人教版中职数学(拓展模块)1.1《和角公式》ppt课件1
人教版中职数学拓展模块《和角公式》课件 (一)
人教版中职数学拓展模块《和角公式》课件
(一)
人教版中职数学拓展模块《和角公式》课件是一篇全面介绍和角公式的教学材料。
本文将从以下几个方面进行分析：
一、课件概述
这份课件主要由三部分组成，分别是和角公式定义和引导，代数证明和几何应用。
整份课件以清晰的图片和简洁的文字展现了和角公式的本质和应用范围，非常适合中职生进行学习和理解。
二、和角公式的定义和引导
在这一部分，课件通过采用清晰的语言和图表，引导学生了解和角公式的本质和计算方法。
首先，课件解释了角度和弧度的关系，然后引出了和角公式的定义。
这个过程十分清晰，便于学生的理解。
课件还提供了丰富的例子和图表，让学生更加深入地了解和掌握和角公式的应用。
三、代数证明
这一部分主要展示了和角公式的代数证明过程。
通过直接的推导和变形，课件向学生展示了和角公式的本质和内在逻辑。
在这个过程中，课件还展现了代数运算的基本方法，帮助学生更好地理解和角公式的基本原理。
四、几何应用
在这一部分，课件通过许多实际例子，向学生展示了和角公式的广泛应用，以及如何运用和角公式解决几何问题。
特别是在课件的最后，展现了一个综合应用实例，让学生近距离感受和角公式的实际应用效果。
总体来说，人教版中职数学拓展模块《和角公式》课件十分全面和深入地讲解了和角公式的本质和应用。
其文字简练、图片清晰，内容丰富、结构清晰，非常适合中职生进行学习和掌握。
此外，该课件还提供了各种学习资源和练习积累，为学生进行更加深入的学习和理解提供了很好的帮助。
语文版中职数学拓展模块1.1《和角公式》教案
课 题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（5）教学目的：通过例题的讲解，增强学生利用公式解决具体问题的灵活性 教学重点：两角和与差的余弦、正弦、正切公式教学难点：灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．两角和与差的正、余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-二、讲解范例：例1 在斜三角形△ABC 中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA •tanB •tanC 证一：在△ABC 中，∵A+B+C=π ∴A+B=π-C从而有 tan(A+B)=tan(π-C) 即：C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC 即：tanA+tanB+tanC=tanA •tanB •tanC证二：左边= tan(A+B)(1-tanAtanB) +tanC=tan(π-C) (1-tanAtanB) +tanC =-tanC+ tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=右边例2 求(1+tan1︒)(1+tan2︒)(1+tan3︒)……(1+tan44︒) 解： (1+tan1︒)(1+tan44︒)=1+tan1︒+tan44︒+tan1︒tan44︒ =1+tan45︒(1- tan1︒tan44︒)+ tan1︒tan44︒=2同理：(1+tan2︒)(1+tan43︒)=2 (1+tan3︒)(1+tan42︒)=2 …… ∴原式=222例3 已知tan θ和)4tan(θπ-是方程02=++q px x 的两个根，证明：p -q+1=0证：由韦达定理：tan θ+)4tan(θπ-=-p ，tan θ•)4tan(θπ-=q∴qp --=-⋅--+=-+==1)4tan(tan 1)4tan(tan )]4(tan[4tan 1ϑπθϑπθθπθπ∴p -q+1=0例4 已知tan α=)1(3m +，tan(-β)=3(tan αtan β+m),又α,β都是钝角，求α+β的值 解：∵两式作差，得：tan α+tan β=3(1-tan αtan β) 即3tan tan 1tan tan =-+βαβα ∴3)tan(=+βα又 α,β都是钝角 ∴π<α+β<2π ∴α+β34π=例5 已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2+px+2=0的两实根，求)cos()sin(βαβα-+的值解：∵=++=-+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(s s βαβαtan tan 1tan tan ++ tan α，tan β是方程x 2+px+2=0的两实根∴⎩⎨⎧=⋅-=+2tan tan tan tan βαβαp ∴321)cos()sin(pp -=+-=-+βαβα例6 求20cos 20sin 10cos 2-的值解：原式=20cos 20sin )2030cos(2--20cos 20sin 20sin 30sin 220cos 30cos 2-+= =320cos 20sin 20sin 20cos 3=-+三、课堂练习：1若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos （A ＋B ）的值为( )21D. 22C. 22B. 22A.