高等数学等价无穷小替换
分式中等价无穷小代换规则
分式中等价无穷小代换规则
分式中等价无穷小代换规则是高等数学中的一个重要概念，在分析数学、微积分、常微分方程等领域都有广泛的应用。
换言之，在这些领域中，当分式分母的值非常小或趋于0时，等价无穷小代换规则可以帮助我们简化计算，得到更加精确的结果。
具体来说，等价无穷小代换规则的公式如下：
设$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，则$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小，并且有$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。
这个规则可以解释为，当$f(x)$和$g(x)$的极限趋于0时，我们可以将$f(x)$与$g(x)$视为等价的；即$f(x)$在$x$趋近于$a$时与$g(x)$的表现近乎相同。
在实际计算过程中，我们可以将分式中的
$f(x)$替换为$g(x)$来简化计算，而不会对结果产生显著的影响。
要注意的是，该规则只适用于$x$趋近于$a$的情况。
在其他情况下，等价无穷小代换规则可能不适用，因此需要确定当$x$趋近于
$a$时函数的极限。
总的来说，等价无穷小代换规则是分析数学中非常重要的一个概念，可以方便准确地计算数学问题。
在实际应用中，需要灵活掌握这个规则的使用方法，并在合适情况下进行判断。
高等数学等价无穷小替换公式
高等数学等价无穷小替换公式
高等数学中，等价无穷小是指两个无穷小在某一极限下的比值趋近于1。
等价无穷小替换公式是指在极限运算中，可以用一个等价无穷小代替另一个等价无穷小，而不改变极限的值。
以下是一些常见的高等数学等价无穷小替换公式：
1. 当x趋近于0时，sin(x)和x等价。
即：sin(x) ~ x。
2. 当x趋近于0时，tan(x)和x等价。
即：tan(x) ~ x。
3. 当x趋近于0时，1-cos(x)和x等价。
即：1-cos(x) ~ x。
4. 当x趋近于0时，e^x-1和x等价。
即：e^x-1 ~ x。
5. 当x趋近于0时，ln(1+x)和x等价。
即：ln(1+x) ~ x。
6. 当x趋近于0时，arcsin(x)和x等价。
即：arcsin(x) ~ x。
7. 当x趋近于0时，arctan(x)和x等价。
即：arctan(x) ~ x。
8. 当x趋近于0时，(1+x)^a-1和ax等价。
即：(1+x)^a-1 ~ ax。
9. 当x趋近于0时，(1+x)^n-1和nx等价。
即：(1+x)^n-1 ~ nx。
以上就是高等数学中常用的等价无穷小替换公式，掌握这些公式对于解题和理解极限概念都非常有帮助。
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高等数学等价无穷小替换
无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义下面我们用定义：无穷小，即例如,【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：＊下的无穷大，即【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如，时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：大，小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:定理1 自变量在同一变化过x的无穷小.∞→证：（必要性）（充分性）【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（23.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较3要快得多比x.极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义:例1 tan 4,0的四阶无穷小为时当x x x x→43tan x3)tan (lim 4x x =4=例22．常用等价无穷小（1（2（3（4 （5 （6（7（8（9用等价无穷小可给出函数的近似表达式:3．等价无穷小替换例3 （1（2解: （1lim1（2）原极限例4错解:正解:32lim(2)x【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
高等数学等价无穷小的几个常用公式
高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学的学习中，等价无穷小是一个非常重要的概念，它在求极限等问题中有着广泛的应用。
等价无穷小的本质是在某个极限过程中，两个函数的比值趋近于 1。
下面我们来介绍几个常用的等价无穷小公式。
当$x ＼to 0$时，有以下几个常见的等价无穷小：1、＄＼sin x ＼sim x$这意味着当$x$趋近于 0 时，＄＼sin x$和$x$的比值趋近于 1。
我们可以通过泰勒展开来理解这个等价关系。
＄＼sin x$的泰勒展开式为$x ＼frac{x^3}｛3!｝＋＼frac{x^5}｛5!｝＼cdots$，当$x$很小时，高次项可以忽略不计，所以$＼sin x$近似等于$x$。
2、＄＼tan x ＼sim x$同理，＄＼tan x$在$x ＼to 0$时，也与$x$等价。
因为$＼tan x ＝＼frac{＼sin x}｛＼cos x}＄，而$＼cos x ＼to 1$（当$x ＼to 0$），所以$＼tan x$与$＼sin x$在$x ＼to 0$时具有相似的性质。
3、＄＼ln(1 ＋ x) ＼sim x$对于对数函数$＼ln(1 ＋ x)＄，当$x ＼to 0$时，它与$x$等价。
我们可以通过对$＼ln(1 ＋ x)＄进行泰勒展开来证明这一点。
4、＄e^x 1 ＼sim x$指数函数$e^x$在$x ＼to 0$时，＄e^x 1$与$x$等价。
因为$e^x$的泰勒展开式为$1 ＋ x ＋＼frac{x^2}｛2!｝＋＼frac{x^3}｛3!｝＋＼cdots$，所以$e^x 1$在$x$很小时近似等于$x$。
5、＄1 ＼cos x ＼sim ＼frac{1}｛2}x^2$当$x ＼to 0$时，＄1 ＼cos x$与$＼frac{1}｛2}x^2$等价。
同样可以通过$＼cos x$的泰勒展开式来理解。
这些等价无穷小公式在求极限时非常有用，能够大大简化计算。
例如，计算$＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x}＄，由于$＼sin x ＼sim x$（当$x ＼to 0$），所以该极限的值为 1。
