数学建模五步法与灵敏度分析报告
数学中的灵敏度分析
假设条件成为了建模过程中一个影响模型好坏的影响因素，灵敏度分析就是在模型建立后，对假设条件变化，检验模型的优劣性一般来说Lingo做出来的灵敏度分析能够达到一个比较理想的程度，不过还是要根据模型本身来研究，建议你在开始之前先学习一下《数值分析》，对建模的灵敏度分析很有用哈，再根据《数值分析》的方法，对M-C（蒙特卡罗）方法进行灵敏度分析，你会很快掌握~~~随着现代工业的迅速发展，对工业设备的精度提出了更高的要求。
但是，由于制造误差、轴承间隙、弹性变形等因素的影响，不可避免地会对设备的精度产生一定的影响。
因此我们就有必要建立起一个数学模型并且应用恰当的分析方法来研究上述的各种误差对精度的影响关系，找出影响最大的因素，作为我们在实际的制造和装配过程中进行误差分配，降低生产成本，提高传动精度的理论依据。
这里就可以采用灵敏度分析的方法。
它主要包括局部灵敏度分析方法和全局灵敏度分析方法。
一、局部灵敏度分析方法局部法主要分析因素对模型的局部影响（如某点）。
局部法可以得到参数对输出的梯度，这一数值是许多领域研究中所需要的重要数据。
局部法主要应用于数学表达式比较简单，灵敏度微分方程较易推出，不确定因素较少的系统模型中。
主要包括直接求导法、有限差分法、格林函数法。
1．直接求导法对于输入因素个数少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推导的系统或模型，直接法是一种简单快速的灵敏度分析方法。
时变（非静止）系统可以用微分或微分-代数方程进行描述。
假设要考虑的初值问题是，（1）同样，代表n维输出变量，代表m维输入因素。
代表初值数组。
式（1）对输入因素微分得到下述的灵敏度微分方程（2）或以矩阵形式表示为（3）式中，是系统代数-微分方程右边对系统输出变量的导数（可称为雅可比矩阵），是对输入因素的导数，也可称为参数雅可比。
微分方程（2）的初始条件为零向量。
上述的直接法建立在微分方程（2）的基础上，要得到其灵敏度矩阵S的解，需要先求得矩阵J和F的值。
数学建模实验报告
《数学建模实验》实验报告学院名称数学与信息学院专业名称提交日期课程教师实验一：数学规划模型AMPL求解实验内容1. 用AMPL求解下列问题并作灵敏度分析:一奶制品加工厂用牛奶生产A1和A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2，且都能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
先加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制，试为该厂制定一个计划，使每天的获利最大。
（1）建立模型文件：milk.modset Products ordered;param Time{i in Products }>0;param Quan{i in Products}>0;param Profit{i in Products}>0;var x{i in Products}>=0;maximize profit: sum{i in Products} Profit [i]* Quan [i]*x[i];subject to raw: sum{i in Products}x[i] <=50;subject to time:sum{i in Products}Time[i]*x[i]<=480;subject to capacity: Quan[first(Products)]*x[first(Products)]<=100;（2）建立数据文件milk.datset Products:=A1 A2;param Time:=A1 12 A2 8;param Quan:=A1 3 A2 4;param Profit:=A1 24 A2 16;(3) 建立批处理文件milk.runmodel milk.mod;data milk.dat;option solver cplex;solve;display x;(4)运行运行结果：CPLEX 11.0.0: optimal solution; objective 33602 dual simplex iterations (1 in phase I)x [*] :=A1 20A2 30;（5）灵敏度分析：model milk.mod;data milk.dat;option solver cplex;option cplex_options 