y-型区域，0≤x≤π，-sinx≤y≤sinx．将此积2-区域时，该区域需用直线y=0（即x轴）分成D1和D2两部分，其中D1={(x,y)0≤y≤1,arcsiny≤x≤π-arcsiny}， D2={(x,y)-1≤y≤0,-2arcsiny≤x≤π}，故交换积分次序后⎰πdx⎰sinxx2-sinf(x,y)dy=⎰dy⎰1π-arcsinyarcsinyf(x,y)dx+⎰dy⎰-10π-2arcsinyf(x,y)dx．【历年真题】一、选择题1．（2008年，3分）设D：x2+y2≤1，则⎰⎰dxdy等于（）Dx3y3+C （B）+C （C）π （D）2π （A）33解：二重积分当被积函数为1时，其值就等于积分区域的面积，而积分区域D为圆域x2+y2≤1，故⎰⎰dxdy=π⋅12=π．选项（C）正确．D2．（2006年，2分）交换积分次序⎰dx⎰10f(x,y)dy=（）101（A）⎰⎰-10dy01f(x,y)dx （B）⎰dy⎰00f(x,y)dx（C）-1dy⎰f(x,y)dx （D）⎰0⎰f(x,y)dx解：原积分区域为X域，得-1≤-型区域，0≤x≤1，≤y≤0，将其看作Y-型区y≤0，0≤x≤⎰dx⎰010f(x,y)dy=⎰dy-100f(x,y)dx．选项（A）正确．ydxdy=（） 3．（2005年，3分）设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则⎰⎰D1+x（A）ln2 （B）2+ln2 （C）2 （D）2ln2 解：由题意可知，积分区域为矩形区域，此时便可把原二重积分化成两个定积分的乘积的形式，故12112yydxdy=⎰dx⎰dy=⎰dx⋅⎰ydy ⎰⎰00001+x1+xD1+x22⎡y⎤4⎤=⎡ln(1+x⋅=ln2⋅=2ln2．选项（D）正确．⎣⎦0⎢2⎥2⎣⎦01二、计算题1．（2010年，5分）求二重积分成的闭区域．解：画出积分区域，将其看成X2x2⎰⎰Dx，其中D是由y=1，y=x2，x=2所围y-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x2，故二重积分 2x222xx2⎡⎤=dx=xlnydx=2xlnxdx=lnxd(x) ⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰111111yDy 222=⎡x⎣lnx⎤⎦1-⎰1⎡x2⎤3xdx=4ln2-⎢⎥=4ln2-． 2⎣2⎦12，其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围xydσ⎰⎰22．（2009年，5分）计算成的闭区域．解：画出图形，抛物线分区域看作YDy2=x与直线y=x-2的交点坐标为(1,-1)和(4,2)，将积-型区域，-1≤y≤2，y2≤x≤y+2，则二重积分2-1⎰⎰xydσ=⎰Ddy⎰2yy+2y2+4y+4y4xydx=⎰y(-)dy -1222436⎡⎤11y4yy453252=⎰(y+4y+4y-y)dy=⎢++2y-⎥=． -122⎣436⎦-1822 3．（2007年，5分）计算所围成的闭区域． 2cosydxdy，其中D是由直线x=1，y=2与y=x-1⎰⎰D解：画出图形，根据被积函数的特点，只能将积分区域看作Y-型区域，0≤y≤2，1≤x≤y+1，则二重积分⎰⎰cosydxdy=⎰dy⎰2D02y+11cosy2dx⎡1⎤1=⎰ycosy2dy=⎢siny2⎥=sin4． 0⎣2⎦02224．（2006年，4分）求2，D由x=0，y=1，x=y（y>0）围成． edxdy⎰⎰xyD解：画出图形，将积分区域看作Yxyy2xy-型区域，0≤y≤1，0≤x≤y2，则二重积分 1xyy2⎰⎰eD1dxdy=⎰dy⎰0y110⎡⎤1edx=⎰⎢ye⎥dy=⎰(yey-y)dy 00⎣⎦0y1121y⎡y⎤11y1⎤⎡⎤=⎰yd(e)-⎰ydy=⎡ye-edy-=e-e-⎢2⎥⎣⎦0⎰0⎣⎦02=2． 00⎣⎦0 5．（2005年，5分）计算二重积分域的公共部分．解：画出图形，积分区域为半圆域，故用极坐标，其中0≤θπ2coθs2222，D为x+y≤2x与y≥0两个区xydxdy⎰⎰D≤π2，0≤ρ ≤2cosθ，故⎰⎰xydxdy=⎰dθ⎰222D0022ρ2cosθ⋅ρsinθ2⋅ρdρ⎡ρ⎤=⎰2sin2θcos2θ⎢⎥0⎣6⎦0π62cosθπdθ=⎰2(1-cos2θ)cos2θ⋅032cos6θdθ3 32π327531π97531π=⎰2(cos8θ-cos10θ)dθ=(⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅) 303864221086422327531π17π． =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=3864221048。

山东专升本高数二考试内容

山东专升本高数二考试内容
山东专升本高数二考试内容主要包括以下几个方面：
1. 极限与连续：包括极限基本概念、运算法则、极限不存在的情况、无穷小与无穷大、函数的连续性等。

