5-3 正定二次型与正定矩阵习题评讲
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
５－３ 正定二次型与正定矩阵习题评讲
１２、如果Ａ、Ｂ为同阶正定矩阵，证明：Ａ＋Ｂ为正定矩阵。
证明１：因为Ａ、Ｂ是ｎ阶实对称矩阵，故Ａ＋Ｂ也是ｎ阶实对称矩阵。
因为Ａ、Ｂ为ｎ阶正定矩阵，所以实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ
Ａ
Ｘ和ｇ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ
ＢＸ都是正定二次型。实二次型ｈ（ｘ１，ｘ
２，…，ｘｎ）＝ＸＴ（Ａ＋Ｂ）Ｘ＝ＸＴＡＸ＋ＸＴ
ＢＸ＝ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＋ｇ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）。所以对任意不全为零的实数Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ，因为ｆ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＞０，ｇ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＞０，从而有
ｈ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＝ｆ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＋ｇ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）
＞０，所以实二次型ｈ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ
（Ａ＋Ｂ）Ｘ正定，从而Ａ＋Ｂ是正定矩阵。
证明２：因为Ａ、Ｂ是ｎ阶实对称矩阵，故Ａ＋Ｂ也是ｎ阶实对称矩阵。
因为Ａ、Ｂ为ｎ阶正定矩阵，所以对任意ｎ维非零实列向量Ｘ０，都有
Ｘ０ＴＡＸ０＞０；Ｘ０Ｔ
ＢＸ０＞０；
Ｘ０Ｔ（Ａ＋Ｂ）Ｘ０＝ Ｘ０ＴＡＸ０＋Ｘ０Ｔ
ＢＸ０＞０， 所以Ａ＋Ｂ是正定矩阵。
】
Ｐ２６３ 总自测题 证明题
（２）设ｎ维列向量α与任何ｎ维向量都正交，证明：α＝０。 证明：设α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ），取ｎ维单位向量εｊ＝（０，…，０，１，０，…，
０），ｊ＝１，２，…，ｎ。有（α，εｊ）＝ａｊ，ｊ＝１，２，…，ｎ，所以α＝０。
８、判别下列实对称矩阵是否为正定矩阵：
（１）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111121111；（２）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------211121112；
（３）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡----
52
1212112
1
1。 解（１）：Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡111121111是实对称矩阵，第三个顺序主子式Δ３＝A ＝０，Ａ不是正定矩阵。
解（２）：Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------211121112是实对称矩阵，第三个顺序主子式 Δ３＝A ＝2
1
112
1112
------＝2
1
112
1
00----＝０，Ａ不是正定矩阵。 ）
解（３）：实对称矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
--
--
52
12121
12
1
1所有顺序主子式为：
Δ１＝１＞０；Δ２＝
1
2
1
21
1
-
-
＝43＞０；
Δ３＝5
2
1
2121
12
11
--
--
＝52
1
42121241----＝1
421
21241---＝2
11241--＝43
＞０
所以Ａ是正定矩阵。
９、确定参数λ的值，使下列二次型正定：
（１）５ｘ１２＋ｘ２２＋λｘ３２
＋４ｘ１ｘ２－２ｘ１ｘ３－２ｘ２ｘ３；
（２）２ｘ１２＋ｘ２２＋３ｘ３２
＋２λｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３。
解（１）：实二次型ｆ的矩阵为Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----λ11112125，Ａ的顺序主子式为：
Δ１＝５＞０； Δ２＝
1
225＝１＞０
Δ３＝λ
1
111
2125
----＝1
0111
21
1--λ＝1
111-λ＝λ－２。
…
ｆ正定⇔Ａ正定⇔Δ３＞０⇔λ－２＞０⇔λ＞２。
解（２）：二次型ｆ的矩阵为Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡3010112λλ，Ａ的各阶顺序主子式为： Δ１＝２＞０；Δ２＝
1
2λλ
＝２－λ２
；
Δ３＝301
011
2λ
λ＝0
35011
2λλλ--＝λ
λ351--＝－３（λ２
－35）；
ｆ正定⇔Ａ正定⇔⎪⎩⎪
⎨⎧>-->-0
)35(30222λλ⇔⎪⎩
⎪⎨⎧<<352λλ⇔3
5<λ。 １０、设有二次曲线方程ａｘ２
＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２
＝１（ａ＞０）。证明：当ｂ２
＜ａｃ时，曲线为一椭圆；当ｂ２
＞ａｃ时，曲线为一双曲线。
证明：对二次曲线方程ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２
＝１（ａ＞０），
对应的实二次型为：ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２
（ａ＞０），
ｆ的矩阵为Ａ＝⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡c b b a ，Ａ是实对称矩阵，且A ＝2b ac -。 对实二次型ｆ（ｘ，ｙ），存在正交变换Ｘ＝ＰＹ（Ｐ是正交矩阵）化为标准形： &
ｆ（ｘ，ｙ）＝λ１2x '＋λ２2y '，其中λ１，λ２是Ａ的特征值。
这个正交变换，化二次曲线ａｘ２
＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２
＝１（ａ＞０）为如下形式： λ１2x '＋λ２2y '＝１
该二次曲线是椭圆⇔λ１，λ２都是正数⇔ｆ（ｘ，ｙ）正定⇔Ａ的所有顺序主子式都大于零⇔Δ１＝ａ＞０，Δ２＝A ＝2
b a
c -＞０⇔ｂ２
＜ａｃ。
该二次曲线是双曲线⇔λ１，λ２一个是正数，另一个是负数⇔λ１λ２＜０。因为λ１λ２＝A ＝2
b a
c -，所以该二次曲线是双曲线⇔2
b a
c -＜０⇔2
b a
c <。 １１、如果矩阵Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ是正定矩阵，证明：ａｉｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）。
证明：令εｊ＝（０，…，０，１，０，…，０）Ｔ
，ｊ＝１，２，…，ｎ。有
εｊＴ
Ａεｊ＝ａｊｊ，ｊ＝１，２，…，ｎ。
因为Ａ＝（ａｉｊ）是ｎ阶正定矩阵，对任意ｎ维非零实列向量Ｘ，都有ＸＴ
ＡＸ＞０，特别对Ｘ＝εｊ结论也成立，所以ａｊｊ＞０，ｊ＝１，２，，ｎ。