17.1 勾股定理第2课时教学设计

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人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理(2)教学设计

《勾股定理（2）》教学设计(人教版八年级数学下册第十七章第一节第二课时)一、教学目标1.能在给定的直角三角形中，利用勾股定理求出未知边长，进而解决实际问题.2．在解决问题的过程中培养数学建模思想，渗透转化思想、分类思想、数形结合的思想.3．在学习过程中，培养符号感，锻炼计算能力，培养及时纠错、克服困难的良好品质.4．增强学习数学的成就感，感受数学和实际生活的紧密联系.二．教学重、难点1．教学重点：应用勾股定理解决问题，准确求直角三角形中未知的边长.2．教学难点：将实际问题转化成数学问题的过程及计算的准确性.三、教学思考前节课学习了勾股定理的证明，学生已经知道了“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，那么如何应用这个定理去解决问题就成了接下来研究的问题.本节课就是在上节课的基础上来解决这个问题.由于要利用勾股定理进行计算，因此在本课一开始就要先复习巩固勾股定理的内容，给出不同类型的题目来考查学生对勾股定理的理解.情境的创设也是吸引学生继续学习的重要环节之一，教材的例1非常好，在比较门框尺寸与木板尺寸的过程中涉及了分类思想，这些内容在生活中常常用到，但是要建立数学模型，转化为数量之间的比较相对困难，因此这是本节课的重点之一.本节课的整体设计都建立在对勾股定理的应用之上，从数学情境入手，由浅入深，然后再过渡到实际情境中解决问题，从探究中得到了分类思考的方法，再进入数学情境中巩固加深分类方法的使用.整个设计体现了由简单到复杂的学习过程，并渗透了分类思想、转化思想、数形结合等思想.四．教学过程设计例2 如图，直的墙AO上，这时端A沿墙下滑移0. 5m吗？2 .如图,池塘边有两点A、B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点,测得CB=60m,AC=20m. 求A、B两点间的距离（结果取整数）?一楼梯的侧面如图所示，其中AB=13米，BC=5。

新人教版第十七章勾股定理教案

新人教版第十七章勾股定理教案第十七章勾股定理第1课时勾股定理(1)教学目标：1.知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能够应用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

2.过程与方法：通过观察、猜想、归纳、验证的数学发现过程，发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想。

3.情感态度与价值观：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐。

教学重点：知道勾股定理的结果，并能运用于解题。

教学难点：进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

教学准备：彩色粉笔、三角尺、图片、四个全等的直角三角形。

教学过程：一、课堂导入2002年世界数学家大会在我国北京召开，出示了本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。

今天我们就来一同探索勾股定理。

二、合作探究让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

这个事实是我国古代3000多年前有一个叫XXX的人发现的。

他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

讨论：32+42与52有何关系？52+122和132有何关系？通过计算得到32+42=52，52+122=132，于是有勾2+股2=弦2.那么对于任意的直角三角形也有这个性质吗？用四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，其等量关系为：4S△+S小正=S大正，即4×ab＋（b－a）2=c2，化简可得a2+b2=c2.三、证明定理勾股定理的证明方法达300余种。

下面这个古老的精彩的证法出自我国古代无名数学家之手。

已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用(教案)

