数列分组求和法
专题32 数列中分组求和法问题(解析版)
专题32 数列中分组求和法问题【高考真题】 2022年没考查 【方法总结】 分组转化法求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个可求和的数列，先分别求和，然后再合并．(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为可求和的数列(等差或等比数列)，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是可求和的数列(等比数列或等差数列)，可采用分组求和法求和．【题型突破】1．已知数列{a n }为等差数列，其中a 5＝3a 2，a 2＋a 3＝8． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝2，从数列{a n }中取出第b n 项记为c n ，若{c n }是等比数列，求{b n }的前n 项和．1．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ＝8，a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，解得a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *．(2)c 1＝ab 1＝a 1＝1，c 2＝ab 2＝a 2＝3，从而等比数列{c n }的公比为3，因此c n ＝1×3n －1＝3n －1． 另一方面，c n ＝a bn ＝2b n －1，所以2b n －1＝3n －1，因此b n ＝3n －1＋12．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝（1＋31＋…＋3n －1）＋n 2＝3n ＋2n －14．2．已知递增等比数列{a n }的前三项之积为8，且这三项分别加上1，2，2后又成等差数列． (1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．2．解析 (1)设等比数列前三项分别为a 1，a 2，a 3，公比为q ，则a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2成等差数列．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 2a 3＝8，2(a 2＋2)＝(a 1＋1)＋(a 3＋2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，2(a 1q ＋2)＝a 1＋1＋a 1·q 2＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12(舍去)．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1．(2)由b n ＝a n ＋2n ，得b n ＝2n －1＋2n ，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(20＋21＋22＋…＋2n －1)＋2×(1＋2＋3＋…＋n )＝20(1－2n )1－2＋2×n (1＋n )2＝2n ＋n 2＋n －1．3．已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且a 1＝2，S 3＝12． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋4n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．3．解析 (1)∵数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＝2，S 3＝12， ∴S 3＝3×2＋3×22d ＝12，解得d ＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ．(2)∵b n ＝a n ＋4n ＝2n ＋4n ， ∴T n＝2(1＋2＋3＋…＋n )＋(4＋42＋43＋…＋4n )＝2×n (n ＋1)2＋4(1－4n )1－4＝n 2＋n ＋4n ＋13－43． 4．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＝32⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．4．解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，则a n ＝a 1q n －1，且a n >0，由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＝32⎝⎛⎭⎫1a 1q 2＋1a 1q 3，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q (q ＋1)＝2(q ＋1)，a 21q 5(q ＋1)＝32(q ＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32，又∵a 1>0，q >0，∴a 1＝1，q ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1．(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n＝4n －1＋n －1， ∴T n＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n －1)＝4n －14－1＋n (n －1)2＝4n －13＋n (n －1)2．5．已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 6＝6，又a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．5．解析 (1)∵{a n }为各项都不相等的等差数列，a 6＝6，且a 1，a 2，a 4成等比数列． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝6，a 1＋d 2＝a 1a 1＋3d ，d ≠0，解得a 1＝1，d ＝1，∴数列{a n }的通项公式a n ＝1＋(n －1)×1＝n ．(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n ，记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ．故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2． 6．由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前(4n ＋3)项和T 4n ＋3．6．解析 (1)由题意，设数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝5，a 1a 2＝2a 4，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1·a 1＋d ＝2a 1＋3d ，整理得(5－2d )(5－d )＝2(5＋d )，即2d 2－17d ＋15＝0，解得d ＝152或d ＝1，因为{a n }为整数数列，所以d ＝1，又由a 1＋2d ＝5，可得a 1＝3， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2．(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2，又由数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ， 根据题意，得新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，则T 4n ＋3＝b 1＋a 1＋a 2＋b 2＋b 3＋a 3＋a 4＋b 4＋…＋b 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋b 2n ＋b 2n ＋1＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2 ＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n ＋1)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n ＋2) ＝2×(1－22n ＋1)1－2＋(3＋2n ＋4)(2n ＋2)2＝4n ＋1＋2n 2＋9n ＋5．