'sensitivity';solve;display x;display x.rc, x.down, x.up;display raw, time, capacity;display raw.down, raw.up,raw.current, raw.slack;得到结果：【灵敏度分析】: x.rc x.down x.up:=A1 -3.55271e-15 64 96A2 0 48 72;raw = 48time = 2capacity = 0raw.down = 43.3333raw.up = 60raw.current = 50raw.slack = 0某公司有6个建筑工地，位置坐标为(a i, b i)(单位：公里),水泥日用量d i (单位：吨）1) 现有j j j吨，制定每天的供应计划，即从A, B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
构建“五步建模教学法”,培养学生建模能力
附件二：浅谈数学“五步建模教学法”安丘市普教教研室刘红娟安丘市大汶河开发区贾戈小学鹿立华弗赖登塔尔说过：“学生自己发明数学就会学得更好”，“让他们经历数学化的过程，这是教学的第一原则”。
所以我们在教学中应当致力于学生数学建模的引领，让学生体验数学建模的过程，从而获得数学活动经验，以便更好地达成“新课标”提出的能力发展目标。
我们通过构建“五步建模教学法”，加强建模策略的研究，有效提高了学生的建模能力。
一、基本环节和流程针对数学建模的重点，我们把“小学数学建模的有效策略”作为重点课题进行了深入研究，并形成了“五步建模教学法”，模式流程如下：1.创设问题情境，激发建模兴趣。
数学模型都是具有现实的生活背景的，要建模首先必须对生活原型有充分的了解。
教师要创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形成与发展的过程，获得积极的情感体验，感受数学的力量，同时掌握必要的基础知识与基本技能。
如构建“平均数”模型时，可以创设这样的情境：4名男生一组，5名女生一组，进行套圈游戏比赛，哪个组的套圈水平高一些？学生提出了一些解决问题的方法，如比较每组的总分、比较每组中的最好成绩等，但都遭到了否决。
这时“平均数”的策略应需而生，构建“平均数”的模型就成为了学生的需求，同时也揭示了模型存在的背景、适用环境、条件等。
一个精彩有效的问题情境应该有如下特征：（1）有实际意义，或对学习、理解、掌握、应用前后数学知识有很好的作用；（2）有趣味性和挑战性，能够激发学生的兴趣，吸引学生投入进来；（3）易理解，问题情境是学生熟悉的；（4）时机上的恰当，起到“画龙点睛”的作用；（5）难度的适中，能有效激发学生的学习兴趣。
2.引出数学问题，培育建模基础。
这一环节主要是从新课开始时所创设的问题情境中，在教师的引导下，将生活问题数学化，提出相关的数学问题，以待进一步探索和解决。
灵敏度分析
§2－6 灵敏度分析(Sensitivity Analysis)灵敏度分析的含义是指对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析。
线性规划的灵敏度分析是在建立数学模型和求得最优解之后，针对数据资料变化而作的研究和分析。
这种分析可以从两个方面来看：一是希望知道根据一定数据得到的最优结果，在数据变化到一定程度时，对最优解有什么影响。
二是希望知道要使最优解保持不变，各个数据可以有多大幅度的变动。
灵敏度分析的具体步骤如下:1. 将参数的改变计算反映到最终单纯形表上来： 具体计算方法是，按下列公式计算出由参数,,ij i j a b c 的变化而引起的最终单纯形表上有关数字的变化：*1b B b −Δ=Δ （2.17）*1i i p B p −Δ=Δ （2.18）1()()mj j j j ij i i c z c z a y ∗∗=Δ−=Δ−−∑ （2.19） 2. 检查原问题是否仍为可行解; 3. 检查对偶问题是否仍为可行解；4. 按表（表2-8）所列情况得出结论和决定继续计算的步骤。
表2-8原问题 对偶问题 结论或继续计算的步骤可行解 可行解 仍为问题的最优解可行解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 可行解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 非可行解非可行解引入人工变量，编制新的单纯形表重新计算下面分别就各个参数改变后的情形进行讨论。
