高等数学二重积分详细讲解
重积分—二重积分的计算(高等数学课件)
1
y2
2 1
1 2
x
2
y
y y
2
2
dy
1 2
2 [ 1
y(
y
2)2
y5 ] dy
45 8
x y2
2
o1 (1,1)
y x2 (4,2)
x
课程小结
本讲主要讲了X型区 域和Y型区域的区 分，通过例题学习 在两种区域下二重 积分转化成累次积 分的计算方法。
重积分
直角坐标系中二重积分的计算 （三）
知识点讲解
1.一般型区域
1.二元极限定义
边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共
内点的 X 型区域或 Y 型区域.
y
如图a 所示, D 被分解成三个区域, 其中I 、III 为X 型
区域,II 为 Y 型区域.
III
II D
I
O
x
图a
2.例题分析
1.二元函数极限
例1 设 D ( x, y) 2x x2 y2 4x , f ( x, y) 为 D上的连
y
D2 ( x, y) 4x x2 y 2x x2 ,0 x 2 , O
D3 ( x, y) 4x x2 y 4x x2 , 2 x 4 .
所以有
I
2
dx
4 x x2
2
2xx2
f ( x, y)dy dx
f ( x, y)dy
0
2 x x2
0
4xx2
变换公式
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
1 2
(2ri
ri )rii
ririi
高等数学课件D92二重积分的计算
电磁学中电荷分布问题
电荷分布概述
在电磁学中，电荷分布是研究电场和 磁场的基础。了解电荷分布对于预测 电场强度、电势差以及电磁波的传播 等具有重要意义。
二重积分在电荷分布 中的应用
二重积分在电磁学中广泛应用于计算 电荷分布。通过将电荷区域离散化为 微小单元，对每个单元的电荷密度进 行积分，并利用二重积分对整个区域 进行积分，可以得到总电荷量和电荷 分布。
在每个子区域内分别进行积分计算，然后将结果相加得到最 终的二重积分值。这种策略可以降低计算难度，提高计算效 率。
03 典型例题分析与求解
平面区域上函数积分问题
确定积分区域
根据题目要求，确定需要积分的平面区域，通常是由 不等式组或曲线围成。
选择积分次序
根据积分区域的形状和复杂性，选择合适的积分次序， 即先对哪个变量进行积分。
图像处理算法与二重积分
在实际应用中，图像处理算法（如直方图均衡化、滤波算法）经常需要利用像素值统计来实现图像增强和特 征提取。二重积分作为计算像素值统计的重要工具，在这些算法中发挥着关键作用。
其他领域应用举例
地理学中的地形分析
在地理学中，地形分析是研究地 表形态和地貌特征的重要手段。 二重积分可以用于计算地表高程、 坡度、坡向等地形参数，进而实 现地形分类、地貌特征提取等应 用。
梯形法
将积分区域划分为若干个小梯形， 以梯形的面积近似代替被积函数 的面积，通过求和所有梯形的面 积得到二重积分的近似值。
辛普森法
在梯形法的基础上，通过采用更 精确的插值多项式来逼近被积函 数，从而提高二重积分计算的精 度。
误差估计及收敛性判断
误差估计
对于不同的数值方法，可以通过理论分析和实际计算来估计其误差的大小，以便更好地控制计算精度 。
高等数学二重积分详解
过该点自下而上作一条平行 于y轴的射线，先穿过的边界
y 1(x)
oax
bx
y 1(x) 是y的积分下限，
后穿过的边界 y 2 (x) 是y的积分上限。
第二种情形可同理讨论。
对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。 如下图：
y
D2 D1
D3
o
x
y
D2
D3
D1
射线和以极点为圆心的同心
圆，它们将区域D分成许多 o
A
小区域，除去含有边界点的小区域，其余小区域
i 的面积为：
r ri ri
i i
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
r ri
1 2
(2ri
ri
)ri i
ririi
4
o -2
(2,2)
y x4
y2 2x
x
小结：显然1）较2）麻烦。
例3 计算 I x2ey2 dxdy, 其中D由 x 0,
D
y 1及y x 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
先对x后对y积分：
I
1
dy
a 1 ( x)
c
D
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
o
x 2(y)
x
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要内容，用于计算平面上各种形状的曲线或曲面与坐标平面的“面积”。