7．若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ>0，n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．7．解析 (1)∵S n ＝2a n －λ，当n ＝1时，得a 1＝λ， 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－λ，∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以λ为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝λ·2n －1．(2)∵λ＝4，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，∴T 2n ＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n ＋2n ＋1＝(22＋24＋…＋22n )＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝4－4n ·41－4＋n (3＋2n ＋1)2＝4n ＋1－43＋n (n ＋2)，∴T 2n ＝4n ＋13＋n 2＋2n －43．8．已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝4b n ·b n ＋1＋a n，求数列{c n }的前n 项和S n ．8．解析 (1)由b n ＝log 2a n 和b 1＋b 2＋b 3＝12，得log 2(a 1a 2a 3)＝12，∴a 1a 2a 3＝212． 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝4，∴a 1a 2a 3＝4·4q ·4q 2＝26·q 3＝212，解得q ＝4， ∴a n ＝4·4n －1＝4n ．(2)由(1)得b n ＝log 24n ＝2n ，c n ＝42n ·2(n ＋1)＋4n ＝1n (n ＋1)＋4n ＝1n －1n ＋1＋4n ．设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n (n ＋1)的前n 项和为A n ，则A n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝nn ＋1，设数列{4n}的前n 项和为B n ，则B n ＝4－4n ·41－4＝43(4n－1)，∴S n ＝n n ＋1＋43(4n －1)．9．已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝4b n ·b n ＋1＋a n，求数列{c n }的前n 项和S n ．9．解析 (1)由b n ＝log 2a n 和b 1＋b 2＋b 3＝12，得log 2(a 1a 2a 3)＝12，∴a 1a 2a 3＝212． 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝4，∴a 1a 2a 3＝4·4q ·4q 2＝26·q 3＝212，解得q ＝4， ∴a n ＝4·4n －1＝4n ．(2)由(1)得b n ＝log 24n ＝2n ，c n ＝42n ·2(n ＋1)＋4n ＝1n (n ＋1)＋4n ＝1n －1n ＋1＋4n ．设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n (n ＋1)的前n 项和为A n ，则A n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝nn ＋1，设数列{4n}的前n 项和为B n ，则B n ＝4－4n ·41－4＝43(4n－1)，∴S n ＝n n ＋1＋43(4n －1)．10．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 3＝4，a 3是a 2－2与a 4的等差中项，若a n ＋1＝2n b(n ∈N *)．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若数列{}c n 满足c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1，求数列{}c n 的前n 项和S n ．10．解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0，由a n >0，a 1a 3＝4，得a 2＝2，又a 3是a 2－2与a 4的等差中项，故2a 3＝a 2－2＋a 4，∴2·2q ＝2－2＋2q 2， ∴q ＝2或q ＝0(舍)．∴a n ＝a 2q n －2＝2n －1， ∴a n ＋1＝2n ＝2n b，∴b n ＝n (n ∈N *)．(2)由(1)得，c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1＝2n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝2n ＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴数列{}c n 的前n 项和S n ＝2＋22＋…＋2n ＋12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝2(1－2n )1－2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝2n ＋1－2＋n 2n ＋1(n ∈N *)． 11．(2019·天津)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0．已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，b n 2，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．11．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0)．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n ．所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n ．(2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n )＝⎣⎡⎦⎤n ×3＋n (n －1)2×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n )．记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，②②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1＝－3(－3n )1－3＋n ×3n ＋1＝(2n －1)3n ＋1＋32．所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×(2n －1)3n ＋1＋32＝(2n －1)3n ＋2＋6n 2＋92(n ∈N *)．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝－3S n ＋4，b n ＝－log 2a n ＋1．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝b n 2n ＋1＋1n (n ＋1)，其中n ∈N *，若数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ．12．解析 (1)由a 1＝－3S 1＋4＝－3a 1＋4，得a 1＝1，由a n ＝－3S n ＋4，知a n ＋1＝－3S n ＋1＋4，两式相减并化简得a n ＋1＝14a n ，∴数列{a n }是首项为1，公比为14的等比数列，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫14n －1，b n ＝－log 2a n ＋1＝－log 2⎝⎛⎭⎫14n＝2n ． (2)由题意知，c n ＝n 2n ＋1n (n ＋1)．