乘法公式两数和(或差)的平方
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题及答案(师)
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题一、知识概述 1、平方差公式 由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a －b . 即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差. 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式 由多项式乘法得到（a±b） ＝a ±2ab＋b2 2 2 2 2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍. 推广形式：（a＋b＋c） ＝a ＋b ＋c ＋2ab＋2bc＋2ca 4、完全平方公式的特征 (a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a－b) ＝a －2ab＋b 都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数 和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． ①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其 中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不 同． ②公式中的 a、b 可以是数，也可以是单项式或多项式． ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算． 5、乘法公式的主要变式 （1）a －b ＝(a＋b)(a－b); （2）(a＋b) －(a－b) ＝4ab; （3）(a＋b) ＋(a－b) ＝2(a ＋b )； （4）a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab （5）a ＋b ＝(a＋b) －3ab(a＋b)． 熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程． 注意：(1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2二、典型例题讲解 例 1、计算： (1)(3a＋2b)(2b－3a)； (2)(x－2y)(－x－2y)；(3) (4)(a＋b＋c)(a－b－c). 解：；(1)原式＝(2b＋3a)(2b－3a) ＝(2b) －(3a) ＝4b －9a2 2 2 2(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x) ＝(－2y) －x ＝4y －x2 2 2 2(3)原式＝＝＝ (4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] ＝a －(b＋c)2 2 2 2＝a －(b ＋2bc＋c ) ＝a －b －2bc－c 例 2、计算： (1)2004 －19962 2 2 2 2 22(2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)． 解：(1)2004 －1996 ＝(2004＋1996)(2004－1996) ＝4000×8＝32000 (2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2 2 2 2＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz （3）(2x＋y－3)(2x－y－3)＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y] ＝(2x－3) －y ＝4x －12x＋9－y ＝4x －y －12x＋9； 例 3、计算： (1)(3x＋4y) ； (3)(2a－b) ；2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)(－3＋2a) ； (4)(－3a－2b)22解：(1)原式＝(3x) ＋2·3x·4y＋(4y) ＝9x ＋24xy＋16y2 2 22(2)原式＝(－3) ＋2·(－3)·2a＋4a ＝4a －12a＋922(3)原式＝(2a) ＋2·2a·(－b)＋(－b) ＝4a －4ab＋b2 222(4)原式＝[－(3a＋2b)] ＝(3a＋2b)2 22＝(3a) ＋2·(3a)·2b＋(2b) ＝9a ＋12ab＋4b2 22例 4、已知 m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）2．例 5、多项式 9x ＋1 加上一个单项式后，使它能够成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ________(填上一个你认为正确的即可)． 分析： 解答时，很多学生只习惯于课本上的完全平方的顺序，认为只有添加中间(两项的乘积的 2 倍)项，即 9x ＋1＋6x＝(3x＋1) 或 9x －6x＋1＝(3x－1) ；但只要从多方面考虑，还会得出2 2 2 2，9x ＋1－1＝9x ＝(3x) ， 9x ＋1－9x ＝12， 所以添加的单项式可以是 6x，22222－6x，，－1，－9x ．