在实际应用中，二重积分常常与物理、几何、概率统计等学科密切相关。
本文将详细介绍二重积分的计算方法，包括定积分的计算、计算面积和质量等应用问题，以及换元积分、极坐标系、重积分等高阶积分方法。
一、定积分的计算定积分是二重积分的基础，因此首先需要掌握如何计算定积分。
定积分可以通过定义式或者积分的性质计算。
1.定义式计算定积分的定义式如下：∫a^b f(x) dx = lim(n→∞) ∑(k=1,n) f(xi)Δx其中[a,b]是定积分的区间，f(x)是被积函数，x_i是区间[a,b]上的等间距点，Δx是x_i与x_i+1之间的距离。
当被积函数f(x)是连续函数时，可以通过定义式计算定积分。
具体方法是将区间[a, b]等分成n个小区间，取每个小区间的中点作为x_i，计算f(xi)Δx的和，然后取极限即可。
2.积分的性质计算定积分具有一些特殊的性质，可以利用这些性质计算定积分。
（1）和函数性质：∫a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫a^b f(x) dx + ∫a^b g(x) dx（2）积分常数性质：∫a^b c f(x) dx = c∫a^b f(x) dx（3）分段函数性质：∫a^b ([f(x)]_a^c + [f(x)]_c^b) dx = ∫a^b f(x) dx（4）奇偶函数性质：当f(x)是奇函数时，∫-a^a f(x) dx = 0当f(x)是偶函数时，∫-a^a f(x) dx = 2∫0^a f(x) dx根据这些性质，可以将复杂的定积分化简为简单的定积分来计算。
二、计算面积二重积分还可以用于计算平面上一些特定形状的曲线与坐标平面的“面积”。
具体可以分为以下两种情况。
1.曲线位于坐标平面的上方：设z=f(x,y)是定义在区域D上的连续函数，且在区域D上始终大于等于0，若D的边界由曲线C所围成，则D的面积可以用二重积分来计算：∬D dσ = ∬D dxdy = ∬D dA = ∫∫D dxdy其中，dσ表示微面积元素，dA表示微面积。
高等数学-二重积分
高等数学-二重积分二重积分作为高等数学的一部分，是积分学的重要内容之一，也是微积分的一个重要分支。
它可以用来求解平面图形的面积、质心、转动惯量等问题，同时也是理解三重积分和曲线积分的基础。
一、二重积分的定义对于平面直角坐标系中一个有界区域D，若在D内存在一个连续函数f(x,y)，则在D 上的二重积分值记为：∬Df(x,y)dxdy其中，dxdy表示对于(x,y)在D上的每一个点，都有一个微小的面积dxdy。
通常情况下，积分区域D是一个闭合区域，即被有限多条曲线所包围的区域。
1、线性性若f(x,y)和g(x,y)在D上可积，则对于任意实数a和b，有：∬D[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy=a∬Df(x,y)dxdy+b∬Dg(x,y)dxdy2、积分的可加性若D可表示成D1和D2的并集，且D1和D2没有交集，则有：4、积分与面积的关系对于常数函数f(x,y)=1，在D上的二重积分值就是D的面积S。
即有：∬D1dxdy=S1、利用基本公式对于二重积分中的f(x,y)，若其为一元函数，则参照一元函数积分的公式进行计算即可。
若其为二元函数，则按照二元函数积分的公式计算。
2、极坐标法当积分区域D具有极轴对称性或者其中的许多边界方程可以转化为极坐标方程时，可以使用极坐标公式来求解。
即有：∬Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2dθ∫r1r2f(r,θ)rdr其中，r为极径，θ为极角。
3、换元法当积分区域D无法采用基本公式或者极坐标法求解时，可以采用换元法来简化计算。
具体而言，可以通过将坐标系进行转化，将D映射为一个较为简单的区域，从而进行二重积分的计算。
1、面积计算二重积分可以用来计算平面图形的面积。
对于平面图形D，可设其边界方程为：g1(x)=a, g2(x)=b, h1(y)=c, h2(y)=d则D的面积可以表示为：S=∬Ddxdy=∫a^b∫c^d1dydx2、质心计算x0=∬Dxdxdy/M, y0=∬Dy dxdy/M其中，M为D的面积，x0和y0分别称为D的一阶矩。
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
二重积分计算方式
二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。
一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。