令H n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①则12H n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得，12H n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1．∴H n ＝2－n ＋22n ．又M n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，∴T n ＝H n ＋M n ＝2－n ＋22n ＋nn ＋1．13．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *．(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)求S n ．13．解析 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n ． 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，所以数列{b n }是公比为12的等比数列．因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n ，n ∈N *．(2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列，所以a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1，a 2n ＝⎝⎛⎭⎫12n ， 所以a n ＝11221,21 2n n n n +-⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩，为奇数，为偶数. (3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n ，又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，所以S n ＝21233, 2432n n n n +⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，为偶数，为奇数.14．(2021·新高考Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数.(1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式； (2)求{a n }的前20项和．14．解析 (1)因为b n ＝a 2n ，且a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数，所以b 1＝a 2＝a 1＋1＝2，b 2＝a 4＝a 3＋1＝a 2＋2＋1＝5．因为b n ＝a 2n ，所以b n ＋1＝a 2n ＋2＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋2＋1＝a 2n ＋3，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋3－a 2n ＝3，所以数列{b n }是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以b n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，n ∈N *．(2)因为a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n＋2，n 为偶数，所以k ∈N *时，a 2k ＝a 2k －1＋1＝a 2k －1＋1，即a 2k ＝a 2k －1＋1，①，a 2k ＋1＝a 2k ＋2，② a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1＝a 2k ＋1＋1，即a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1，③ 所以①＋②得a 2k ＋1＝a 2k －1＋3，即a 2k ＋1－a 2k －1＝3，所以数列{a n }的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②＋③得a 2k ＋2＝a 2k ＋3，即a 2k ＋2－a 2k ＝3，又a 2＝2，所以数列{a n }的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 所以数列{a n }的前20项和S 20＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20)＝10＋10×92×3＋20＋10×92×3＝300．15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25．(1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．15．解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5，又a 5＝9＝a 1＋4d ，所以d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2．(2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时， T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)] ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2．当n 为奇数时，n －1为偶数，T n ＝T n －1＋(－1)n ·n 2＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2．综上可知，T n ＝(－1)n n (n ＋1)2．16．在①b n ＝na n ，②b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n，n 为偶数，③b n ＝1(log 2a n ＋1)(log 2a n ＋2)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2＋1，a 3＋1成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记________，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．16．解析 (1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 1，a 2＋1，a 3＋1成等差数列，所以2(a 2＋1)＝a 1＋a 3＋1．又因为a 1＝1，所以2(q ＋1)＝2＋q 2，即q 2－2q ＝0，所以q ＝2或q ＝0(舍去)，所以a n ＝2n －1． (2)由(1)知a n ＝2n －1，若选择条件①，则b n ＝n ·2n －1， 所以T 2n ＝1×20＋2×21＋…＋2n ×22n －1， 则2T 2n ＝1×21＋2×22＋…＋2n ×22n ， 两式相减得－T 2n＝1×20＋1×21＋…＋1×22n －1－2n ×22n ＝1－22n1－2－2n ×22n ＝(1－2n )×22n －1， 所以T 2n ＝(2n －1)·22n ＋1．由(1)知a n ＝2n －1，若选择条件②，则b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，n －1，n 为偶数，所以T 2n ＝(20＋1)＋(22＋3)＋…＋(22n －2＋2n －1)＝(20＋22＋…＋22n －2)＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝1－4n 1－4＋n (1＋2n －1)2＝4n 3＋n 2－13．由(1)知a n ＝2n －1，若选择条件③，则b n ＝1n (n ＋1)，所以T 2n ＝11×2＋12×3＋…＋12n (2n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1． 17．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且{b n }的前n 项和为S n ，2a 1＝b 1＝2，a 5＝5(a 4－a 3)，________．