_N_1_广义正定矩阵
对称矩阵正定的充要条件
对称矩阵正定的充要条件1.引言1.1 概述对称矩阵正定的充要条件是一种在线性代数中常见并且十分重要的性质。
它与矩阵的特征值和特征向量密切相关，可以在很多实际问题中得到应用。
在本文中，我们将探讨对称矩阵正定的充分条件和必要条件，同时总结并讨论这些条件的意义。
在开始深入讨论之前，我们需要明确对称矩阵和正定矩阵的定义。
对称矩阵是指矩阵的转置和自身相等，而正定矩阵则是指其所有特征值均为正且对应的特征向量线性无关。
接下来，我们将首先介绍对称矩阵和正定矩阵的定义，以便读者对这些概念有一个清晰的认识。
然后，我们将详细讨论对称矩阵正定的充分条件和必要条件。
通过探究这些条件，我们能够更好地理解对称矩阵正定性质的本质。
最后，我们将总结这些条件，并探讨其在实际问题中的应用和意义。
通过研究对称矩阵正定的充要条件，我们能够更深入地理解矩阵的性质和特征，并能够将其应用到更广泛的领域中。
本文的目的是帮助读者掌握对称矩阵正定性质的重要概念和相关理论，进而在实际问题中灵活运用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文主要探讨对称矩阵正定的充要条件。
文章分为三个主要部分：引言、正文和结论。
在引言部分，我们将概述本文的目的和重要性，并介绍对称矩阵和正定矩阵的定义。
通过对这些基本概念的明确界定，我们可以更好地理解对称矩阵正定的条件。
接下来，在正文部分，我们将详细讨论对称矩阵和正定矩阵的定义。
我们将首先介绍对称矩阵的定义，阐明其特性和性质。
然后，我们将引入正定矩阵的定义，并探讨其与对称矩阵之间的联系。
在正文的最后部分，我们将详细探讨对称矩阵正定的充分条件和必要条件。
通过这些条件的讨论，我们可以更加准确地判断一个对称矩阵是否正定。
最后，在结论部分，我们将总结对称矩阵正定的充要条件，简洁地概括文章的主要观点和结果。
此外，我们还将探讨这些条件的实际应用和意义，以展示对称矩阵正定的重要性和价值。
通过以上结构，本文将从引言到正文再到结论，层层递进地介绍对称矩阵正定的充要条件。
线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.【图片】中【图片】的系数等于（）.参考答案:-12.设【图片】是【图片】阶正定矩阵，则下列结论正确的是参考答案:__也是正定矩阵_3.任意一个对称的可逆实矩阵一定与同阶的单位矩阵（）.参考答案:(相抵)等价4.设【图片】的三个特征值为【图片】下列结论正确的是 ( )参考答案:如果则__如果的三个特征值互不相同, 则一定可以对角化.5.设E+A可逆，E-A不可逆，则下列正确的是( ).参考答案:1是A的一个特征值_-1不是A的一个特征值6.已知【图片】为一线性方程组的通解. 则下述陈述中正确的是:参考答案:该方程组系数矩阵的秩是2._该方程组至少含有两个方程.7.设有向量【图片】, 下列哪个向量【图片】可以与【图片】组成【图片】的基?参考答案:_8.关于向量线性关系说法正确的是参考答案:若向量组的秩小于向量个数, 则向量组线性相关._若向量组由一个可逆矩阵的列向量组成, 则向量组线性无关.9.已知向量组【图片】和【图片】,下列结论正确的是( ).参考答案:若存在不全为零的数，使得，则向量组线性相关10.下列各项中，是【图片】元向量组【图片】【图片】线性相关的充要条件的是 ( ).参考答案:中至少有一个部分组线性相关11.空间中过下列哪两个点的直线是平行的?【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】参考答案:(d),(a)12.矩阵【图片】其中【图片】为待定常数, 则 ( ).参考答案:当时, 秩为 1_当且时, 秩为 3_当时, 秩为 213.假设【图片】是【图片】矩阵,【图片】是【图片】元非零列向量,【图片】是【图片】元零列向量, 下列说法正确的是 ( )参考答案:若有唯一解, 则仅有零解_若有无穷多解, 则有非零解_若仅有零解,则有唯一解14.下列结论正确的是( ).参考答案:任意一个方阵一定可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和._与任意n阶方阵均乘法可交换的矩阵一定是n阶数量矩阵._秩为r(r>1)的矩阵中，一定存在不为零的r-1阶子式.15.设非零方阵【图片】满足【图片】,则下列结论不正确的是（）.参考答案:不可逆16.已知【图片】, 其中【图片】为【图片】阶可逆矩阵，【图片】为【图片】阶可逆矩阵,则下列结论不正确的是 ( ).参考答案:_G不可逆_17.以下结论正确的是( ).参考答案:若或不可逆，则必有不可逆_若均可逆，则必有可逆18.下列矩阵方程解正确的是( ).参考答案:的解是_的解是_的解是_的解是19.设P是数域，【图片】是【图片】的一个特征值．记【图片】，则下列结论正确的是( ).参考答案:_是空间的线性子空间20.设【图片】为实对称矩阵，则下列成立的是（）。