6-1 分析j c 的变化范围目标函数中系数j c 的变化仅仅影响到检验数j j c z −的变 化，所以将j c 的变化直接反映到最终单纯形表中，只可能出现如表2-8中所示的两种情况。
【例6】 已知线性规划问题1122max (2)(3)z x x λλ=+++s.t .1212122212416515,0x x x x x x +≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩试分析1λ和2λ分别在什么范围变化，问题的最优解不变。
【解】 当120λλ==，上述线性规划问题的最终单纯形表见表2-3，当20λ=时，将1λ反映到该表中（见表2-9）表2-9表中解为最优解的条件是：11102λ−−≤，111055λ−+≤由此推导得121λ−≤≤时满足上述要求。
数学建模万能模板7灵敏度分析
数学建模万能模板7灵敏度分析1.引言在引言部分，首先简要介绍灵敏度分析的重要性，以及在各种数学建模场景中的应用。
可以列举一些实际例子来支持这一观点，同时阐述灵敏度分析对于决策制定、预测以及控制等领域的贡献。
2.灵敏度分析概述在这一部分，详细解释灵敏度的概念，以及如何利用灵敏度分析来研究模型输出如何随输入参数的变化而变化。
可以引入一些数学概念，如雅可比矩阵、灵敏度系数等，以便为后续的分析打下基础。
3.灵敏度分析方法在这一部分，介绍灵敏度分析的主要方法，如局部灵敏度分析、全局灵敏度分析、蒙特卡洛模拟等。
详细解释每种方法的原理、计算步骤以及适用范围。
此外，还可以讨论这些方法在数学建模中的应用。
4.数学建模灵敏度分析实例在这一部分，结合具体的数学模型，进行灵敏度分析的实例展示。
可以选择一个或多个具有代表性的模型，如预测模型、优化模型等。
详细介绍如何使用灵敏度分析方法来研究这些模型的灵敏度特征，以及如何根据分析结果来改进模型或调整模型参数。
5.灵敏度分析的决策应用在这一部分，讨论灵敏度分析在决策制定中的应用。
可以根据实际情况列举一些具体案例，如根据灵敏度分析结果来制定资源分配策略、调整生产计划或制定风险管理策略等。
此外，还可以讨论灵敏度分析如何与其他技术（如机器学习、仿真等）结合使用，以提高决策制定的科学性和准确性。
6.灵敏度分析的挑战与展望在这一部分，讨论灵敏度分析面临的挑战以及未来的发展方向。
例如，如何处理高维度模型、如何提高计算效率、如何将灵敏度分析与不确定性量化相结合等。
此外，还可以探讨灵敏度分析在其他领域的应用前景，如生物医学、环境科学等。
7.结论总结全文的主要内容，强调灵敏度分析在数学建模中的重要性以及在实际应用中的价值。
同时指出本文所介绍的灵敏度分析方法只是其中的一部分，鼓励读者在今后的学习和实践中进一步探索其他灵敏度分析方法，并将其应用于实际问题中。
8.参考文献列出本文中所引用的参考文献，格式按照所选的参考文献类型进行整理排版即可。
模型参数灵敏度分析
返回主页模型参数灵敏度分析建立数学模型的主要目的之一是增进我们对系统的了解，而模型参数的灵敏度分析是对数学模型的参数动态变化过程, 即瞬时变化过程进行分析。
因此，通过模型参数的灵敏度分析可以明确哪些参数对系统的总体输出和动态影响较大。
1. 方法简介下面考虑一个经验模型，其模型的输出y可以是一种作物的产量，也可以是一头奶牛的总泌乳量等，假定对该模型已经圆满地进行了检验与评价，包括对试验数据进行了适度的拟合。
模型中有些参数是生理指标，而有些是环境指标，另有一些参数，如对作物投入肥料x i，按其对产量的相对效应进行排序，则无论目标函数怎样，都可以得到较为客观的度量。
目标函数y对参数x i的灵敏度S(y, x i)的定义为：式中为边际函数(偏导数)，为平均的投入产出效应。
S(y, x i)表示目标函数y对输入参数x i的灵敏度。
2. 灵敏度分析的计算机处理在分析模型参数变化速率之前, 先给出模型方程，并将模型及其参数按规定格式定义成公式块，按系统要求将待分析的公式放在公式块的第1行，这些待分析的公式系由变量和参数组合起来的表达式。
在公式中用x1, x2,…, x p分别代表p个变量(必须从１开始按顺序给出)。
公式中可使用本系统的全部标准函数，最后的公式在形式上必须是合法的数学表达式，定义格式为: 方程表达式变量1的起始值, 终止值, 间隔值或变量1 的取值水平。
变量2的起始值, 终止值, 间隔值或变量2 的取值水平。
………变量p的起始值, 终止值, 间隔值或变量p 的取值水平21.5+4.29x1-3.77x2-0.059x1^2-0.015x2^2+0.0044x1x212, 18, 0.150上述公式块中的第2行表示变量x1从12开始到18，每隔0.1分析一次，第3行表示将x2固定为50。