±±-2已知α＋β＝k π－4π（k ∈Ｚ）则（1－tan α）（1－tan β）的值为( ) A －1 B Ｃ－2 Ｄ23若a ＝tan100°，b ＝tan25°，c ＝tan55°，则a 、b 、ｃ之间的关系是( ) A a ＋b ＋ｃ＝ab ｃ B ab ＋b ｃ＋ｃa ＝1Ｃab ＋b ｃ＋ｃa ＝a ＋b ＋ｃ Ｄab ＋b ｃ＋ｃa ＝a 2＋b 2＋ｃ2 4tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°＝5︒︒40tan 20tan ＝6(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)……(1＋tan44°)(1＋tan45°)＝参考答案：1C 2 3A 41 5－3 6223四、小结五、课后作业：1tan67°30′－tan22°30′等于( )A 1 B2 Ｃ2 Ｄ42tan17°tan43°＋tan17°tan30°＋tan30°tan43°的值为( )A －1B 1 Ｃ 3 Ｄ－33已知α＋β＝k π＋4π（k ∈Ｚ），则（1＋tan α）（1＋tan β）等于( )A －1B 1C －2D 24tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝5)6tan()6tan(3)6tan()6tan(θπθπθπθπ+-+++-＝6在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan Ｃ＝33，tan 2B ＝tan A tan Ｃ，则∠B 等于7已知.)tan(tan tan tan )tan(,31)sin(,21)sin(2的值求βαββαβαβαβα+--+=-=+ 8求证tan(x -y )+tan(y -ｚ)+tan(ｚ-x )＝tan(x-y )·tan(y-ｚ)·tan(ｚ-x )9已知β－α＝γ－β＝3π，求tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α的值 参考答案：1C 2B 3 4 3 5 3 6 3π75 8(略) 9－3六、板书设计（略） 七、课后记：1化简下列各式：(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β(2)x x x xx x x x cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+-- (3)αββαβαβα2222tan tan cos sin )sin()sin(+-+ 1解：(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β＝cos ［（α＋β）－β］＝cos α这一题可能有些学生要将cos （α＋β）与sin （α＋β）按照两角和的正、余弦公式展开，从而误入歧途，老师可作适当提示，让学生仔细观察此题结构特征，就整个式子直接运用公式以化简(2)x x x xx x x x cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+=-1)cos sin (cos sin cos sin sin 22-+--=x x x x x x x x x cos sin --)cos (sin cos sin )cos (sin cos cos sin sin 2222x x xx x x x x x x +--+--=)cos (sin cos sin cos sin 22x x x x x x +---=0)cos (sin cos sin )cos )(sin cos (sin =+--+-=x x xx x x x x 这一题目运用了解三角函数题目时常用的方法“切割化弦”(3)αββαβαβα2222tan tan cos sin )sin()sin(+-+ αββαβαβαβαβα2222tan tan cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin +-+=αββαβααββαβαβα22222222222222tan tan cos sin sin cos 1tan tan cos sin sin cos cos sin +-=+-=1tan tan tan tan 12222=+-=αβαβ 2证明下列各式(1)βαβαβαβαtan tan 1tan tan )cos()sin(++=-+(2)tan （α＋β）tan （α－β）（1－tan 2αtan 2β）＝tan 2α－tan 2β (3)αββααβαsin sin )cos(2sin )2sin(=+-+2证明：(1)右边＝)cos()sin(sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin 1cos sin cos sin