第六讲 VAR模型(高级计量经济学课件-对外经济贸易大学 潘红宇)
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高宏第六讲
C t 1
1 1
A t c t 1
gt 1 1
A 0 e c t 1 A 0
1
e1 gt
c t 1
1
考虑有效劳动的家庭效用函数
L 0 nt U e u C t e dt t 0 H 1 1 1 gt c t t e A0 e t 0 1
1.模型的基本假定
厂商
大量厂商，每一厂商具有同索洛模型相同 的生产函数Y=F(K,AL) ； 要素市场、产品市场都是完全竞争的； A外生以速率g增长； 厂商最大化利润。
1.模型的基本假定
家庭
大量相同家庭（数量H），每一家庭规模以速 率n增长（长生不老且没有新家庭加入）。 家庭每一成员在每一时点上供给1单位劳动，将 所拥有资本均租给厂商，家庭拥有企业，因此， 企业产生的利润归于家庭。 K 0 家庭最初资本持有量为： H 没有折旧
瞬时效用函数性质总结
边际效用为正，边际效用递减。 相对风险厌恶系数（跨期替代弹性）为常数。 跨期替代弹性为常数。
考虑有效劳动的家庭效用函数
定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)，有：
A(t ) A(0)e
gt
C(t ) A(t )c(t )
考虑有效劳动的家庭效用函数
C t c t At
购 买 产 品
提 供 产 品
将 全 部 资 要素市场 本 （完全竞争） 租 给 厂 商 付出工资， 一个家庭获得： Lt At f k t k t f k t H
付资本报酬，一个家庭获得：
K t f k t H
厂商（很多）
1 1
A t c t 1
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1
考虑有效劳动的家庭效用函数
L 0 nt U e u C t e dt t 0 H 1 1 1 gt c t t e A0 e t 0 1
1.模型的基本假定
厂商
大量厂商，每一厂商具有同索洛模型相同 的生产函数Y=F(K,AL) ； 要素市场、产品市场都是完全竞争的； A外生以速率g增长； 厂商最大化利润。
1.模型的基本假定
家庭
大量相同家庭（数量H），每一家庭规模以速 率n增长（长生不老且没有新家庭加入）。 家庭每一成员在每一时点上供给1单位劳动，将 所拥有资本均租给厂商，家庭拥有企业，因此， 企业产生的利润归于家庭。 K 0 家庭最初资本持有量为： H 没有折旧
瞬时效用函数性质总结
边际效用为正，边际效用递减。 相对风险厌恶系数（跨期替代弹性）为常数。 跨期替代弹性为常数。
考虑有效劳动的家庭效用函数
定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)，有：
A(t ) A(0)e
gt
C(t ) A(t )c(t )
考虑有效劳动的家庭效用函数
C t c t At
购 买 产 品
提 供 产 品
将 全 部 资 要素市场 本 （完全竞争） 租 给 厂 商 付出工资， 一个家庭获得： Lt At f k t k t f k t H
付资本报酬，一个家庭获得：
K t f k t H
厂商（很多）
计量经济学第六章-PPT课件
若模型有三个未知数，将数据三等分，分别求出 每部分的和，代入方程，得到三个方程，解方程 组可获得三个参数的估计值 10
模型的参数估计（续1）
参数的非线性最小二乘估计（第五章）
非线性模型可利用NLS进行参数的精确估计
首先，用param命令对参数赋初值 其次，输入方程，对模型进行估计
11
考虑选择指数曲线模型
2000000
1500000
1000000
500000
0 72 74 76 78 80 Y 82 84 YF 86 88 90 92
9
模型的参数估计
参数的最小二乘估计
常用的各类趋势模型参数估计仍常用OLS 其中，自变量为时间t
参数的三和值法（第五章）
若选用有增长上限的曲线趋势模型，当增长 上限事先不能确定时，可采用三和值法 基本思想
1961-1981年我国搪瓷面盆销售量数据如下 根据其变化，试以Gompertz曲线作为预测模型
由于增长上限L事先无法得知，参数估计可用NLS 在精确估计前，选择三和值法获得参数的初值 模型取对数转换成修正指数曲线 t ˆ y log L b log a log t
计算各段和值 根据参数计算公式计算参数值
产品市场生命周期
进入期 成长期 成熟期 衰退期
20
产品生命周期分析（续1）
f(t)
饱和点
进 成长期 入 期
成熟期 后 期 前 期
衰退期
t
21
产品生命周期分析（续2）
产品市场生命周期的各个阶段与某些趋势 模型存在大致的对应关系
计量经济学全套课件(完整)
2024/1/27
7
计量经济学研究目的与意义
2024/1/27
01
研究意义
02 推动经济学研究的定量化、精确化和科学 化。
03
为政府、企业和个人提供经济分析和决策 支持。
04
促进经济学的理论创新和实践应用。
8
2023
PART 02
