数学分析选讲

《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业 一、判断下列命题的正误1. 若数集S 存在上、下确界，则inf su p S S ≤. ( 正确 )2. 收敛数列必有界. ( 正确 )3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. ( 错)4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. （正确） 5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. （正确） 2：[判断题]两个收敛数列的和不一定收敛 参考答案：错误3：[单选题]设数列{An}收敛，数列{Bn}发散，则数列{AnBn} A ：收敛B ：发散C ：是无穷大D ：可能收敛也可能发散参考答案：D4：[判断题]收敛数列必有界 参考答案：正确5：[判断题]两个（相同类型的）无穷小量的和一定是无穷小量 参考答案：正确 6：[判断题]若函数在某点无定义，则在该点的极限不存在 参考答案：错误7：[单选题]设 f,g 为区间 (a,b)上的递增函数，则 min{f(x),g(x)}是(a,b) 上的 A ：递增函数B ：递减函数C ：严格递增函数D ：严格递减函数参考答案：A8：[单选题]设f 在[a,b]上无界，且f(x)不等于0,则1/f(x)在[a,b]上 A ：无界B ：有界C ：有上界或有下界D ：可能有界，也可能无界参考答案：D9：[判断题]闭区间上的连续函数是一致连续的 参考答案：正确 10：[判断题]区间上的连续函数必有最大值 参考答案：错误 11：[判断题]有上界的非空数集必有上确界 参考答案：正确 12：[判断题]两个无穷小量的商一定是无穷小量 参考答案：错误13：[单选题]一个数列{An}的任一子列都收敛是数列{An}收敛的 A ：充分条件，但不是必要条件B ：必要条件，但不是充分条件C ：充分必要条件D ：既不是充分条件，也不是必要条件参考答案：C14：[判断题]若f,g 在区间I 上一致连续，则fg 在I 上也一致连续。

参考答案：错误 15：[单选题]若函数f 在(a,b)的任一闭区间上连续，则f A ：在[a,b]上连续B ：在（a,b ）上连续C ：在（a,b ）上不连续D ：在（a,b ）上可能连续，也可能不连续参考答案：B 16：[判断题]两个收敛数列的商不一定收敛 参考答案：正确17：[单选题]设函数f(x)在（a-c,a+c ）上单调，则f(x)在a 处的左、右极限 A ：都存在且相等B ：都存在，但不一定相等C ：至少有一个存在D ：都不存在参考答案：B18：[单选题]定义域为[a,b],值域为（-1，1）的连续函数 A ：在一定的条件下存在B ：不存在C ：存在且唯一D ：存在但不唯一参考答案：B19：[单选题]y=f(x)在c 处可导是y=f(x)在点(c ，f(c))处存在切线的 A ：充分条件B ：必要条件C ：充要条件D ：既不是充分条件，也不是必要条件参考答案：A 20：[判断题]最大值若存在必是上确界 参考答案：正确21：[单选题]设f,g 在（-a,a)上都是奇函数，则g(f(x))与f(g(x)) A ：都是奇函数B ：都是偶函数C ：一是奇函数，一是偶函数D ：都是非奇、非偶函数参考答案：A 22：[判断题]两个无穷大量的和一定是无穷大量 参考答案：错误23：[单选题]函数f 在c 处存在左、右导数，则f 在c 点 A ：可导B ：连续C ：不可导D ：不连续参考答案：B24：[判断题]若函数在某点可导，则在该点连续 参考答案：正确25：[判断题]若f(x)在[a,b]上有定义，且f(a)f(b)<0,则在(a,b)内至少存在一点c,使得f(c)=0 参考答案：错误26：[判断题]狄利克雷函数D(x)是有最小正周期的周期函数 参考答案：错误 二、选择题 1．设2,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩, 则 [(1)]f f =( A ) .A 3- ；B 1- ；C 0 ；D 22．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列}{n x 收敛于a 的（ A ）.A 充分必要条件；B 充分条件但非必要条件；C 必要条件但非充分条件；D 既非充分又非必要条件3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；C 必定有无穷多个 ；D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ B ）．A 收敛；B 发散；C 是无穷大；D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞→||lim ，则 （ C ）A 数列}{n x 收敛；B a x n n =∞→lim ；C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散；D a x n n -=∞→lim ；6．若函数)(x f 在点0x 极限存在，则（ C ） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值； B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值； C )(x f 在0x 的函数值可以不存在； D 如果)(0x f 存在的话必等于函数值 7．下列极限正确的是（ D ） A 01lim sin1x x x →=； B sin lim 1x x x →∞=； C 1lim sin 0x x x →∞=； D 01lim sin 1x x x →=8． 1121lim21xx x→-=+（ D ）A 0；B 1 ；C 1- ；D 不存在三、计算题1．求极限 902070)15()58()63(lim --++∞→x x x x . 解：902070902070902070583155863lim )15()58()63(lim⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x2．求极限 211lim()2x x x x +→∞+-. 解：211lim()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211xx x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21xx x x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)21[(1)]lim 2[(1)]x x x x x→∞--+- 264e e e-==. 3．求极限n →∞++.解：由于111111(1)23n n n n≤++++≤又lim 1n →∞=， 由迫敛性定理1111lim(1)123n n n→∞++++= 4．考察函数),(,lim )(+∞-∞∈+-=--∞→x n n n n x f x xxx n 的连续性.若有间断点指出其类型. 当0x <时，有221()lim lim 11x x x xx x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩。