2答案：±6x 或 例 6、计算：或－1 或－9x2，并说明结果与 y 的取值是否有关． 解：从上述结果可以看出，结果中不含 y 的项，因此结果与 y 的取值无关． 点评： (1)利用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的 a，哪一项是公式中的 b； (2)通常在各因式中， 相同项在前， 相反项在后， 但有时位置会发生变化， 因此要归纳总结公式的变化， 使之更准确的灵活运用公式． ①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a －b ； ②符号变化：(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b) －a ＝b －a ； ③系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a) －(2b) ＝9a －4b ； ④指数变化：(a ＋b )(a －b )＝(a ) －(b ) ＝a －b ； ⑤连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a ＋b )(a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(a ＋b )＝(a －b )(a ＋b ) ＝a －b ； ⑥逆用公式变化：(a－b＋c) －(a－b－c)2 2 8 8 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 3 3 3 3 3 2 3 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝[(a－b＋c)＋(a－b－c)][(a－b＋c)－(a－b－c)] ＝4c(a－b)． 例 7、已知 ．求 分析：的值．若直接代入求解则十分繁杂。
乘法公式2两数和(或差)的平方
通过乘法公式和向量外积计算三角 形的面积。
体积计算
01
02
03
长方体体积
通过乘法公式计算长方体 的体积，即长乘以宽乘以 高。
圆柱体体积
利用乘法公式和圆的面积 公式计算圆柱体的体积。
圆锥体体积
通过乘法公式和圆的面积 公式以及高计算圆锥体的 体积。
长度计算
向量的模
通过乘法公式计算向量的 模，即向量各分量的平方 和的平方根。
空间中两点的距离
利用乘法公式和向量减法 计算空间中两点的距离。
圆的周长
通过乘法公式和圆的半径 计算圆的周长。
05 乘法公式在物理中的应用
运动学问题
匀变速直线运动
利用乘法公式推导位移与时间的 关系，如$s = v_0t + frac{1}{2}at^2$。
抛体运动
将乘法公式应用于抛体运动的水 平位移和竖直位移，求解物体的
通过乘法公式的运用， 可以简化复杂的多项 式表达式，降低计算 难度。
方程求解
利用乘法公式将方程化为标准形式， 便于求解未知数。
通过对方程的变形和化简，可以更容 易地找到方程的解，提高解题效率。
在解方程时，可以根据乘法公式的特 点，选择合适的变形方式，简化求解 过程。
不等式证明
利用乘法公式证明不等式，可 以将复杂的不等式化为简单的 形式，便于证明。
运动轨迹。
圆周运动
通过乘法公式计算向心加速度、 线速度、角速度等物理量之间的
关系。
动力学问题
1 2
牛顿第二定律
结合乘法公式，推导物体加速度与作用力、质量 之间的关系，即$F = ma$。
动量定理
应用乘法公式求解物体动量变化与冲量之间的关 系，如$Delta p = Ft$。
完全平方公式
完全平方公式：两个数的和(或差)的平方,等于它的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做乘法的完全平方公式.(a+b)2＝a2-2ab+b2(a-b)2＝a2-2ab+b2公式中字母a和b可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．一、把握运用公式四步曲1、“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算。
2、“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b 分别表示什么数或式。
3、“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的算理。
4、“验”：完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失。
二、公式的变换应用1. a2+b2=(a+b)2-2ab(已知a+b、ab的值)2.a2-b2=(a-b)2+2ab(已知a+b、ab的值)3.(a-b) 2=(a+b) 2-4ab4. (a+b) 2=(a-b) 2+4ab三、公式的逆用1、x2 +2x+1=(x+1) 2 x2 -2x+1=(x-1) 22、x2 +2+1/x2=(x+1/x) 2x2 -2+1/x2=(x-1/x) 2平方差公式：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式。