经典线性回归模型
REPORTING
2024/1/27
9
一元线性回归模型
REPORTING 3
计量经济学定义与特点
01
计量经济学定义：计量经济学是运用数学、统计学和经济 学等方法，对经济现象进行定量分析和预测的一门学科。
02
计量经济学特点
03
以经济理论为基础，运用数学和统计学方法进行实证分析 。
2024/1/27
04
强调数据的收集、整理和分析，注重数据的可靠性和有效 性。
计量经济学模型估计
详细阐述如何在EViews软件中估计和检验各种计量经济学模型，如线 性回归模型、时间序列模型等。
26
Stata软件操作指南
Stata软件安装与启动
提供Stata软件的安装教程和启动指 南。
数据管理
介绍如何在Stata中进行数据的导入 、导出、合并和整理等操作。
2024/1/27
图形与可视化
等，以及针对模型问题的修正方法，如加权最小二乘法、广义最小二乘
法等。
12
2023
PART 03
广义线性模型与非线性模 型
REPORTING
2024/1/27
13
广义线性模型概述
2024/1/27
01
广义线性模型（GLM）是一种灵活的统计模型，用 于描述因变量与一组自变量之间的关系。
VAR模型学习教程
[dln_inv]L2.dln_inc表示方程dln_inv中dln_inc的2期滞后值的系数，该命令 即检验这两个系数是否联合为0。
第14页/共49页
4 VAR模型的平稳性检验
要检验先前拟合的VAR模型的平稳性，我们可以键入命令： varstable, graph 其中，选项graph表明，我们会同时得到伴随矩阵特征值的作图。
第11页/共49页
在估计完模型之后，可以对回归结果进行保存，输入命令： est store var1 其中，“est store”是对结果进行保存的基本命令。这里，我们将保存是结果
命名为var1。之后，如果要进行模型阶数选择或平稳性检验等，就可以用这个 结果。 例如，我们要在回归之后再对模型的滞后阶数重新估计，可输入命令： varsoc, estimates(var1) 这里，选项estimates(var1)表示对之前存储的拟合结果var1进行滞后阶数选 择。事实上，因为我们刚刚进行完VAR模型的拟合，不加选项我们也可以得到 相同的结果。
第12页/共49页
• 3 格兰杰因果关系检验
第13页/共49页
• 事实上，对于vargranger所做的检验，我们可以通过test命令来实现，只不过 稍微麻烦些。对于本例中，我们要检验第1个方程中dln_inc是否为dln_inv的格 兰杰因，可通过如下命令实现：
• test [dln_inv]L.dln_inc [dln_inv]L2.dln_inc • 其中，[dln_inv]L.dln_inc表示方程dln_inv中dln_inc的1期滞后值的系数，
• 这里，我们用条件语句“if qtr<tq(1979q1)”对样本区间做了 限定，这是为了方便后面对动态预测值和样本观测值进行对比。 此外，我们没有设定模型的滞后期，这里使用了默认的设置，滞 后期为1到2期。
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4 VAR模型的平稳性检验
要检验先前拟合的VAR模型的平稳性，我们可以键入命令： varstable, graph 其中，选项graph表明，我们会同时得到伴随矩阵特征值的作图。
第11页/共49页
在估计完模型之后，可以对回归结果进行保存，输入命令： est store var1 其中，“est store”是对结果进行保存的基本命令。这里，我们将保存是结果
命名为var1。之后，如果要进行模型阶数选择或平稳性检验等，就可以用这个 结果。 例如，我们要在回归之后再对模型的滞后阶数重新估计，可输入命令： varsoc, estimates(var1) 这里，选项estimates(var1)表示对之前存储的拟合结果var1进行滞后阶数选 择。事实上，因为我们刚刚进行完VAR模型的拟合，不加选项我们也可以得到 相同的结果。
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• 3 格兰杰因果关系检验
第13页/共49页
• 事实上，对于vargranger所做的检验，我们可以通过test命令来实现，只不过 稍微麻烦些。对于本例中，我们要检验第1个方程中dln_inc是否为dln_inv的格 兰杰因，可通过如下命令实现：
• test [dln_inv]L.dln_inc [dln_inv]L2.dln_inc • 其中，[dln_inv]L.dln_inc表示方程dln_inv中dln_inc的1期滞后值的系数，
• 这里，我们用条件语句“if qtr<tq(1979q1)”对样本区间做了 限定，这是为了方便后面对动态预测值和样本观测值进行对比。 此外，我们没有设定模型的滞后期，这里使用了默认的设置，滞 后期为1到2期。
《高级计量经济学》幻灯片
京:中国统计出版社
• 高雪梅主编(2005).?计量经济分析方法与建模：
EVIEWS应用及实例?.北京：清华大学出版社.