实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的过程较为顺利，大家积极参与，课堂氛围活跃。但同时我也发现，部分小组在操作过程中出现了计算错误，这说明学生在数学运算方面仍需加强。因此，我计划在接下来的教学中，加强对学生数学运算能力的训练。
关于学生小组讨论环节，我发现学生在讨论过程中能够提出自己的观点，并进行有效交流。但在引导与启发方面，我觉得自己还可以做得更好。未来，我将更多地运用开放性问题，激发学生的思考，帮助他们发现问题、分析问题和解决问题。
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用。本节课主要内容包括：
1.理解并掌握勾股定理的应用场景，如直角三角形中，了解斜边与两个直角边的关系。
2.学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度、判断一个三角形是否为直角三角形等。
5.培养学生数学运算的核心素养，让学生熟练掌握勾股定理，并能灵活运用到各种计算和证明过程中，提高运算的准确性和速度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理及其在直角三角形中的应用。
-重点讲解：
-勾股定理的表述：直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
-勾股定理的证明：通过几何图形或代数方法，证明勾股定理的正确性。
其次，理论讲解环节，我尽量用简洁明了的语言解释勾股定理的概念和证明过程。从学生的反应来看，大部分同学能够跟上我的讲解，但仍有少数同学在理解上存在困难。针对这个问题，我考虑在今后的教学中，可以通过增加互动提问环节，让学生在课堂上及时反馈疑问，以便我更好地关注到每个学生的学习情况。
在案例分析环节，我选取了建筑物直角三角形结构作为例子，旨在让学生了解勾股定理在实际问题中的应用。从学生的讨论来看，这个案例取得了较好的效果。但在今后的教学中，可以尝试引入更多类型的案例，让学生从不同角度理解勾股定理的应用。

勾股定理第二课时教学案

《17.1 勾股定理（二）》教学案
《16.1 二次根式（一）》预习案
1、预习课本第1-3页
2、填空：
（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m ．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s ）与开始落下
的高度h （单位：m ）满足关系 h =5t 2，如果用含有h 的式子表示 t ，
则t 为。

3、你在上面的填空中得到的式子：
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
4、二次根式和算术平方根有什么关系？
5、二次根式有意义的条件是什么？
6、当x 是怎样的实数时， 2 x 在实数范围内有意义？
7、a 取何值时，下列根式有意义？。

17.1 勾股定理 2课时教学设计-人教版八年级数学下册

17.1 勾股定理 2课时教学设计-人教版八年级数学下册课程目标通过本节课的学习，学生应能： 1. 理解勾股定理的基本概念和运用； 2. 运用勾股定理解决直角三角形的问题； 3. 掌握勾股定理的证明方法。

