甘肃省永昌县第一中学高中数学练习 6.4 数列求和

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[名校联盟]甘肃省永昌县第一中学高中数学 6.4《数列求和》课件

即 2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，
①
由题意 Sn－1·Sn≠0，
பைடு நூலகம்
①式两边同除以 Sn－1·Sn，得S1n－Sn1－1＝2， ∴数列S1n是首项为S11＝a11＝1，公差为 2 的等差数列． ∴S1n＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝2n1－1. (2)又 bn＝2nS＋n 1＝(2n－1)1(2n＋1)
＝122n1－1－2n1＋1，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝121－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1 ＝121－2n1＋1＝2nn＋1.
探究提高使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形
式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.
(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项
相乘构成的数列求和．
(4)倒序相加：例如，等差数列前 n 项和公式的推导．
4．常见的拆项公式
(1)n(n1＋1)＝n1－n＋1 1；
(2)(2n－1)1(2n＋1)＝122n1－1－2n1＋1；
3．已知等差数列的公差 d<0，前 n 项和记为 Sn，满足 S20>0， S21<0，则当 n＝___1_0____时，Sn 达到最大值．
解析 ∵S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)>0， S21＝21a11<0，∴a10>0，a11<0， ∴n＝10 时，Sn 最大．
4．如果数列{an}满足 a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…
题型分类深度剖析

高三一轮复习讲义第6章第4节数列求和及答案

数列求和1．等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 2．等比数列的前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 3．一些常见数列的前n 项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2. (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1)． (4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6. 【知识拓展】数列求和的常用方法(1)公式法等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和．(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)．( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .()(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( )考点自测1．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于() A.n 2＋7n 4 B.n 2＋5n 3 C.2n 2＋3n 4D ．n 2＋n2．(教材改编)数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和S n ＝20172018，则n 等于( )A ．2016B ．2017C ．2018D ．20193．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－4004．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2017＝________.题型分类深度剖析题型一分组转化法求和例1已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2n a ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1＋(－1)n ·(ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，求其前n 项和S n .题型二错位相减法求和例2已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n ，求数列{c n }的前n 项和T n .设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n .题型三裂项相消法求和命题点1形如a n ＝1n (n ＋k )型例3S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．命题点2形如a n ＝1n ＋n ＋k 型例4已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2017＝________.在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .四审结构定方案典例已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和为T n ，求证：T n <4.课时作业1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( ) A ．n 2＋1－12n B ．2n 2－n ＋1－12n C ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2016，且a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)，则S 2016等于( )A ．0B ．2016C ．2015D ．20143．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( ) A ．120B ．70C ．75D ．1004．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( )A ．76B ．78C ．80D ．825．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2 (当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( ) A ．0B ．100C ．－100D ．102006．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|等于( )A ．153B ．210C ．135D ．1207．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为________．8．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．9．若已知数列的前四项是112＋2，122＋4，132＋6，142＋8，则数列的前n 项和为______________．*10.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *,2S n ＝a 2n ＋a n .令b n ＝1a n a n ＋1＋a n ＋1a n，设{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为________．11．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .12．已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．*13.若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝12log n a .求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＜34.数列求和1．等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 2．等比数列的前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 3．一些常见数列的前n 项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1)．(4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6. 【知识拓展】数列求和的常用方法(1)公式法等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和．(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.(√) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)．(√) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．(×)(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .(×) (5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.(√)考点自测1．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于()A.n 2＋7n 4B.n 2＋5n 3C.2n 2＋3n 4D ．n 2＋n 答案A解析设等差数列的公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1·a 6. 即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n . 2．(教材改编)数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和S n ＝20172018，则n 等于() A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019答案B解析a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 令n n ＋1＝20172018，得n ＝2017. 3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于()A ．200B ．－200C ．400D ．－400答案B解析S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.答案2n ＋1－2＋n 2 解析S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2. 5．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2017＝________. 答案1008解析因为数列a n ＝n cos n π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4. 故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2.a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8，故a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，∴周期T ＝4.∴S 2017＝S 2016＋a 2017＝20164×2＋2017·cos 20172π＝1008.题型分类深度剖析题型一分组转化法求和例1已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n . a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 引申探究本例(2)中，求数列{b n }的前n 项和T n .解由(1)知b n ＝2n ＋(－1)n ·n .当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ]＝2n ＋1－2＋n －12－n ＝2n ＋1－n 2－52. ∴T n ＝⎩⎨⎧ 2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.思维升华分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1＋(－1)n ·(ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，求其前n 项和S n . 解S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3，所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln3＝3n ＋n 2ln3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln2－ln3)＋(n －12－n )ln3 ＝3n －n －12ln3－ln2－1. 综上所述，S n＝⎩⎨⎧ 3n ＋n 2ln3－1，n 为偶数，3n －n －12ln3－ln2－1，n 为奇数.题型二错位相减法求和例2已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，满足上式，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧ 11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知，c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1，又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]．两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n)1－2－(n ＋1)×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2. 思维升华错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解(1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧ a n ＝19(2n ＋79)，b n ＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1. 题型三裂项相消法求和命题点1形如a n ＝1n (n ＋k )型例3S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3＝n 3(2n ＋3).命题点2形如a n ＝1n ＋n ＋k 型例4已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2017＝________.答案2018－1解析由f (4)＝2，可得4a ＝2，解得a ＝12，则f (x )＝12x . ∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ， S 2017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2017－2016)＋(2018－2017)＝2018－1.思维升华(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )，1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k)，裂项后可以产生连续相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解(1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列． ∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 四审结构定方案典例已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和为T n ，求证：T n <4.(1)S n ＝－12n 2＋kn ――――――→S n 是关于n 的二次函数n ＝k 时，S n 最大――――――――→根据S n 的结构特征确定k 的值k ＝4；S n ＝－12n 2＋4n ――→根据S n 求a n a n ＝92－n (2)9－2a n 2n ＝n 2n －1―――――――――→根据数列结构特征确定求和方法 T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1――――――→错位相减法求和计算可得T n ―→证明：T n <4 规范解答(1)解当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .当n ＝1时，上式也成立．综上，a n ＝92－n .[6分] (2)证明∵9－2a n 2n ＝n 2n －1， ∴T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1，① 2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n 2n －2.② ②－①，得2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1 ＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1.[11分] ∴T n ＝4－n ＋22n －1.∴T n <4. 课时作业1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于() A ．n 2＋1－12n B ．2n 2－n ＋1－12n C ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n答案A解析该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(12＋122＋…＋12n )＝n 2＋1－12n . 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2016，且a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)，则S 2016等于()A ．0B ．2016C ．2015D ．2014答案A解析∵a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)，∴a n ＋2a n q ＋a n q 2＝0，q 为等比数列{a n }的公比，即q 2＋2q ＋1＝0，∴q ＝－1.∴a n ＝(－1)n －1·2016， ∴S 2016＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2015＋a 2016)＝0.3．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为() A ．120B ．70C ．75D ．100答案C解析因为S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75. 4．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于()A ．76B ．78C ．80D ．82答案B解析由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1·a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2 (当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于() A ．0B ．100C ．－100D ．10200答案B解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.故选B.6．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|等于()A ．153B ．210C ．135D ．120答案A解析令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥72.∴从第4项开始大于0， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 15＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋(2×15－7)＝9＋12×(1＋23)2＝153. 7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为________．答案120解析∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.8．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．答案60解析由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.9．若已知数列的前四项是112＋2，122＋4，132＋6，142＋8，则数列的前n 项和为______________．答案34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)解析由前四项知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n 2＋2n ，由1n 2＋2n ＝12(1n －1n ＋2)知， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝12[1－13＋12－14＋13－15＋…＋(1n －2－1n )＋(1n －1－1n ＋1)＋(1n －1n ＋2)]＝12[1＋12－1n ＋1－1n ＋2] ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). *10.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *,2S n ＝a 2n ＋a n .令b n ＝1a n a n ＋1＋a n ＋1a n，设{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为________．答案9解析∵2S n ＝a 2n ＋a n ，①∴2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1，②②－①，得2a n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1－a 2n －a n ，a 2n ＋1－a 2n －a n ＋1－a n ＝0，(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.又∵{a n }为正项数列，∴a n ＋1－a n －1＝0，即a n ＋1－a n ＝1.在2S n ＝a 2n ＋a n 中，令n ＝1，可得a 1＝1.∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．∴a n ＝n ，∴b n ＝1n n ＋1＋(n ＋1)n＝(n ＋1)n －n n ＋1[n n ＋1＋(n ＋1)n ][(n ＋1)n －n n ＋1]＝(n ＋1)n －n n ＋1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝1－1n ＋1， ∴T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为9.11．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解(1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2，a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2， ∴a n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝na n ＝n ·2n ＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )．令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1. 两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1， ∴T ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1. ∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42. 12．已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．解(1)设数列{a n }的公比为q .由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1. (2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12，即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. *13.若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝12log n a .求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＜34. (1)解∵S n ＝16－13a n ， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －1－13a n ，∴a n ＝14a n －1. 又∵S 1＝a 1＝16－13a 1，∴a 1＝18，∴a n ＝18⎝⎛⎭⎫14n －1＝⎝⎛⎭⎫122n ＋1. (2)证明由c n ＋1－c n ＝12log n a ＝2n ＋1，得当n ≥2时，c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1)＝0＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)， 1c n ＝1(n ＋1)(n －1)＝12(1n －1－1n ＋1)， ∴1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n＝12×⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋ ⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋12－⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＜34. 又∵1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ≥1c 2＝13，∴原式得证．。