在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。
1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。
选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。
如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质：- 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。
1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。
二重积分的概念与计算
二重积分的概念与计算二重积分是微积分中的重要概念，在数学和物理学等领域有广泛应用。
本文将介绍二重积分的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。
通常表示为∬_Df(x,y)dxdy，其中D为积分区域。
二重积分的结果是一个实数。
二、二重积分的计算方法1. 通过迭代积分计算如果积分区域D可以表示为两个范围有限的连续函数g(x)和h(x)之间的交集，即D={(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)}，则二重积分可以通过先计算内层积分再计算外层积分的方式进行计算。
具体计算步骤如下：步骤1：计算内层积分将变量y看作常数，将二元函数f(x,y)带入到内层积分中，进行y 的积分运算。
得到一个关于x的函数。
步骤2：计算外层积分将步骤1得到的关于x的函数带入到外层积分中，进行x的积分运算。
得到最终的结果。
2. 通过坐标变换计算在某些情况下，二重积分的计算可以通过坐标变换来简化。
常见的坐标变换包括极坐标变换和直角坐标变换。
以极坐标变换为例，如果积分区域D可以用极坐标表示，则可以通过将二元函数f(x,y)转化为二元函数g(r,θ)来计算二重积分。
具体计算步骤如下：步骤1：进行坐标变换将二元函数f(x,y)用极坐标变换的公式来表示，并计算坐标变换的Jacobi行列式。
步骤2：计算新函数的二重积分将坐标变换后得到的二元函数g(r,θ)进行二重积分计算，得到最终结果。
三、二重积分的应用二重积分在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。
对于给定区域D和一个常数函数f(x,y)=1，在D上进行二重积分即可得到该区域的面积。
2. 质量和质心的计算已知二元函数f(x,y)表示平面上的质量密度分布，二重积分∬_Df(x,y)dxdy可以用来计算平面上有界区域D的质量。
质心的坐标可以通过以下公式计算：x_0=1/m∬_Dxf(x,y)dxdyy_0=1/m∬_Dyf(x,y)dxdy其中m为区域D的总质量。
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]0y
dy
o
x
1 1 y3e y2 dy 1 1
30
6 3e
注意：若先对y后对x积分：
e
y
2
I
1
dx
1 x2ey2 dy
0
x
的原函数无法用初等函数表示出来，因而
此二重积分不能计算出来。
例4 交换下列二重积分的积分次序：
0
2 x
2
2x
I dx 2 f (x, y)dy dx 2 f (x, y)dy
x2
11 [ 02
x
2
y
2
]x x
2
1 2
1
(
x4
x6
)dx
1
0
35
法二
y
将积分区域投影到y轴上， 1
得到y的范围[0，1].
在[0，1]上任取一点y，
y D
过该点作一条平行于x轴的射线， o
x
则先穿过的边界 x y为x的下限，后穿过的边界
x y 为x的上限，于是
D : 0 y 1, y x y.
2 0
0
0
解：这是先对y后对x的积分，积分区域为
D : 2 x 0, 0 y 2 x 及0 x 2, 0 y 2 x
2
2
可知积分区域由 y 0, y 2 x , y 2 x
2
2
所围成，如下图：
y
故改变积分次序后得
1
1
22 y
I dy f (x, y)dx
0
2 y2
2 2
[
1 3
(4
r
2
)
3 2
]2cos 0
d
8 3
2 2
(1 sin3 )d
8.
3
一般地，当积分区域为圆域、环域或它们的 一部分，以及被积函数中含有 x2 y2 时，多采用 极坐标系下的计算会比较方便。
追求人生的美好!
我们的共同目标!
D
2
( )
0 d 0 f (r cos , r sin )rdr
θ
o
A
例5 计算 (x2 y2)d，其中D：1 x2 y2 4.
D
y
解：积分区域是如图所示的
环域，用极坐标计算方便。
D : 0 2 , 1 r 2.