教学重点1.掌握勾股定理的应用；2.理解勾股定理的证明方法。

教学难点1.灵活运用勾股定理解决实际问题；2.理解并掌握勾股定理的证明方法。

教学过程导入（5分钟）1.引入勾股定理的概念，激发学生的学习兴趣。

例如：“同学们，你们知道直角三角形吗？它有一个特殊的定理，叫做勾股定理。

接下来，我们一起来学习勾股定理的应用和证明方法。

”2.引导学生回顾直角三角形的定义和特点，确认直角三角形满足勾股定理。

学习（40分钟）步骤一：勾股定理的应用（20分钟）1.教师通过展示直角三角形的图形，通过示例问题引入勾股定理的应用。

例如：“现在有一个直角三角形ABC，边长分别为a、b、c，其中c为斜边。

如果我们已知a、b两边的长度，如何求出斜边c的长度呢？”2.引导学生思考、讨论解决问题的方法。

3.通过具体计算示例，教师演示勾股定理的应用过程，并让学生跟随计算。

步骤二：勾股定理的证明方法（20分钟）1.教师引导学生思考勾股定理的证明方法。

例如：“在我们的日常生活中，如何证明勾股定理呢？请思考并尝试提出自己的证明方法。

”2.学生进行思考，并进行讨论。

3.教师给出经典的数学证明方法，并解释其原理和过程。

4.教师引导学生进行勾股定理的证明推理过程，并通过示意图进行解释和演示。

巩固（40分钟）1.学生进行练习题，练习勾股定理的应用和证明方法。

2.教师进行个别辅导，帮助学生解决问题。

3.学生互相交流，分享解题思路和方法。

小结（5分钟）1.教师对本节课学习的内容进行小结，强调勾股定理的应用和证明方法。

2.教师鼓励学生继续探索数学的乐趣，并思考如何将勾股定理应用到更多实际问题中。

课后作业1.布置课后作业，要求学生再次运用勾股定理解决实际问题，并以文字形式写出解题过程。

人教版八年级数学下册17.1勾股定理第2课时教学设计

3.教师板书“勾股定理”，并提问：“同学们，你们听说过勾股定理吗？知道它是关于什么的吗？”
4.学生回答后，教师简要介绍勾股定理的背景和意义，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.教师通过多媒体课件或黑板，展示勾股定理的公式：a² + b² = c²。
2.教师引导学生理解公式中的字母代表的意义，解释勾股定理的含义。
2.分步教学，循序渐进
针对勾股定理的教学，教师应遵循循序渐进的原则，先引导学生理解定理的概念，然后逐步引导学生掌握定理的证明方法，最后将定理应用于实际问题。在这个过程中，教师要关注学生的接受程度，适时调整教学节奏，确保学生能够扎实掌握每个环节。
3.多元化教学方法，提高课堂效果
（1）直观演示法：通过多媒体课件或实物展示，让学生直观地感受勾股定理的内涵。
a.勾股定理的证明方法有哪些？
b.勾股定理在生活中的应用实例有哪些？
c.你还能想到其他证明勾股定理的方法吗？
2.学生在小组内展开讨论，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.每个小组派代表分享讨论成果，其他小组给予评价和补充。
（四）课堂练习
1.教师针对勾股定理的相关知识点，设计适量、难度适中的练习题，要求学生在课堂上独立完成。
5.关注个体差异，实施分层教学
针对学生的个体差异，教师应实施分层教学，为不同层次的学生提供难易适度的教学内容和练习题目，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
6.情感态度与价值观的培养
在教学过程中，教师要关注学生的情感态度与价值观的培养，引导学生认识到数学学习的意义和价值，提高学生的数学素养。
7.教学评价
2.从以下三个问题中选择一个进行深入探究，并撰写探究报告：
a.勾股定理的起源与发展历史。