所以0是f 的跳跃间断点.四、证明题设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有n n b a <.证： 由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<。

又因为2lim ba b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2ba b n +>. 于是取},max {21N N N =，当N n >时，有n n b b a a <+<2.《数学分析选讲》 第二次主观题 作业 一、判断下列命题的正误1. 若函数在某点无定义，则在该点的极限可能存在. （正确 ）2. 若)(x f 在[,]a b 上连续，则)(x f 在[,]a b 上一致连续．（正确 ）3. 若()f x 在[,]a b 上有定义，且()()0f a f b <,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ=. （错误 ）4. 初等函数在其定义区间上连续. （ 正确 ） 5．闭区间[,]a b 的全体聚点的集合是[,]a b 本身. （ 正确 ） 二、选择题1．下面哪些叙述与数列极限A a n n =∞→lim 的定义等价（ Ａ ）A )1,0(∈∀ε，0>∃N ，N n ≥∀，ε≤-||A a n ；B 对无穷多个0>ε，0>∃N ，N n >∀，ε<-||A a n ；C 0>∀ε，0>∃N ，有无穷多个N n >，ε<-||A a n ；D 0>∀ε，有}{n a 的无穷多项落在区间),(εε+-A A 之内2．任意给定0>M ，总存在0>X ，当X x -<时，M x f -<)(，则（ Ａ ） A -∞=-∞→)(lim x f x ； B -∞=∞→)(lim x f x ； C ∞=-∞→)(lim x f x ； D ∞=+∞→)(lim x f x3．设a 为定数.若对任给的正数ε，总存在0>X ，当X x -<时，()f x a ε-<，则（B ）.A lim ()x f x a →+∞=； B lim ()x f x a →-∞=； C lim ()x f x a →∞=； D lim ()x f x →∞=∞4．极限=-→xx x 10)21(lim （ B ）A 2e ；B 2e - ；C 1e - ； D 15．21sin(1)lim1x x x →-=-（ C ）A 1 ； B 2 ； C 21； D 0 6．定义域为],[b a ，值域为),(∞+-∞的连续函数 （ C ） A 存在； B 可能存在； C 不存在； D 存在且唯一7．设 =)(x f 1(12) , 0 , 0x x x k x ⎧⎪-≠⎨⎪=⎩ 在0=x 处连续， 则=k （ D ）A 1 ；B e ；C 1- ；D 21e8．方程410x x --=至少有一个根的区间是（ Ｄ ） A 1(0,)2； B 1(,1)2； C (2,3) ； D (1,2) 三、计算题1．求极限 n nn 313131212121lim 22++++++∞→ 解：、23113113121121121lim 313131212121lim 22=--⋅--⋅=++++++∞→∞→nn n n n n2．求极限n →∞解：因为nn n+2<12+n n又 limn→∞=limn→∞1=，所以由迫敛性定理，1n += .3．求极限 )111)(110()110()13()12()1(lim 2222--++++++++∞→x x x x x x x2222(1)(21)(31)(101)lim(101)(111)x x x x x x x →∞++++++++-- 22222221111(1)(2)(3)(10)lim11(10)(11)12101011217.1011610112x x x x x x x→∞++++++++=--+++⋅⋅===⋅⋅⋅4． 求极限 112sin lim-+→x x x解：00x x →→=004x x →→=== .四、证明题设,f g 在],[b a 上连续，且()(),()()f a g a f b g b ><. 证明：存在(,),a b ξ∈使得()()f g ξξ=.证 令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，又 ()()()0F a f a g a =->, ()()()0F b f b g b =-<,利用零点存在定理，存在一点(,)a b ξ∈，使得 ()0F ξ=，即()()0f g ξξ-=.2：[判断题]幂级数的收敛区间必然是闭区间 参考答案：错误3：[判断题]任何有限集都有聚点 参考答案：错误4：[判断题]不绝对收敛的级数一定条件收敛 参考答案：错误5：[判断题]设f 在(a,b)内可导,且其导数单调,则其导数在(a,b)内连续 参考答案：正确6：[判断题]有限区间上两个一致连续函数的积必一致连续 参考答案：正确7：[判断题]处处间断的函数列不可能一致收敛于一个处处连续的函数。