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
创作时间：二零二一年六月三十日讲义之巴公井开创作无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷年夜的概念；2、掌握无穷小的性质与比力会用等价无穷小求极限；3、分歧类型的未定式的分歧解法.【教学内容】1、无穷小与无穷年夜；2、无穷小的比力；3、几个经常使用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法.【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比力用等价无穷小求极限.难点是未定式的极限的求法.【教学设计】首先介绍无穷小和无穷年夜的概念和性质（30分钟）, 在理解无穷小与无穷年夜的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）.最后归纳总结求极限的经常使用方法和技巧（25分钟）, 课堂练习（15分钟）.【授课内容】一、无穷小与无穷年夜前面我们研究.界说：,＊下的无穷小,例如【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数, 任何非零常量都不是无穷小.界说：,＊下的无穷年夜,显然都是无穷年夜量,【注意】不能把无穷年夜与很年夜的数混淆；无穷年夜是极限不存在的情形之一.无穷小与无穷年夜是相对的, 在分歧的极限形式下, 同一个函数可能是无穷小也可能是无穷年夜, 如, 时为无穷年夜.2．无穷小与无穷年夜的关系：在自变量的同一变动过程中,,, , 为无穷年夜.小结：无穷年夜量、无穷小量的概念是反映变量的变动趋势, 因此任何常量都不是无穷年夜量, 任何非零常量都不是无穷小, 谈及无穷年夜量、无穷小量之时, 首先应给出自变量的变动趋势.:定理lim (x xxf 自变量在同一变（或x 的无穷小.证：（需要性）设lim (xf 令则有lim (x α（充沛性）(),x α小, 则 【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比力0,,x x时x1sin不存在极限分歧, 反映了趋向于零的“快慢”水平分歧.1．界说:设,αβ是自变量在同一变动过程中的两个无穷小, 例例2．经常使用等价无穷小（1（2（3（4（5（6（7（8（9用等价无穷小可给出函数的近似表达式:3．等价无穷小替换例3 （1（2解: （1）故原极限0(2)lim12xxx（2）原极限例错解正解2lim(2)xxx【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换, 只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换.5 tanlim求2215()()2lim3()xx o x x o xx o x xlim=三、极限的简单计算1. 代入法：,若, 即为其极限,在, 我们也能知道属于哪种未定式, 便于我们选择分歧的方法.例如, , 我们可以用以下的方法来求解.2. 分解因式, 消去零因子法例如3. 分子（分母）有理化法例如又如4. 化无穷年夜为无穷小法例如2221773lim lim142422x xx x xx xx x, 实际上就是分子分母同这个无穷年夜量.由此不难得出又如12111lim2==+++∞→xxx, （分子分母同除.再如.5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 例如（无穷小量乘以有界量）. 又如由无穷小与无穷年夜的关系,再如, 等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5. 6. 利用两个重要极限求极限（例题拜会§—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限例如解左右极限存在且相等【启发与讨论】 110,sin yx x 时是无界变量吗？是无穷大吗？2210+=k x ππ取)(,0x y k >充分大时当,δ<πk x y sin 2)(=但结论：无穷年夜是一种特殊的无界变量,可是无界变量未必是无穷年夜.思考题2：论？试举例说明.解：不能保证.例思考题3：任何两个无穷小量都可以比力吗？解：,.【课堂练习】求下列函数的极限（1解：原极限（2【分析】, 拆项.解：原极限（3；【分析】“抓年夜头法”,解：原极限55522lim x x （4 【分析】分子有理化解：原极限（5【分析, 是不定型, 四则运算法则无法应用, 需先通分, 后计算.解（6【分析】, 是不定型, 四则运算法则失效, 使用分母有理化消零因子.解：原极限（7解.【内容小结】一、无穷小（年夜）的概念无穷小与无穷年夜是相对过程而言的.1、主要内容:两个界说;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1) 无穷小（年夜）是变量,不能与很小（年夜）的数混淆, 零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷年夜.二、无穷小的比力:, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但其实不是所有的无穷小都可进行比力.高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.2.等价无穷小的替换:求极限的又一种方法, 注意适用条件.三、极限求法（分歧类型的未定式的分歧解法）;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.。
高等数学等价无穷小替换
无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大;2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15 分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1. 定义前面我们研究了n 数列X n的极限、x （x 、x ）函数f x 的极限、x x0（ x x0、x x0 ）函数f （x）的极限这七种趋近方式。
下面我们用x 文表示上述七种的某一种趋近方式，即n x x x x x o x x o x x o定义：当在给定的x 文下，f（x）以零为极限，则称f（x）是x 大下的无穷小，艮P lim f x 0。