【教学方案】勾股定理第2课时教学方案

第十七章勾股定理17.1 勾股定理第2课时♦教材分析勾股定理有广泛应用，本节课学习应用勾股定理进行直角三角形的边长计算，简单解决一些的实际问题.♦教学目标1.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边之间长度的联系，进而求出未知边长解决实际问题，培养学生的建模思想；2.通过勾股定理建立已知边和未知边之间的关系列出方程解决实际问题，培养学生的方程思想.♦教学重难点--------- —----------如何利用或构造直角三角形利用勾股定理解决问题'♦课前准备'课件.♦教学过程、知识回顾1.直角三角形的性质如图，在△ ABC中，已知/ C=90°,则/ A和/ B的关系为 ___________________a, b为直角边，c为斜边，三边关系为__________________ ；c= （已知a、b,求c);a= （已知b、c,求a);b= （已知a、c,求b)3. (1)在Rt△ ABC / C=90 , a=3, b=4,则c= .(2)在Rt△ ABC / C=90 , a=6, c=10，则b= .(3)在Rt△ ABC / C=90 , b=12, c=13，贝U a= .设计意图：通过复习勾股定理，进一步复习直角三角形中三边关系, 从而为后面研究实际问题提供知识保证、解决实际问题例1 一个门框的尺寸如图所示, 一块长3m宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？分析：此题可看出，木板横着或竖着都不能通过门框，只能试试斜着能否通过•而门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，所以求出AC,再与木板的宽进行比较，就将此实际问题转化为已知直角三角形的两直角边，求斜边的问题，利用勾股定理轻松求解a, b, c，h之间的关系式为___________ . _______实師间题㈡数学模型解：在Rt △ ABC 中，根据勾股定理,AC2=AB2+BC2=12+22=5. ••• AC= .,5 2.24.••• AC 大于木板的宽2.2m ，所以木板能从门框内通过 .设计意图：将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出几何图形，分析已知量、待求量，让学生掌握解决实际问题的一般套路•例2 如图，一架2.6米长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 A0上，这时AO 为2.4 米. (1) 求梯子的底端 B 距墙角0多少米？(2) 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑0.5米，那么梯子底端 B 也外移0.5米吗？分析：已知斜边和一直角边求另一直角边解：可以看出，BD=OD-OB.在Rt △ AOB 中，根据勾股定理, 在Rt △ COD 中，根据勾股定理, • BD=OD -OE 1.77-1=0.77.答：梯子的顶端沿墙下滑 0.5m 时，梯子底端外移约 0.77m. 例3池塘中有一株荷花的茎长为OA 无风时露出水面部分 CA=0.4米，如果把这株荷花旁边拉至使它的顶端 A 恰好到达池塘的水面 B 处，此时荷花顶端离原来位置的距离BC=1.2米,0B=. AB 2-OA 2= ■ 2.62-2.42=1;OD= CD 2-OC 2= . 2.62-(2.4-0.5)2= 3.15 -1.77 ；求这颗荷花的茎长0A水面解：如图，已知AC=0.4m BC=1.2m / OCB=90设OA=OB=X 贝y 0C=0A-AC=(x-0.4)m在Rt△ OBC中，由勾股定理可知OC2+BC2=O巴•••(x-0.4) 2+1.2 2=x2解得，x=2答：荷花的茎长OA等于2m.设计意图：将实际问题转化为数学问题，如果不能直接用已知线段求待求线段时，应想到设未知数列方程，这里勾股定理是常用列方程的方法练习1如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？解:根据题意画出图形，已知/ ACB=90 , AC=3 AB-BC=1.设BC=x 则AB=BC+1=x+1.在Rt△ ABC中，根据勾股定理得，AC2+BC2=AE2• 32+x2=(x+1) 2解得，x=4.--AB+BC=3+5=8m.答：树折断前的高度为8m.【点拨】此题中能将实际问题的条件转化为数学问题是解题的关键例4科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B, C两地的距离.解：过B点作BD丄AC于D,1在Rt△ ABD中，•••/ BAD=60 ,二/ ABD=90 - / BAD=30 ,二AD J AB=2km.2••• BD= .. AB2- AD2= 2、3km.在Rt△ BCD中, vZ DBC=45 , • CD=BD2.3km. • BC^ Btf+C D2=2 6 km.答：B, C两地的距离为2 6 km.练习2如图所示，两艘货船分别从点A出发离开码头，甲船以16海里/时的速度向北偏东60o的方向行驶，乙船以12海里/时的速度向南偏东30o的方向行驶，若两船同时出发， 2 小时后两船相距多远？解：根据题意可得Z BAC=90o AB=16x 2=32海里，AC=12x 2=24海里,根据勾股定理可得BC= AB2 AC2= 322 242=40. • 2小时后两船相距40海里.例5如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC，经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据.3~ 1.73）东B C【分析】此题中，过P点作AB的垂线，由垂线段最短可知，P点是直线AB上所有点的连线中DP 最短，也就是公路上D点离P最近，如果此时DP< 100km,则D点在保护区内，即公路穿越了保护区；反之，则不会穿越保护区解：公路不会穿越保护区，理由如下:过P作PDL AC于D,在Rt△ BDP中，I/ PBD=60 ,•••/ BPD=90 - / PBD=30 , ••• PB=2BD设BD=x 贝U PB=2x,• PD=J BP2-BD2 = V3X.•// PBD=/ A+/ APB•••/ APB=/ PBD-/ A=30°,•••/ A=/ APB• PB=AB=120km••• 2x=120解得，x=60.• PD=、.. 3x=60 . 3 ~ 103.8km > 100km.•这条公路不会穿过保护区.练习3如图，一幢居民楼与马路平行且相距9米，在距离载重汽车41米处(图中B点位置)就会受到噪音影响，试求在马路上以4米/秒速度行驶的载重汽车，给这幢居民楼带来多长时间的噪音影响？若影响时间超过25秒，则此路禁止该车通行，那么载重汽车可以在这条路上通行吗？过点A作ACL BD于点C,•••由题意得AC=9, AB=AD=41 ACL BD,• Rt △ ACB 中，BC=・"=40m, •/ AB=AD ACL BD, • BD=2BC=80m • 80-4=20 ( s ),•受影响时间为20s;•/ 20 v 25,「.可以通行.三、课堂小结1.解决实际问题时，首先要将实际问题转化为数学问题，即画出几何图形，明确已知和未知，借助直角三角形勾股定理来解决问题；2.有时需要先构造直角三角形，通过作垂线构造直角三角形来解决问题。