(a+b)(a-b)= a2- b2公式中字母a和b可以是任意一个单项式或多项式等数学式．注意平方时不能只对字母平方，而忘记系数，如（2a）2不等于2a2而是4 a2。
1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
公式表示：a m a n= a m+n(mn都是正整数)。
2、幂的乘方法则（a m）n= a mn(mn都是正整数)。
3、积的乘方法则（ab）n= a n b n (n是正整数)。
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
两数和与差的完全平方公式的易错之处
两数和与差的完全平方公式的易错之处———湘潭县易俗河镇二中朱龙辉进入九年级，还有不少同学弄不清楚完全平方公式，经常犯这样的错误：（a+b）2=a2+b2（a-b）2=a2-b2两数和与差的完全平方公式是在七年级下册学习了多项式的乘法后学的两个乘法公式，它们应是：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2或写成（a±b）= a2±2ab+b2这两个公式对于初中阶段的学习非常重要，在多项式的化简计算中用得很多，它们对以后的学习影响也很大，如八年级的《因式分解》、《分式》的运算、《二次根式》的运算，九年级的《一元二次方程》等，都涉及到这两个公式，它们没有掌握好，其他许多知识很难学好。
经常犯上述错误的同学，一般数学基础比较薄弱，比较粗心，不善于积极思考，因此在教学中，我们要反复强调这两个公式，要善于让学生明白、理解这两个公式，这样运用起来就不会出错。
首先强调这两个公式右边都是三项，并且每一项的项数相同，都是二次式。
无论是上新课，还是复习，应当强调这是多项式的乘法公式，是由多项式乘以多项式得到的，只不过这两个多项式相同，都是（a+b）或(a-b)，相乘以后在没有合并同类项之前有四项，合并同类项即化简之后剩下三项了。
其次是利用教材中的图形来帮助学生记忆，边长为（a+b）的正方形可以分割为四个图形，一个图形是边长为a的正方形，一个图形是边长为b的正方形，还有两个图形是两个全等的矩形，它们的相邻两边分别为a、b，这个大正方形的面积可以用（a+b）2表示，也可以用a2+2ab+b2表示，因为它们表示的是同一个大正方形的面积，所以相等。
如果拿掉那两全等的矩形，大正方形的面积（a+b）2与两个小正方形的面积a2+b2肯定不会相等了。
再有就是运用公式巩固公式，这是我们训练得最多的，将公式中的a、b变形，变成不同的代数式，让学生训练，从而熟练掌握公式。
我们有一些同学在刚学了这两个公式后的一段时间对公式记得很好，会运用，然而讲得再细，练得再多，但是过了一段时间，学的知识多了，就忘掉了，认为（a+b）2=a2+b2、（a-b）2=a2-b2。
初一数学]乘法公式
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初一数学]乘法公式精品文档-可编辑乘法公式二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等错误．需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．例１利用完全平方公式计算：１）（－3a－5）2；（２）（a－b＋c）2．分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．解：（１）（－3a－5）23a）2－2×（－3a）×5＋52精品文档-可编辑9a2＋3a＋25２）（a－b＋c）2a－b）＋c]2a－b）2＋2（a－b）c+c2a2－2ab＋b2＋2ac－2bc+c2a2＋b2+c2＋2ac－2ab－2bc．例２利用完整平方公式进行速算.1)112(2)992解:(1)112分析:将112变形为(1+1)2原式可1+1)2利用完全平方公式来速算.12+2×1×1+12121解:(2)992分析:将992变形为(1-1)2原式可1-1)2利用完整平方公式来速算.12-2×1×1+12981例３计算：22精品文档-可编辑１）992－98×1；（２）49×51－2499．解：（１）992－98×11－１）2－98×112－２×1＋１－981－2－98＋１１；２）49×51－24995－1）（5＋１）－249925－1－2499０．例４已知a＋b＝8，ab＝1，求a2＋b2，（a－b）2的值．分析：由前面的公式变形可以知道：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．解：由于a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．而a＋b＝8，ab＝1所以22精品文档-可编辑a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝82－2×1＝44a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82－4×1＝24．三：练1．