中考数学复习巧用放缩法解题
放缩法的技巧1(精简版)
放缩法的技巧1一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk二．放缩为等比数列或等差数列例2. 已知数列：满足：，，记.(I ) 求证：数列是等比数列； (I I) 若对任意恒成立，求t 的取值范围； (III)证明:解：（Ⅰ）证明：由2231++=+n n n a a a 得 22222321+-=-++=-+n n n n n a a a a a ① 2)1(4122311++=+++=++n n n n n a a a a a②（2分）∴12411211+-⋅=+-++n n n n a a a a 即n n b b 411=+，且4112111=+-=a a b ∴数列{}n b 是首项为41，公比为41的等比数列． （4分）（Ⅱ）由(Ⅰ)可知1241)41(411+-===-n n n n n a a b ∴14421-⋅+=n n n a由n n t a 4⋅≤得144124)14(421-+=-⋅+≥n n n n nt 易得14412-+n n是关于n 的减函数∴431441214412=-+≤-+n n，∴43≥t （9分）（Ⅲ）n n n n n a 432143214142+<-+=-+⋅= （11分）∴)434343(2)432()432()432(2221n n n n a a a ++++=++++++<+++＝432)41(12411)41(1432+<-+=--⋅+n n n n n 得证 （14分）【课堂练习】1. 设数列{}n a 满足10a =且111111n na a +-=--.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n a b n+-=，记1nn kk S b==∑，证明：1n S <.【解析】：（Ⅰ）由111111n n a a +-=--知数列11n a ⎧⎫⎪⎨⎬-⎪⎭⎩是首项为1111a =-，公差为1的等差数列。
初中数学，利用放缩法解题，通过多重放缩，将解的范围逐步缩小
初中数学，利用放缩法解题，通过多重放缩，将解的范围逐步
缩小
放缩法是中学数学的常用解题技巧之一，特别适用于思维难度大，构造性强的题目，能全面而综合地考察学生的潜能和后续学习能力，本文归纳了运用放缩法解题的几种常见情况．
1．和三角形有关的放缩法
在和三角形有关的问题中，要用到三角形三个角的度数为正，且和为一个定值，再结合放缩法解题．
2．多个变量的放缩法
多变量的问题，由于变量较多且相互约束，学生解题时往往顾此失彼，感到难以入手，这类问题有时可以用放缩法解决．
3．多重放缩法
有的问题不是一次放缩就能到位的，往往要经过多次放缩．在同一个题目中，这多次放缩的原理往往是类似的．
多元问题的解题途径一般是从整体考虑，化多元为一元．分层次对每一元进行放缩，通过多重放缩，将解的范围逐步缩小，最后利用正整数的离散性将解求出。
不等式放缩法
不等式放缩法不等式放缩法，这可是数学里一个相当有趣的“小魔法”！咱们先来说说啥是不等式放缩法。
简单来讲，就是把一个复杂的不等式通过巧妙的手段进行变形，让它变得更容易处理和证明。
比如说，原本一个长得很吓人的不等式，咱们通过合理的放缩，把它变成一个咱们熟悉的、能轻松搞定的形式。
我给大家举个例子哈。
比如说有这么个不等式：1/2 ＋ 1/3 ＋ 1/4 ＋… ＋ 1/n ＞ 1/2 ×（n 1) （n ≥ 2）。
要是直接去证明，可能会让人有点头疼。
那咱们就来放缩一下。
先把每一项 1/k （k ＝2, 3, 4, …， n）都放大成 1/2 ，这样原来的式子就变成了（n 1) × 1/2 ，这不就和要证明的右边一样了嘛！而且因为我们是把每一项都放大了才得到的这个式子，所以原不等式就成立啦！是不是感觉有点神奇？我还记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙一脸迷糊地问我：“老师，这放缩法咋感觉像是在‘作弊’呢？”我笑着回答他：“这可不是作弊哦，这是数学的智慧！就像你走在路上，遇到一个大石头挡道了，咱们总不能硬撞上去吧，得绕个弯或者找个更简单的路过去，这放缩法就是咱们在数学道路上找的‘捷径’！”那不等式放缩法有啥用呢？用处可大啦！比如说在一些数列求和的问题里，如果直接求和很难算，咱们就可以用放缩法来估计和的范围。
还有在证明一些不等式的结论时，放缩法往往能起到关键作用，让看似复杂的问题一下子变得清晰起来。
不过呢，放缩法也不是随便放缩的，要是放缩得不合理，那可就得出错误的结论啦。
这就好比你修房子，尺寸要是搞错了，房子可就歪歪斜斜没法住人了。
所以在使用放缩法的时候，一定要小心谨慎，多思考多尝试。
再给大家说个我自己的经历。
有一次我在做一道数学题，用了放缩法，结果怎么都证明不出来。
我检查了好几遍，才发现是放缩的时候放得太大了，把原本成立的不等式给弄“变形”了。
从那以后，我每次用放缩法都会特别小心，反复确认放缩的合理性。
放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳)
47
3n 2
04、分类放缩
15．求证:1 1 1
23
1 2n 1
n 2
.