高中数学练习：数列求和

高中数学练习：数列求和基础巩固(时间：30分钟)1.Sn=+++…+等于( B )(A) (B)(C)(D)解析：由Sn=+++…+，①得Sn=++…++，②①-②得，Sn =+++…+-=-，所以Sn=.2.数列{(-1)n(2n-1)}的前2 018项和S2 018等于( B )(A)-2 016 (B)2 018 (C)-2 015 (D)2 015解析：S2 018=-1+3-5+7-…-(2×2 017-1)+(2×2 018-1)=(-1+3)+(-5+7)+…+[-(2×2 017-1)+(2×2 018-1)]=2×1 009=2 018.故选B.3.等差数列{an }的通项公式为an=2n+1，其前n项和为Sn，则数列{}的前10项的和为( C )(A)120 (B)70 (C)75 (D)100解析：由an =2n+1，得a1=3，d=2.所以Sn=3n+×2=n2+2n.因为=n+2，所以数列{}是以3为首项，1为公差的等差数列. 所以()的前10项和为10×3+×1=75.4.已知函数y=loga (x-1)+3(a>0，a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn =，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于( B )(A)(B)(C)1 (D)解析：对数函数y=loga x的图象过定点(1，0)，所以函数y=loga(x-1)+3的图象过定点(2，3)，则a2=2，a3=3，故an=n，所以bn==-，所以T10=1-+-+…+-=1-=，故选B.5.+++…+的值为( C )(A) (B)-(C)-(+) (D)-+解析：因为===(-)，所以+++…+=(1-+-+-+…+-)=(--)=-(+).6.在2016年至2019年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2020年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取出，则取回的金额是( D )(A)m(1+q)4元 (B)m(1+q)5元(C)元(D)解析：2019年存款的本息和为m(1+q)，2018年存款的本息和为m(1+q)2，2017年存款的本息和为m(1+q)3，2016年存款的本息和为m(1+q)4，四年存款的本息和为m(1+q)+m(1+q)2+m(1+q)3+m(1+q)4==.故选D.7.已知函数f(x)=x a 的图象过点(4，2)，令a n =，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 018= . 解析：由f(4)=2可得4a =2，解得a=.则f(x)=. 所以a n ===-， S 2 018=a 1+a 2+a 3+…+a 2018=(-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1.答案：-18.有穷数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+4+…+2n-1所有项的和为 .解析：由题意知所求数列的通项为=2n -1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为-n=2n+1-2-n.答案：2n+1-2-n能力提升(时间：15分钟)9.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，当n ≥2时，a n +2S n-1=n ，则S 2 017的值为( D ) (A)2 015 (B)2 013 (C)1 008 (D)1 009解析：因为a n +2S n-1=n(n ≥2)，所以a n+1+2S n =n+1(n ≥1)，两式相减得a n+1+a n =1(n ≥2).又a 1=1，所以S 2 017=a 1+(a 2+a 3)+…+(a 2 016+a 2 017)=1+1 008×1=1 009，故选D.10.已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=6，S 5=，则数列{}的前n 项和为( B )(A)1- (B)2-(C)2- (D)2-解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n =na 1+d ，因为S 3=6，S 5=，所以解得所以a n =n+1，=，设数列{}的前n 项和为T n ，则T n =+++…++，T n =+++…++，两式相减得T n =+(++…+)-=+(1-)-，所以T n =2-.故选B.11.(江西赣南联考)在数列{a n }中，已知a 1=1，a n+1+(-1)n a n = cos(n+1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017= . 解析：由a 1=1，a n+1+(-1)n a n =cos(n+1)π，得 a 2=a 1+cos 2π=1+1=2， a 3=-a 2+cos 3π=-2-1=-3， a 4=a 3+cos 4π=-3+1=-2， a 5=-a 4+cos 5π=2-1=1， ……由上可知，数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=-2，所以S 2 017=504(a 1+a 2+a 3+a 4)+a 1=504×(-2)+1=-1 007. 答案：-1 00712.设函数f(x)=+log 2，定义S n =f()+f()+…+f()，其中n ∈N *，且n ≥2，则S n = .解析：因为f(x)+f(1-x)=+log2++log2=1+log21=1，所以2Sn=[f()+f()］+[f()+f()］+…+[f()+f()］=n-1.所以Sn=.答案：13.已知数列{an }的前n项和是Sn，且Sn+an=1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn =lo(1-Sn+1)(n∈N*)，令Tn=++…+，求Tn.解：(1)当n=1时，a1=S1，由S1+a1=1，得a1=，当n≥2时，Sn =1-an，Sn-1=1-an-1，则Sn -Sn-1=(an-1-an)，即an=(an-1-an)，所以an =an-1(n≥2).故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列.故an=·()n-1=2·()n(n∈N*).(2)因为1-Sn =an=()n.所以bn =lo(1-Sn+1)=lo()n+1=n+1，因为==-，所以Tn=++…+=(-)+(-)+…+(-)=-=.14.(广西玉林一模)已知数列{an }中，a1=1，an+1=(n∈N*).(1)求证：(+)为等比数列，并求{an }的通项公式an;(2)数列{bn }满足bn=(3n-1)··an，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)因为a1=1，an+1=，所以==1+，即+=+=3(+)，则(+)为等比数列，公比q=3，首项为+=1+=，则+=·3n-1，即=-+·3n-1=(3n-1)，即an=.(2)bn =(3n-1)··an=，则数列{bn }的前n项和Tn=+++…+，Tn=+++…+，两式相减得T=1+++…+-=-=2--=2-，n=4-.则Tn。

