正定矩阵概念及例题

推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特 征值全为正。
a
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定理13 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A
的各阶主子式都为正。即
a1
10,aa12
1 1
a1
20,,
a1 1
a2 2
an1
a1n 0; ann
对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为
负，而偶数阶主子式为正。即
6
A800,
所以 f 是负定的。 a
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例18 设二次型
fx1 24x2 24x3 22x1x22x1x34x2x3
问 取 何 ,f为 值正 时定 . 二 次 型
1 1
解 f 的矩阵是 A 4 2 ,
1 2 4
A 的各阶主子式为：
a110,
a11 a21
a121
个数相. 正等数的个数称为正惯性指数，负数的个数
称为负惯性指数
a
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定义9 设有实二次型 f xTAx, 如果对于任何
x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定 二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A > 0 ；如果
对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型， 并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A < 0 。
a11 a1r (1)r 0,(r1,2,,n).
ar1 arr 这个定理称为霍尔维兹定理。
a
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注意：对于二次型，除了有正定和负定以外， 还有半正定和半负定及不定二次型等概念。
a
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判别矩阵正定的方法
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A 的正定性有两种方法。
限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是
不变的。
它的定秩理是1r1，( 惯有性两定个理实的) 可设逆有变实换二x 次 型C y f与 x xT AP x,z ,
使
k1y12k2y22 kryr2, (ki 0)
及
1z122z22 rzr2, (i 0)
则k1,k2,,kr中正数的个 1,数 2,与,r中正数的
定理12 实二次型 f xTAx为正定的充分
必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。
证 设可逆变换 xCy使
n
f(x)f(C)y kyi2. i1
a
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设 先k 证i 充0分(i性1,2,,n)任 . x 给 0 ,则 C1x 0 ,故
n
f(x)
kiyi20.
i1
当 显 yC 再e 然 e s 时 证s ,必0 (.要这单性与位：假坐用设标反向f 证量正法定) 时。矛，假盾f设(，C 故 有e sk)ki s≤k 00s. , 则0 ,
a12
1
a22 1
1 1 0,
0
112
A 1 0 0 1 0,
201
所以 f 既不是正定的，也不是负定的，即不定二次
型。
a
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例19 设C 是满秩矩阵，实对称矩阵A 是正定的， 则C TAC是正定的。
有 f证x TA 因x 为 A0,为作 正x定，C所y,以则 对f任 意y T x(C T 0A , )y C , 由 x 0 及 C 可 ,得 y C 逆 1 x 0 , 从 f 而 x T A x y T ( C T A ) y 0 C ,
正定 . 的
a
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判别二次型正定的方法
由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判 别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。
一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的 对称矩阵A 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是 负定的，则 f 也是负定二次型。
二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数 全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数 全为负，则 f 是负定的。
由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方 法一般不用。
a
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例17 判别二次型
f 5 x 2 6 y2 4 z2 4 x y 4 xz
的正定性。
解
f 的矩阵是
5 A 2
2 6
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 ,
2 0 4
A 的各阶主子式为：
a1150,aa1211
a125 a22 2
2 260,
即C TAC是正定的。
a
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Ex.12 证明：若实对称矩阵A = ( aij ) 为正定矩阵， 则 aii > 0 ( i =1, 2, …, n ).
证
因为A
为正定，所以对任意
x
0,
有 fx TA x 0, 取 x e iT (0 , ,1 , ,0 ),
则 x T A x a i i0 ( i 1 ,2 , ,n ).
1 3
0 0
正定性。
0 0 3
解 方法一 因a为 1130,
310
a11
a123
1 80,
| A| 1
3
0 24 0,
a21 a22 1 3
003
所以A 是正定的。
a
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方法二：A 的特征多项式为
3 1 0 |AE| 1 3 0 (2)3 ()4 (),
0 0 3
故 A 的 特1 征 2,2 值 3,3为 4.从 而 A 是
正定二次型
★正定二次型和正定矩阵的概念 ★判别二次型或矩阵正定的方法
正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念， 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。
a
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正定二次型和正定矩阵的概念
二次型的标准形不是唯一的。
标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。
a22
42 0,
4
A4(1)(2)0,
解得 21时,二次型为正 . 定的
a
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Ex.11 判别二次型 fx 1 2 2 x 1x 2 4 x 1x 3x 3 2
的正定性。
1 1 2
解 f 的矩阵是 A 1 0 0 , A 的各阶主子式为：
2 0 1
a11
1
0,
a11 a21
一是求出A 的所有特征值。若A 的特征值均为正 数，则A 是正定的；若A 的特征值均为负数，则A 为 负定的。
二是计算A 的各阶主子式。若A 的各阶主子式均 大于零，则A 是正定的；若A 的各阶主子式中，奇数 阶主子式为负，偶数阶为正，则A 为负定的。
a
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例16
3 判定对称矩阵 A 1