16．在平面直角坐标系 xoy 中， y 轴正半轴上的点列An 与曲线 y 2x x 0 上的点列Bn 满足
OAn
OBn
1 n
，直线
An Bn
在
x
轴上的截距为
an
.点
Bn
的横坐标为
bn
，
n N
.
（1）证明 an > an1 >4， n N ；
1 a2n
7n 11 36 .
05、迭代放缩
19．已知 xn1
xn xn
4 1
，
x1
1 ，求证:当
n
2
时，
n i 1
xi 2
2 21n .
20．设
Sn
sin1! 21
sin 2! 22
sin n! 2n
，求证:对任意的正整数
k，若
k≥n
恒有:|Sn+k－Sn|<
1 n
.
06、借助数列递推关系
21．求证: 1 13 135 135 (2n 1) 2n 2 1 .
2 24 246
246 2n
22．求证: 1 13 135 135 (2n 1) 2n 1 1
2 24 246
2 46 2n
（一）、经典试题
01、裂项放缩
1．（1）求
n k 1
4k
2 2 1
的值；
（2）求证:
n k 1
1 k2
5 3
.
2．求证:1
1 32
1 52
放缩法的注意问题以及解题策略
n n2 n n2 2 2； n2 n n2 n
（4）二项式定理放缩：如 2 1 2n 1( n 3) ； （ 5）舍掉（或加进）一些项，如： | an a1 || a2 a1 | | a3 a2 | | an an 1 | ( n 2) 。 例题选用
bn 1 3 2(bn 3) ， n N * ，迭乘得： bn 3 2n 1 (b1 3) 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 , n N * Tn 2 3 4 ... n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 2 bn 3 2
放缩法的注意问题以及解题策略
1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩
小。
2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放
缩。
3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：
（ 1）根式的放缩：
1 1 1 ； k k 1 2k k k 1
例 6、 ．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋1.