4
△ 初、中、高级计量经济学
• 初级以计量经济学的数理统计学根底知识和经
典的线性单方程模型理论与方法为主要内容；
• 中级以用矩阵描述的经典的线性单方程模型理
论与方法、经典的线性联立方程模型理论与方 法，以及传统的应用模型为主要内容；
概率论根底
• 克莱因成为其理论与应用的集大成者
6
• 经典计量经济学在理论方法方面特征是： • ⑴ 模型类型—随机模型； • ⑵ 模型导向—理论导向； • ⑶ 模型构造—线性或者可以化为线性，因
果分析，解释变量具有同等地位，模型具有明 确的形式和参数；
• ⑷ 数据类型—以时间序列数据或者截面数
据为样本，被解释变量为服从正态分布的连续 随机变量；
2
参考书目 7.William H. Greene?计量经济学分析?，中国社会 科学出版社。 清华大学出版社出了该书的英文影印本 8. Michael Intriligator, Ronald Bodkin and Cheng Hsiao.?Econometric models, techniques, and applications?, Prentice Hall Inc. 9.Robert S. Pindyck and Daniel L. Rubinfeld?计 量经济学模型与经济预测?，机械工业出版社。 10.Ramu Ramanathan.?应用经济计量学?，机械 工业出版社。
11
• 宏观计量经济学名称由来已久，但是它的主要
内容和研究方向发生了变化。
• 经典宏观计量经济学：利用计量经济学理论方
• 高雪梅主编(2005).?计量经济分析方法与建模：
EVIEWS应用及实例?.北京：清华大学出版社.
4
△ 初、中、高级计量经济学
• 初级以计量经济学的数理统计学根底知识和经
典的线性单方程模型理论与方法为主要内容；
• 中级以用矩阵描述的经典的线性单方程模型理
论与方法、经典的线性联立方程模型理论与方 法，以及传统的应用模型为主要内容；
概率论根底
• 克莱因成为其理论与应用的集大成者
6
• 经典计量经济学在理论方法方面特征是： • ⑴ 模型类型—随机模型； • ⑵ 模型导向—理论导向； • ⑶ 模型构造—线性或者可以化为线性，因
果分析，解释变量具有同等地位，模型具有明 确的形式和参数；
• ⑷ 数据类型—以时间序列数据或者截面数
据为样本，被解释变量为服从正态分布的连续 随机变量；
2
参考书目 7.William H. Greene?计量经济学分析?，中国社会 科学出版社。 清华大学出版社出了该书的英文影印本 8. Michael Intriligator, Ronald Bodkin and Cheng Hsiao.?Econometric models, techniques, and applications?, Prentice Hall Inc. 9.Robert S. Pindyck and Daniel L. Rubinfeld?计 量经济学模型与经济预测?，机械工业出版社。 10.Ramu Ramanathan.?应用经济计量学?，机械 工业出版社。
11
• 宏观计量经济学名称由来已久，但是它的主要
内容和研究方向发生了变化。
• 经典宏观计量经济学：利用计量经济学理论方
计量经济学课件(全)
计量经济学第一章绪论目前，在经济学、管理学以及一些相关学科的研究中，定量分析用得越来越多。
所谓定量分析，即揭示经济活动中客观存在的数量关系。
定量分析方法统计分析方法：一元多元经济计量分析方法：以模型为基础时间序列分析方法：动态时间序列§1.1 计量经济学及其模型概述一、计量经济学计量经济学的诞生计量经济学“Econometrics”一词最早是由挪威经济学家弗里希(R.Frish)于1926年仿照“Biometrics”(生物计量学)提出来的，这标志着计量经济学的诞生。