2. 导数与微分：包括导数的定义、基本导数公式、导数的运算法则、高阶导数、隐函数与参数方程求导、微分的定义与运算法则等。

3. 积分与不定积分：包括不定积分的性质与基本公式、换元积分法、分部积分法、定积分的概念与性质、定积分的计算方法、定积分的应用等。

4. 函数与导数：包括函数的极值与最值、函数的单调性与曲线的凹凸性、函数的渐近线、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理等。

5. 一元函数积分学：包括微分方程与一阶线性微分方程、变限积分、定积分、牛顿-莱布尼茨公式、积分的应用等。

6. 多元函数积分学：包括二重积分的定义与性质、二重积分的计算、累次积分、三重积分的定义与性质、三重积分的计算、曲线与曲面的面积、体积等。

7. 常微分方程：包括常微分方程的基本概念与分类、一阶常微分方程的求解方法、高阶常微分方程的求解方法、线性常微分
方程的解法、微分方程的应用等。

以上是山东专升本高数二的考试内容的一些主要方面，具体的考试内容可以根据学校的要求和教学大纲进行调整和变化。

1专升本第九章二重积分

D
目录
上页
下页
返回
结束
7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
在闭区域D上
使
D f ( x, y)d f ( , )
证: 由性质6 可知, 1 min f ( x, y ) f ( x, y ) d max f ( x, y )
D

D
D
目录
上页
下页
返回
结束
例：利用二重积分的几何意义，不经计算直接给出值

D
R x y dxd y
2 2 2
D:x y R
2 2
2目录上页来自下页返回结束三、二重积分的性质
1. k f ( x, y )d k f ( x, y ) d ( k 为常数)
D

目录
上页
下页
返回
结束
真题赏析
选择题
1. （08年，3分）设 D : x 2 y 2 1 则

D
dxdy•
等于（）
A.
x C 3
3
B. D.
y3 C 3
C.

2
答案： C .
目录
上页
下页
返回
结束
D
f ( x, y ) d 2
D1
f ( x, y ) d
D O
1
x
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 f ( x, y ) d 0
D
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
有类似结果. 在第一象限部分, 则有
D ( x y) d x d y 0

2020年山东专升本招生考试高等数学Ⅱ大纲

山东省2020年普通高等教育专科升本科招生考试高等数学II 考试要求Ⅰ. 考试内容与要求本科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基本理论、较熟练的运算能力。

主要考查学生识记、理解和应用能力，为进一步学习奠定基础。

具体内容与要求如下：一、函数、极限与连续（一）函数1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3.了解分段函数和反函数的概念，理解复合函数的概念。

4.掌握函数的四则运算与复合运算。

5.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

6.了解经济学中的几种常见函数（成本函数、收益函数、利润函数、需求函数和供给函数）。

（二）极限1.了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。

2.了解极限的性质与极限存在的两个准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限e xx x x x x =+=∞→→)11(lim ,1sin lim 0求极限的方法。

3.理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法。

了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系，会运用等价无穷小量替换求极限。

（三）连续1.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

2.掌握连续函数的性质。

3.掌握闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理）。

4.理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

二、一元函数微分学（一）导数与微分1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。

2.熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。

3.掌握隐函数的求导法、对数求导法。

4.了解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数。

5.了解函数微分的概念，了解微分与导数的关系，会求函数的一阶微分。

（二）中值定理及导数的应用1.理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理。

二重积分的知识专升本高等数学知识讲座6

多元函数的积分学考试要点及题型
z
z f ( x, y )
O
D
y
i
x
P ( xi y i )
曲顶柱体的分割
多元函数的积分学考试要点及题型
V lim
0
f ( x , y )
i i i 1
n
i
（这里的是n个小区域的最大直径）
二重积分的定义：
多元函数的积分学考试要点及题型
多元函数的积分学考试要点及题型
二、重点知识点 1、二重积分的概念与性质： 1.1、二重积分的概念二重积分是通过求曲顶柱体的体积、平面薄片的质量而引入的。
设函数 z f ( x , y )在平面有界闭区域 D上连续，且 f ( x , y ) 0, 如图，以曲面 z f ( x , y )为顶部，闭区域 D为底，以 D 的边界线为准线的母线平行于 Z轴柱面为侧面，构成一个曲顶柱体，试求其体积 V 。

r2 ( ) r1 ( )

D
f ( x , y ) d f ( r cos , r sin ) rdrd d

D
f ( r cos , r sin ) rdr
② 极点在区域 D 的边界上:D ( r , ) : , 0 r r ( )
2、二重积分的计算
多元函数的积分学考试要点
⑴ 二重积分在直角坐标系下的计算 ① D ( x , y ) : a x b , c y d , (矩形区域 )

D
f ( x , y ) d dx
a
b
d c
f ( x , y ) dy或 dy f ( x , y ) dx

专升本高数二重积分

专转本——二重积分的一般算法——“直角坐标系”、“极坐标系”

专升本高数知识点汇总

9山东专升本高等数学第九章二重积分.

9山东专升本高等数学第九章二重积分.

山东专升本高数二考试内容

1专升本 第九章 二重积分

2020年山东专升本招生考试高等数学Ⅱ大纲

二重积分的知识专升本高等数学知识讲座6

1专升本第九章二重积分