2018北京大学数学分析试题及其解答
2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(北京卷)word版(含答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A{x ||x |<2},B{-2,0,1,2},则AB（A ）{0,1} （B ）{-1,0,1}（C ）{-2,0,1,2} （D ）{-1,0,1,2} （2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ） （B ）（C ）（D ）（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（A ） （B ） （C ）（D ）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ） 1 （B ） 2（C ） 3（D ） 4 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号（6）设a,b 均为单位向量，则“”是“a”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记d 为点到直线x 的距离，当m变化时，d的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4(8)设集合A，则（A）对任意实数a ，（B）对任意实数a ，（C）当且仅当a 时，（D）当且仅当a 时，第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
完整word版,北京大学数学分析解答
北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设x xx x x x f sin sin 1sin )(22--=，试求)(sup lim x f x +∞→和)(inf lim x f x +∞→.解:22sin 1()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x-=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的222222sin 1sin .sin sin ,sin 11x x x x x x x x x x x x x -≤≤→+∞---并且在充分大的时候显然有所以易知在时当然此上极限可以令2,2x k k ππ=+→+∞这么一个子列得到.2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,lim inf ()sin sin x x x x x xf x f x x x x x→+∞→+∞→+∞==--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。
证明)(x f 在),(b a 一致连续.证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微12,(,),x x a b ∀∈对于由,Lagrange 中值定理存在12121212(,),()()()x x f x f x f x x M x x ξξ'∈-=-≤-使得.这显然就是12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛(2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。
（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 证明:否定回答.()(,).f x a b '在上是无界的12()(1),()[0,1].f x x f x Cantor =-设显然此在上是连续的根据定理,闭区间上连续函数一致连续.所以()f x 在(0,1)上一致连续.显然此12121()(1)(0,1).().2(1)f x x f x x -'=-=-在上是可微的而121()(0,1).2(1)f x x -'=-在上是无界的3．设)1(sin )(22+=x x f . (1)求)(x f 的麦克劳林展开式。
2018北京文科数学及解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={(|||<2)},B={−2,0,1,2},则A B=（A）{0,1} （B）{−1,0,1}（C）{−2,0,1,2}（D）{−1,0,1,2}（2）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C ）76（D ）712（4）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（A （B（C ）（D ）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（7）在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）AB（B ）CD （C ）EF（D ）GH（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈（B ）对任意实数a ，（2,1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时,（2,1）A ∉（D ）当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉ 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京大学2018年数学分析试题及解答
在 (0, 0)
点局部
2 阶连续可微,
∇f (x, φ(x)) =
0,
(
)
∂ijf (0, 0) 2×2
为半正定非 0 阵. 证明 f 在 (0, 0) 点取得极小值.
6.
(20
分)
证明:
e−x
+ cos(2x) + x sin x
=
0
在区间
(
)
(2n − 1)π, (2n + 1)π
恰有两个根
x2n−1
+
)) 1
sin(xn) − xn ∑ ∞ (−1)k−1 (xn)2k−2 ∑ ∞ (−1)k (xn)2k
=
=
xn
(2k − 1)!
(2k + 1)!
k=2
k=1
∫ 1 sin(xn) − xn dx = ∑ ∞
(−1)k
0
xn
(2k + 1)!(2nk + 1)
k=1
∑ ∞ ⩽
1
(2k + 1)!(2n + 1)
x4
∈ (0, 1).
证明:
对任意
λ
∈
(α, β),
存在
x5,
x6
∈
(0, 1),
使得
λ
=
f (x6) x6
− −
f (x5) . x5
3. (10 分) 设 γ 是联结 R3 中两点 A, B 且长度为 L 的光滑曲线, U 是 R3 中包含 γ 的开集, f 在 U 上连续可
微, 梯度 ∇f 的长度在 γ 上的上界为 M . 证明:
(−1)k 2k(2k+1)!