高考数学一轮复习 6.4 数列求和精品课件理新人教A版

n an
知,
1 为等比数列,其系 an
数构成数列{n}成等差数列,故可用错位相减法.
【解析】当a=1时,Sn=1+2+3+…+n= n(n +1);
2
当a≠1时,
12 3
n
Sn = a + a2 + a3 +…+ an .
①
两边同乘 1 a
,得
1 a
Sn
=
2 a2
+
3 a3
+
3 a4
…+
n an
-
9
9
1
1
（2）分析通项公式an=(xn+ xn )2=(xn)2+( xn )2+2，
1 可转化为两个等比数列{x2n}， { x2n }与常数列{2}的求
和问题.
【解析】（1）∵an=
1(10n-1),
9
∴Sn=1+11+111+…+11…1
︸n个
= 1 ［(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)］
9
= 1［(10+102+…+10n)-n］
9
= 1 〔 10(10n - 1) - n〕
=
9
10n+1
-
9n
9 - 10
.
81
1 (2)∵an=x2n+2+ x2n ,∴当x≠±1时,
Sn=(x+
1 )2+(x2+ x
1 x2
)2+…+(xn+
1 xn

甘肃省永昌县第一中学高一数学第二章章末练习

甘肃省永昌县第一中学高一数学：第二章章末练习学习目标1. 复习向量的概念和向量的线性运算、数量积运算。

2. 复习共线向量定理和平面向量基本定理。

3. 复习平面向量的应用。

学习重点1. 向量的概念和向量的线性运算、数量积运算。

2. 共线向量定理和平面向量基本定理。

学习难点教学设计一、目标展示二、自主学习]1．向量的概念(1)向量是既有大小又有方向的量，用有向线段来表示，有向线段的长度即向量的模(长度)，要注意有向线段有起点，而向量是自由移动的．(2)零向量的长度为0，单位向量的长度为1，二者方向都是任意的．相等向量的长度相等，方向相同；相反向量的长度相等，方向相反；平行(共线)向量的方向相同或相反，与长度无关．2．向量的线性运算(1)向量的加法和减法都满足交换律、结合律．(2)向量加法是用三角形法则定义的，其要点是“首尾相接”，即AB u u u r ＋BC u u ur ＝AC u u u r ；平行四边形法则的要点是“共起点，以它们为邻边作平行四边形，则同起点的对角线的向量即为向量和”．向量减法的要点：共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点，即AB u u u r －AC u u ur ＝CB u u u r .3．两个重要定理(1)共线向量定理是证明平行的重要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．特别地，平面内一点P 位于直线AB 上的条件是存在实数x ，使AP u u u r ＝x AB u u u r (或x PB u u u r)，或对直线外任意一点O ，有OP u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r(x ＋y ＝1)．(2)平面向量基本定理是平面向量坐标表示的理论基础． 4．向量的数量积 (1)计算方法：①a·b ＝|a ||b |cos θ；②已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)应用：①夹角公式cos θ＝a·b|a ||b |；②向量的模：|a |＝a 2；③垂直问题a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 5．几个重要结论(1)三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)在平行四边形中，若相邻两边长为a 、b ，则|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)．三、精讲点拨考点一、向量的线性运算[例1] (1)(2020·四川高考)如图，正六边形ABCDEF 中，BA u u u r＋CD u u u r ＋EF u u u r＝( )A ．0B ．BE u u u rC ．AD u u u rD ．CF u u u r(2)(2020·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12C ．1D ．21．平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC u u u r ＝12BC u u u r ，连接DC 延长至E ，使|CE u u u r |＝14|ED u u ur |，则点E 的坐标为________．2．在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D .使得BD u u u r ＝13BC u u u r ＋23BE u u u r，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由．考点二、平面向量的数量积及应用[例2] (1)(2020·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足APu u u r＝λAB u u u r ，AQ u u ur ＝(1－λ) AC u u u r ，λ∈R .若BQ uuu r ·CP u u u r ＝－2，则λ＝( )A.13B.23C.43D ．2(2)(2020·辽宁高考)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1B ．1 C. 2D ．23．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，a －c 与b －c 的夹角为60°，则|c |的最大值等于( )A ．2B. 3C. 2D ．14．(2020·浙江高考)设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a⊥b B ．若a⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 考点三、平面向量的应用[例3] (1)(2020·全国大纲卷改编)已知直线y ＝2x －4与曲线y 2＝4x 交于A ，B 两点，F (1,0)，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45(2)(2020·北京高考)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE u u u r ·CBu uu r 的值为________；DE u u u r ·DC u u ur 的最大值为________．5．(2020·江西高考)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2B ．4C ．5D ．106．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA u u u r |＝|OB u u u r |＝|OC u u u r|，NA u u u r ＋NB u u u r ＋NC u u u r ＝0，PA u u r ·PB u u u r ＝PB u u u r ·PC u u ur ＝PC u u u r ·PA u u r ，则点O ，N ，P依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心7．设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.五、达标检测1．已知A (4,6)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32，有下列向量： ①a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143，3；②b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，92；③c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－143，－3；④d ＝(－7,9)．其中，与直线AB 平行的向量是( ) A ．①② B ．①③ C ．①②③D ．①②③④2．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB u u u r ＝13OA u u u r ＋23OC u u u r ，则|AB u u u r|∶|BC u u u r |＝( )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶2D ．2∶13．在五边形ABCDE 中 (如图) AB u u u r ＋BC u u ur －DC u u u r ＝( )A ．AC u u u rB ．AD u u u rC ．BD u u u r D ．BE u u u r4．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为( )A.14B ．－14 C.54D ．－545．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC u u u r 2＝16，|AB u u u r ＋AC u u u r |＝|AB u u u r －AC u u ur |，则|AM u u u u r|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．16．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°六、课堂小结1．向量的线性运算实质上是向量的加、减法及数乘运算，实现用基底表示向量的目的．在解题过程中要注意结合共线向量定理的应用．2. 平面向量数量积的应用主要是解决向量的夹角、模、垂直问题．在处理问题时，除考虑定义计算外，还要充分利用向量的线性运算、数形结合解决问题．3. 平面向量的应用主要体现在向量与平面几何、向量与三角、向量与解析几何、向量与物理等方面的结合，解决问题的关键是恰当引入向量，通过向量运算解决问题．课后作业1、已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB u u u r－t OC u u u r )·OC u u u r ＝0，求t 的值．。

高中数学数列求和练习题及参考答案2023

高中数学数列求和练习题及参考答案2023数列求和是高中数学中的重要知识点，也是学生们经常需要练习和巩固的内容。

掌握数列求和的方法和技巧，对于解决各种数学问题具有重要的作用。

本文将为大家提供一些高中数学数列求和的练习题，并给出参考答案。

一、简单求和练习1. 求等差数列1，4，7，10，...的前20项和。

解析：这是一个等差数列，我们知道等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

根据等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，我们可以求得前20项和为：S20 = (20/2)(1 + 1 + 19 * 3) = 20 * 10 = 200所以，等差数列1，4，7，10，...的前20项和为200。

2. 求等比数列3，6，12，24，...的前10项和。

解析：这是一个等比数列，我们知道等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

根据等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，我们可以求得前10项和为：S10 = 3 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 3 * (1 - 1024) / (-1) = 3 * (1023) = 3069所以，等比数列3，6，12，24，...的前10项和为3069。