在①b 5＝4(b 4－b 3)，②b n ＋1＝S n ＋2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a n －b n }的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．解析 (1)若选条件①，b 5＝4(b 4－b 3)．设等差数列{a n }的公差为d ，∵2a 1＝2，a 5＝5(a 4－a 3)，∴a 1＋4d ＝5(a 1＋3d －a 1－2d )，∴a 1＝d ＝1．∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ． 设等比数列{b n }的公比为q ．由b 1＝2，且b 5＝4(b 4－b 3)，得b 1q 4＝4(b 1q 3－b 1q 2)．∴q 2－4q ＋4＝0，解得q ＝2．所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列．故b n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *)． 若选条件②，b n ＋1＝S n ＋2．令n ＝1，得b 2＝S 1＋2＝b 1＋2＝4．∴公比q ＝b 2b 1＝2．∴数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列．从而b n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n －b n ＝n －2n ，∴T n ＝(1＋2＋3＋…＋n )－(21＋22＋23＋…＋2n )， ∴T n ＝n (1＋n )2－2(1－2n )1－2，∴T n ＝2－2n ＋1＋n 22＋n 2．18．已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围．18．解析 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49，则a 4＝7，故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2，故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1． (2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1，T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝21－22n ＋11－4＋n 1＋2n －12＝22n ＋13＋n 2－23．易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000， 故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *．19．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 4＝23，a 3＋a 5＝209，设b n ＝log 3a n2(n ∈N *)．(1)求数列{b n }的前n 项和S n ；(2)令T n ＝b 1＋b 2＋b 22＋…＋b 2n －1，求使T n >0成立的最小值n ．19．解析 (1)设等比数列{a n}的公比为q ，由题意知，⎩⎨⎧a 1q 3＝23，a 1q 2＋a 1q 4＝209，两式相除，得q 1＋q 2＝310， 解得q ＝3或q ＝13，∵{a n }为递增数列，∴q ＝3，a 1＝281．∴a n ＝a 1q n －1＝281·3n －1＝2·3n －5．∴b n ＝log 3a n2＝n －5，数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－4＋n －5)2＝12(n 2－9n )．(2)T n ＝b 1＋b 2＋b 22＋…＋b 2n －1＝(1－5)＋(2－5)＋(22－5)＋…＋(2n －1－5)＝1－2n1－2－5n >0， 即2n >5n ＋1，∵24<5×4＋1，25>5×5＋1，∴n min ＝5．20．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式S n ＝ka n ＋1，k 为不等于0的常数．(1)试判断数列{a n }是否为等比数列； (2)若a 2＝12，a 3＝1．①求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n 的表达式；②设b n ＝log 2S n ，数列{c n }满足c n ＝1b n ＋3b n ＋4＋b n ＋2·2n b，数列{c n }的前n 项和为T n ，当n >1时，求使4n －1T n <S n ＋3＋n ＋122成立的最小正整数n 的值．20．解析 (1)若数列{a n }是等比数列，则由n ＝1得a 1＝S 1＝ka 2，从而a 2＝ka 3．又取n ＝2，得a 1＋a 2＝S 2＝ka 3，于是a 1＝0，显然矛盾，故数列{a n }不是等比数列．(2)①由条件得⎩⎨⎧a 1＝12k ，a 1＋12＝k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，k ＝1，从而S n ＝a n ＋1．当n ≥2时，由S n －1＝a n ，得a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝2a n ，此时数列是首项为a 2＝12，公比为2的等比数列．综上所述，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，2n －3，n ≥2.从而其前n 项和S n ＝2n －2(n ∈N *)． ②由①得b n ＝n －2，从而c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋n ·2n －2．记C 1＝12×3＋13×4＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝n 2(n ＋2)， 记C 2＝1·2－1＋2·20＋…＋n ·2n －2，则2C 2＝1·20＋2·21＋…＋n ·2n －1， 两式相减得C 2＝(n －1)·2n －1＋12，从而T n ＝n 2(n ＋2)＋(n －1)·2n －1＋12＝n ＋1n ＋2＋(n －1)·2n －1，则不等式4n －1T n <S n ＋3＋n ＋122可化为4(n ＋1)(n －1)(n ＋2)＋2n ＋1<2n ＋1＋n ＋122，即n 2＋n －90>0，因为n ∈N *且n ≠1，故n >9， 从而最小正整数n 的值是10．。
数列分组求和法
数列分组求和法
数列分组求和法是一种将一个数列分成若干个小组，并对每个小组进行求和的方法。
具体的步骤如下：
1. 将给定的数列按照一定的规则分成若干个小组。
规则可以是根据奇偶数、按照某个数字的大小等。
2. 对每个小组进行求和。
将每个小组中的数字相加得到该小组的和。
3. 将每个小组的和相加，得到最终的结果。
这种方法可以用于对数列中的数字进行分类、分析和比较。
举例说明：
假设有一个数列：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
按照奇偶数进行分组，可以得到两个小组：
奇数组：1, 3, 5, 7, 9
偶数组：2, 4, 6, 8, 10
对每个小组进行求和，奇数组的和为：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
偶数组的和为：2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
最终的结果为：25 + 30 = 55
这种方法可以对数列进行更深入的分析，比如可以计算出奇数组和偶数组之间的差距，或者比较两个小组的总和等。
怎样运用分组求和法求数列的和
解：（1）an = 2n - 1 ；（过程略）
（2）因为 {bn - an} 是首项为1、公差为2的等差数列，
即
an + 2
=
1 2
an
+
1
.
当
n
=
1
时，S1
=
1
-
2a2
，即
a1
=
1 2，a2=1 2 Nhomakorabeaa1
=
1 4
；
所以数列
{an}
是以
1 2
为首项、21
为公比的等比数
列，
即
an
=
21∙(
1 2
)n
-1
=(
1 2
)n
，则
log0.5an
=
log0.5(
1 2
)n
=
n
.
ìn (n为奇数)，
则
bn
=
ï
íîï(
1 2
)n
(n为偶数)，
所以 T2n =(b1 + b3 + ⋯ + b2n - 1) +(b2 + b4 + ⋯ + b2n)
+
1 4
éê1 ë
-
æ è
1 4
öønùûú
1
-
1 4
= n2 +