例如研究产量随某种肥料用量变化的规律，求出的肥料反应经验方程为，根据该方程进行模型的灵敏度分析，先按图22-7的方式编辑定义公式：3x1+2x1x1-0.1x1^31 16 0.5图22-7 产量函数灵敏度分析公式定义图然后进入菜单操作，选择“模型参数变化速率分析”菜单，执行后系统即输出分析结果，包括灵敏度、导数(偏导数)、平均效应及目标函数的计算结果，详见如下输出单“1 / 2line-height: 10.0pt; mso-line-height-rule: exactly; mso-border-alt: solid windowtext .75pt; mso-padding-alt: 1.0pt 1.0pt 1.0pt 1.0pt; word-spacing: 0; border-style: none; border-width: medium; margin: 0; padding-----精心整理，希望对您有所帮助!。
灵敏度分析
XB + B-1 N XN + B-1 IXS = B-1 b
XB ，XN ，XS ≥ 0
灵敏度分析的步骤可归纳如下： 1. 将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表上来： 具体计算方法是，按下列公式计算出由参数 aij , bi 的变化而引起 的最终单纯行表上有关数字的变化。
Pj' B 1Pj ;（ Pj 为第j列）
对应I 式的单纯形表—— I 表
XB XN XS
解
B CB
N C’N
I 0
系数时，若要保持最优解
（或基）不变，则必须满足：
b 0
C’N – CB B -1N ≤0
XB
对应B 式的单纯形表—— B 表
XN XS
解
I
0
B -1N
C’N – CB B -1N
B -1
- CB B -1
B b
C B b
1 B
2. 检查原问题是否仍为可行解； 3. 检查对偶问题是否仍为可行解； 4. 按下表所列情况得出结论或决定继续计算步骤。
b ' B 1b;
线性规划原问题单纯形法对应的 I 表中参数的变化
将引起B 表中对应参数的变化情况表：
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题
可行解 非可行解 可行解 非可行解
C = （c1 ，c2 ，…，cn ） 其中 X= b1 b2 . . . bm
x1 x2 . . . xn
XS =
xS1 xS2 . . . xSm
b=
对于前面给定符合典式的线性规划问题中，初始基矩 阵为 I ，基变量为 XS ，即松弛变量。其对应的初始 单纯形表如下： I 表（初始表）
数学建模五步法
数学建模五步法1第一步：提出问题列出问题中涉及到的变量，包括恰当的单位？注意不要混淆变量和常量（参数）？列出对变量所做的全部假设，写出变量间的关系式（不等式、等式）？检查变量/常量的单位关系，以保证所做假设的意义？用准确的数学语言（表达式）写出问题的目标？案例涉及的变量：●w =猪的重量（磅）；●t=从现在到出售期间经历的时间（天）；●C=t天内饲养猪的费用（美元）；●p=猪的市场价格（美元/磅）；●R=售出猪获得的收益（美元）；●P=最终获得净收益（美元）。
案例所作的假设：01.0 65.05200≥-=⋅=-=+=tC RPw pR tp tw案例目标：Pmax第二步：选择建模方法选择解决问题的一般求解方法？这需要jian mo zhe的经验、技巧和对相关文献的了解和熟悉。
建模常用的方法有：1（新西兰）Mark M. Meershaert著，刘来福等译. 《数学建模方法与分析》，机械工业出版社（2005）——优化模型的求解方法：微积分方法、数学规划方法等；——动态模型方法：微分方程、差分方程、模拟方法等；——概率模型：概率定律、计量经济方法等。
注意：大量的模型均可用计算机软件工具实现，模型求解方法的选择，现实中，就变为软件工具的选择。
案例涉及的数学方法：● 微积分之优化理论——可微函数的一阶条件：()0'=x f第三步：推导模型的公式将第一步得到的问题重新表达，以适应第二步所选定的建模方法所需要的形式，这可能需要对变量进行调整？记下任何补充假设，这些假设是为了是在第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做出的。