βαβαβαβαβαβαββααββαα-+=++=++＝左边(2)左边＝)tan tan 1)(tan()tan(22βαβαβα--+)tan tan 1(tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan 22βαβαβαβαβα-⨯+-⨯-+=)tan tan 1(tan tan 1tan tan 222222βαβαβα-⨯--=右边=-=βα22tan tan(3)左边＝)cos(2sin ])sin[(βαααβα+-++ααβααβααβαsin sin )cos(2sin )cos(cos )sin(+-+++=ααβαααβααβαsin ])sin[(sin sin )cos(cos )sin(-+=+-+= 右边==αβsin sin3(1)已知sin （α＋45°）＝53，45°＜α＜135°求sin α(2)求tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°的值3解：(1)∵45°＜α＜135° ∴90°＜α＋45°＜180°又∵sin （α＋45°）＝53 ∴cos （α＋45°）＝－54∴sin α＝sin ［（α＋45°）－45°］＝sin （α＋45°）cos45°－cos （α＋45°）sin45° ＝102722542253=⨯+⨯ 这题若仔细分析已知条件，可发现所给α的取值范围不能确定cos α的取值，所以需要将α化为（α＋45°）－45°，整体运用α＋45°的三角函数值，从而求得sin α的值（2）tan11°＋tan34°＋tan11°tan34° ＝tan （11°＋34°）（1－tan11°tan34°）＋tan11°tan34° ＝tan45°（1－tan11°tan34°）＋tan11°tan34° ＝1－tan11°tan34°＋tan11°tan34° ＝1。
人教版中职数学基础模块上册《角函数的图象和性质》课件 (一)
人教版中职数学基础模块上册《角函数的图
象和性质》课件 (一)
人教版中职数学基础模块上册《角函数的图象和性质》课件是帮助学生学习角函数特性和图象的一种方式。
这个教学课件主要使用图像和实例来解释三角函数，学生可以通过演示，了解什么是正弦、余弦和正切函数，并对课程内容有更好的理解和掌握。
首先，这个课件适合初学者，因为它从最基本的内容开始介绍，帮助学生逐步掌握知识。
它在讲解三角函数概念和基本性质时，注重图像演示，并给出数学实例，让学生更容易理解三角函数的含义和基本特性。
例如，讲解正弦函数时，除了给出函数表达式，还有直观的图像表示和数学计算说明。
在学习过程中，通过步步深入的讲解，学生可以逐渐掌握三角函数的基本知识与方法。
其次，该课件还注重实际应用，讲解三角函数的实际意义。
例如，学习余弦函数时，课件通过模拟海浪波浪的高低起伏的图像，与余弦函数图像进行对比，让学生感受到余弦函数与实际应用之间的联系。
这种真实的应用示例，让学生更能理解三角函数的真实意义，提高学习效果，增强兴趣，加速掌握程度。
同时，这个课件为学生提供了多方面的学习支持，学生可以根据自己的学习进度，按图索骥地学习，按照自己的理解程度不断回顾，巩固基础知识点。
除此之外，系统的课件排版，清晰的界面，学生对课件的理解和体会也十分深入。
总之，人教版中职数学基础模块上册《角函数的图象和性质》课件对学生的数学学习起到了一个很大的帮助，通过对三角函数的图象和性
质的讲解和分析，学生能够更加深入的了解三角函数的底层原理以及应用，增强学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。
同时，该课件也优秀的体现了人教版社的教学理念，为学生提供了有力的学习支持。
人教版(2021)中职数学拓展模块一(上册)《两角和与差的正切公式》课件
−
= −．
课堂练习
练习3 已知 = ， = ，求( + )，( − )
的值.
练习4 已知 =
− ，且
<<
，求(
− )的值.
温故知新
➢ 两角和与差的正切公式
tan( + ) = ________________________ ；
中等职业学校公共基础教材 拓展模块一
1.1.3 两角和与差的正切公式
温故知新
➢ 两角和与差的余弦公式
➢ 两角和与差的正弦公式
新知探究
➢ 两角和与差的正切公式
我们知道
( + ) +
( + ) =
=
，
( + ) −
（1） °；
（2）
°+ °
．
− ° °
°+ °
解 （2）
= ° + °
− ° °
= ° = ．
课堂练习
练习1 利用和角公式求值：
（1）°；
（2）°．
练习2 计算：
新知应用
例1 利用和角公式求值：
（1） °；
（2）
°+ °
．
− ° °
解 （1）° = ° + °
+
° + °
=
=
= + ．
− °°
−
新知应用
例1 利用和角公式求值：
把上述后一个分式的分子、分母同时除以
( ≠ )，得
高教版中职数学(拓展模块)1.1《两角和与差的正弦公式与余弦公式》ppt课件3
(1.6)
因为sin2 cos2 1 ，所以公式(1.6)又可以变形为
探
cos 2 2cos2 1
索 新
或 cos 2 1 2sin2
还可以变形为
sin2 1 cos 2 ,
2
cos2 1 cos 2 .