因而
o 1 2x
(x2 y2 )d r3drd
D
D
所以
2
2x
8
2x
I dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
0
2x
2
x4
2）先对x后对y积分：
得
D : 2 y 4, y2 x y 4
2
如图。
y
所以
I f (x, y)d
D
4
y4
dy
2
y2
f (x, y)dx
2
(8,4)
4
o -2
(2,2)
y x4
y2 2x
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓 先积线，后积点
以第一种情况为例加以说明：
如图：
y
y 2(x)
区间[a,b]是x的取值范围。 D
在此区间内任取一点x，
过该点自下而上作一条平行 于y轴的射线，先穿过的边界
y 1(x)
oax
bx
y 1(x) 是y的积分下限，
第二节 二重积分的计算
一 直角坐标系中的计算方法 二 极坐标系中的计算方法
计算二重积分的基本思想：化为两次定积分
一 直角坐标系中的计算方法
分别用平行于x轴和y y
轴的直线对区域进行分
d
割，如图。可见，除边缘
外，其余均为矩形，其面 Δy
积为
xy
c
可以证明：
oa
Δx
Δσ bx
f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
y x 4 , y2 2x 围成。
解：解方程组
y x 4
y
2
2x
得这条直线和抛物线的交点为
(8,4),(2,-2)，如右图。 1）先对y后对x积分：
y
y x4
(8,4)
y2 2x
o
8
x
(2,2)
得 D : 0 x 2, 2x y 2x及2 x 8, x 4 y 2x
-2
o
2x
二、极坐标系中的计算方法
1 直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中 的二重积分
如图所示的极坐标系中
的积分区域D， 过极点O引
射线和以极点为圆心的同心
圆，它们将区域D分成许多 o
A
小区域，除去含有边界点的小区域，其余小区域
i 的面积为：
r ri ri
i i
i
1 2
(ri
ri )2 i
类似地，若积分区域为
D : c y d, 1(y) x 2(y) 如右图所示，则二重积分的计算 y
公式为
d
f (x, y)dxdy
b
[
2 (x) f (x, y)dy]dx
x 1(y)
a 1 ( x)
c
D
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
o
x 2(y)
x
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
后穿过的边界 y 2 (x) 是y的积分上限。
第二种情形可同理讨论。
对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。 如下图：
y
D2 D1
D3
o
x
y
D2
D3
D1
o
x
例1 计算 I x2 ydxdy, D为直线 y x与抛物线
D
y x2 所围的区域。
不妨用两种情形分别进行计算，加以比较。
解：积分区域D如图。
2
d
2 r3dr 2 15 15
0
1
42
例6 计算I 4 x2 y2 d，其中 D : x2 y2 2x.
D
解：积分区域是如图所 y
示的圆域。
r 2cos
D : , 0 r 2cos.
2
2
则
θD
o
2
x
I 4 r2 rdrd
D
2
d
2 c os
0
2
4 r 2 rdr
1 2
ri2i
r ri
1 2
(2ri
ri
)ri i
ririi
i o
i
i
ri
(ri ,i )
ri
A
在圆周 r ri 上任取一点 (ri ,i ) ，其中i i i i ,
设其直角坐标为 (i ,i ) ，它们的关系为
所以
i ri cosi ,i ri sini
n
lim
0
i1
x
小结：显然1）较2）麻烦。
例3 计算 I x2ey2 dxdy, 其中D由 x 0,
D
y 1及y x 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
先对x后对y积分：
I
1
dy
y x2e y2 dx
0
0
y
y 1
yx
1
11 [ 03
x3e y2
所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，
得
V
b
S(x)dx
b
[
2 (x)
f (x, y)dy]dx
a
a 1 ( x)
于是，得二重积分的计算公式：
f (x, y)dxdy
b
[
2 (x) f (x, y)dy]dx
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
D
a 1 ( x)
a
1 ( x)
确定r、 θ的积分上下限，分情况讨论：
（1）极点在区域D外，如图：
r 2( )
D
D : , 1( ) r 2( )
则
r 1( )
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
d
2 ( ) f (r cos , r sin )rdr
1 ( )
D
（2）极点在区域D的边界上，
y
法一 先y后x。
将积分区域投影到x轴上，
得到x的范围[0，1].
D
在[0，1]上任取一点x，
o
x1
x
过该点作一条平行于y轴的射线， 先穿过的边界
y x2 作y的积分下限， 后穿过的边界 y x 作y的上
限，这样就有
D : 0 x 1, x2 y x
所以
I
1
dx
0
x x2 ydy
D
y 1(x)
a
bx
在区间[a，b]
内任取一点x，过此
z
点作与yoz面平行
的平面，它与曲顶
柱体相交得到一个
一个曲边梯形：
y
z f (x, y)
y 2(x)
D
y 1(x)
底为 1(x) y 2 (x)
高为 z f (x, y)
o
a
x
bx
其面积为
S(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x)
r ( )
如图。
D
D : , 0 r ( )
则
o
A
( )
f (r cos , r sin )rdrd d 0 f (r cos , r sin )rdr