弗里希将计量经济学定义为经济学、统计学和数学三者的结合。
计量经济学的定义计量经济学是以经济理论为指导，以经济事实为依据，以数学、统计学为方法，以计算机为手段；主要从事经济活动的数量规律研究，并以建立、检验和运用计量经济学模型为核心的一门经济学学科。
二、计量经济学模型模型，是对现实的描述和模拟。
模型分类语义模型：语言文字。
物理模型：简化的实物。
几何模型：几何图形。
数学模型：数学公式。
计算机模拟模型：计算机模拟技术。
计量经济学模型属于经济数学模型，即用数学公式来描述经济活动。
例：生产函数经济数学模型是建立在经济理论的基础之上的。
生产理论：“在供给不足的条件下，产出由资本、劳动、技术等投入要素决定，随着各投入要素的增加，产出也随之增加，但要素的边际产出递减。
” 建立初始模型初始模型的特点模型描述了经济变量之间的理论关系；通过模型可以分析经济活动中各因素之间的相互影响，从而为控制经济活动提供理论指导；认为这种关系是准确实现的；模型并没有揭示各因素之间的定量关系，因为参数未知。
模型的改进以1964-1984年我国工业生产活动的数据作为样本，估计得到：改进模型的特点1.用随机性的数学方程描述现实的经济活动与经济关系。
2.揭示了经济活动中各因素之间的定量关系。
3.可用于对研究对象进行深入的研究，如结构分析、生产预测等。
初始模型——数理经济学模型数理经济学模型：由确定性的数学方程所构 成，用以揭示经济活动中各因素间的理论关系。
经济学计量经济学应用模型PPT课件
第20页/共190页
⒈ 线性生产函数模型(Linear P.F.)
Y 0 1K 2 L
d(K / L) d(MPL / MPK ) d(K / L) d(2 /1) d(K / L)
0
(K / L) (MPL / MPK ) (K / L) (MPL / MPK ) (K / L) (MPL / MPK )
1968年 Sato, Hoffman VES生产函数
1968年 Aigner, Chu
边界生产函数
1971年 Revanker
VES生产函数
1973年 Christensen, Jorgenson 超越对数生产函数
1980年
三级CES生产函数
第5页/共190页
⑶ 生产函数是经验的产物
• 生产函数是在西方国家发展起来的，作为西方 经济学理论体系的一部分，与特定的生产理论 与环境相联系。
• 2.如果选择C-D生产函数，就意味着承认什么 假设？
• 在C-D生产函数中要素的替代弹性是否随研究 对象变化？是否合理？为什么？
• 在C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本 区间变化？是否合理？为什么？
• 在C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本 点变化？是否合理？为什么？
第25页/共190页
d(K / L)
d( MPL / MPK )
(K / L) ( MPL / MPK )
第13页/共190页
• 要素替代弹性是描述生产行为的重要参数， 求要素替代弹性是生产函数的重要应用。
• 要素替代弹性不为负。 • 特殊情况：要素之间不可替代，此时K/L不
变，分子为0，因此替代弹性为0；要素之间 具有无限可替代性，即无论要素数量增加或 减少，其边际产量不变，此时，分母为0， 因此替代弹性为∞。
⒈ 线性生产函数模型(Linear P.F.)