1 (1)证明 an＋ 是等比数列，并求{an}的通项公式； 2 1 1 1 3 (2)证明 1＋ 2＋…＋ n＜ . a a a 2 1 1 解：(1)由 an＋1＝3an＋1 得 an＋1＋ ＝3 an＋ . 2 2 1 3 3 1 3n 1 又 a1＋ ＝ ，所以 an＋ 是首项为 ，公比为 3 的等比数列，所以 an＋ ＝ ，因此数列{an}的通项公 2 2 2 2 2 2 3n－1 式为 an＝ . 2 1 2 (2)证明：由(1)知 n＝ n . 因为当 n≥1 时，3n－1≥2×3n－1， a 3 －1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 3 － 1 所以 n ≤ ，即 ＝ ≤ . 于是 ＋ ＋ … ＋ ≤ 1 ＋ ＋ … ＋ ＝ < . － n － 2 － a 3n－1 3n 1 3 3 －1 2 × 3n 1 a1 a 3n 1 2 3n 2 an 1 1 1 3 所以 1＋ 2＋…＋ n< . a a a 2
放缩法在初中数学解题中的应用
满 足 上 述 条 件 的 ｂ的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 Ｐ 和 Ｑ， 求 ｌ ＋ Ｉ 的值 ． Ｐ１ Ｑ｝
解 ：。 ． 是一 元二次方 程 ｚ ＋Ⅱ 。ｍ， ｚ＋ｂ 一０的 两 个 根
’
．
去 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ： 化 得÷ 』Ｚ Ｚ Ｏ 简 ：＋１ ＋１一Ｕ ｚ２ ｒ ＿ －， — ７＋ ＿ ‘ ＜＋ ＋ ＋ ＜ ÷ ÷ ＜ ＜ ， ：＜＜ ÷解 ｚ 得
有
１ 放 缩法在 最值 问题 中的应 用．
在 有 些 最 值 问 题 中可 以应 用 放 缩 法 解 决 问 题 ． 例 １ 已知 二 次 函 数 —ｚ ＋口 ＋６的 图像 与 Ｘ 轴 。 ｚ 的两 个 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 ｍ， 且 １ ｌ Ｉ ｌ １ 设 ｍ ＋ ≤ ，
例 ４ 设 口 ， … ， 是 （ ＞ １ 个 互 不 相 同 的正 口 ， ｎ ） 整数．
求 ：十 ＋ ＋ ＜． 证者 壶 … 去 ２
证 明 ：。 ． ， … ， 是 个 互不 相 同 的正 整 数 ’ ｎ， ＆ ｚ 不 妨 设 １ ｎ＜ 口 ＜ … ＜ｎ ， 而 有 。 ≥ １ｎ≥ ≤ ｚ 从 ，ｚ
＜
＋
＜
＋
・ ． ．
故 ＋ ＋ ＋ ＜ 者 …寿 ｚ ．
通 过 以上 的 问 题 的 解 决 ， 以培 养 学 生 根 据 证 题 可 的 目标 ， 进行 合 情 合 理 的 放 大 和 缩 小 的 方 法 来 解 决 不 等 式 问题 的能 力 ， 一 步 增 强 学 生 学 习 数 学 竞 赛 的 兴 进 趣． 面的问题还可以做如下的变试训练 ： 上
‘ ． ．
ｚ ＋Ｙ 的最 大值 ．
２， ， ｎ … 口≥ ．
解决数列放缩问题的六大技巧
解决数列放缩问题的六大技巧本篇主要目标是聚焦于数列放缩，常见的方法有六种，具体我将在文中以实例详细说明.类型1.利用单调性放缩例1．已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+（1）设12n n b a =+，证明：{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）证明：12211113nb b b ≤+++< ．解析：（1）∵131n n a a +=+，则111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即13n n b b +=，又∵111322b a =+=，所以{}n b 是首项为32，公比为3的等比数列，∴32n n b =，故{}n b 的通项公式为32nn b =.（2）由（1）知123n n b =，即1n b ⎧⎫⎨⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列，∴121221133111222111333313nnnn b b b ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++=+++==- ⎪⎝⎭- ，又∵数列113n⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递增，∴11111133n⎛⎫⎛⎫-≤-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12211113nb b b ≤+++< .类型2.先求和再放缩先求和再放松实质上是一类很常见的题目，这类放缩实质在考察数列求和，放缩的结果也很松，下面通过两个例子简单说明即可，分别是利用裂项相消求和与错位相减求和后放缩.例2.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 得通项公式；（2）证明：121112+++< na a a ．解析：（1）111==S a ，所以111=S a ，所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列，所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ，所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）；累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式，所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ．（2）121111112[]1223(1)+++=+++⨯⨯+ n a a a n n 111112(1)2231=-+-++-+ n n 12(1)21=-<+n ．注：111111().n n n n a a d a a ++=-，则：1223111111111......()n n n a a a a a a d a a ++⇒+++=-.可以看到，裂项后一定可以得到一个估计.例3．已知等比数列{}()n a n N*∈为递增数列，且236324,522==+aa a a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()42n nn b n N a *-=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：6n S <．