x *例如，lim sinx 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小.x 01 1 一，_____ ___ ___[im - 0, 函数一是当x 时的无为小.lim（ 1）0, 数列｛（ °｝是当n 时的无穷小. n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
宏左，即lim f x 。
显然，n 时，n、n2、n3、都是无穷大量，x 大【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如lim e x0 , x lim e x x所以e x当x时为无穷小，当x时为无穷大2. 无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果f x为无穷大，则—为无穷小；反之，如果f x为无穷小，且f x 0,则—为无穷大。
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大;2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15 分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1. 定义前面我们研究了n 数列x n的极限、x （x 、x ）函数f x 的极限、x x°（x x0、x x0 ）函数f （x）的极限这七种趋近方式。
下面我们用夫表示上述七种的某一种趋近方式，即n x x xX X Q XX Q XX O定义：当在给定的x 文下，f (x)以零为极限，则称f(x)是x 大下的无虹，即如fx°。
lim 1 0, 函数1是当x 时的无穷小【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的X 大下，f x 无限增大，则称f x 是x 大下的五 空左，即lim f x。
显然，n 时，n 、n 2、n 3、都是无穷大量，x 大【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是 无穷大,如xxJim e 0, Jim e ,所以e x 当x 时为无穷小，当x 时为无穷大。
2. 无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果f x 为无穷大，则产为无穷小；反之，如果f x 为无穷小，且f x 0,则产为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是 无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应 给出自变量的变化趋势。
大学高等数学等价无穷小
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。
其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。
关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。
当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。
此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。
也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
ln根号等价无穷小替换
ln根号等价无穷小替换在高等数学中，等价无穷小概念对于理解极限、微积分等知识点有着至关重要的作用。
而在ln函数中，根号部分也可以看作是一个等价无穷小。
本文将解释ln根号等价无穷小的原因，并给出替换方法，通过实例详细说明替换过程，最后总结ln根号等价无穷小替换的意义和实用性。
首先，我们来了解一下等价无穷小的概念。
等价无穷小指的是当两个函数在某一点的极限值相等时，这两个函数在这一点附近是等价的。
在数学分析中，我们可以利用等价无穷小的概念简化极限的求解。
接下来，我们解释为什么ln函数的根号部分可以看作等价无穷小。
根据对数函数的性质，ln(1+x)可以表示为x的等价无穷小。
当x趋近于0时，1+x也可以看作是x的等价无穷小。
因此，在ln函数中，根号部分可以看作是等价无穷小。
那么，如何进行ln根号等价无穷小的替换呢？我们可以将ln函数中的根号部分用x来表示，然后将原式子中的ln函数替换为x。
例如，对于原式子ln(1+x)^2，我们可以将其替换为2x。
接下来，我们通过一个实例来说明ln根号等价无穷小的替换过程。
假设我们要求解极限：lim(x->0) [ln(1+x) - ln(1+2x)] / x根据ln根号等价无穷小的替换，我们可以将原式子替换为：lim(x->0) [x - 2x] / x进一步简化得：lim(x->0) [-x] / x当x趋近于0时，原式子的极限值为0。
通过以上分析，我们可以看到，ln根号等价无穷小替换在求解极限问题时具有很大的实用价值。
它可以帮助我们简化极限的求解过程，更直观地理解极限的性质。
在实际应用中，掌握ln根号等价无穷小替换的方法，有助于提高求解极限的效率。
总之，ln根号等价无穷小替换是一种在高等数学中具有重要意义的技巧。
通过理解等价无穷小的概念，掌握替换方法，我们可以更加熟练地求解极限问题。
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
＊
定义:当在给定的 ＊下, 以零为极限,则称 就是 ＊下的无穷小,即 。
例如,
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆;零就是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都不就是无穷小。
定义:当在给定的 ＊下, 无限增大,则称 就是 ＊下的无穷大,即 。显然, 时, 都就是无穷大量,
难点就是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小与无穷大的概念与性质(30分钟),在理解无穷小与无穷大的概念与性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)。最后归纳总结求极限的常用方法与技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1、定义
前面我们研究了 数列 的极限、 ( 、 )函数 的极限、 ( 、 )函数 的极限这七种趋近方式。下面我们用
6、 利用两个重要极限求极限(例题参见§1、4例3—例5)
7、 分段函数、复合函数求极限
例如,
解:
左右极限存在且相等,
【启发与讨论】
思考题1:
解:
无界,
不就是无穷大.
