中职数学拓展模块2.1.1椭圆的标准方程教案教学设计人教版

☆补充设计☆

教 师行为

学生行为

设计意图

*揭示课题

2．1 椭圆． *创设情境 兴趣导入

我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次方程0Ax By C ++=为直线的方程，二元二次方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->为圆的方程．

下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应的曲线． 了解 观看 课件 思考

引导 启发学生得出结果

*动脑思考 探索新知

先来做一个实验：

准备一条一定线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆：

（1）如图2－1所示，将绳子的两端固定在画板上的1F 和2F 两点，并使绳长大于1F 和2F 的距离．

（2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形．

从实验中可以看到，笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个

定点1F 和2F 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的长度）． 我们将平面内与两个定点12F F 、的距离之和为常数（大于12F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距．

实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程．

取过焦点12F F 、的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2－2所示．

思考

引导学生发现解决问题方法

设M (x ，y )是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c （c ＞0），椭圆上的点与两个定点12F F 、的距离之和为2a （a ＞0），则12F F ，的坐标分别为（－c ，0），（c ，0），由条件122MF MF a +=，得

2222()()2x c y x c y a +++-+=，

移项得

2222()2()x c y a x c y ++=--+，

两边平方得2222222()44()()x c y a a x c y x c y ++=--++-+， 整理得 222()a cx a x c y -=-+， 两边平方后，整理得 22222222()()a c x a y a a c -+=-， 由椭圆的定义得2a ＞2c ＞0，即a ＞c ＞0，所以220a c ->，设222(0)a c b b -=>，则

222222b x a y a b +=，

【小提示】

设222a c b -=，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义． 等式两边同时除以22a b ，得

22

22

10x y a b a b += (＞＞) （2.1） 方程（2.1）叫做焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．它所表示

的椭圆的焦点是12(0)(0)F c F c -，，，，并且222a c b -=．

如图2－3所示，如果取过焦点12F F 、的直线为y 轴，线段12F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，用类似的方法可以得到椭圆的标准方程为

理解

记忆

图2－2

22

22

10y x a b a b += (＞＞) （2.2）

图2－3

方程（2.2）叫做焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．字母a 、b

的意义同上，并且222a c b -=． 【想一想】

已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？ *巩固知识 典型例题

例1 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．

解 由于2c =8，2a =10，即c =4，a =5，所以

2229b a c =-=，

由于椭圆的焦点在x 轴上，因此椭圆的标准方程为

2

2

22

153x y

+=，

即 22

1259

x y +=．

【想一想】

将例1中的条件“椭圆的焦点在x 轴上”去掉，其余的条件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？

例2 求下列椭圆的焦点和焦距．

（1）22

154

x y +=； （2）22216x y +=．

分析 解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上．方法是观察标准方程中含x 项与含y 项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个数轴．

解 （1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且

观察 思考 主动 求解

注意观察学生是否理解知识点