二、综合应用题1. 若等差数列的首项为3，公差为2，且和为139，求该等差数列的项数。

解析：设等差数列的项数为n，根据等差数列的求和公式Sn =(n/2)(a1 + an)，将已知条件代入，得到：139 = (n/2)(3 + a1 + (n - 1)2)化简得：139 = (n/2)(2n + 4)278 = n(2n + 4)2n^2 + 4n - 278 = 0解这个一元二次方程，得到n ≈ 11所以，该等差数列的项数为11。

2. 已知等差数列的首项为5，公差为3，前n项和为Sn = 105 - 2n，求该等差数列的项数n。

数列求和(含答案)

数列求和1.【常见的数列求和方法总述】（1）公式法求和：包括等差数列求和、等比数列求和公式，自然数求和. （2）错位相减法求和；（3）倒序相加法求和；（4）分组求和；（5）裂项求和. 2.【公式法求和】例略【知识点击】常见求和公式：（1）等差数列求和公式：1()2n n n a a S +=；（2）等比数列的求和公式：11,1,(1), 1.1nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩注意分1q =与1q ≠两种情况计算.（3）有关自然数求和公式：(1)122n n n ++++=，22462n n n +++=+ ，2135(21)n n +++-= ， 222112(1)(21)6n n n n +++=++ ， 3332(1)12[]2n n n ++++= .1.设数列1，(12)+，…，21(1222)n -++++ ，…的前n 项和为n S ，求n S .2.求数列1，2a a +，234a a a ++，3456a a a a +++，…(0)a ≠的前n 项和n S .3.设等差数列的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++= .解：95972S a ==，58a =，2491595324a a a a a a a ++=++==.3.【错位相减法求和】适用类型：数列{}n n a b 求和，其中{}n a 、{}n b 分别为等差数列和等比数列.此法是等比数列求和方法的推广.例1 已知等差数列满足20a =，6810a a +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}2nn a -的前n 项和n S . 解：（1）2n a n =-.（2）321222n n a a a S a =++++ ，312122222n n a a a a S =++++ . 两式相减得321211121231111111212()1(1)2222222222222n n n n n n nn n n n n a a a a a a a n n nS S a a ----------=++++-=-++++-=---= . ∴12n n nS -=.例2 已知数列{}n a 的首项，123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n = .（1）证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 结果：2n n n n n a =+，24222n n n n n S +++=-. 1.求和：23133353(21)3n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅ .2.求数列：1，3x ，25x ，，1(21)n n x --(0)x ≠的前n 项和n S . 4.【倒序相加法求和】求和思路：把数列按正序、倒序写出，再把两个和式相加，此法是等差数列求和方法的推广.例1 设4()42x x f x =+，求和：122007()()()200820082008S f f f =+++ .解：∵4()42x f x =+，∴1442(1)4242442x f x --===++⋅+，∴()(1)1f x f x +-=. ∴122007()()()200820082008S f f f =+++ ，200720061()()()200820082008S f f f =+++ . 两式相加，得1200722007[()()]200720082008S f f =+=，∴20072S =. 例2 设函数()f x 112n n S --=的定义域为R ，其图象关于点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，令k k a f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是常数且2n ≥，n ∈*Ν），1,2,,1k n =- ，求数列{}k a 的前1n -项和. 解：∵()y f x =的图象关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，∴()(1)1f x f x +-=.令1121121n n n S a a a f f f n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，又1121121n n n n n S a a a f f f n n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加，得11122112[][][]1n n n n S f f f f f f n n n n n n n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，∴112n n S --=. 1.求和：22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89++++ .2.设()f x =(2010)(2009)(0)(1)(2010)(2011)f f f f f f -+-++++++ .解：∵(1)x x f x -.∴()(1)x f x f x +-∴(2010)(2011)(2009)(2010)(0)(1)f f f f f f -+=-+==+ .∴(2010)(2009)(0)(1)(2010)(2011)f f f f f f -+-++++++ 5.【分组求和】求和思路：把数列的每一项分成几项，最终使和式转化成若干个等差、等比数列求和问题. 例1 已知数列{}n a 满足3n n a n =+，求数列{}n a 的前n 项和n S .解：1231233(31)(1)(31)(32)(33)(3)(3333)(123)22n n n n n n S n n -+=++++++++=+++++++++=+. 例2 已知251,2,.n n n n a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数求数列{}n a 的前n 项和n S .解：∵2121[5(21)1][5(21)1]10k k a a k k +--=++--+=，13521,,,,,m a a a a -⋅⋅⋅ 是首项为6，公差为10的等差数列.∵2222222222k k k ka a ++==，∴2462,,,,,m a a a a 为首项为2，公比为2的等比数列.∴当n 为偶数时，2121351246(1)102(12)5122()()622221242n n n n n n n n S a a a a a a a a n n +--⨯⨯-=+++++++++=⨯++=++-- ；当n 为奇数时，11222135246111(1)1012(12)5122()()632221244n n n n n n n n S a a a a a a a a n n -+-++-⨯+⨯-=+++++++++=⨯++=++-- .1.求数列：11+，14a +，217a +，…，1132n n a-+-，…前n 项和n S .解:∵21111[147(32)](1)n n S n aa a -=++++-+++++ ，令1211111n S a a a-=++++ ，2147(32)S n =++++- . 当1a =时，1S n =，当1a ≠时，11n a S a a-=-，而2(31)2n n S -=. ∴当1a =时，12(31)(31)22n n n n n S S S n -+=+=+=；当1a ≠时，1211(31)2n n n n a n nS S S a a ---=+=+-. 2.23(1)(2)(3)()n a a a a n -+-+-++- 等于A .(1)(1)12n a a n n a -+--B .1(1)(1)12n a a n n a +-+-- C .1(1)(1)12n a a n n a --+-- D .(1)(1)(1)12n a a n n a a -+-≠-或2(1)2n n a -= 3.等差数列{}n a 的通项为21n a n =+，则由12nn a a a b n+++= 所确定的数列{}n b 的前n 项的和为A .(2)n n +B .1(4)2n n +C .1(5)2n n +D .1(7)2n n +4.求数列：32，94，258，6516，前n 项和n S .解:∵31122=+，91244=+，251388=+，65141616=+，… ∴2311[1()]39256511111(1)(1)122()(123)()11248162222222212n n n n n n n n n S n n -++=+++++=+++++++++=+=+-- . 5.数列{(1)}n n -⋅的前2010项的和2010S 为A .2010-B .1005-C . 2010D .1005解：20101234520092010(12)(34)(56)(20092010)1005S =-+-+-+-+=-++-++-++++-+= .6.若数列{}n a 的通项公式为221n n a n =+-，则数列{}n a 的前n 项和为 C A .221n n +- B .1221n n ++- C .1222n n ++- D .222n n +-解：23122(21)(121)(2222)[135(21)]22212n n n n n n S n n +-+-=+++++++++-=+=+-- . 6.【裂项求和】裂项法的实质：是将数列中的通项公式分裂为几部分代数差的形式，然后在求和时重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. A . B . C . D .例（1）求和：1111132435(2)n n ++++⨯⨯⨯+ .结果：(35)4(1)(2)n n n n +++.（2）求数列222+121-，223+131-，224+141-，…，22(1)+1(1)1n n ++-的前n 项的和n S .解：数列的通项22222(1)+1+2+221111()(1)1222n n n n a n n n n n n n +===+=+-+-+++，所以1111111111(1)(1)(1)(1)(1)132435112n S n n n n =+-++-++-+++-++--++ 1111131212122n n n n n n =++--=--+++++.【知识点击】常见裂项手段：（1）111(1)1n n n n =-++，1111()(0)()k n n k k n n k =-≠++；（2（3）若{}n a 为等差数列，公差为d ，则111111()n n n n a a d a a ++=-⋅；（4）111C C C r r rn n n ---=-（文科不要求）；（5）11(1)!!(1)!n n n n =-++（文科不要求）；（6）!(1)!!n n n n ⋅=+-（文科不要求）.1.数列{}n a 中，12111n na n n n =++++++ ，又12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项的和. 2.设数列{}n a 、{}n b 满足1n n a b =，232n a n n =++，则{}n b 的前10项和为 A .13 B .512 C .12 D .712 3.对于每个抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴交于n A 、n B 两点，以||n n A B 表示该两点间的距离，则112220082008||||||A B A B A B +++=提示：1211||||1n n A B x x nn =-=-+. 4.求和：1111447(32)(31)n S n n =+++⋅⋅-+ . 5.求和：n S6.已知222111123S n =+++++ 那么S 的范围是 A .(1,32) B .(32,2) C .(2,5) D .(5,)+∞提示：1113112334(1)21S n n n >++++=-⋅⋅⋅++ ，1111121223(1)S n n n<++++=-⋅⋅⋅- .注：并非任何一个数列都是 “可以求和”的，如1111++++23n， 111123n ++++ 等，研究与这类“和”有关的问题常常是通过适当放缩转化为“可求和”的数列求和问题.7.数列1(1)n a n n =+，其前n 项的和为910，则在平面直角坐标系中，直线(1)0n x y n +++=在y 轴上的截距为A .10-B .9-C .10D .9解：数列{}n a 的前n 项和为111111111111911122334(1)2233411110n n n n n n n ++++=-+-+-++-=-==⨯⨯⨯++++ ，∴9n =，于是直线(1)0n x y n +++=即为1090x y ++=，∴在y 轴上的截距为9-.8.已知数列{}n a ，{}n b 满足：11=4a ，1n n ab +=，1(1)(1)n n n n b b a a +=-+.（1）求1234,,,b b b b ；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设1223341n n n S a a a a a a a a +=++++ ，求n S .解：（1）11(1)(1)(2)2n n n n n n n n b b b a a b b b +===-+--，∵114a =，134b =，∴245b =，356b =，467b =.（2）∵11112n n b b +-=--，12111111n n n n b b b b +-==-+---，∴数列11n b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以4-为首项，1-为公差的等差数列， ∴14(1)31n n n b =---=---，12133n n b n n +=-=++. （3）113n n a b n =-=+，∴1223341111114556(3)(4)444(4)n n n nS a a a a a a a a n n n n +=++++=+++=-=⨯⨯++++ .。