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是指一个实数域上的二次齐次多项式，并且其对任意非零向量都有正的二次型值。
判断一个二次型是否为正定二次型，可以使用以下方法。
二次型可以表示为矩阵形式，即二次型矩阵。
设二次型为\[ q(x) = x^T A x \]x为n维列向量，A为对称矩阵。
A称为二次型矩阵。
判断一个二次型是否为正定，可以使用以下方法：1. 判断A的特征值是否全为正数。
A的特征值全为正数时，二次型为正定二次型。
证明：设A的特征值分别为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。
则对于任意非零向量x，有\[ x^T A x = x^T Q \Lambda Q^T x = (Q^T x)^T \Lambda (Q^T x) \]Q为特征向量构成的正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为特征值λ1, λ2, ..., λn。
令y=Q^T x，则有\[ x^T A x = y^T \Lambda y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 \]由于A的特征值全为正数，因此对于任意非零向量y，都有\[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 > 0 \]所以x^T A x > 0，即二次型为正定二次型。
定义：A的顺序主子式是指A的各个阶数（1到n）的主子式。
证明：设A的顺序主子式分别为detA1, detA2, ..., detAn，其中1<=i<=n。
若A的顺序主子式全为正数，则A为正定矩阵。
由于A为对称矩阵，所以A的特征值全为实数，且A可以分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积，即\[ A = Q \Lambda Q^T \]Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为A的特征值。
以上就是判断正定二次型的方法，通常直接使用特征值或顺序主子式来判断即可。
需要注意的是，当A为实对称矩阵时，其特征值都是实数，所以可以直接判断特征值是否为正数来判断正定性。
线性代数中的合同关系、正定矩阵
什么是线性代数中的合同？惯性定律？“合同”是矩阵之间的一种关系。
两个n阶方阵A与B叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。
按照它可以对n阶方阵的全体进行分类。
对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。
①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。
②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。
但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。
结果②就是“惯性定理”。
一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确?不对，反例： 1 22 1只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n) 都有XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.正定矩阵的一些判别方法由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n 个特征值全是正数。
证明：若，则有∴λ＞0反之，必存在U使即：A正定由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
特征值都在主对角线上运算你知道的吧。
行列式小结一、行列式定义行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。
当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。
所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。
举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。
正定矩阵及矩阵数值特征的研究
正定矩阵及矩阵数值特征的研究摘要：矩阵计算和矩阵分析在计算数学，经济学，控制理论，计算机图形图像处理等领域有着广泛的应用。
本文主要研究了矩阵数值特征的估计和正定矩阵的性质及判别法，主要内容如下：（1）基于一些线性代数的基本理论，得到了矩阵最小奇异值的两个估计。
（2）基于一些正定矩阵的理论，推广或改进了一些经典的正定矩阵的性质，给出了正定矩阵谱半径，特征值实部，行列式的估计。