利用乘法公式进行计算：1)(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(2)(3x+2)2-(3x-5)2(3)(x-2y+1)(x+2y-1)4)(2x+3y)2(2x-3y)2(5)(2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)26)(x2+x+1)(x2-x+1)解：(1)原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1)x4-1)(x4+1)x8-1.2)解法1：原式=(9x2+12x+4)-(9x2-3x+25)9x2+12x+4-9x2+3x-2542x-21解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2)-(3x-5)]2222222佳构文档-可编辑6x-3)×742x-21.3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]x2-(2y-1)2x2-(4y2-4y+1)x2-4y2+4y-14)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]24x2-9y2)216x4-72x2y2+81y45)原式=[(2x+3)-(3x-2)]2x+5)2x2-1x+256)原式=[(x2+1)+x][(x2+1)-x]x2+1)2-x2x4+2x2+1)-x2x4+x2+12．：a+b=5,ab=3，求：(1)a-b)2；2)a2+b2；(( 佳构文档-可编辑解：(1)(a-b)2=(a+b)2-4ab52-4×3132)a2+b2=(a+b)2-2ab52-2×319.在线测试选择题1．在以下多项式的乘法中，能够用平方差公式计较的是（）222A、(x+1)(1+x)B、(a+b)(b-a)C、(-a+b)(a-b)D、(x2-y)(x+y2)2．下列各式计算正确的是（）A、(a+4)(a-4)=a2-4B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1D、(a+2)(a-4)=a2-8精品文档-可编辑3．(-x+2y)(-x-2y)的计较成效是（）2222A、x2-4y2B、4y2-x2C、x2+4y2D、-x2-4y24．(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的结果是（）。
12.3乘法公式(两数和差平方公式)
12.3平方公式目标解读：1.推导两数和、差的平方公式，理解两数和、差的平方公式的意义。
2.掌握乘法公式，用乘法公式进行有关计算。
重点：两数和、差的平方公式应用难点：推导两数和、差的平方公式知识点1两数和、差的平方用多项式乘法运算验证归纳总结：两数和或差的平方，等于这两数的平方和加上或减去它们的积的倍。
拓展一、利用乘法公式进行运算例9992-1002×998拓展二、巧用平方和、平方差公式计算拓展三、变化整式的形式求值拓展四、整体代入法化简求值拓展五、求图形的面积拓展六、灵活运用两数和差的平方公式拓展七判断三角形的形状五、拓展延伸1.利用完全平方公式进行计算（1）1022(2）1992(3）（x＋2）2－（x－2）22.下列可以用两数和乘以这两数差公式计算的是（）（A）（x-y）（x+y）（B）（x-y）（y-x）（C）（x-y）（-y+x）（D）（x-y）（-x+y）3、计算（1）（4a＋5b）2 （2）（-6a＋9b）2（3）（7a－3b）2（4）（-2x－3y）24、已知x+y=3，xy=-12，求下列各式的值。
（1）x2+y2 (2)x2-xy+y2(3)(x-y)2 (4) |x-y|5、已知x-y=4,xy=21,则x2+y2的算术平方根等于多少6、已知x+y=3,x2+y2=5,则xy的值等于多少？14.3.2 两数和的平方(A卷)(教材针对性训练题60分 30分钟)一、判断:下列等式是否成立,对的打“∨”,错的打“×”号(每小题1分,共6分)1.(x-y)2=x2-y2( );2.a2-b2=(a-b)2+2ab-2b2( )3.a2+b2=(a-b)2+2ab( );4.a2-b2=(a+b)2-2ab( )5.(0.5x-y)2=0.25x2-xy+y2( );6.(a+1)(-a-1)=a2-1( )二、填空题:(每小题3分,共24分)7.23___5x⎛⎫+⎪⎝⎭=925x2+6xy+25y2;8.5022=(______+______)2=____________________=___________.9.若a2+2a=1则(a+1)2=________.10.(______+b2)=9a2+_______+_________.11.若(x-3)2=x2+kx+9,则k=_________.12.若x2+y2=12,xy=4,则(x-y)2=_________.13.x2+y2=(x-y)2+_______=(x+y)2-_______.14.(_____-2)2=_____-12x+________.三、选择题:(每小题3分,共18分)15.乘法公式中a、b可表示( )A.数B.多项式C.单项式D.以上都可以16.下列各式计算正确的是( )A.(a-b)2=a2-b2;B.(2x-y)2=4x2-2xy+y2C.(a2+2b)2=a4+4b2;D.(12x+3)2=14x2+3x+917.下列各式中,计算结果是2mn-m2-n2的是( )A.(m-n)2B.-(m-n)2;C.-(m+n)2D.(m+n)218.若x2+ax=(x+12)2+b,则a、b的值是( )A.a=1,b=14B.a=1,b=-14; C.a=0,b=-12D.a=2,b=1219.(a+3b)2-(3a+b)2的计算结果是( )A.8(a-b)2B.8(a+b)2;C.8b2-8a2D.8a2-8b220.