解析：（1）由题意，()2251123111522a q a q a q a q a q⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11212a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122a q =⎧⎨=⎩，因为等比数列{}()n a n *∈N 为递增数列，所以122a q =⎧⎨=⎩，所以1222n nn a -=⨯=.（2）由（1）知数列{}n b 的前n 项和为：0111322212n n n S -=++-+ ①，112123212122223n n n n n S --=++-++ ②，两式相减可得：1112111112121232212312222211122212n n n n n n n n n S --⎛⎫=+⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+=+++-⎝-⎪⎭-- ，所以12362n n n S -+=-，又因为*n N ∈，所以12302n n -+>，所以123662n n n S -+=-<.类型3.先放缩通项再求和（公众号：凌晨讲数学）这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.1．常见的裂项公式：（公众号：凌晨讲数学）例如：n n n n n )1(11)1(12-<<+或者12112-+<<++n n nn n 等2.一个重要的指数恒等式：n 次方差公式123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 这样的话，可得：1)(-->-n nnab a b a ，就放缩出一个等比数列.3.糖水不等式：设0,0>>>c m n ，则cn cm n m ++<.下面来看上面这些基本的放缩结构的应用.例4.（2013年广东）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N .（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .解析：（2）当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n =+-⨯=,所以2n a n =.（公众号：凌晨讲数学）（3）当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<，综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<下面我们再看将通项放缩成等比（等差比数列）再求和完成放缩证明.例5.（2014全国2卷）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（1）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）证明：1231112na a a ++<…+.解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，又11322a +=，所以1{}2n a +是首项为32，公比为3的等比数列，1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=（2）由（1）知1231nn a =-，因为当1n ≥时，13123n n --≥⨯，所以1113123n n -≤-⨯于是12-112311-1111111313311-13332321-3n n n n a a a a ++++<++++==< （.所以123111132n a a a a ++++< .注：此处13123nn --≥⨯便是利用了重要的恒等式：n 次方差公式：123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 当然，利用糖水不等式亦可放缩：13133132-=<-n n n ，请读者自行尝试.类型4.基于递推结构的放缩1.nnn a a a +=+11型：取倒数加配方法.例6．（2021浙江卷）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A．100332S <<B．10034S <<C．100942S <<D．100952S <<解析：由211111124n n n a a a ++⎛⎫==+-⎪⎪⎭2111122n a +⎛⎫∴<++⎪⎪⎭12<根据累加法可得，11122n n -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++.一方面：252111)1(41002>⇒+-+>+>S n n n a n .另一方面113n n a n a n ++∴≤+，由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<．故选：A．2.二次递推型：r qa pa a n n n ++=+21.12121211+++++=-⇒+=-⇒++=n n n n n nn n n nn a a r pa a qa r pa qa a r qa pa a ，然后裂项即可完成放缩，我们以2015浙江卷为例予以说明.例7.（2015浙江卷）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的n 项和为n S ,证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.分析：=-⇒=-++n n n n n a a a a a 11121211[1,2]1n n n n n na a a a a a +==∈--，累加，则可证得.解析：（1）由题意得210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤.由11(1)n n n a a a --=-得1211(1)(1)...(1)0n n n a a a a a --=--->，由102n a <≤得211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤.（2）由题意得21n n n a a a +=-,所以11n n S a a +=-①,由1111n n n n a a a a ++-=和112n n a a +≤≤得11112n n a a +≤-≤所以11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②由①②得：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++.类型5.数列中的恒成立例8．已知数列{}n a 中，11a =，满足()*1221N n n a a n n +=+-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式240nn S λ⋅++>对任意正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.解析：(1)()()1211221n n a n a n ++++=++，所以{}21n a n ++是以12114a +⨯+=为首项，公比为2的等比数列，所以1121422n n n a n -+++=⨯=，所以1221n n a n +=--.(2)()()()231122325221n n n S a a a n +⎡⎤=+++=-+-++-+⎣⎦()()23122235721n n +=+++-+++++ ()()222212321122242n n n n n n +-++=--=---，若240nn S λ⋅++>对于*N n ∀∈恒成立，即22222440n n n n λ+⋅+---+>，可得22222nn n n λ+⋅>+-即2242nn n λ+>-对于任意正整数n 恒成立，所以2max242n n n λ⎡⎤+>-⎢⎥⎣⎦，令()242n nn n b +=-，则21132n n n n b b ++--=，所以1234b b b b <>>>⋯，可得()222max222422n b b +⨯==-=-，所以2λ>-，所以λ的取值范围为()2,-+∞.类型6.利用导数产生数列放缩1.由不等式1ln -≤x x 可得：+∈<+<+N n nn n ,1)11ln(11.例9.（2017全国3卷）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．解析：（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->，令112n x =+得11ln(1)22n n +<，从而221111111ln(1ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<.故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<,而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．2,.两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a b a a b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bL a b +≤≤（此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当a b =时，等号成立.进一步，在不等式左端结合均值不等式可得：当0b a >>时211ln ln b a b a a b->-+，即111ln ln ()2b a b a a b-<+-.令,1a n b n ==+，则111ln(1)ln ()21n n n n +-<++，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++①.(,)L a b<1ln ln ln 2ln (1)a ab x x x b x ⇔-⇔⇔<->其中，接下来令t =2>11(1)n ln n >+，1(n ln n+>②.例10．已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（1）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++ ，证明：21ln 24n n a a n-+>.解析：（1）综上可知，λ的最小值时12.（2）由上述不等式①，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++，111ln(2)ln(1)()212n n n n +-+<+++，111ln(3)ln(2)(223n n n n +-+<+++…，111ln 2ln(21)(2212n n n n--<+-.将以上各不等式左右两边相加得：1122221ln 2ln (2123212n n n n n n n n-<+++++++++- ，即111211ln 22123214n n n n n n<+++++++++- ，故11211ln 212324n n n n n +++++>+++ ，即21ln 24n n a a n-+>.例12．已知函数()ax x f x xe e =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设*n N ∈(1)ln n ++⋯+>+．1()n ln n+>，进一步求和可得：11231((...(1)12nnk k k n ln ln ln n k n==++>=⨯⨯⨯=+∑，...(1)ln n ++．。
放缩法技巧和经典例题讲解