高中数学专题练习---数列求和最终版.doc

∴ ，∵ ，∴ .
（2），
∴ ，
∴ ，而是单调递减的，∴ ，
而，∴不存在，使得成立.
4．（1）（2）
试题解析：（1）当时，，
当时，，，
∴ ，即
∴ .
（2），∴ ，，
∴ ，
即，解得 .
5．（1）由已知有，解得，故，
于是，即．
因此数列是首项为3，公比为2的等比数列．
课间辅导---数列求和
1．（1）；（2） .
试题解析：（1），即，化简得或 .
当时，，得或，
∴ ，即；
当时，由，得，即有 .
（2）由题意可知，
∴ ①
②，
①-②得：，
∴ .
考点：1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.
2．（1）证明见解析，；（2）．
；（2）由（1）知，
．
8．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
试题解析：（I）设等比数列的公比为，由题意知，且，
∴ ，解得，故．………………5分
（II）由（I）得，所以．………………6分
∴ ，………………8分
故数列的前项和为
．………………12分
9．（1）证明见解析；（2）① ；② ，且．
（1）由已知，，即，
课间辅导---数列求和
1．已知等差数列的前项和为，且，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的公差不为，数列满足，求数列的前项和 .
2．设数列的前项和为，若对于任意的正整数都有 .
（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；
（2）求数列的前项和.