下列各式中,形如a2±2ab+b2的形式的多项式有( )①a2-a+14,②x2+xy+y2,③116m2+m+1,④x2-xy+14y2,⑤m2+4n2+2mn,⑥14a4b2-a2b+1.A.2个B.3个C.4个D.5个四、(每小题4分,共12分)21.化简:(9-a2)2-(3-a)(3+a)(9+a2);22.化简并求值:(x3+2)2-2(x+2)(x-2)(x2+4)-(x3-2)2,其中x=1 2 .23.已知A=1234567×1234569,B=12345682,试比较A 、B 的大小.答案:一、1.× 2.∨ 3.∨ 4.× 5.∨ 6.× 二、7.5y 8.500;2;250000+2000+4;252004.9.2 10.3a;6ab;b 211.- 6 12.4 13.2xy;2xy 14.211,,4864x x . 三、15.D 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 四、21.解:原式=81-18a 2+a 4-(9-a 2)(9+a 2) =81-18a 2+a4-(81-a 4) =81-18a 2+a 4-81+a 4 =2a 4-18a 222.解:原式=x 6+4x 3+4-2(x 2-4)(x 2+4)-(x 6-4x 3+4) =x 6+4x 3+4-2(x 4-16)-x 6+4x 3-4 =8x 3-2x 4+32当x=-12时,原式=3411111782328232132302281688⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--⨯+=⨯--⨯+=--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23.解:设m=1234568,则1234567=m-1,1234569=m+1,则A=(m-1)(m+1)=m 2-1,B=m 2. 显然m 2-1<m 2,所以A<B.14.3.2 两数和的平方(B卷)(综合应用创新训练题 60分 40分钟)一、学科内综合题:(28分)1.(6分)解不等式:(x2-2)(-x2+2)>(2x-x2)(2x+x2)+4x.2.(6分)解方程组:222(x+3)(2)(7)(4)(4)12 1y y x xx y⎧+-=-++--⎨+=-⎩3.(6分)△ABC三边长a、b、c满足b+c=8,bc=a2-12a+52,试问△ABC 是什么三角形?4.(10分)(1)图是一个长为2a,宽为2b的矩形, 若把此图沿图中虚线用剪刀均分为四块小长方形,然后按图的形状拼成一个正方形,请问:这两个图形的什么量不变?所得的正方形的面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积用a、b 的代数式表示为_________.(2)由(1)的探索中,可得出的结论是:在周长一定的矩形中,_____________时,面积最大;(3)若一矩形的周长为36cm,则当边长为多少时,该图形的面积最大?最大面积是多少?二、应用题:(5分)5.已知一个正方形木板,它的边长是(a+3)cm,从中锯去一个边长是(a-1)cm 的正方形,求剩余木板的面积是多少?三、创新题:(共22分) (一)多解题(9分)6.已知:a+b=7,ab=-12,求下列各式的值. (1)a 2+b 2;(2)a 2-ab+b 2;(3)(a-b)2(二)多变题(8分) 7.已知:x 2-3x+1=0,求x 4+41x的值.bb aa一变:已知:(x2+1)(y2+1)=4xy,求代数式x2-5y+1的值.(三)新解法题(5分)8.设a、b、c、d都是整数且m=a2+b2,n=c2+d2,试说明：m、n可表示成两个整数的平方和的形式.四、新中考题:(共5分)9.(2003,海南省,2分)下列各式中,不一定成立的是( )A.(a+b)2=a2+2ab+b2;B.(b-a)2=a2-2ab+b2C.(a+b)(a-b)=a2-b2;D.(a-b)2=a2-b210.(2003,福州市,3分)观察下列各式:1×3=12+2×1,2×4=22+2×2,3×5= 32+2×3,……请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来:_____________.答案:一、1.解:-(x2-2)2>(2x)2-(x2)2+4x,-(x4-4x2+4)>4x2-x4+4x,-x4+4x2-4<4x2-x4+4x,-4<4x,∴x<-1.2.解:由①得:x2+6x+9+y2-4y+4=49-14y+y2+x2-16-12,6x-4y+14y=49-28-9-4,6x+10y=8,即3x+5y=4,③由③-②×③得:2y=7,∴y=3.5,把y=3.5代入②得:x=-3.5-1=-4.5,∴4.53.5 xy=-⎧⎨=⎩3.解:由b+c=8得c=8-b,代入bc=a 2-12a+52得 b(8-b)=a 2-12a+52,8b-b 2=a 2-12a+52,a 2-12a+36+b 2-8b+16=0,逆用完全平方公式得 (a-b)2+(b-4)2=0,所以a-6=0且b-4=0,即a=6,b=4, 把b=4代入c=8-b 得c=8-4=4. ∴c=b=4,因此△ABC 是等腰三角形.4.(1)这两个图形的周长不变 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (2)在周长一定的矩形中,长等于宽时面积最大. (3)9cm,81cm 2 二、5.