2018高考北京卷理科数学(含答案)资料讲解
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
学科:网第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A I B=（A）{0，1} （B）{–1，0，1}（C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2}（2）在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（A ）32f （B ）322f （C ）1252f（D ）1272f（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则 （A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈（B ）对任意实数a ，（2，1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时，（2，1）A ∉（D ）当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉ 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018北京大学博雅计划真题解析版 w - 数学
数学【真题1】已知!C !()!k m m k m k =-0123201820182018201820182018C +3C +5C +7C ++4037C L 的值为.A.201820192⨯B.2018!C.20184036CD.前三个答案都不对【真题2】已知△ABC 面积为1,D,E 分别是边BC 、AC 上的点,且13BD BC =,13CE CA =,AD,BE 交于点P ,则四边形CDPE 的面积是. A.12 B.23 C.17D.前三个答案都不对 【真题3】[x ]为不超过x 的最大正整数,a n 为满足:x ∈[0,n ),[x [x ]]可能取到的所有值的个数,则2018n a n+取到最小值时n 的取值 . A.63B.1009C.2018D.前三个答案都不对【真题4】已知n 为不超过400的正整数,n 的所有正因数的乘积为n 3,则满足条件的n 有____个A.50B.51C.55D.前三个答案都不对 【真题5】三边长均为正整数的三角形,周长为n ,S n 表示符合该条件的三角形的个数,则20182015S S -=. A.-3 B.0C.3D.前三个答案都不对【真题6】已知a,b,c 为非负实数,a+b+c =3,求a+ab+abc 的最大值.A.3B.4C.D.前三个都不对【真题7】设a,b,c 为公差不为0的等差数列,点(3,2)P -,(2,3)Q ,过点P 作PM 垂直于直线ax+by+c =0,垂足为M ,则|MQ |的最小与最大值乘积为 .A.10B.C.D.前三个都不对 【真题8】15个人圆成一圈,选4人,两两不相邻,有多少种选法？A.1560B.450C.0D.前三个都不对【真题9】_____A.(6,7]B.(7,8]C.(8,9]D.前三个答案都不对【真题10】 设()123,,,,1,2,3i a a a a i =L L 是一组从小到大的非完全平方数(正整数)例如122,3a a ==则2018a 等于 . A.2061B.2062C.2063D.前三个都不对【真题11】 在立方体1111ABCD A B C D -中,1AD 中点为M ,1B C 中点为N ,CM 与1D N所成角的余弦值.A.12B.23C.34D.前三个答案都不对【真题12】4的根的个数共有_____个A.0B.1C.3D.前三个答案都不对【真题13】 P 是椭圆22154x y +=上的一点,则是 .A.B.C.D.前三个答案都不对【真题14】 方程222|1|0x x a a x -++-=三个根,则a 的取值范围为.A.(,1]-∞-B.[1,)∞C.[1,0)(0,1]-UD.前三个都不对【真题15】 122018122018,,,,,,,a a a b b b L L 互异对任意(1,2,,2018)i a i =L 满足122018()()()=2018i i i a b a b a b +++L ,求任意i b 则122018()()()i i i a b a b a b +++L A.2018 B.2018- C.0 D.前三个都不对【真题16】 在2018个正整数任取3个数不相邻的取法种数为_____________。
2018北京高考卷数学[理科]试题和答案解析
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2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B x =-，则A B =I （A ）{}01， （B ）{}-101，，（C ）{}-201，，（D ）{}-1012，，， 2.在复平面内，复数i1i-的共轭复数对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）．A ．12 B ．56C ．76D ．7124．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）．ABC ．D ．5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.设a b ,均为单位向量，则“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系中，记d 为点()P cos ,sin θθ到直线20x my --=的距离.当,m θ变化时，d 的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）48. 设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则()A 对任意实数a ，()2,1A ∈ ()B 对任意实数a ，()2,1A ∉()C 当且仅当0a <时，()2,1A ∉ ()D 当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉二.填空（9）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为 。
北京大学数学分析考研试题及解答
1 2判断无穷积分1解 根据不等式|sinusin x 、 sin x i 得到 |sin( ) | x xsin x sin x从而 (s in (叱)叱)dx绝对收敛，因而收敛,1x x sin x再根据1〒dx 是条件收敛的，丄 sin xsin x sin x sin x 由 sin( ) (sin( )) xx x xsin x 可知积分sin( )dx 收敛，且易知是是条件收敛的。
1x2x 例5339设巳(x)1 x2!nx，X m 是P ?m 1(x) 0的实根,n!求证：x m 0，且 lim x mmN ，当 x 0 时，有 F 2m 1( x) 0 ；又 P>m 1 (x) F 2m (x) 0，F 2m1(x)严格递增，所以根唯一，X m 0。
任意 x ( ,0)， lim F n (x) e x 0，所以 F 2m1(x)的根 X mn因为若m 时，Rm1(x)0的根，X m 不趋向于则存在M 0 ,使得(M ,0)中含有｛ X m ｝的一个无穷子列，从而存在收敛子列X m kX 。
，( X 。
为某有限数M )；0 e M lim F 2m k 1( M) lim F 2叫 1 (X m k ) 0，矛盾。
KK(1)n例、设a n ln(1右)，讨论级数a n 的收敛性。
n Pn 21 .3 .u| |u | ,| u |62 1, 1 sin ,3 1 1 “r 113 ， x L 1, 6 X 6 X 证明(1)任意m当x 0且x 充分大时，有F 2m1(x)0,所以F 2m 1(X )0的根X m 存在, (2)，(m )。
sin(Sin x )dx 的收敛性。
x )；1 2解显然当p 0时，级数 a n 发散;n 2x ln(1 x)1 lim- x 0 11 X 2xlim 1 丄x 02 1 x故此时 a n 条件收敛。
n 2北京大学2007年数学分析考研试题及解答 1、用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。