西南大学数学分析作业答案

三、计算题1．求极限 902070)15()58()63(lim --++∞→x x x x .解: 902070902070902070583155863lim)15()58()63(lim⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x2．求极限 211lim ()2x x x x +→∞+-.解：211lim ()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211xx x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21xx x x →∞⎛⎫+⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)21[(1)]lim2[(1)]x x x x x→∞--+-264e e e-==.3． 求极限 1111lim (1)23n n n→∞++++解：由于111111(1)23nn n n≤++++≤ ，又lim 1n →∞=， 由迫敛性定理1111lim (1)123n n n→∞++++=4．考察函数),(,lim)(+∞-∞∈+-=--∞→x nn n n x f xx x xn 的连续性.若有间断点指出其类型.解： 当0x <时，有221()limlim11x x x xxxn n n n n f x n nn--→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩。

所以0是f 的跳跃间断点.四、证明题设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有n n b a <.证 由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<。

又因为2lim b a b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2b a b n +>. 于是取},max{21N N N =，当N n >时，有n n b b a a <+<2《数学分析选讲》 第二次主观题 作业一、判断下列命题的正误1. 若函数在某点无定义，则在该点的极限可能存在.2. 若)(x f 在[,]a b 上连续，则)(x f 在[,]a b 上一致连续．3. 若()f x 在[,]a b 上有定义，且()()0f a f b <,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ=.4. 初等函数在其定义区间上连续. 5．闭区间[,]a b 的全体聚点的集合是[,]a b 本身.二、选择题1．下面哪些叙述与数列极限A a n n =∞→lim 的定义等价（ ）A )1,0(∈∀ε，0>∃N ，N n ≥∀，ε≤-||A a n ；B 对无穷多个0>ε，0>∃N ，N n >∀，ε<-||A a n ；C 0>∀ε，0>∃N ，有无穷多个N n >，ε<-||A a n ；D 0>∀ε，有}{n a 的无穷多项落在区间),(εε+-A A 之内2．任意给定0>M ，总存在0>X ，当X x -<时，M x f -<)(，则（ ）A -∞=-∞→)(lim x f x ； B -∞=∞→)(lim x f x ； C ∞=-∞→)(lim x f x ； D ∞=+∞→)(lim x f x3．设a 为定数.若对任给的正数ε，总存在0>X ，当X x -<时，()f x a ε-<，则（ ）.A lim ()x f x a →+∞=； B lim ()x f x a →-∞=； C lim ()x f x a →∞=； D lim ()x f x →∞=∞4．极限=-→x x x 1)21(lim （ ）A 2e ；B 2e - ；C 1e - ；D 1 5．21sin(1)lim1x x x →-=-（ ）A 1 ；B 2 ；C 21 ； D 06．定义域为],[b a ，值域为),(∞+-∞的连续函数 （ ） A 存在； B 可能存在； C 不存在； D 存在且唯一7．设 =)(x f 1(12) , 0 , 0x x x k x ⎧⎪-≠⎨⎪=⎩ 在0=x 处连续， 则=k （ ）A 1 ；B e ；C 1- ；D 21e8．方程410x x --=至少有一个根的区间是（ ）A 1(0,)2； B 1(,1)2； C (2,3) ； D (1,2) 三、计算题1．求极限 n nn 313131212121lim 22++++++∞→ 2．求极限lim n →∞+++3．求极限 )111)(110()110()13()12()1(lim2222--++++++++∞→x x x x x x x4． 求极限 112sin lim-+→x x x四、证明题设,f g 在],[b a 上连续，且()(),()()f a g a f b g b ><. 证明：存在(,),a b ξ∈使得()()f g ξξ=.数学分析选讲 作业系统1、若f,g 均为区间I 上的凸函数，则f+g 也为I 上的凸函数。

正确答案：正确2、若f 、g 在[a,b]上的可积，则fg 在[a,b]上也可积 正确答案：正确3、若函数f 在数集D 上的导函数处处为零，则f 在数集D 上恒为常数。

正确答案：错误4、可导的单调函数，其导函数仍是单调函数。

正确答案：错误5、若f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数。

正确答案：正确6、闭区间上的可积函数是有界的 正确答案：正确7、实数集R 上的连续周期函数必有最大值和最小值 正确答案：正确8、在级数的前面加上或去掉有限项不影响级数的收敛性正确答案：正确9、收敛级数一定绝对收敛 正确答案：错误10、处处间断的函数列不可能一致收敛于一个处处连续的函数。