1 3
-
1 3 × 4n
.
数列 {bn} 的奇数项和偶数项的通项公式不同，需
采用分组求和法求解.将数列分为两组，即所有的奇数
专题十一数列求和的常用方法
专题十一 数列求和的常用方法一、公式法①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；③常用公式：)1(211+==∑=n n k S nk n ，)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n ，213)]1(21[+==∑=n n k S nk n二、．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.三、分组求和法：将数列分成可以求和的几组。
四．裂项相消法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. ①111(1)1n n n n =-++ ②1111(k)k k n n n n =-++（）③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++；④n n n n a n -+=++=111五．错位相减法：若}{n a 是等差数列，{n b }是等比数列，则数列{n n b a ⋅}的求和运用错位求和方法，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.六．倒序相加法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法. 七、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
【课前热身】1、数列2， ,21,,814,413,2121-+n n 的前n 项之和为n n n+112122⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦（)（） 2、设5033171,)1(4321S S S n S n n ++⋅-++-+-=-则 = 1 ；3、数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+n-12），…的前n 项和等于n+12-2-n4、 已知数列{n a }的通项公式是n n n a n 则前,6512++=项和为n3n 3+（） 典型例题：例1、（1）求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值（2）求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 解：（1）设S n =89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++则S n =22222sin 89sin 88sin 87sin 2sin 1+++⋅⋅⋅++ ∴2S n =89，故S n =892（2）设T n =01n-13(21)(21)nn n n n C C n C n C ++⋅⋅⋅+-++，则T n =n-110(21)(21)3n n n n n n C n C C C ++-+⋅⋅⋅++∴2T n =01n-1n(22)n n n n n C C C C ⎡⎤+++⋅⋅⋅++⎣⎦=n(22)2n +⋅ ∴nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++注：本例是运用倒序相加法求和。
高中数学数列分组求和法题型
高中数学数列分组求和法题型
数列分组求和法是一种将多组数列的元素分成一个个子组，然后求出每一组的和，再求整体的和的算法，它是高中数学中常见的一类题型，要想做好这类题目，从下列几点可以作为思路：
（1）首先要熟悉掌握分组求和的运算方法以及相关知识，以便更好地解决题目。
（2）其次，在解题之前，要把多组数列整理成二维数组，记录其中的每组元素及其和，然后对于每一组元素进行分组求和，最后求出整体的和。
（3）最后，在解答这类题目的过程中，要多思考、用笔记录，以便更加准确地解答。
经过以上几条提示思考，我们可以发现，数列分组求和的解题法并不只是限定在高中数学题型中，它也有很多其他令人着迷的应用。
比如在填空题、解答问题等中，
我们还有可能采用分组求和中的各种运算法，来辅助我们解答题目。
总而言之，数列分组求和在高中数学中是一种常见的解题方法，它也可以在填空题、解答问题等中得到应用。
要想解答这类题型，除了要掌握分组求和的相关知识外，还应当注重仔细观察，多思考、多记录，以便更好解决问题。
专题06 数列求和(分组法、倒序相加法)(解析版)
数列专题六 ：数列求和（分组法、倒序相加法）一、知识储备1、倒序相加法，即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n 项和.2、分组求和法，如果一个数列可写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 二、例题讲解1．（2021·全国高三专题练习）定义在R 上的函数()442xx f x =+,121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,2,3,n =⋅⋅⋅,求n S . 【答案】12n - 【分析】由已知条件推导出()(1)1f x f x +-=，因此111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此能求出结果. 【详解】函数4()42xx f x =+，114(1)42xxf x ---=+， 可得()(1)1f x f x +-=， 即有： 121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又121n n n S f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 可得：1122n n S ff fn n n ⎡⎤⎡-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣211n n f f f n n n ⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦， 1n =-，即有12n n S -=.故答案为：12n -. 2．（2021·全国高三专题练习）()221xf x x =-，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得122020202120212021f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值。
【答案】2021 【分析】先证得()()12f x f x +-=，利用倒序相加法求得表达式的值. 【详解】解：由题意可知()()()()()2122121=22121-121x x xf x f x x x x --+-=+=---， 令S=122020 202120212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 则S=202020191 202120212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 两式相加得，220202S =⨯2020S ∴=．故填：2020 【点睛】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到()()12f x f x +-=的规律．3．（2022·全国）已知等比数列{}n a 中，11a =，且22a 是3a 和14a 的等差中项.数列{}n b 满足，且171,13b b ==.212n n n b b b +++=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a ；（2）221n n T n =+-.【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由等差中项的性质建立等量关系，求解q ，从而求出数列{}n a 的通项公式；（2）由等差中项的性质可知{}n b 为等差数列，求出{}n b 通项公式，分组求和即可.【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q 因为11a =，所以222131,a a q q a a q q ====.因为22a 是3a 和14a 的等差中项， 所以23144a a a =+， 即244q q =+， 解得2,q =所以1112n n n a a q --==.（2）因为212n n n b b b +++=， 所以{}n b 为等差数列. 因为171,13b b ==， 所以公差131271d -==-. 故21n b n =-.所以1122n n n T a b a b a b =++++⋯++()()1212n n a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋯+21212121()n n n n n -+-=+=+- 三、实战练习1．（2021·陕西渭南市·（文））已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求。