2024届高考数学数列进阶训练——(4)数列求和

2024届高考数学数列进阶训练——（4）数列求和1.111133636936930++++=+++++++L L ()A.310 B.1033C.35D.20332.正整数数列{}n 的前n 项和为n S ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和100T 为()A.10099B.99100C.200101D.1001013.已知数列{}n a 满足11(1)2n n n a a +++-=，则其前100项和为()A.250B.200C.150D.1004.已知数列{}n a 中，21311,,22na S n n ==-设11,n n n b a a +=则数列{}n b 的前n 项和为()A.31nn + B.331n n + C.132n n -- D.3332n n -+-5.数列21,12,122+++，…，23212222n -+++++L 的前n 项和为()A.21n n -- B.122n n +-- C.2nD.12n n+-6.数列{}2nn ⋅的前n 项和等于()A.222n n n ⋅-+B.11222n n n ++⋅-+ C.122n n n +⋅- D.1122n n n ++⋅-7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-，则数列2211log log n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =()A.2nn + B.1n n + C.12n n ++ D.12n n -+8.已知数列{}n a 的通项公式是1235nn a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其前20项和为()A.1931380155⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭B.2031420145⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭C.2021400155⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭D.2041440155⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭9.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对R x ∀∈，π(2)()1,()()cos2x f x f x g x f x +=+=+，则12875()()(219219219g g g ++= ()A.873B.874C.875D.87610.（多选）已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn naa n a +=∈+N ，则下列结论正确的是()A.13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B.{}n a 的通项公式为1123n n a -=-C.{}n a 为递增数列D.1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--11.（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则()A.535S =B.1n n n a a +-=C.(1)2n n n a +=D.1231001111200101a a a a +++⋅⋅⋅+=12.（多选）已知正项数列{}n a 的首项为2，前n 项和为n S ，且()()111111,22n n n n n n n n n n a a a a S a S b a a ++++-+++=+=+-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若16n T <，则n 的值可以为()A.543B.542C.546D.54413.设()*1111122334(1)n S n n n =++++∈⨯⨯⨯+N ，且156n n S S +=，则n =____________.14.计算239111112392222⨯+⨯+⨯++⨯=L ____________.15.已知数列{}n a 满足212335(21)2n n a a a n a n +++++-=⋅ ，设(21)n n b n a =-，则{}n b 的前n 项和n T =_______.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13322n n S -=⋅-，则数列2(2)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T =_____________.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n a S -=.（1）求n a 与n S ；（2）记21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11nn S a n n+=--，*n ∈N .（1）求n S ；（2）令1112(1)n n n n n n n S Sb na a n a a ++++=-+，证明：12313n b b b b ++++< .19.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，315S =，127a a a ⋅=.（1）求n a ；（2）若2(1)na n n nb a =+-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足362755,16a a a a =+=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：312232222n n nb b b ba =++++L (n 为正整数)，求数列{}n b 的前n 项和n S .答案以及解析1.答案：D解析：由题意可设122113693(33)31n a n n n n n ⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭L ，则数列{}n a 的前10项的和10111121111336369369303223S ⎛=++++=⨯-+-+ +++++++⎝L L 11112120134101131133⎫⎛⎫-++-=⨯-=⎪ ⎪⎭⎝⎭L .故选D.2.答案：C解析：由题意，正整数数列{}n 的前n 项和1(1)2n S n n =+，12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则10012100111T S S S =+++= 1111112002121223100101101101⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，故选C.3.答案：D解析：当n 为奇数时，12n n a a ++=，则前100项和为()()()123499100250100a a a a a a ++++++=⨯= .4.答案：A解析：当2n 时2131,22n n n a S S n n -=-=--231(1)(1)3222n n n ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦，当1n =时，11a =也成立，所以32n a n =-，则111(32)(31)n n n b a a n n +===-+11133231n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，则111111344732n T n ⎛=-+-++- -⎝L 11113133131nn n n ⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪+++⎭⎝⎭.5.答案：B解析：设此数列的第n 项为n a ，则2321121222222112nn n n n a ---=++++++==--L ，所以数列{}n a 的前n 项和为()121122122121212212n nn n a a a n n +-+++=-+-++-=-=---L L .故选B.6.答案：B解析：设{}2nn ⋅的前 n 项和为n S ，则1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，①所以23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-+⋅L ，②①-②得()231121222222212n n n n n S n n ++--=++++-⋅=⋅-L ，所以11222n n n S n ++=⋅-+.故选B.7.答案：B解析：当1n =时，211222a S ==-=；当2n ≥时，()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，且2n n a =，则122122log log log 2log 2(1)n n n n a a n n ++==+，1111223(1)n T n n ∴=+++=⨯⨯+ 11111122311n n n n -+-++-=++ ，故选B.8.答案：B解析：数列{}n a 的前20项和222012201112(1220)32555S a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+++-⨯+++=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L L 202011155(120)203134201124515⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥+⨯⎛⎫⎣⎦-⨯=-⨯- ⎪⎝⎭-.9.答案：B解析：由题意得，()()()21f x f x f x -=-=-+-⎡⎤⎣⎦，则()()21f x f x -++=，故()()2g x g x +-()()ππcos2cos π122x x f x f x ⎛⎫ =++⎝--⎪⎭+=.又()6(41)f x f x +=++()22f x =++()3f x =+()3f x =--+，()()63f x f x ∴-++=，()()6g x g x +-()()πcos6cos 3π322x x f x f x π=++-+-⎫ ⎪⎝⎭=⎛.令112437...219219219S g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝⎭⎝=⎭+，则14374361...219219219S g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=++⎭+，14371219219g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，124371S ∴=⨯，可得14372S =.令2439440875219219219S g g g =++⋯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+，则2875874439...219219219S g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4398753219219g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，224373S ∴=⨯，213112S ∴=.又()()2011f f =+=，()()22cos π0438219g g f ⎛⎫⎪∴==+⎭=⎝，故原式()1243713112087422S g S =++=++=，故选B.10.答案：AD 解析：123123n n n n a a a a ++==+，111323n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭，又11340a +=≠，13n a ⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列，即11342n n a -+=⨯，1123n na +∴=-，1123n n a +∴=-，{}n a ∴为递减数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()()()()2311223232322223n nn T n +=-+-++-=+++-= 21222323412nn n n +-⨯⨯-=---.故选AD.11.答案：ACD解析：依题意可知11n n a a n +-=+，B 错误.由11a =，2123a =+=，3336a =+=，46410a =+=，510515a =+=，得5136101535S =++++=，A 正确.由11n n a a n +-=+，1(2)n n a a n n --=≥，得()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+= (1)(1)212n n n n ++-+++= ，C 正确.由11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，得121001111111121223100101a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦120021101101⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，D 正确.故选ACD.12.答案：AB解析：本题考查数列的前n 项和与通项的关系、裂项相消法求和.依题意，()()11112n n n n n n n a a a a S a S +++-+++=+，则()221121n n n n a a a a ++-=-+，即()()221112n n a a +---=，故数列(){}21n a -是首项为()2111a -=，公差为2的等差数列，则()2121n a n -=-，则1n a =，所以11212122n n n b a a +==+-，则1111)22n T =-+-++= .令11)162<，解得33<，即544n <，故选AB.13.答案：10解析：111111111122334111n n S nn n n =-+-+-++-=-=+++ ，则1151226n n n n n S S n n n ++=⋅==+++，解得10n =.14.答案：1013512解析：令239111112392222S =⨯+⨯+⨯++⨯L ，①则2341011111123922222S =⨯+⨯+⨯++⨯L ，②①-②得239101111119222222S =++++-⨯=L 9109101011111111101322919112222102412⎛⎫- ⎪⎝⎭-⨯=--⨯=-=-，所以1013512S =.15.答案：22n n +⋅解析：当1n =时，18a =，当2n 时，21123123135(21)2,35(23)(1)2n n n n a a a n a n a a a n a n ++-++++-=⋅++++-=-⋅ ，相减得111(21)(1)2,221n n n n n n a n a n n +++-=+⋅∴=⋅-，当1n =时，18a =成立，1123112,(21)(1)2,2232(1)221n n n n n n n n a b n a n T n n ++++∴=⋅∴=-=+⋅∴=⨯+⨯+++⋅- ，34222232(1)2n n T n +=⨯+⨯+++⋅ ，两式相减得2341222222(1)2n n n T n ++-=⨯++++-+= 222,2n n n n T n ++-⋅∴=⋅.16.答案：1113212n n n -⋅--++解析：依题意，当1n =时，1132a S ==；当2n ≥时，213322n n S --=⋅-，故2132n n n n a S S --=-=⋅.综上所述，232n n a -=⋅.故2222113232(2)(2)2n n n a n n n n n n --+=+⋅=-+⋅+++.故123n nT b b b b =++++L ()1111113112232422n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 111111113211233412221n n n n n -⎛⎫⎛⎫=++++-++++++⨯⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭L L ()3113212122n n n =--+⨯-++1113212n n n -=⋅--++.17.（1）答案：12n n a a -=；21nn S =-解析：由21,n n a S -=得12=n n S a -，当1n =时，11121a S a ==-，得11a =；当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---，得12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=.所以2121nn n S a =-=-.（2）答案：12362n n n T -+=-解析：由(1)可得1212n n n b --=，则2113521111222n n n T --=++++=⨯+ 2111135(21)222n n -⨯+⨯++-⋅ ，2311111135(21)22222n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅ ，两式相减得23111111112(21)222222n n n T n -⎛⎫=+++++--⋅ ⎪⎝⎭ ，所以23111111124(21)22222n n n T n --⎛⎫=+++++--⋅ ⎪⎝⎭11112224(21)1212n n n --=+⋅--⋅-12362n n -+=-.18.答案：（1）2n S n =（2）见解析解析：（1）因为11n n n a S S ++=-，11nn S a n n+=--，所以()()111(1)n n n n S n a n n S S n n ++=--=--+，故1(1)(1)n n n S nS n n ++=-+，即111n nS S n n+-=+，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11111S a ==，公差为1的等差数列，故1(1)nS n n n=+-=，则2n S n =.（2）因为2n S n =，()*12,n n n a S S n n -=-≥∈N ，所以()22*(1)212,n a n n n n n =--=-≥∈N .又11a =符合上式，所以()*21n a n n =-∈N .因为1112(1)n n n n n n n S S b na a n a a ++++=-+，所以22(1)(21)(21)(1)(21)(23)n n n b n n n n n n +=--++++1(21)(21)(21)(23)n n n n n n +=--+++144(1)4(21)(21)(21)(23)n n n n n n ⎡⎤+=-⎢⎥-+++⎣⎦11111421212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦11142123n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，所以123n b b b b ++++=1111111111111453759252123212123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111411114321234321233n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=--< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.19.答案：（1）21n a n =+（2）()()()()**8412,,3841221,.3n n nn n k k T n n k k ⎧-⎪+=∈⎪∴=⎨-⎪--=-∈⎪⎩N N 解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由31232315S a a a a =++==，得25a =，又127a a a ⋅=，()2225a d a a d ∴-⋅=+，即5(5)55d d -=+，解得2d =.2(2)221n a a n n ∴=+-⨯=+.（2）由题意得212(1)(21)24(1)(21)n n n n n b n n +=+-⋅+=⨯+-⋅+，()1224443579(1)(21)n nn T n ⎡⎤∴=⨯++++-+-+-+-+=⎣⎦ ()8413579(1)(21)3n nn -⎡⎤+-+-+-+-+⎣⎦.令3579(1)(21)n n G n =-+-+-+-+ ，*n ∈N ，则当()*2n k k =∈N 时，22n n G n =⨯=，此时()8413n n T n -=+；当()*21n k k =-∈N 时，12(21)22n n G n n -=⨯-+=--，此时()84123n n T n -=--.()()()()**8412,,3841221,.3n n nn n k k T n n k k ⎧-⎪+=∈⎪∴=⎨-⎪--=-∈⎪⎩N N 20.答案：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设知0d >.由2716a a +=，得12716a d +=，①由3655a a =，得()()112555a d a d ++=，②由①得1782a d =-，将其代入②得(163)(163)220d d -+=.即22569220d -=，整理得24d =.又0,2d d >∴=.代入①得11,1(1)221n a a n n =∴=+-⋅=-，21n a n ∴=-.(2)令2n n nb c =，则12n n a c c c =+++L ，且1121n n a c c c ++=+++L ，两式相减得11n n n a a c ++-=，由(1)得111,2n n a a a +=-=，则12n c +=，即2(2)n c n =≥，即2n ≥时，12n n b +=.又当1n =时，1112,1,22,2, 2.n n n b a b n +=⎧==∴=⎨≥⎩当1n =时，112S b ==；当2n ≥时，3411232222n n n S b b b b +=++++=++++=L L ()12341222122222442621n n n +++-+++++-=-=--L ，即226n n S +=-.当1n =时也满足上式，226n n S +∴=-.。