正确答案：错误11、任何有限集都有聚点 正确答案：错误12、不绝对收敛的级数一定条件收敛 正确答案：错误13、幂级数的收敛区间必然是闭区间 正确答案：错误14、 《数学分析选讲》 第四次作业解答第一部分一、判断下列命题的正误1. 闭区间],[b a 上的可积函数)(x f 是有界的. （正确）2．若)(x f 在[,]a b 上可积，则)()(x f x f +在[,]a b 上也可积.（正确） 3．若)(x f 在区间I 上有定义，则)(x f 在区间I 上一定存在原函数.（错误）4．若)(x f 是],[b a 上的增函数，则)(x f 在],[b a 上可积.（正确）5．若)(x f 在],[b a 上连续，则存在[,]a b ξ∈，使()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰.（正确）二、选择题1．对于不定积分⎰dx x f )( ,下列等式中（ A ） 是正确的. A)()(x f dx x f dxd =⎰ B ⎰=')()(x f dx x f ；C )()(x f x df =⎰；D ⎰=)()(x f dx x f d ； 2． 若11()xxf x e dx ec --=-+⎰，则()f x 为（ A ）A 21x-A 1x- ；； C 1x； D21x3．设5sin x 是)(x f 的一个原函数，则⎰='dx x f )(（ B ）A c x +-sin 5 ；B c x +cos 5 ；C 5sin x ； ；D x sin 5-4．(1cos )d x -=⎰ ( B )A x cos 1-；B c x +-cos ；C c x x +-sin ；D c x +sin5．若⎰+=c x dx x f 2)(，则⎰=-dx x xf )1(2（ D ） A c x +-22)1(2 ； B c x +--22)1(2； Cc x +-22)1(21 ； D c x +--22)1(216． =+⎰xdx cos 1 （ C ）A tan sec x x c -+ ；B csc cotx x c -++；C tan 2x c + ； D tan()24x π-7．=-⎰)d(e x x （ D ）A c x x+-e； B ；c x xx+---eeC c x x+--e ； D c x xx++--e e8． 已知x e f x+='1)( ，则=)(x f （ D ）A 1ln x c ++ ；B 212x x c ++ ；C 21ln ln 2x x c ++ ；D ln x x c + 三、计算题1．求不定积分⎰.解: C xx d xdx xx +--=---=-⎰⎰22221)1(11211.2．求不定积分arcsin xdx ⎰.解：C xx x dx xx x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin3．求不定积分ln xdx ⎰ ．解： C x x x dx xx x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln4．求不定积分dx ⎰.解：令u =，则22()21)u u u dx e u du e u e C C ==-+=-+⎰⎰四、证明题设f 为连续函数.证明: 0(sin )(sin )2x f x dx f x dx πππ=⎰⎰.第二部分一、判断下列命题的正误1. 若)(x f 与()g x 在],[b a 上都可积，则()()f x g x 在],[b a 上也可积. （正确） 2．若)(x f 在],[b a 上连续，则存在(,)a b ξ∈，使()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰．（正确）3．若)(x f 在],[b a 上有无限多间断点，则)(x f 在],[b a 上一定不可积.（错误） 4．无穷积分211dx x+∞⎰是收敛的.（错误）5．若lim 0,n n u →∞≠则 ∑∞=1n n u 发散. （正确）二、选择题1．)(x f 在],[b a 上连续是 ()ba f x dx ⎰存在的（ A ）A 充分条件；B 必要条件；C 充要条件 ；D 既不充分也不必要 2．若10()2x k dx +=⎰，则k =（ A ）A23 ； B 1- ； C 3 ； D 13．F(x)=0()(1)(3)x F x t t dt =--⎰,则=')2(F ( B )A 3- ；B 1- ；C 3 ；D 1 4．设)(u f ''连续，已知 1200(2)()n xf x dx tf t dt ''''=⎰⎰，则n 应是（ B ）A41； B 4 ； C 1 ； D 25．函数)(x f 是奇函数，且在],[a a -上可积，则（ C ） A ⎰⎰=-a aadx x f dx x f 0)(2)( ； B ⎰⎰-=-aaa dx x f dx x f 0)(2)(C 0)(=⎰-a adx x f ； ； D )(2)(a f dx x f aa=⎰-6．2xxedx +∞-=⎰( C )A 0 ；B 1 ； C12； D 12-7．若级数111p n n∞-=∑收敛，则必有（ D ）.A 2p ≤ ；B 2p ≥ ；C 2p < ；D 2p >8．幂级数12n nn xn ∞=⋅∑的收敛半径是 ( D )A 4 ； B21 ； C14； D 2三、计算题1．求定积分 ⎰-1024dx x .解: 令t x sin 2=，则2660004cos 2(1cos 2)t dt t dt ππ==+⎰⎰⎰sin 22()6232t t ππ=+=+2．求定积分 101xxdx e e-+⎰.解： 4arctan arctan 1111010210π-==+=+⎰⎰-e edeedx ee xxxxx3．求定积分1|ln |ee x dx ⎰．解： eee eeex x x x dx x dx x dx x 1111111)1(ln )1(ln ln ln |ln |-+--=+-=⎰⎰⎰ee22121-=+-=4．求定积分34121sin cos 11x x dx x-++⎰.解： 34121sin cos 11x x dx x-+=+⎰34121sin cos 1x x dx x-++⎰dx x⎰-+112112arctan 1111112π==+=--⎰x dx x四、证明题设f 在],[b a 上连续，且)(x f 不恒等于零，证明0)(2>⎰ba dx x f .《数学分析选讲》第二次 作业答案一、判断题 1．（ 错误） 2．（错误 ） 3．（ 错误 ） 4．（ 正确 ） 5．（ 正确）二、 选择题1、A2、A3、D4、D5、D6、B7、C8、D三、计算题解 1、23113113121121121lim313131212121lim 22=--⋅--⋅=++++++∞→∞→nnn nnn2、因为nn n +2++<12+n n又 limn →∞=limn →∞1=，所以由迫敛性定理，lim1n →∞+++= .3、 2222(1)(21)(31)(101)lim(101)(111)x x x x x x x →∞++++++++--22221111(1)(2)(3)(10)lim 11(10)(11)x xxxxxx →∞++++++++=--4、0limlim x x →→=1)sin 21)sin 2limlim4(1)1x x xxx x→→===+-四、证明题1、证 令)()()(a x f x f x F +-=，则F 在],0[a 上连续。