Y 0 1K 2 L
d(K / L) d(MPL / MPK ) d(K / L) d(2 /1) d(K / L)
0
(K / L) (MPL / MPK ) (K / L) (MPL / MPK ) (K / L) (MPL / MPK )
1968年 Sato, Hoffman VES生产函数
1968年 Aigner, Chu
边界生产函数
1971年 Revanker
VES生产函数
1973年 Christensen, Jorgenson 超越对数生产函数
1980年
三级CES生产函数
第5页/共190页
⑶ 生产函数是经验的产物
• 生产函数是在西方国家发展起来的，作为西方 经济学理论体系的一部分，与特定的生产理论 与环境相联系。
• 2.如果选择C-D生产函数，就意味着承认什么 假设？
• 在C-D生产函数中要素的替代弹性是否随研究 对象变化？是否合理？为什么？
• 在C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本 区间变化？是否合理？为什么？
• 在C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本 点变化？是否合理？为什么？
第25页/共190页
d(K / L)
d( MPL / MPK )
(K / L) ( MPL / MPK )
第13页/共190页
• 要素替代弹性是描述生产行为的重要参数， 求要素替代弹性是生产函数的重要应用。
• 要素替代弹性不为负。 • 特殊情况：要素之间不可替代，此时K/L不
变，分子为0，因此替代弹性为0；要素之间 具有无限可替代性，即无论要素数量增加或 减少，其边际产量不变，此时，分母为0， 因此替代弹性为∞。
经济计量模型分析及预测ppt
yt et 1et1 2et2 qetq
则称该时间 yt为 序移 列动平均序列 这。 种具 形有 式的模型
称为 q阶移动平均模型 M， A(q)。 记其 为中 1、2、 、q
为移动平均系数 型， 的是 待模 估计参数。
二、ARMA模型（5）： ARMA模型
如果时间序列yt是它的当期和前期的随机误差项以及其前期值 的线性函数，即
一、数据整理和分析（2）
季节性判断
季节调整前
季节调整后
二、ARMA模型（1）
ARMA模型是一类常用的随机时序模型，由博克斯（Box）、詹 金斯（Jenkins）创立，亦称B-J方法。它是一种精度较高的时序短期 预测方法。其基本思想是：某些时间序列是依赖于时间t的一族随机变 量，构成该时序的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化 却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述。通过对该数学 模型的分析研究，能够更本质地认识时间序列的结构与特征，达到最 小方差意义下的最优预测。
偏自相关：指对于时间序列yt ，在给定yt-1，yt-2，…， yt-k的条件 下， yt与yt-k之间的条件相关关系。滞后k阶的偏自相关系数是当yt 对yt-1，yt-2，…， yt-k作回归时的系数。称之为偏相关是因为它度 量了k期间距的相关而不考虑k-1期的相关。
二、ARMA模型（8）： 相关性分析的Eviews实际操作
yt 1 yt1 2 yt 2 p yt p et 则称该时间序列为自回 归序列。
上式表示的模型为
p阶自回归模型，缩写为
AR
(
p
)。
、
1
、
2
、 p为自回归参数，是模型
的待估计参数。
et
~
N
则称该时间 yt为 序移 列动平均序列 这。 种具 形有 式的模型
称为 q阶移动平均模型 M， A(q)。 记其 为中 1、2、 、q
为移动平均系数 型， 的是 待模 估计参数。
二、ARMA模型（5）： ARMA模型
如果时间序列yt是它的当期和前期的随机误差项以及其前期值 的线性函数，即
一、数据整理和分析（2）
季节性判断
季节调整前
季节调整后
二、ARMA模型（1）
ARMA模型是一类常用的随机时序模型，由博克斯（Box）、詹 金斯（Jenkins）创立，亦称B-J方法。它是一种精度较高的时序短期 预测方法。其基本思想是：某些时间序列是依赖于时间t的一族随机变 量，构成该时序的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化 却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述。通过对该数学 模型的分析研究，能够更本质地认识时间序列的结构与特征，达到最 小方差意义下的最优预测。
偏自相关：指对于时间序列yt ，在给定yt-1，yt-2，…， yt-k的条件 下， yt与yt-k之间的条件相关关系。滞后k阶的偏自相关系数是当yt 对yt-1，yt-2，…， yt-k作回归时的系数。称之为偏相关是因为它度 量了k期间距的相关而不考虑k-1期的相关。
二、ARMA模型（8）： 相关性分析的Eviews实际操作
yt 1 yt1 2 yt 2 p yt p et 则称该时间序列为自回 归序列。
上式表示的模型为
p阶自回归模型，缩写为
AR
(
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)。
、
1
、
2
、 p为自回归参数，是模型
的待估计参数。
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N
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1 0 其方差协方差阵为 e 0 1
例2：结构VAR与标准VAR
标准化，或简化式
y1t 0.05 1.04 y1t 1 0 0.3 y1t 2 1t y y 0.5 0.4 y 0 0 2t 2 2t 2t 1 2t
例3
判断下面的随机过程是否是平稳的
y1t 0.1 0.008 0.461 y1t 1 1t y 0.3 0.232 0.297 y 2t 2t 1 2t
2 1
3 1 T
预测的均方差阵
(h) M 1 M 1 ' M h 1 M h 1 ' M0 I,Mi
min( p ,i ) j 1
j
M i j , i 1,2,...