案例推导()(){}{}()()t t t P t t t tt t tw p CR P t t 45.0520001.065.0max 0:45.0520001.065.045.00-+-=>-+-=-⋅=-=>：：问题可表达为如下模型，的取值范围补充假设：求解变量第四步：求解模型将第二步所选方法应用于第三步得到的数学表达式？注意：要保证数学推导过程的正确。
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灵敏度分析
简介：
研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。
因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。
用途：
主要用于模型检验和推广。
简单来说就是改变模型原有的假设条件之后，所得到的结果会发生多大的变化。
举例（建模五步法）：
一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。
猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1美分，求出售猪的最佳时间。
建立数学模型的五个步骤：
1.提出问题
2.选择建模方法
3.推到模型的数学表达式
4.求解模型
5.回答问题
第一步：提出问题
将问题用数学语言表达。
例子中包含以下变量：猪的重量w（磅），从现在到出售猪期间经历的时间t（天），t天内饲养猪的花费C（美元），猪的市场价格p（美元/磅），出售生猪所获得的收益R（美元），我们最终要获得的净收益P （美元）。
还有一些其他量，如猪的初始重量200磅。
（建议先写显而易见的部分）
猪从200磅按每天5磅增加
（w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天）
饲养每天花费45美分
（C美元）=（0.45美元/天）*（t天）
价格65美分按每天1美分下降
（p美元/磅）=（0.65美元/磅）-（0.01美元/磅）*（t天）
生猪收益
（R美元）=（p美元/磅）*（w磅）
净利润
（P美元）=（R美元）-（C美元）
用数学语言总结和表达如下：
参数设定：
t=时间（天）
w=猪的重量（磅）
p=猪的价格（美元/磅）
C=饲养t天的花费（美元）
R=出售猪的收益（美元）
P=净收益（美元）
假设：
w=200+5t
C=0.45t
p=0.65-0.01t
R=p*w
P=R-C
t>=0
目标：求P的最大值
第二步：选择建模方法
本例采用单变量最优化问题或极大—极小化问题第三步：推导模型的数学表达式子
P=R-C （1）
R=p*w （2）
C=0.45t （3）
得到R=p*w-0.45t
p=0.65-0.01t （4）
w=200+5t （5）
得到P=（0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t
令y=P是需最大化的目标变量，x=t是自变量，现在我们将问题转化为集合S={x:x>=0}上求函数的最大值：
y=f（x）=（0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x （1-1）
第四步：求解模型
用第二步中确定的数学方法解出步骤三。
例子中，要求（1-1）式中定义的y=f （x）在区间x>=0上求最大值。
下图给出了（1-1）的图像和导数（应用几何画板绘制）。
在x=8为全局极大值点，此时f（8）=133.20。
因此（8，133.20）为f在整个实轴上的全局极大值点，同时也是区间x>=0上的最大值点。
第五步：回答问题
根据第四步，8天后出售生猪的净收益最大，可以获得净收益133.20美元。
只要第一步中的假设成立，这一结果正确。
数学建模五步方法总结：
第一步：提出问题
（1）列出问题中涉及的变量，包括适当的单位；
（2）注意不要混淆变量和常量；
（3）列出你对变量所做的全部假设，包括等式和不等式；（4）检查单位从而保证你的假设有意义；
（5）用准确的数学术语给出问题的目标。
第二步：选择建模方法
（1）选择解决问题的一个一般的求解方法；
（2）一般地，这一步的成功需要经验，技巧和熟悉相关文献。
第三步：推导模型的数学表达式
（1）将第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模方法所需要的形式；（2）将第一步中的一些变量名改成与第二步所用的记号一致；
（3）记下任何补充假设，这些假设是为了使第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做出的。