解:剩余木板的面积是:(a+3)2-(a-1)2=(a+3+a-1)(a+3-a+1)=(2a+2)×4=8a+8(cm 2) 三、(一) 6.解法一:(1)a 2+b 2=(a+b)2-2ab=72-2×(-12)=49+24=73.(2)a 2-ab+b 2=(a 2+b 2)-ab=73-(-12)=73+12=85,(3)(a-b)2=a 2-2ab+b 2=(a 2+b 2)-2ab=73-2×(-12)=73+24=97. 解法二:(1)∵a+b=7,∴(a+b)2=49,又ab=-12,即a 2+2ab+b 2=49,∴a 2+b 2=49-2×(-12)= 49+24=73.(2)∵(a+b)2=49,又ab=-12,∴a 2+b 2+2ab=49,∴a 2+b 2-ab=49-3ab=49-3×(- 12)=49+36=85. (3)∵a+b=7,ab=-12,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=49-4×(-12)=49+48=97. (二) 7.解:由x 2-3x+1=0,知x ≠0,∴x-3+ =0,∴x+1x=3,∴x 2+21x=(x+1x )2-2x ×1x =32-2=7 ∴x 4+41x =(x 2+21x)2-2=72-2=47一变:∵(x 2+1)(y 2+1)=4xy,∴x 2y 2+x 2+y 2+1=4xy. ∴(x 2y 2-2xy+1)+(x 2-2xy+y 2)=0,(xy-1)2+(x-y)2=0,∴100xy x y -=⎧⎨-=⎩∴x=y,x 2=1,∴x=±1.当x=1时,y=1;当x=-1时.y=-1∴当x=1,y=1时,x 2-5y+1=12-5×1+1=1-5+1=-3.当x=-1,y=-1时,x 2-5y+1=(-1)2-5×(-1)+1=1+5+1=7.(三)8.解:∵m=a2+b2,n=c2+d2∴mn=(a2+b)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2abcd+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2或=(ac-bd)2+(bc+ad)2四、9.D 10.n(n+2)=n2+2n14.3.2 两数和的平方 (C卷)(能力拔高训练题 20分 20分钟)探究题:(每小题10分,共20分)1.给出下列算式:32-12=8=8×1,52-32=16=8×2,72-52=24=8×3,92-72=32=8×4=32,…(1)观察上面一系列式子,你能发现什么规律?用含n的式子表示出来:_____________________( n为正整数)(2)根据你发现的规律:计算:20052-20032=________________,这时,n=______.2.观察下面各式规律:12+(1×2)2+22=(1×2+1)2,22+(2×3)2+32=(2×3+1)2,32+ (3×4)2+42=(3×4+1)2,…(1)写出第2001行式子:_____________________________________;(2)写出第n行式子:____________________________________________,并说明你的结论为什么是正确的.答案:1.(1)(2n+1)2-(2n-1)2=8n(2)8016,10022.(1)20012+(2001×2002)2+20022=(2001×2002+1)2(2)n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2∵左边=n2+n2(n+1)2+(n+1)2=n2+n2(n2+2n+1)+n2+2n+1=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1又∵右边=[n(n+1)+1]2=n2(n+1)2+2n(n+1)+1=n2(n2+2n+1)+2n2+2n+1=n4+2n3+n2+2n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1因为左边=右边,所以n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2是正确的.。
完全平方公式教案
完全平方公式教案一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)．完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。
1．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即：这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的．这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．2．只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式．在运用公式时，有时需要进行适当的变形，例如可先变形为或或者，再进行计算．在运用公式时，防止发生这样错误．3．运用完全平方公式计算时，要注意：（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．（2）切勿把“乘积项”中的2丢掉．