关键词：特征值奇异值正定矩阵算法数值特征1 引言对于矩阵特征值和最小奇异值的估计，相关的研究开始较早，已经较为成熟。
最近，部分学者采用新的思路对矩阵 A 的奇异值也获得了类似的结论。
本文将依然对矩阵特征值和最小奇异值的估计作深入的研究，最终获得了矩阵特征值和最小奇异值的几个估计。
另一方面，正定矩阵的研究一直是矩阵分析领域的宠儿。
它在实际中有广泛的应用，如在投入产出的经济数学模型以及多种统计线性模型理论中，都得到了很好的应用，正定矩阵的研究起源于对二次型和Hermitian型的研究。
本文在所列参考文献的基础之上，对正定矩阵的性质做进一步的研究，得到了正定矩阵对称积，实部的估计，谱半径的估计以及行列式估计的一些新结果。
2 矩阵数值特征2.1矩阵特征值的估计众所周知，在稳定性理论中，系数矩阵A的特征值分布对于常系数线性系统和非线性自治系统平稳位置的稳定性起着极重要的作用。
若A仅有负实部的特征值，则称A为稳定的，反之，则称A为不稳定的。
判断A是否是稳定矩阵的方法有很多，如Routh-Hurwitz，李亚普诺夫等方法。
然而对于阶数较大的矩阵，上面的方法是比较复杂的，故寻求A是稳定矩阵的简捷判据是有必要的。
在这一节中，我们先给出TD 矩阵的定义，在此基础之上我们得到了TD矩阵特征值的估计。
定理2.1.1设M∈Mn（C），并且M被写成如下形式M=Ak×kBkx（n-k）C（n-k）×kD（n-k）×（n-k），（1≤k≤n-1）令H=（M+M·）∈TDn，则我们有-≤Reλ≤+例2.1.1让我们考虑如下常系数线性微分方程组=Mx=-5 31--1-401-1-611-0 -3x其中M是系数矩阵。
正定矩阵的算术平方根
于 是 Ｑ 一 厂 Ａ） （ ．
于是
Ｐ Ｐ ＝ Ｂ １ ：
从 而
Ｖ Ｕ 一 Ｕ Ａ） ＝ ｆ Ｕ Ｑ ｆ（ Ｕ （ ＡＵ ）＝ ， Ａ） （ ．
（ 一ＡＣ一 （ ）
＝ （ 一ＡＣ （ ） ．
弓 理 ４ 设 Ａ是 ，阶实 对称矩 阵 ， ｌ ｌ Ｂ是 Ｔ阶 正定 ｔ 矩 阵． 存 在可逆 实矩 阵 Ｃ使 Ｃ＇Ｃ为 对角 矩阵 ， 则 Ａ 而
第 １ ５卷 第 １ 期
２１ ０ ２年 １月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ ＣＯＬ ＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ Ｅ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ０ ＿ ５， ． ｌ １ ＮＯ １ Ｊ ｎ ，２ １ ａ． ０２
正 定 矩 阵 的算 术 平 方 根
－
张姗 梅 ，刘 雁
证 明 因 Ｂ是 正定 矩阵 ， 专有意 义且 Ｂ Ｂ 专也是 正定矩 阵． 于是
ＡＢ 一 （ ） Ｉ 一曰ｉ Ｉ Ｉ Ａ ｉ 曰百
，
所 以Ａ Ｂ与 ＢＴ Ｔ 似． 因为 ｌ ｉ相 仰 又
（ １ Ｂｉ） Ｂｉ １ ： （ （ 一 Ｂｉ Ｂｉ Ａ 口号） Ａ Ｂ号） ｉ １， Ａ
在 读 ： ｍａｌｚｌ ６ ８ ＠ ｘ ｍｓ． ｌ Ｅ ｉ ｙｉ ９０ ｎ ｎ ｅ ： ｕ ｌ
则有 ｆ Ａ）＝ ￣ （ｆ ／ （ ＝ １ ２ … ，） ， ， ￡．
第１ ５卷 第 １期
张姗 梅 ， 刘雁 ： 定 矩 阵 的 算 术 平 方 根 正
＞ ０（ ｉ： １， ， ， ２ … ），
（ ）存在 可逆 实矩 阵 ｃ使 Ａ — Ｃｃ． ３ ， （ ）若可 逆实 矩阵 Ｃ使 ４
收稿 日期 ：０ ００—４ 修 改 日期 ：０ １１ －４ ２ １ －６０ ； ２ １－２２
四元数正定矩阵的定义及其行列式的上界
四元数正定矩阵的定义及其行列式的上界
陈福元
【期刊名称】《龙岩师专学报》
【年(卷),期】1993(11)3
【摘要】摘文章指出: 1.n阶四元数矩阵A为自共轭矩阵的充要条件是:对任意n 维四元数行向量X=(x_1,x_2,…,x_n)恒有XAX′为实数。
从而现有文献关于四元数正定矩阵的定义中,关于自共轭的条件是多余的; 2.n阶四元数矩阵A=(q_n).若A为正定,则其行列式‖A‖满足不等式:
【总页数】6页(P29-34)
【关键词】行列式;正是矩阵;四元数
【作者】陈福元
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O151.2
【相关文献】
1.半正定自共轭四元数矩阵之和的行列式不等式 [J], 张锦川
2.广义正定Hermite矩阵的行列式上界 [J], 詹仕林
3.四元数矩阵的行列式的一种新定义及其应用 [J], 李莹;张丽梅;贾志刚;赵琳琳
4.四元数正定长阵的定义及其行列式的上界 [J], 陈福元
5.亚正定及拟亚正定符号对称矩阵的行列式的上界估计 [J], 永学荣;陈文辉
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
几类矩阵的判定
=
,
)〔 R
”
其中
r o
s e
,
}
a “
l
,
叨
`
=
,
a
`
a
`
,
}
,
艺 今j
,
j
任
n
,
的谱 半径 记为 p ( A )
2
.