VAR(1) Mi=1i
预测区间
95％置信区间
ˆ ˆ y1,T (1) 1.96 1 (1) ˆ ˆ y 2,T (1) 1.96 2 (1) ˆ ˆ y1,T (2) 1.96 1 (2) ˆ ˆ y 2,T (2) 1.96 2 (2)
估计VAR模型
当滞后长度p确定以后，VAR（p）模型的未知参 数为 C , 1 ,, p , 估计方法：每个方程用OLS法估计，可以得到的 一致估计量
预测
预测公式
YT (h) C 1YT (h 1) pYT (h p)
i h, YT (h i) YT hi
T n 2 p ln T ˆ BIC(p)=lndet( p)+ T
n是向量维数，T样本长度，p滞后长度，ln表示自 ˆ 然对数，det表示对矩阵求行列式， p 是当滞 后长度为p时，残差向量白噪声协方差阵的估计。
定阶
与单变量模型相同选择滞后长度存在以下缺陷： 1）选择不同的准则具有主观任意性。不同准则会得到不同 的滞后长度. 2）实际序列可能不是有限维的随机过程, 但是对平稳时间 序列用有限滞后长度的VAR模型来建模可以得到令人满 意的结果，但实际上很多时间序列是不平稳的。对于不 平稳的时间序列VAR模型不能很好的近似不平稳的所有 性质. 3）即使数列为平稳的,如果实际的滞后长度大于Q，那我们 就得不到正确的滞后长度。
预测－VAR(1)
样本长度为T，对T+1，T+2，…进行预测
Yt C 1Yt 1 t
YT (1) C 1YT
2 YT (2) C 1YT (1) C 1C 1 YT
YT (3) C 1YT ( 2) ( I 1 )C Y
预测总结
预测有许多前提假设： 假设是平稳过程；假设正态分布；是VAR（1）过 程；并且参数是估计的不是已知的。 所以需要检验这些假设是否正确。一个方法是把 预测值与实际值比较。 如果预测值都包含在相应的置信区间内。从预测 角度不能否认模型的正确性。
1 0 0.008 0.461 0 1 0.232 0.297 z 0
解特征方程，得z1=-4.877，z2=1.961, 所以该模型 是稳定的
VAR模型定阶
AIC(Akaike赤池)和SC(Schwarz施瓦兹)准则
ˆ p )+ 2n 2 p AIC(p)=lndet(
展开
y1t 0.1 0.2 y1t 1 0.1 y 2t 1 1t y 2t 0.3 0.5 y1t 1 0.7 y 2t 1 2t
标准VAR模型的特点
（1）每个分量都是内生变量 （2）每个方程的解释变量都相同，是所有内生变 量的滞后变量 （3）Yt 的动态结构由它的p阶滞后就可以刻画出 来，p时刻之前的变量对Yt 无影响。 4）回忆联立方程，VAR模型是联立方程的简化形 式。
级计量经济学－6
VAR模型
向量自回归模型VAR
定义 稳定条件 预测
定义：p-阶向量自回归模型（p-阶向量 自回归过程）
对一个n维时间序列{ Yt }，tT，T={1，2，…}来说，如果
其中E(t)=0 E(t ’t )=
Yt C 1Yt 1 pYt p t
例2：结构向量自回归模型
方程中包括同期解释变量
y1t 0.1 y 2t y 2t 1 0.3 y 2t 2 e1t y 2t 0.5 y1t 1 0.4 y 2t 2 e2t
其中
e1t 是独立同分布向量白噪声过程 e 2 t
0 t t
并且不同时刻t相互独立同分布，服从正态分布 则该式为p-阶向量自回归模型，满足该模型的随机过程为 p-阶向量自回归过程，记为VAR（p）。这种形式称为标 准的VAR模型。 或简化式。
例1
VAR(1)
y1t 0.1 0.2 0.1 y1t 1 1t y 0.3 0.5 0.7 y 2t 1 2t 2t
1t e1t 0.1e2t
1.01 0.1 0 .1 1
2t=e2t
向量自回归模型稳定条件
把模型用滞后算子的形式写出，特征方程为：
I n 1 z 2 z 2 p z p 0
如果特征方程的根在单位圆外，则VAR（p）模型 是稳定的。