（3）计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．4．与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．三、教法设想1．在公式的运用上，与平方差公式的运用一样，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，2．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．重要的是确定两数，然后再看是否两数的和（或差），最后按照公式写出两数和（或差）的平方的结果．3．如何使学生记牢公式呢？我们注意了以下两点．（1）既讲“法”，又讲“理”在教学中要讲法则、公式的应用，也要讲公式的推导，使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆．我们引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明，也是对说理的重视．在“明白道理”这个前提下的记忆，即使学生将来发生错误也易于纠正．（2）讲联系、讲对比、讲特点教学设计：一、教学目标1．理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征．2．熟练运用公式进行计算．3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力．4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．5．渗透数学公式的结构美、和谐美．二、学法引导1．教学方法：尝试指导法、讲练结合法．2．学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉．（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．三、重点·难点及解决办法（一）重点掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．（二）难点综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算．（三）解决办法加强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用．四、课时安排一课时．五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征．2．引入完全平方公式，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维能力．3．举例分析如何正确使用完全平方公式，师生共练完成本课时重点内容．4．适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题．七、教学步骤（一）明确目标本节课重点学习完全平方公式及其应用．（二）整体感知掌握好完全平方公式的关键在于能正确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab中2的问题，在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律．（三）教学过程1．计算导入；求得公式（1）叙述平方差公式的内容并用字母表示；（2）用简便方法计算①103×97②103 ×103（3）请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题，并算出结果．学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果．要想用好公式，关键在于辨认题目的结构特征，正确使用公式，这节课我们继续学习“乘法公式”．引例：计算，学生活动：计算，，两名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后说出答案，得出公式．或合并为：教师引导学生用文字概括公式．方法：由学生概括，教师给予肯定、否定或更正，同时板书．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．【教法说明】①复习平方差公式，主要是引起回忆，巩固公式；编题在于提高兴趣．②有了平方差公式的推导过程，学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的认识方法，因此推导完全平方公式可以由计算直接得出．2．结合图形，理解公式根据图形完成下列问题：如图：A、B两图均为正方形，（1）图A中正方形的面积为____________，（用代数式表示）图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。
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(1)(a b)2 （2）(2x 3y)2 解： (1)(a b)2
a b2
(a)2 2 a (b) (b)2 a2 2ab b2
（2）(2x 3y)2
2x 3y2
(2x)2 2 2x (3y) (3y)2
4x2 12 xy 9 y 2
提示：把底数 相减转化成相 加.
的式子是_______；
形如 a2 2ab b2 与 a2 2ab b2 的三项多项
式叫做完全平方式.