“
A的Mo
“ ` “
r一
P
,
n e
任
,
广 义逆 阵 记 为 A
`
j
,
十
。
此外 (
B
,
,
几表示
)
,
K 阶单 位 阵
,
”
=
{通
B
= (
a
`
,
) 任月
}
,
a ` ,
(
m
,
o
`钾 j
j
b
任
`
。
.
}
对于 A =
,
B = A
` (b
) 任 斤“
.
`
”
,
A》 B
`>
) 表 示 对一 切 i 任 设
,
j
有价 >
,
( > b ` , )而 A >
表示
)
,
B 且 A等 B
定义
1
A 任 R”
`
”
如 果 A 的 一 切 主 子 式 全 为正 ( 非 负 )
,
则 称 A 为 尸 ( 尸。 ) 矩 阵 记为A e L P
,
7〕,
它 包含
,
有关分块正定矩阵和分块负定矩阵的一些结论
Ａ
＜， 。 注意到 是 《 任意的一个特征值且 和 ４ 具
都是正定矩阵。
４ ４ … ４
…
性质 ２ ： 设 Ａ＝
。 …
是正定矩 阵，
４ ４ … ４ ｊ
则
…
ｊ
也是正定矩阵 ， 其中 ｋ 口。
有相 同的特征值 ， 由Ａ ＜ｘ Ｔ ｘ， 可以得到 Ａ ｍ ｏ ｘ （ Ａ ｌ 。 ） －－ …（ ）＜ Ｉ 。 注： 由性质 １ 至性质 ４ ， 我们可以类 似地得 到分块负定矩 阵的一 些相关结论。上述知识在线性 代数 中教材很少提及。根据矩阵的一 些性质和线性代数教材 中有关正定矩阵和负定矩阵的知识 ， 我们不 难得到上述关于分块正定矩阵和分块负定矩阵 的结论 ， 这些结论 在 研究 马尔科夫跳变系统 、 时滞系统 、 广义系统等 系统 的稳定性等 问 题 中有着非常广泛的应用 。 参 考 文 献 ［ １ 】 同济大学数学 系． 工程数 学： 线性代数（ 第 ５版） ［ Ｍ ］ ． 北京 ： 高等教 育
ｆ Ａ １
ｎ
４１ ｍ
１ 瑚 。们
Ｌ
ｍ
…
，
其 中ｋ ｌ ＜ｋ ２ ＜… 且ｋ ｌ ， ｋ ２ ， …， 取 值 于｛ ｌ ， ｚ ， … ， 口 ｝ 。
性 质 ｓ ： 设 兰 】 是 正 定 矩 阵 且 测 ４ ＜ 。
矩 阵。
Ｉ
的证 明相类似 ， 我们容易得到 Ｈ ｒ Ａ Ｉ Ｉ ＞０ ， 即 一 ４ 《 ＞０ 。 １ 。 ｝ 是正定矩阵， 则Ａ 。 和Ａ 都是正定 和性质 Ｉ 。 Ｊ 由４ 《＞ （ ） （ ４ 。 ） 和４ ＜ （ ４ ） ， 可得
证明： 令 ＝ Ｉ 。 通过计算， 容易得到
线性代数 6-3 正定二次型与正定矩阵
方法一
令g( A) A 5 E ,
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,
所以g( A)的所有特征值为 g( 1), g( 2), g( 3),
A 5 E g( A) g(1) g(1) g(2) 4 6 3 72.
A 80 0,
根据定理4知f为负定.
例5（矩阵正定的必要条件）
则其对角线元aii 0. 若A为正定矩阵，
证明： 因为A正定，所以对非零向量
x ei [0,,1,0]T , 有
f x Ax ei Aei aii 0 ( i 1, 2,, n)
T T
成立.
证明 设可逆变换x Cy使 f x f Cy ki yi2 .
充分性：设 k i 0 i 1,, n. 任给 x 0,
i 1
n
则 y C x 0, 故
-1
2 f x k i yi 0. i 1
n
必要性： f x f Cy ki yi2 0.
3
2 用方阵A的特征值, 来讨论kE A的可逆性
方法二
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,
所以 f A ( ) E A ( 1)( 1)( 2),
5 E A f A (5) (5 1)(5 1)(5 2) 72,
A 5 E ( 1) 5 E A 72.
解
A与P1 AP有相同的特征值 .
1 是 P i P AP属于 i 的特征向量. 1
P
1
AP i I X 0 P 1 A i I PX 0