2
知
公式（1.5）、（1.6）及其变形形式，反映出具有二倍关系的角的
三角函数之间的关系．在三角的计算中有着广泛的应用．
巩
例8
已知
sin
3，且
5
为第二象限的角，求 sin2、cos2 的值．
固
解 因为 为第二象限的角，所以
知
识
cos 1 sin2 1 (3 )2 4
5
5
典 型
故 sin 2 2sin cos 24
25
例
cos 2 1 2sin2 7
题
25
巩 固
例9
已知cos
2
1 3
活
动
实践调查：用两角和与差的余弦
探
究
公式印证一组诱导公式
，且
(π, 2π) ，求
sin、cos
4
的值．
解 由 (π,2π) 知 (π , π)，所以
22
知
sin
1 cos2
1 1 2
2
识
2
2
93
故 sin 2sin cos 2 2 2 ( 1) 4 2
典 型 例 题
22
3
3
9
由于 (π , π) ，且
4 42
cos2
1 cos
建
cos 2 cos2 sin2 ．
构
人教版中职数学(拓展模块)1.4《三角公式的应用》ppt课件1
2019/10/17
教学资料精选
11
谢谢欣赏！
2019/10/17
教学资料精选
12
实地听完整堂课。
•
3、课前预习
•
课前预习新课内容，找出不理解的地方标记下来。预习后尝试做课后练习题，不要怕出错，因为老师还没有讲，出错也是正常的。
•
关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。
•
4、即便上课时不理解也不要放弃
•
有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容
4
5
4
问:做完这两题后对你有什么启发?
学会分析已知条件中的角和要求角之间的关系(拆角拼角).如:
,2 ( ) ( ),( x) ( x) , 2 等
4
42Βιβλιοθήκη 2问题3:(1) tan150 tan 300 tan150 tan 300
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
了，但等到你日后自己学习的时候，也能让你回想起很多内容。
变式1: 在(1)中,若0 x ,求此函数值域.
变式2
:
求y
s in 2
1.1.1 两角和的余弦公式 课件-中职数学人教版拓展模块
两角和的余弦公式
cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β． （Cα＋β）
再 见
新知探究
例2 ，且的值.解 因为，且所以
=．
练习2 ，的值.
新知探究
练习4 求证：cos２α＝cos２α－sin２α．
新知探究
证明：cos２α－sin２α=cos αcos α－sin αsin α=cos２α．
cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β． （Cα＋β）
新知探究
例1 求的精确值． 解 ＝ ＝－ ＝．
新知探究
练习1 求下列各式的精确值： （1） cos 75°；（2） cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°；（3）cos 22.5°cos 22.5°－sin 22.5°sin 22.5°；（4） cos215°－sin215°．
1.1.1 两角和的余弦公式
中职数学人教版中职数学拓展模块
问题导入
本章导语中需要求cos 75°的值．事实上，我们已经知道了30°，45°的正弦、余弦值， 能否根据这些值来求cos15°的值？ 一般地，怎样根据α和β的三角函数值求出cos（α+β）的值？
新知探究
我们首先研究角α和β均为锐角的情况． 如图所示，以坐标原点为中心作单位圆， 并设单位圆与x轴的正半轴交于点A（1，0），以Ox为始边作角α，α＋β，－β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，B，则点P，Q，B的坐标分别可表示为
P（cos α，sin α），Q（cos（α＋β），sin（α＋β）），B（cos（－β），sin（－β））．
新知探究
易证得△QOA△POB，则 ＝ ，即=， 两边平方，得2－2cos（α＋β） ＝2－2cos αcos β＋2sin αsin β， 化简，得
人教版(2021)中职数学拓展模块一(上册)《两角和与差的正弦公式》课件
6 2. 4
新知应用
例1 求sin 75°，sin 15°的精确值． 解 sin 15°=sin(45°－30°)
=sin 45°cos 30°－ cos 45°sin30°
2 3－ 2 1 2 2 22
6－ 2 . 4
新知探究
由于sin 15°
6 4
2 ， cos15°= sin 75°
sin
cos
3
cos
sin
3
3 5
1 2
4 5
3 2
34 10
3；
sin
4
sin
4
cos
cos
4
sin
2 2
4 5
2 2
3 5
2 10
．
新知探究
例3 已知点P(3，4) ，将点P与原点的距离保持不变，并绕原点旋转 45°
到 P′的位置，求点P′的坐标 (x′，y′) ，如图.
