数学实验第二次作业

3.问题：小型火箭初始质量为1400kg，其中包括1080kg燃料，火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。

设火箭上升时空气阻力正比速度的平方，比例系数为0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。

模型：设速度为v，根据牛顿第二定律，可得微分方程在0<t<60时，dv/dt=(32000-0.4*v^2-9.8*(-18*t+1400))/(-18*t+1400)在引擎关闭，火箭上升至最高点之前dv/dt=-(18*v^2+9.8*320)/320;计算方法：编写dv/dt的函数function dv=rocket1(t,v)dv=(32000-0.4*v^2-9.8*(-18*t+1400))/(-18*t+1400);function dv=rocket2(t,v)dv=-(18*v^2+9.8*320)/320;用龙格-库塔方法求这两个常微分方程，再利用梯形公式求出v对t的积分，得到火箭上升的高度。

并输出60s时的速度、加速度和高度,以及总的上升高度。

ts1=0:0.1:60;v0=0;[t1,v1]=ode45(@rocket1,ts1,v0);H1=trapz(t1,v1)dv=(32000-0.4*v1(601)^2-9.8*(-18*t1(601)+1400))/(-18*t1(601)+1400 )ts2=60:0.1:71.3;v0=v1(601)[t2,v2]=ode45(@rocket2,ts2,v0);H2=trapz(t2,v2)H=H1+H2dv1=(32000-0.4*v1.^2-9.8.*(-18.*t1+1400))./(-18.*t1+1400);dv2=-(18.*v2.^2+9.8.*320)./320;dv=[dv1;dv2];plot(t,dv),grid,[t]=[t1;t2];[v]=[v1;v2];pause,plot(t,v),grid,h(1)=0;for i=2:length(t);h(i)=trapz(t(1:i),v(1:i)); endpause,plot(t,h'),grid,实验结果：t=60s时，v=267.2612407732609m/sa=0.914984734734975m/s2H=12.18976913272247km后一段上升高度为0.9255331614101061km 总上升高度为13111530229413258km显然此时的加速度为-9.8m/s2高度图像如下：速度图像如下：加速度图像如下：实验结果分析与讨论：从图上可知，60s 之后，速度、加速度发生突变，速度在较短的时间里变为0。

6.题目：一只小船渡过宽为d 的河流，目标是起点A 正对着的另一岸B 点。

已知河水流速v1与船在静水中的速度v2之比为k 。

（图略）（1） 建立描述小船航线的数学模型，求其解析解；（2） 设d=100m,v1=1m/s,v2=2m/s,用数值解求渡河所需时间、任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较。

（3） 若流速v1=0,0.5,1.5,2(m/s),结果将如何。

模型：以水流方向为x 轴，A 到B 的方向为y 轴，小船在任意时刻的坐标为（x,y,t ）;由图容易得到速度与位移之间的关系：1dx v dt =dy dt = 初始条件为（0，-d ）两式相除得dx x dy y=令1dx dp dp 0,=*,*2dy dy dyx v p k y p y p p y v =<=++则上式化为dy k y=推出：推出：0.5()0.5()k k p cy cy -=- 故有0.5()0.5()k k x cy cy y-=- 有110.50.5k k k k x c y c y --+=- 代入初值得1c d=-计算方法：首先编写船过河的微分方程，存入boat.mfunction dx=boat(t,x)d=100;v1=1;v2=2;s=sqrt(x(1)^2+(d-x(2))^2);dx=[-v2*x(1)/s+v1;v2*(d-x(2))/s];再编写解析解方程：function x=boat2(y,k)x=0.5*(-0.01)^(-k)*y.^(1-k)-0.5*(-0.01)^k*y.^(1+k);ts=0:0.01:100;x0=[0,-100];option=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-9);[t,x]=ode15s(@boat,ts,x0,option,1,2);%这里需使用解刚性方程得龙格—库塔公式计算plot(t,x),gridgtext('x(t)')gtext('y(t)')pauseplot(x(:,1),x(:,2)),grid,y=0:-0.01:-100; k=0.5;x=boat2(y,0.5);pause,plot(x,y),grid;计算结果：数值解x,y-t图像：解析解x,y-t图像：x-y图像：当t=66.66s时，x=0.0069734m，y= -1.9451e-006m，可认为小船已经达到目的地B点。

结果分析与讨论：可以发祥数值解、解析解的差距不是很大。

将v1改为0,0.5,1.5,2m/s，v1=0，t=50s；v1=0.5，t=53.5s；v1=1.5，t=114.5s；v1=2，小船不可能到达B 点。

9.问题：两种群相互竞争模型如下： 11122212()(1/),()(1/),y x t r x x n s n y y t r y s x n n ••=--=--其中x,y 分别为甲乙两种群的数量，r1,r2为它们的固有增长率，n1,n2为它们的最大容量。

s1的含义是，对于供养甲的资源而言，单位数量乙的消耗为单位数量甲消耗的s1倍，s2对可作相应的解释。

该模型无解析解，试用数值解法研究以下问题：（1）设r1=r2=1，n1=n2=100,s1=0.5,s2=2,x0=y0=10计算x(t),y(t)，画出它们的图形及相图，说明时间t 充分大以后x 和y 的变化趋势（2）改变r1,r2,n1,n2,x0,y0，但s1,s2不变，计算并分析所得结果；若s1=1.5(>1),s2=0.7(<1)，再分析结果。

由此你能得到什么结论，请用各参数生态学上的含义作出解释。

（3）试验当s1=0.8（<1）,s2=0.7(<1)时会出现什么结果；当s1=1.5(>1)，s2=1.7（>1）时又会有什么结果。

能解释这些结果吗？模型及实验结果:微分方程题目已给出，故直接列方程：function dx=grow(t,x,r1,r2,n1,n2,s1,s2)r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2;dx=[r1*x(1)*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2);r2*x(2)*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)]当t充分大时，x趋于100，y趋于0.实验分析与讨论：（2）当改变除了s1和s2以外的参数时，考虑最终结果的变化。

function dx=grow(t,x,r1,r2,n1,n2,s1,s2)r1=1;r2=1;n1=50;n2=100;s1=0.5;s2=5;dx=[r1*x(1)*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2);r2*x(2)*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)]图形如下：可见，只要s1<1,s2>1,甲的数量最终趋于n1,而乙的数量趋于0.改变s1和s2，如下：function dx=grow(t,x,r1,r2,n1,n2,s1,s2)r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=1.5;s2=0.7;dx=[r1*x(1)*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2);r2*x(2)*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)]对比得出：只要s1或者s2大于1，最终数量就会趋于n1或者n2.对比以上数据，我们可以得出结论：只要乙的资源消耗比不过甲，最终甲就会达到最大容量，而乙趋于0.反之亦然。

（3）当s1和s2均小于1时，结果如下：function dx=grow(t,x,r1,r2,n1,n2,s1,s2)r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.8;s2=0.7;dx=[r1*x(1)*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2);r2*x(2)*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)]当s1,s2都大于1时：function dx=grow(t,x,r1,r2,n1,n2,s1,s2)r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=1.5;s2=1.7;dx=[r1*x(1)*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2);r2*x(2)*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)]结论：当s1和s2均小于1时，两者数量会趋于一个常数，当s1和s2均大于1时，若s1较大，则甲会趋于容量最大值，乙趋于0.反之亦然。