结论:无穷大就是一种特殊的无界变量,但就是无界变量未必就是无穷大、
思考题2:若 ,且 ,问:能否保证有 的结论？试举例说明、
解:不能保证、例
(7) ～ (8) ～ (9) ～
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
例如
3.等价无穷小替换
定理:
证:
例3(1) ; (2)
解:(1) 故原极限 = 8
(2)原极限= =
例4
错解: =0
正解:
故原极限
【注意】与、差形式一般不能进行等价无穷小替换,只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
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无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x Θ .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n Θ .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时，Λ、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α=+ )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如n n 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但nn 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x x xx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x xx x →30)tan (lim 4x x x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→Θ)cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1x a -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβΘ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xxx -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x x x ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5 .3sin 1cos 5tan lim0xx x x +-→求 解: ),(5tan x o x x +=Θ),(33sin x o x x +=).(21cos 122x o x x +=-原式22015()()2lim 3()x x o x x o x x o x ®+++=+xx o x x o x x x o x )(3)(21)(5lim20++++=→.35= 三、极限的简单计算1. 代入法：直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去，若()0x f 存在，即为其极限，例如924231232lim3451=++++-→x x x x x x ；若()0x f 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，39lim 23--→x x x 就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法例如，()63lim 39lim323=+=--→→x x x x x 。
3. 分子（分母）有理化法 例如，()()()()()()355125125123535lim51235lim222222++++-+++++-+=-+-+→→x x x x xxx x x x424lim 22--=→x x x()()()2222lim2--+=→x x x x 2= 又如，()011lim1lim22=++=-++∞→+∞→xx x x x x4. 化无穷大为无穷小法例如，2222173373lim lim 142422x x x x x x x x xx+-+-==-+-+，实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。
由此不难得出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→mn m n m n ba b x b x b a x a x a n n n m m m x ，，，0lim 00110110ΛΛ又如，12111lim21lim=++=+++∞→+∞→xxx x x x ，（分子分母同除x ）。
再如，1153152lim 5352lim -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→n nn n n n n n ，（分子分母同除n 5）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，()0131arctan lim 2=+++∞→x x x x x ，（无穷小量乘以有界量）。
又如，.3214lim 21-+-→x x x x 求 解：)32(lim 21-+→x x x Θ,0=商的法则不能用)14(lim 1-→x x Θ又,03≠=1432lim21--+∴→x x x x .03== 由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21∞=-+-→x x x x再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）7. 分段函数、复合函数求极限例如，).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0=x)1(lim )(lim 0x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 20+=++→→x x f x x ,1=左右极限存在且相等, .1)(lim 0=→x f x 故【启发与讨论】 思考题1：110,sin x yx x?当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：),3,2,1,0(221)1(0Λ=+=k k x ππ取,22)(0ππ+=k x y .)(,0M x y k >充分大时当无界， ),3,2,1,0(21)2(0Λ==k k x π取,,δ<k x k 充分大时当 ππk k x y k 2sin 2)(=但 .0M <=不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若0)(>x f ，且A x f x =+∞→)(lim ，问：能否保证有0>A 的结论？试举例说明.解：不能保证. 例xx f 1)(=,0>∀x 01)(>=xx f =+∞→)(lim x f x.01lim ==+∞→A xx 思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当+∞→x 时,1)(x x f =x xx g sin )(=都是无穷小量但=+∞→)()(lim x f x g x x x sin lim +∞→不存在且不为无穷大，故当+∞→x 时)(x f 和)(x g 不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限（1）xxe x x cos lim 0-→；解：原极限=1cos 1lim 1lim cos lim000=-+-=-→→→xxx e x x e x x x x x（2）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→ 【分析】 “0”型，拆项。