数列分组求和法(新)
分组求和法1典题导入[例1] (2021山东高考)等比数列｛a n｝中,a i, a2, a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a i, a2, a3中的任何两个数不在下表的同一列.A列第二列第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行9 8 18(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)假设数列｛b n｝满足:b n=a n+(—1)n ln a n,求数列｛b n｝的前2n项和S2n.[自主解答](1)当a1 = 3时,不合题意；当a1=2时,当且仅当a2=6, a3=18时,符合题意；当a1=10时,不合题意.因此a1 = 2, a2= 6, a3=18.所以公比q=3,故a n= 2 3n 1.(2)由于b n=a n+(—1)n ln a n=2 3n 1+(-1)n ln(2 3n1)= 2 3n〔+(—1)n(ln 2- In 3)+(— 1)n nln 3,所以S2n= b〔 +b2+…+ b2n= 2(1 + 3+…+ 32n〔)+[ —1 + 1 —1+ …+ (— 1)2n](ln 2-ln 3), 1 — 32n o+ [ —1 + 2 —3+…+ ( — 1)2n]ln 3 = 2X------------------- +nln 3 =32n + nln 3-1.1-32由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)假设a n= b ni c n,且｛ b n｝ , ｛C n｝为等差或等比数列, 可采用分组求和法求｛ a n｝的前n项和.b n, n为奇数,(2)通项公式为a n= ,沙山的数列,其中数列｛b n｝, ｛C n｝是等比数列或等差数C n, n为偶数列,可采用分组求和法求和.3以题试法1. (2021威海模拟)数列｛X n｝的首项X1 = 3,通项X n = 2n p+ nq(nC N*, p, q为常数), 且X1 , X4 , X5成等差数列.求：(1)p, q 的值；(2)数列｛ x n｝前n项和S n的公式.解：⑴由 x i = 3,得 2p+q=3,又由于 x 4=24p+4q, x 5=25p+5q,且 xi+x 5=2x 4,得 3 + 25p+5q = 25p+8q, 解得 p= 1, q=1.n n+1(2)由(1),知 x n=2n+n,所以 S n= (2+22+…+ 2n)+(1+2+…+n) = 2n+〔一2+-2-11112 .数列12-, 3], 5g, 7,,…白向刖n 项和&为( ).21B . n + 2—2n21D . n + 2—2n —11解析 由题息知数列的通项为an=2n —1+2T ,,答案 C3 .等差数列｛a n ｝的前n 项和为S,且a 3 = 5, Ss= 225. ⑴ 求数列｛a n ｝的通项公式；(2)设b n=2a n+2n ,求数列｛b n ｝的前n 项和T n .解析：(1)设等差数列｛a n ｝的首项为公差为d,a1 +2d=5,a 1 二 1,解得,a n = 2n —1.d=2,1 n 一(2) .• b n=2a n +2n=2 ・ 4 + 2n, Tn=b1+b2+-- -+ bn= 2(4+42+―+4n ) + 2(1 +2+…+ n)A. n 2+ 1 - 2n-r21C. n+1 — 2n那么 Sn= —1 +2n — 1215a1 + 15X 14 2d = 225,n 2+n = | . 4n+n 2+ n-|. 3 34 .设｛a n ｝是公比为正数的等比数列,a i = 2, a 3 = a 2 + 4.⑴ 求｛a n ｝的通项公式;〔2〕设｛b n ｝是首项为1,公差为2的等差数列,求数列｛a n+b n ｝的前n 项和S n .解析〔1〕设q 为等比数列｛a n ｝的公比,那么由a i = 2, a 3 = a 2+ 4得2q 2 = 2q+4,即 q 2— q —2=0,解得 q = 2 或 q= — 1〔舍去〕,因此 q = 2.所以｛a n ｝的通项为 a n = 2 • 2nT = 2n (nC N*).一 1 1 . 1 . 1,1, , 15 .求和 Sn=1+ 1+2 + 1+2+4 +…+ 1+2+4 +….解和式中第k 项为 1 d 1 2 1 二 2n11-26.数列｛an ｝的前 n 项和为 S n, a 1 = 1, a 2= 2, a n+2—a n= 1 + (—1)n (n C N ),那么 S 100 =答案 2 600斛析 由 3n+ 2 — a n =1+( — 1)知 32k+ 2— 32k= 2 ,a 2k+1 — a2k 1 = 0, a 1 = a 3= a 5= 11• = a2n 1 = 1, 数列｛a 2k ｝是等差数列,a 2k= 2k.600= (a 1 + a 3+ a 5+ …+ a 99)+ (a 2+ a 4+ a 6+ …+ a [00)100 +2 X 50= 50+(2 + 4+6+ ••+ 100)=50 + ---------------- 2 --------- = 2 600.「 小力 小c 39 25 65 n 2n + 17.求和：(1)S n=3+9+25+65+…+ —；H —； 24 o 16 2 (2)S n= X+12+ X 2+W 2+…+ X n +)2. X X Xn 2n +1 1解 (1)由于 an=-2-=A+|K,1••S n= 1+21 + 2+ 22 + 3+ 23 +…+ n + 2n“-八 、111,,工= (1 + 2+3+ - +n)+ 2+ 22+23+ (2)/+1 /4 -4 =^6~~c 2 (2) S = _n1-2 1-2n nx 1 + -n-1 2X2=2n +1+n 2 —2.1.1.. ak=1 + 2+4+…+1 — 1k 12 =1k 112 1 __ 12 =2 ,1 1 -2k .=2[(1 + 1+…+ 1 .11 — 22 +…+1 1 一 2n=2 n — —n-1 + 2n — 2. 2 nH^(2 +। 1 …+2n )]1 1n n+ 1 2 1 — 2n n n+ 1 1 = 2 + 1 - = 2 一才+1.1 -- (2)当 x= + 时,S n=4n.当 xw 十 时, S n= X+[ 2+ X2 + ±2+…+ X n + J 2 X X X = X 2+2 + / + X 4 + 2 + $ + …+ X 2n +2 + , =(X 2+X 4+…+ X 2n )+2n+ ]+]+…+ J x 2--1 x 21 —x 2nX2-1 + 1 -x 2 x 2n —1 x 2n +2+1x 2n —1 x 2n+2+18 .数列｛a n ｝中,a 1 = -60, a n+1 = a n+3,那么这个数列前30项的绝对值的和是 .答案 765解析 由题意知｛a n ｝是等差数列,a n=- 60+3(n-1)=3n-63,令a n>0,解得n>21. 「• |a 1|+ |a 2|+ |a 3|+ …+ |a 30|=—(a 〔+ a2+ …+ a 20)+ (a 21 + …+a 3.)-60 + 90-63 x 30=S30- 2S 20= --------------------------- 2 --------------— ( — 60+ 60- 63) X 20 = 765. 9 .数列｛a n ｝的前n 项和S n=n 2-4n+2,那么冏|+标|+…+ |a 〔0| =答案 66解析 当 n= 1 时,a1=S1=— 1. 当 n>2 时,a n=S n — S n —1= 2n — 5.—1 n= 1 a n = .2n-5 n>2 5 令 2n- 5< 0,得 nW 2,・•・当 nw 2 时,a n <0,当 n>3 时,a n >0,「• |a 1|+ |a 2|+ …+ |a 10|=一 (a 〔 + a 2) + (a 3 + a 4 + …+ a [0) = S 10— 2s2= 66. 10 .