第四步：求解模型
（1）将第二步中所选用的一般求解过程应用于第三步得到表达式的特定问题；（2）注意你的数学推导，检查是否有错误，你的答案是否有意义；
（3）采用适当的技术，计算机代数系统，图形工具，数值计算的软件等，都能扩大你能解决问题的范围，并能减少计算错误。
第五步：回答问题
（1）用非技术性的语言将第四步的结果重新表述；
（2）避免数学符号和术语；
（3）能理解出处提出的问题的人就应该能理解你给出的答案。
灵敏度分析
数据是由测量，观察有时甚至完全猜测得到的，因此，我们要考虑数据不准确的可能性。
上例中，生猪现在的重量，现在的价格，每天饲养花费都很容易测量，而且
有相当大的确定性。
但是猪的生长率则不那么确定，而价格的下降率则确定性更低，记r为价格的下降率，现在假设r的实际值不同，对几个不同的r值重复前面的求解过程，我们会对问题的解关于r的敏感程度有所了解。
下表给出了几个不同r值求出的计算结果。
根据表格绘制图形，我们可以看到售猪的最优时间对参数r很敏感。
r（美元/天）x（天）
0.008 15.0
0.009 11.1
0.010 8.0
0.011 5.5
0.012 3.3
对灵敏度的更系统的分析是将r视为未知参数，按前面的步骤求解，写出p=0.65-rt。
得到y=f（x）=（0.65-rx）（200+5x）-0.45x。
使得导数为0，得到x=（7-500r）/25r，当x>=0时，只要0<r<=0.014。
对于猪的生长率g同样不确定，我们有w=200+gt，得到y=f（x）=（0.65-rx）
（200+gx）-0.45x。
使得导数为0，得到x=5*(13g-49)/2g。
当x>=0时，得到g>=3.769。
我们将灵敏度数据用相对改变量表示，例如：r下降10%导致了x增加了39%，而g下降了10%导致了x下降了34%。
如果x的改变量Δx，则Δx/x表示相对改变量。
如果r改变了Δr，导致了x有Δx的改变量，则相对改变量的比值为（Δx/x）/（Δr/r），令Δr→0，我们有（Δx/x）/（Δr/r）→（dx/dr）*（r/x）。
我们称这个极限值为x对r的灵敏度，即为S（x，r）。
在售猪问题中，r=0.01和x=8得到dx/dr=-7/25r2=-2800，因此S（x，r）=(dx/dr)*(r/x)=-2800*(0.01/8)=-7/2，即若r增加2%，则x下降7%。
由于
dx/dg=245/2g2=4.9,我们有S（x，g）=(dx/dg)*(g/x)=4.9*（5/8）=3.0625。
于是猪的生长率增加1%，会导致大约等待3%的时间再将猪售出。
灵敏度分析的成功应用要有较好的判断力，通常即不可能对模型中的每个参数都计算灵敏度分析，也没有特别的要求。
我们需要选择那些有较大不确定性的参数进行灵敏度分析。
对灵敏度系数的解释还要依赖与参数的不确定程度，主要问题是数据的不确定程度影响答案的置信度。
在这个问题中，我们通常认为猪的生长率g比价格下降率r更可靠。
如果我们观察了猪或者其他类似动物在过去的生长情况，则g有25%的误差会是很不寻常的，但对r的估计有25%的误差则不足为奇。
数学模型的稳健性
一个数学模型称为稳健的，是指即使这个模型不完全精确，由其导出的结果
也是正确的。
在实际问题中，我们不会有绝对准确的信息，即使能够建立一个完美的精确模型，我们也可能采取较为简单和易于处理的方法。
出于数学处理的方便和简化的目的，常常要做一些假设，建模者有责任要考察这些假设是否太特殊，以致使模型的结果无效。
上例中我们主要是假设猪的重量和每磅的价格都是时间线性函数。
假设一年后，猪的重量为200+5*365=2025磅，卖出收益为0.65-0.01*365=-3美元/磅。
一个更为实际的模型应该考虑到这些函数的非线性性，又考虑到随着时间的推移不确定性的增加。
考察售猪问题中的线性假设。
基本方程为P=pw-0.45t。
如果模型初始数据和假设没有与实际相差太远，则售猪的最佳时间应该有令P求导为0得到。
计算后有p'w+pw'=0.45，得到只要猪价比饲养的费用增长快，就应暂时不卖出。
其中，p'w为价格下降带来的损失，pw'为猪增重而增加的价值。
考虑更一般的模型的情况，猪的未来增长和价格的未来变化并不确定。
假设如下情况，一个农民有一头重量大约是200磅的猪，上一周猪每天增重约5磅，五天前猪价为70美分/磅，但现在是65美分/磅，根据现有数据我们可以得出何时出售，问题是p'和w'在未来几周内不会保持常数，因此，两者不会是时间的线性函数。
但是只要在这段时间内，两者变化不太大，假设他们保持为常数而导致的误差就不会太大。