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人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》
17.1 勾股定理第2课时教学设计
教学目标：
1.知识与技能：
(1) 利用勾股定理解决实际问题.
(2) 从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想和方程思想.
2.过程与方法：运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题.
3.情感态度与价值观：
(1) 通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
(2) 通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值.
教学重点：勾股定理的应用．
教学难点：勾股定理在实际生活中的应用．
教学流程：
第一环节：复习旧知，情景引入
（1）复习勾股定理的内容、变型公式及作用.
（2）练习
1）求出下列直角三角形中未知的边．
6 10 A C B 8 A 15 C B
回答： ①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？
②直角三角形哪条边最长？
2）在长方形ABCD 中，宽AB 为1m ，长BC 为2m ，求AC 长．
解：在Rt △ ABC 中，∠B=90°,由勾股定理可知：
AC=5212222=+=+BC AB
第二环节：探索新知
1．探究活动1：小明家装修时需要一块薄木板，已知小明家的门框尺寸是宽1 m ，高2 m ，如图所示，那么长3 m ，宽2.2 m 的薄木板能否
2 45° 30°
2 A C B D
顺利通过门框呢？
分析：木板的长边和短边都超过了门框的高，薄木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试能否斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC的长，再与木版的宽进行比较，就能知道木版能否通过.
解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°
∴AC=22
=5≈2.236
12
∵AC≈2.236>2.2
∴木板能从门框内通过
小结：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出Rt△ABC，并求出斜边AC的长.
∴AC2=AB2 +BC2 (勾股定理)
探究活动2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时
AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B
也外移0.4m 吗？A
B C
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°
∴2
2
2AB
BC
AC=
+ 2.42+ BC2＝2.52
∴BC＝0.7m
由题意得：DE＝AB＝2.5m
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
在Rt△DCE中，
∵∠DCE=90°
∴DC2+ CE2＝DE2
22+ BC2＝2.52
∴CE＝1.5m
∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
活动探究3:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问
题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解: 设水池的深度AC为X米,则芦苇高AD为(X+1)米.根据题意得:
BC2+AC2=AB2
∴52+X2 =(X+1)2
25+X2=X2+2X+1
X=12
∴X+1=12+1=13(米)
答:水池的深度为12米，芦苇高为13米。

第三环节：随堂练习
1．在Rt△ABC中, ∠C=90°,
已知: a=5, b=12, 求c;
已知: b=6,•c=10 , 求a;
已知: a=7, c=25, 求b;
已知: a=7, c=8, 求b ．
答案：13；8；24；5
2 ．一直角三角形的一直角边长为7, 另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长．
答案：56，可将另外一条直角边成未知数x，则另外一条边即为斜边，根据勾股定理，列出：x2+72=(x+1),算出x的值，再算出周长。

3. 如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃
到上底与下底面中间与A点相对的B点处的蜜糖，
试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？
答案：25cm，将侧面展开后。

利用两点之间线段最短和勾股定理即可算出最短路程。

第四环节：课堂小结
本课我们学习了哪些知识？
用了哪些方法？
你有哪些体会？
第五环节：课后作业
（1）教科书第26页练习第1，2题
（2）教科书第28页习题17.1第3，4题。