数列｛a n ｝的通项公式为a n=( —1)广1 (4n —3),那么它的前100项之和S 100等于()A. 200B. - 200C. 400D. - 400答案 B解析 S 100= (4X 1 -3)-(4X 2-3)+(4X 3-3) - - - -(4X 100—3)=4X [(1 -2)+ (3-4) + …+ (99- 100)] =4X (-50) = - 200.11 .(2021课标全国)数列｛a n ｝满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,那么｛a n ｝的前60项和为.+ 2n+ 2n.x 2n x 2— 1+ 2n xw =y .4n答案 1 830解析-an+i+(-1)n an=2n-1,••a2=1+a i, a3=2—a i, a4 = 7 — a i, a5=a i, a6=9+a i, a7=2 —a i, a8= 15 — a i, a9 =ai, a io=i7+a i, a ii=2 —a i, a i2 = 23 —ai,…,a57= a i, a58=ii3+a i, a59= 2 — a i, a60= ii9 — a i,「• a i + a2+…+ a60= (a i+ a2+ a3 + a4)+ (a5+ a6+ a7+ a8)+ …+ (a57+ a58 + a59+ a6o)= io+ 26 + 42+ …+234 i5X i0+234 = 2 = i 830.12 .数列2 008,2 009,i , -2 008, -2 009,…这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,那么这个数列的前 2 0i3项之和S2 0i3等于()A. iB. 2 0i0C. 4 0i8D. 0答案C解析由得a n = a n i+a n+i (n>2),,a n+i=a n—a n i.故数列的前8项依次为2 008,2 009,i , - 2 008, - 2 009, - i, 2 008,2 009.由此可知数列为周期数列,周期为6,且Ss= 0./2 0i3=6X335+3,,S2 0i3 = S3=4 0i8., i ........... .......................................... ~ ...................13 .设f (x) ――,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求2x 2f( 5) f( 4) f(0) ... f(5) f(6)的值为A. 3<2B. 22C. 2v12D.—2解：由于f(x) f (i x) —,那么原式I｛[ f( 5) f(6)] [f( 4) f (5)]2 2[f(6) f( 5)]｝- i2 — 3石,选A2 2i4.数列｛a n｝的前n 项和为S n,满足：a i i , 3tS n (2t 3)& i 3t,其中t 0,n N且n 2 (i)求证：数列｛an｝是等比数列；i ............ ............... .(n)设数列｛a n｝的公比为f (t),数列｛b n｝满足b i i,b n f (——)(n 2),求b n的通项b ni〔出〕记T n b i b2 b2b3 b3b4 b4b5 b2ni b2n b2n b2ni,求证：「20 92 时,3tS n(2t 3)S ni 3t ①,3tS ni (2t 3)S n3t ②+ a 4+a 8+…+ a2n ,那么 T n =解析：设｛a n ｝的公差为dw0,由a 1, a 2, a 5成等比数列,得 a2=a 1a 5, 即(7 — 2d)2= (7 — 3d)(7 + d) . .d = 2 或 d = 0(舍去)..-,an=7+(n-4)X2=2n-1.又 a 2n = 2 2n — 1 =2n +1—1, .•T n=(22— 1)+(23— 1)+(24— 1)+ …+ (2n +1 —1)= (22+ 23+ ••• +2n+1)-n=2n+2-n- 4.②一①得：3ta n 1 (2t 3)a n 0a n 1 a n2t 3 - ------ (n 2) 3t又a 1 1,3t(a i a ?) (2t 3)4 3t ,解得: a 22t 3 3ta 2 a n a ia 2a n2t 3 3t ｛a n ｝是首项为2t 3 ,2~^的等比数列.3t-33 h b n1-,b n --------------n 3b n 13b n1 3 2b nb n b n(n 1) 3(m)T n b 2(b 1b 4(b 3b 5)b 2n (b 2n 1b 2n1)4(b 2 b 4 3b 2n ) 当n 2时,2n 23n 为增,4n3 2 51) 2n(4n 96)4 2(2n 2 3n)915.1002 99298297222A. 2525B. 5050C. 解：原式(100 99) (98 97)20 912的值是10100(2 1) D. 202105050 ,选 B16.等差数列｛a n ｝的公差不为零,a 4=7, a 1,a 5成等比数列,数列｛T n ｝满足条件 T n=a 2。
几种常见数列求和方法的归纳
几种常见数列求和方法的归纳1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
主要适用于等差，比数列求和。
（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（等差数列推导用到特殊方法：倒序相加）（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）（3）222221(1)(21)1236nk n n n k n =++=++++=∑L （不作要求，但要了解）例：（1）求=2+4+6+ (2)（2）求=x+++…+(x )2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。
例：（1）求证：等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++ooooL L .3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
例：（1）求和：(1)321ΛΛ个n n S 111111111++++=81109101--+n n（2）22222)1()1()1(n n n x x x x x x S ++++++=Λ当1±≠x 时，n x x x x S n n n n 2)1()1)(1(22222+-+-=+当n S x n 4,1=±=时4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
（分式求和常用裂项相消）常见的拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ，)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ， 1111()(2)22n n n n =-++，)12)(12(11)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n ，2=例：（1）求和：1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+L L.（2）求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n Λ12)1(2++=n n n S n5．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ(适用于：等差数列乘以等比数列的通项求和)例：求和：23,2,3,,,na a a na L L当1a =时，123n S =+++ (1)2n n n ++=， 当1a ≠时，212(1)(1)n n n na n a aS a ++-++=-6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。