（三）达标练习
A组
1、计算：
(1)( x 3)2
（2）(2x y)2
（1）(x 3)2 x2 2 x 3 32 x2 6x 9
（2）(2x y)2 (2x)2 2 2x y y2 4x2 4xy y2
式，则m=____2___； (2)要使 x2 y2 成为一个完全平方式，则应加上
的式子是___2_x_y__；
谈谈你的收获！
布置作业
必做 课本第33页习题13.3第2、3题. 选做 填空：
（1）若4x2 mx 1是一个关于x的完全平方
式，则m=_______；
(2)要使 4x2 1 成为一个完全平方式，则应加上
(1)(2a 3b)2 （2）(2a b )2
真对照公式，找 准谁相当于公式 中的“a”和“b”；
解：
2
(1)(2a 3b)2
(2a)2 2 2a 3b (3b)2 4a2 12ab 9b2
（2）(2a b )2
(2a) 2
2
2
2a
b
b
2
2 2
4a2 2ab b2
4
例2、用 (a b)2 a2 2ab b2 计算：
大家好！欢迎指导！！
两数和的平方
乍曲初中教师 赵永清
一、与本节有关的知识请记牢！
复习
请同学们把多项式与多项式相乘的法则齐声朗读一遍！
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一 项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积 相加．
二、做到心中有数！
学习目标
1、正确认识两数和的平方乘法公式的结构特征； 2、能灵活、熟练的运用公式进行计算；
说明：每一小题 只少用2种方法 做.
法一：（1）(a b)2 [(a) b]2 (a)2 2(a)b b2 a2 2ab b2
法二： （1）(a b)2 (b a)2 b2 2ba a2 b2 2ab a2
法一：
（2）(a b)2
法二：
（2）(a b)2
[(a) b]2
三、请大家开心的探究新知吧！
（一）自学导航
1、计算：(a b)2 提示：将 (a b)2 转化成（a+b)(a+b)，再按多项式乘以多
项式的法则进行计算. 2、先观察图13.3.2：
（1）解用不(a同的b方)2法表(a示它b的)(a面积b.)
a2 ab（ aab b2b）2
a2 2ab b‖2
（2）(2x 3y)2
2x 3y2
(2x)2 2 2x (3y) (3y)2
4x2 12 xy 9 y 2
提示：请对比！哪种方法 简单？
知识点归纳
完 全 两数和的平方公式：___________________ 平 方 两数差的平方公式：___________________ 公 式
提示：从（1） 中你发现什么规 律了吗？
小结
“两数差的平方”公式:
语言描述：
两数差的平方，等于它们的平方和减去积的2倍. 动画演示公式
请直接用 (a b)2 a2 2ab b2 公式做上面的第（2）题：
解：
（2）(2x 3y)2
(2x)2 2 2x 3y (3y)2
4x2 12 xy 9 y2
(a b）2
(a)2 2(a) b b2 a2 2ab b2
a2 2ab b2
（2）(a b)2
法三： [(a) （ b)]2 (a)2 2 (a) (b) (b)2
a2 2ab b2
（三）达标练习
B组
2、填空：
（1）若 x 2 mx 1 是一个关于x的完全平方
（三）达标练习
A组
2、计算：
（1）(x 3)2
（2）(2m n)2
（1）(x 3)2 x2 2 x 3 32 x2 6x 9
（2）(2m n)2 (2m)2 2 2m n n2 4m2 4mn n2
（三）达标练习
B组
1、计算：
（1）(a b)2
（2）(a b)2
图13.3.2
a2 2ab b2
（2）用等式表示下图中图形面积的运算.
图13.3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
（a b)2
______
＝
a2
+
2ab + _b__2
第（2）题
小结
“两数和的平方”公式:
语言描述：
两数和的平方，等于它们的平方和加上积的2倍. 动画演示公式
（二）应用迁移
提示：请大家认
例1、用 (a b)2 a2 2ab b2 计算：