sin
cos
cos
sin
.（S
）
新知探究
因为
cos
2
sin
，sin
2
cos
，所以
sin(
)
cos
2
(
)
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sincos cossin．
在上式中，以 代替 ，得
sin( ) sin[ ( )] sincos( ) cossin( ) sincos cossin．
新知探究
于是，对于任意角 ，，我们可以得到如下公式：
sin( ) sin cos cos sin ；
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0 0 0 0 cos 45 cos30 sin 45 sin 30 cos 45 cos30 sin 45 sin 30
2 3 2 1 2 2 2 2 6+ 2 4
2 3 2 1 2 2 2 2 6 2 4
（2） cos80 cos 20 sin 80 sin 20
公式理解
两角差的余弦公式
cos( - ) coscos sinsin
用 -b 代替b 两角和的余弦公式 ？
cos( + ) cos cos -sin sin
1、公式中两边的符号正好相反 2、式子右边同名三角函数相乘再加减， 且余弦在前正弦在后。 3、公式中 、 为任意角。
cos 2 2
4
cos( 5 5
4
4
4
) sin
4
sin(
4
)
2 2 5 ( ) 2 5
10 10
规律总结
（1）利用平方关系求值时，要注意根据 已知角的象限确定符号。 （2）利用公式求值时，要把所求的角分 解成已知的或可求的角，注意角的 拆、拼技巧。
课堂小结
知识上：
cos( ) cos cos sin sin
题型上： 公式的逆用，变形用．
结构特点： 同名之积相加减，运算符号左右反。
课堂小结
知识上：
cos( ) cos cos sin sin
题型上： 公式的逆用，变形用．
结构特点： 同名之积相加减，运算符号左右反。
cos(80 20) cos 60 1 2 （3） cos80 cos 35 cos10 cos 55
cos80 cos 35 sin 80 sin 35
cos 45 2 2
规律总结
(1)运用公式解题时，要记清公式的结构特 征，尤其是中间的符号． (2)把非特殊角转化为特殊角的差或和．
1.1 和角公式
1.1.1 两角和与差的余弦
• 1.填表 弧度 角度 sin
cos
6
30 1 2
0
复习引入
4
45
0
3
60
3 2
0
2 2 2 2
3 2
1 2
复习引入
2. 设向量 a x1 , y1 , b x2 , y2 ,它们的夹角为 ，则向 量 a b 是多少？
小组合作
cos(45 30) cos45cos15 sin45sin15
思考：从特例出发，你能推广得到对任意的 两个角 ， 的关系式吗？ 任意角
，
cos( - ) cos cos sin sin
成立吗？
y 1 P -1 o Q 1 x
公式证明
设角、 的终边分别与单 位圆相交于点P和点Q
5 2、已知 cos( )= ， ( , ),求 cos 。 4 5 2
3 解： ， - - ， - 4 4 4 2 2 5 5 sin( ) cos( ) 4 5 4 5 cos cos ( )
探究突破
看谁做的快
（1）求cos150及cos750的值。
（2） cos80 cos 20 sin 80 sin 20
（3） cos80 cos35 cos10 cos55
探究突破
解： cos15 cos(45 30 )
0 0 0
0 0 0 0
cos75 cos(45 30 )
- = OP ,OQ 2k ,k Z
-1
或者 - = - OP ,OQ 2k ,k Z
OP OQ cos( )
OP OQ cos cos sin sin cos( - ) cos cos sinsin
30 0
Q(cos 300 ,sin 300 )
o
1
OP OQ ? 或者 OP -1 OQ ?
OP OQ OP OQ cos15 = cos15
0 0
x
或OP OQ cos 45 cos30 sin 45 sin30
0 0 0
0
思考：由以上两个等式，你能得到什么结论？
a b a b cos x1 x2 y1 y 2
大胆猜想
cos150=?
cos 15 cos 45 cos 30
cos 15 cos 45 cos 30
？
1.1.1两角和与差的余弦
y
1
师生合作
-1
150
45
0
0 0 (cos 45 ,sin 45 ) P
(3)熟记特殊角的三角函数值，是解决本 章求值问题的必要基石．
巩固变式
3 已知 cos , ( , ),求 cos( )。 例题. 5 2 4 3 变式练习：1、已知 sin , ( , )
5 2 5 3 cos , ( , ),求 cos( ). 13 2