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分组求和法 典题导入[例1] (2011·山东高考)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [自主解答] (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3，故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln3)＋(－1)nn ln 3，所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n ]ln 3＝2×1－32n1－3＋n ln 3＝32n＋n ln 3－1.由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．以题试法1．(2013·威海模拟)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．解：(1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1.(2)由(1)，知x n ＝2n＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.2.数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( )．A ．n 2＋1－12n －1B ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12nD ．n 2＋2－12n －1解析 由题意知已知数列的通项为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝n 1＋2n －12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n 2＋1－12n .答案 C3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，15a 1＋15×142d ＝225，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝2a n ＋2n ＝12·4n ＋2n ，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n ) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23·4n ＋n 2＋n －23.4.设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 解析 (1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2. 所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)(2)S n ＝21－2n 1－2＋n ×1＋n n －12×2＝2n ＋1＋n 2－2.5.求和S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋12n －1.解 和式中第k 项为a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2[(1＋1＋…＋1n 个－(12＋122＋…＋12n )]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝12n －1＋2n －2.6.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.答案 2 600解析 由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k .∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋100＋2×502＝2 600.7.求和：(1)S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋n ·2n ＋12n； (2)S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2.解 (1)由于a n ＝n ·2n＋12n ＝n ＋12n ， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋ (12)＝n n ＋12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n n ＋12－12n ＋1. (2)当x ＝±1时，S n ＝4n .当x ≠±1时，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n＋2＋1x 2n＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n)＋2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋1x4＋…＋1x 2n＝x 2x 2n －1x 2－1＋x －21－x －2n 1－x －2＋2n ＝x 2n －1x 2n ＋2＋1x 2n x 2－1＋2n .∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n x ＝±1，x 2n－1x 2n ＋2＋1x 2n x 2－1＋2n x ≠±1.8.已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________． 答案 765解析 由题意知{a n }是等差数列，a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63，令a n ≥0，解得n ≥21. ∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20＝－60＋90－63×302－(－60＋60－63)×20＝765.9.数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________. 答案 66解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 n ＝12n －5 n ≥2.令2n －5≤0，得n ≤52，∴当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66. 10.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.11.(2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． 答案 1 830解析 ∵a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×10＋2342＝1 830.12.已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 013项之和S 2 013等于 ( )A ．1B ．2 010C ．4 018D ．0 答案 C解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1，2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 013＝6×335＋3，∴S 2 013＝S 3＝4 018. 13.设221)(+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求 )0()4()5(f f f ++-+-Λ)6()5(...f f +++的值为A ．23B ．2C ．22D ．22 解：由于22)1()(=-+x f x f ，则原式)]5()4([)]6()5({[21f f f f +-++-=)]}5()6([-+++f f Λ23221221=⨯⨯=，选A14.数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足：11=a ，t S t tS n n 3)32(31=+--，其中0>t ，+∈N n 且2≥n （Ⅰ）求证：数列}{n a 是等比数列；（Ⅱ）设数列}{n a 的公比为)(t f ，数列}{n b 满足1111,()(2),n n b b f n b -==≥求n b 的通项式.（Ⅲ）记,12221254433221+--++-+-=n n n n n b b b b b b b b b b b b T Λ求证：.920-≤n T 解（Ⅰ）当2≥n 时，t S t tS n n 3)32(31=+--① ,t S t tS n n 3)32(31=+-+②②—①得：0)32(31=+-+n n a t ta 1233n n a t a t++∴=（2≥n ） 又11211,3()(23)3a t a a t a t =+-+=，解得：tt a 3322+=, nn a a a a a a 12312+===∴Λ233t t += }{n a ∴是首项为1，公比为233t t+的等比数列。