新高考人教B版数学理大一轮复习训练6.4数列求和(含答案解析)

6.4 数列乞降一、选择题 ( 每题 5 分，共 25 分)1. 在等差数列 { a n } 中， a 2 1, a 4 5, 则 { a n } 的前 5 项和S 5=( )A.7B.15C.20D.25a 1 a 5a 2 a 4分析a21,a 4 5S 52525 15 .答案 B．若数列 { a n 的通项公式是 a n ＝－ 1) n (3 n － 2) ，则 a 1＋a 2＋＋ a 10＝ ()．2 } (A ．15B ． 12C ．－ 12D ．－ 15分析设 b n ＝ n －，则数列 { b n 是以 1 为首项， 3为公差的等差数列，所以 a 13 2 }＋ a 2＋＋ a 9＋ a 10＝ ( － b 1) ＋ b 2＋＋ ( －b 9) ＋b 10 ＝( b 2－ b 1) ＋ ( b 4－b 3) ＋＋ ( b 10－ b 9 ) ＝5×3＝ 15.答案 A1 1 1 13．数列 12，34，58，716，的前 n 项和 S n 为() ．2 121．n＋－ n － 1B． n ＋－ nA1 22 22 121．n＋－ nD． n ＋－ n －1C122 2由题意知已知数列的通项为1 分析21 21 121－2n ＋ n －n122则 S n ＝ 2＋1 ＝n ＋1－2n .1－2答案 C．已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝1，若前 n 项和为，则项数 n 为410n ＋ n ＋1() ．A ．11B ． 99C ．120D ． 121分析∵ a n＝1＝n＋－n，∴ S n＝a1＋ a2＋＋ a n＝(－＋( 3n＋ n＋11 2 1)－2)＋＋(n＋－n＝n＋－令n＋－＝，得 n＝120.1)1 1. 1 110答案C15.已知数列 { a n} 的通项公式为 a n＝2n＋1，令 b n＝n( a1＋a2＋＋ a n) ，则数列 { b n} 的前 10 项和 T10＝()A．70B．75C．80D．85分析由已知 a n＝2n＋ 1，得 a1＝ 3， a1＋a2＋＋ a n＝＋2n＋＝n(n ＋2) ，2n10＋＝75，应选 B则 b ＝n＋2，T ＝2.答案B6．已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n＝an2＋ bn( a、b∈R)，且 S25＝100，则 a12＋ a14等于()A．16B．8C．4D．不确立分析a n n2a、 b∈，可得数列a n是等差数列，由数列 {}的前 n 项和 S＝an ＋bn R){}(S25＝a1＋ a25＝100，解得 a1＋ a25＝8，所以 a1＋a25＝a12＋ a14＝8.2答案 B7．若数列 {a n为等比数列，且a1＝，q＝，则 T n＝1＋1＋＋1的结果}12a1 a2a2a3a n a n＋1可化为 () ．11 A．1－4n B．1－2n 2121 C. 3 1－4n D.3 1－2n分析a n＝n－ 1，设 b n＝1 1 2n－1 1 1312n2＝2，则 T n＝b1＋b2＋＋ b n＝＋＋＋2a n a n＋1 2 2111－n21－ 124＝1＝3 1－4n .1－4答案 C 二、填空题8．数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝1，其前 n 项之和为 10，则在平面直角n ＋ n ＋ 1坐标系中，直线 ( n ＋1) x ＋y ＋n ＝0 在 y 轴上的截距为 ________．分析由已知，得 a n ＝ 1＝ n ＋1－ n ，则n ＋ n ＋1S n ＝ a 1＋a 2 ＋＋ a n ＝( 2－ 1) ＋( 3－ 2) ＋＋ ( n ＋1－ n) ＝ n ＋ 1－ 1，∴ n ＋ 1－ 1＝ 10，解得 n ＝120，即直线方程化为 121x ＋y ＋120＝ 0，故直线在 y 轴上的截距为－ 120.答案－120n22 2 9．等比数列 { a } 的前 n 项和 S ＝2 －1，则 a 1＋a 2＋＋ a ＝________.n nn分析当 n ＝ 1时， a 1＝ S 1＝， 1当 n ≥2时， a n ＝ S n －S n － 1＝2n－ 1－ (2 n － 1－ 1) ＝2n － 1，又∵ a 1n － 1 2 n － 1＝1 合适上式．∴ a n ＝2，∴ a n ＝4 .∴数列 22为首项，以 4 为公比的等比数列． { a n } 是以 a 1＝ 1n1 n2 2 2－4∴ a 1＋a 2a n＝ 1－ 4＝3(4 －1) ．＋＋1n答案3(4－1)110．已知等比数列 { a n } 中，a 1＝ 3，a 4＝81，若数列 { b n } 知足 b n ＝log 3a n ，则数列 b n b n ＋ 1的前 n 项和 S n ＝________.分析设等比数列 a na 4 3，解得 q ＝所以 a n ＝a 1q n － 1 ＝{ 的公比为 q ，则＝q ＝3.}a 127n n3×3－1＝3 ，故 b n ＝ log 3a n ＝n ，11 1 1所以 b n b n ＋1 ＝n n ＋＝n －n ＋1.1 1 1 1 11 n则 S n ＝1－2＋2－3＋＋ n － n ＋ 1＝ 1－ n ＋1＝n ＋1.答案nn ＋1a ba 11 33211．定义运算：d＝ ad － bc ，若数列 { a n } 知足＝1 且＝c2a na n ＋1112( n ∈N * ) ，则 a 3 ＝________，数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝________.分析由题意得 a 1－1＝1,3 a n ＋ 1－ 3a n ＝ 12 即 a 1＝2，a n ＋ 1－a n ＝ 4.∴ { a n } 是以 2 为首项， 4 为公差的等差数列．∴ a n ＝2＋4( n －1) ＝ 4n －2，a 3＝4×3－ 2＝10.答案 104n － 21 12 1 2 31 2 3 912．已知数列 { a n } ：2， 3＋ 3， 4＋ 4＋ 4，， 10＋ 10＋10＋＋ 10，，那么数1列 { b n } ＝ a n a n ＋1 的前 n 项和 S n 为________．分析由已知条件可得数列 { a n } 的通项为1＋ 2＋ 3＋＋ n na n ＝n ＋1＝2.14 1 1∴ b n ＝a n a n ＋ 1＝n n ＋＝4 n －n ＋1 . 1 1 11 1S n ＝ 4 1－ 2＋ 2－ 3＋＋ n －n ＋114n＝4 1－n ＋ 1 ＝n ＋1.4n 答案n ＋1三、解答题13．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 3＝5，S 15＝225.(1) 求数列 { a n } 的通项公式；(2) 设 b n ＝2a n ＋2n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 分析： (1) 设等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d ，a 1＋ d ＝，2 5由题意，得15×14 ，＋＝152225a 1 ＝1，解得∴a n ＝2n －1.d ＝2，1n(2) ∵ b n ＝2a n ＋ 2n ＝2·4＋ 2n ，∴ T n ＝ b 1＋b 2＋＋ b n12nn＝ 2(4 ＋4 ＋＋ 4 ) ＋2(1＋2＋＋ )4n ＋1－4 2 2 n 22 ＝ 6 ＋ n ＋n ＝3·4＋n ＋ n － 3.14．设 { a n } 是公比为正数的等比数列， a 1＝2，a 3＝ a 2＋4.(1) 求 { a n } 的通项公式；(2) 设 { b n } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 { a n ＋b n } 的前 n 项和 S n . 分析 (1) 设 q 为等比数列 { a n } 的公比，则由 a 1 ＝2，a 3＝a 2＋4 得 2q 2＝2q ＋ 4，即q 2－ q －＝，解得 q ＝ 2或 q ＝－ 1( 舍去，所以 q ＝ 2.2 0 )所以 a n n 1＝n n ∈ * 的通项为 a n ＝ ·2－2 ({ } 2 N ) S ＝－2n n n － n ＋ 1 2(2) n1－212×2＝2 ＋2.15．设 { a n 是等差数列， { b n 是各项都为正数的等比数列，且a 1 ＝b 1＝，a 3＋ b 5} }1＝ 21，a 5＋ b 3＝ 13.(1) 求 { a n } ，{ b n } 的通项公式；nn 项和 S na(2) 求数列 b n 的前.解析(1) 设 { a n 的公差为d ，{ b n 的公比为q ，则依题意有 q ＞且}}1＋2 d ＋q 4 ＝，d ＝，21 解得21＋4d ＋q 2 ＝13， q ＝ 2.所以 a n ＝1＋( n －1) d ＝2n －1，b n ＝q n － 1＝ 2n － 1 .a n 2n －1(2) b n ＝ 2n － 1 ，35 2n －3 2n －1 S n ＝ 1＋ 21＋ 22 ＋＋ 2n － 2 ＋ 2n － 1 ，①52n －3 2n －12S n ＝2＋3＋2＋＋ 2n － 3 ＋ 2n － 2 . ②2 2 22n －12 2 22221 11 n － 1＝＋ ×1＋＋＋＋ n －－2n － 1222 22211－2n － 1 n － 1n ＋ 3＝2＋2×1 － 2n － 1＝6－ 2n － 1 .1－2．等差数列{ a n的各项均为正数， a 1＝，前n 项和为 S n ，b n 为等比数列， b 116}3 { }＝ 1，且 b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1) 求 a n 与 b n ；1 1 1(2) 求＋＋＋.S 1 S 2S n分析 (1) 设{ a n } 的公差为 d ，{ b n } 的公比为 q ，则 d 为正数， a n ＝3＋ ( n －1) d ，b n＝ qn －1.S 2b 2＝＋ d q ＝，依题意有S 3b 3＝64 ＋ d q 2＝，3 9606 d ＝，d ＝－ 5，2(舍去)解得或40 q ＝8q ＝ 3 .故 a n ＝3＋2( n －1) ＝2n ＋ 1， b n ＝8n － 1.(2) S n ＝ 3＋ 5＋＋ (2 n ＋1) ＝n( n ＋2) ，所以 1 ＋ 11111＋＋S 1 ＋＋＝＋＋nS 2S n×3×4×51 2 31 1－ 1 1 1 1 1 11 ＝2 3＋ 2－ 4＋ 3－ 5＋＋ n －n ＋21 1 1 1＝21＋2－ n ＋ 1－ n ＋ 232 n ＋ 3.＝ 4－n ＋n ＋ 21n ＋。

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§6.4 数列求和
（时间：45分钟满分：100分）
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．在等比数列{a n } (n ∈N *)中，若a 1＝1，a 4＝18
，则该数列的前10项和为( ) A ．2－128 B ．2－129 C ．2－1210 D ．2－1211 2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )
A ．2n ＋n 2－1
B ．2n ＋1＋n 2－1
C ．2n ＋1＋n 2－2
D ．2n ＋n －2
3．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( )
A ．126
B ．130
C ．132
D ．134 4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)
n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400
D ．－400 5．数列1·n ,2(n －1),3(n －2)，…，n ·1的和为( ) A.16n(n ＋1)(n ＋2) B.16
n(n ＋1)(2n ＋1) C.13n(n ＋2)(n ＋3) D.13
n(n ＋1)(n ＋2) 二、填空题(每小题6分，共24分)
6．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝________.
7．已知数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n 之间满足关系式S n ＝2－3a n ，则a n ＝__________.
8．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.
9．设关于x 的不等式x 2－x<2nx (n ∈N *
)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．
三、解答题(共41分)
10．(13分)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *满足关系式2S n ＝3a n －3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1
，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正数n ，总有T n <1.
11．(14分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n log 12
a n ，S n ＝
b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的最小正整数n 的值．
12．(14分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是
一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1n (a n ＋3)
(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n >t 36
总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．
答案 1.B 2.C 3.C 4.B 5.A
故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3.
又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3.∴a n ＝3n
.
(2)证明 ∵b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1
. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1<1.
(2)由(1)得b n ＝－n ·2n ，
∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )．设T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n ，③
则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2
n ＋1.④ 由③－④，得－T n ＝1×2＋1×22＋…＋1·2n －n ·2
n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2
n ＋1－2， ∴－T n ＝－(n －1)·2
n ＋1－2. ∴S n ＝－(n －1)·2
n ＋1－2. 要使S n ＋n ·2n ＋1>50成立，
即－(n －1)·2
n ＋1－2＋n ·2n ＋1>50，即2n >26. ∵24＝16<26,25
＝32>26，且y ＝2x 是单调递增函数， ∴满足条件的n 的最小值为5.
12解 (1)由题意得(a 1＋d)(a 1＋13d)＝(a 1＋4d)2，
整理得2a 1d ＝d 2.
∵a 1＝1，解得d ＝2，d ＝0(舍)． ∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．
(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝
⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 假设存在整数t 满足S n >t 36总成立，。