放缩法技巧及经典例题讲解 一．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2）<>，11>n >=（3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++-- （4）=<=<=（5）若,,a b m R +∈，则,a a a a mb b m b b+><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+（7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-） （7）1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n nnnn n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （8）1⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== （9）)1(11)1(12-<<+k k k k k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211（10） 12112-+<<++k k k k k【经典回放】例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---, ()()()()321122111133n n S n a n n n -=------- 两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+--- 整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n+-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 例2：【经典例题】例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n（1） 求{}n a 的通项公式； （2） 若11111,1,1++-=-=-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ⋅的前n 项和31<n S 分析：（1）此时我们不妨设)(2)1(1B An a B n A a n n ++=++++即BA An a a n n +-+=+21与已知条件式比较系数得.0,1=-=B A )(2)1(1n a n a n n -=--∴+又}{,211n a a n -∴=-是首项为2，公比为2的等比数列。
几何难题放缩法的技巧(精华)
几何难题放缩法的技巧(精华)几何难题放缩法的技巧（精华）放缩法是解决几何难题的一种重要方法。
通过对几何形状的尺寸进行放大或缩小，我们可以获得有关其性质和关系的更多信息。
本文将介绍一些放缩法的技巧，帮助您更好地解决几何难题。
1. 比例放缩比例放缩是最基本的放缩法技巧之一。
当我们面对一个几何难题时，可以通过将图形的尺寸放大或缩小，以便更好地观察和推导出一些关键性质。
比例放缩时，要确保保持图形的比例关系不变，以免改变了图形的本质特征。
2. 相似性放缩相似性放缩是一种常用的放缩法技巧。
当两个几何形状相似时，它们的对应边长成比例，而放缩比例是相似性的比例因子。
通过相似性放缩，我们可以将一个复杂的几何图形转化为一个简单的相似图形，从而更容易理解和解决问题。
3. 引入等式放缩有时候，我们可以通过引入等式来进行放缩，从而简化几何难题的求解过程。
通过在几何形状中引入等式，我们可以得到新的性质和关系，进一步推导出解决问题所需的结论。
这种放缩法技巧需要一定的数学运算和推理能力，但能有效地帮助我们解决一些复杂的几何难题。
4. 利用特殊尺寸放缩有时候，特殊尺寸的放缩可以帮助我们更好地理解和解决几何难题。
例如，将一个正方形的边长放缩为1，可以将任何正方形的边长与1进行比较，从而得到有关其性质和关系的更多信息。
通过利用特殊尺寸的放缩，我们可以快速推导出一些结论，简化问题的求解过程。
总结：几何难题放缩法是一种简单且有效的解题策略。
通过比例放缩、相似性放缩、引入等式放缩和利用特殊尺寸放缩等技巧，我们可以更好地理解和解决几何问题。
在应用放缩法时，需要确保操作的合理性，并保持图形的比例关系。
放缩法可以帮助我们发现隐藏的性质和关系，推导出解决问题所需的结论。
希望本文的内容对您在解决几何难题时有所帮助。
放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结放缩法是一种在求解数学问题时经常使用的技巧之一、它主要是通过对问题进行放大或缩小，从而转换为更简单或更熟悉的形式来解决。
放缩法可以用于各种数学领域，如代数、几何和计算等。
在本文中，我将总结一些常用的放缩法技巧。
一、代数放缩法1.替换变量：通过替换变量，将原始问题转化为更容易求解的问题。
例如，可以通过令一些变量等于另一个变量的一些表达式来简化问题。
2.提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，可以简化计算过程。
3.移项：将方程中的项移动到一边，可以使问题更加清晰。
4.分式放缩：对于有分式形式的问题，可以通过放缩分母或分子来简化问题。
二、几何放缩法1.类比三角形：如果一个问题中涉及到一个复杂的三角形，可以通过找到类似形状但更简单的三角形来放缩问题。
2.重心放缩：对于一个几何体，可以通过移动几何体的重心来简化问题。
例如，在求解三角形面积时，可以通过将三角形平移到一个更简单的位置来计算。
3.缩放比例：通过按比例缩放一个几何体，可以简化问题。
例如，求解复杂图形的面积时，可以将图形按比例缩小到一个更易计算的大小。
三、计算放缩法1.近似计算：当遇到一个复杂的数学计算时，可以通过近似计算来简化问题。
例如，可以使用泰勒级数近似一个函数的值。
2.递归放缩：将一个复杂的计算问题分解为多个简单的计算问题，并将得到的结果组合起来。
例如，在求解一个复杂的积分时，可以将其拆分为多个简单的积分来计算。
3.迭代放缩：通过迭代计算的方式，逐步接近问题的解。
例如，在求解方程的根时，可以逐步逼近根的值。
四、实例分析以以下问题为例，展示放缩法在实际问题的应用。
假设有一个需要排队购买电影票的场景，共有n个人等待购票，每个人需要等待的时间为ti，求解n个人等待时间的平均值。
使用放缩法求解该问题的步骤如下:1. 将n个人的等待时间求和得到总的等待时间sum。
2. 将总的等待时间sum除以n，得到平均等待时间average。
通过放缩法求解，可以将原始问题转化为简单的求和和除法操作，从而简化了计算过程。
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巧用放缩法解题
放缩法是中学数学的常用解题技巧之一，特别适用于思维难度大，构造性强的题目，能全面而综合地考察学生的潜能和后续学习能力，本文归纳了运用放缩法解题的几种常见情况．
1．和三角形有关的放缩法
在和三角形有关的问题中，要用到三角形三个角的度数为正，且和为一个定值，再结合放缩法解题．
例1 已知锐角三角形的三个内角度数为A ，B ，C ，并且满足A>B>C ，用α表示A －B ，B －C 以及90°－A 中的最小者，则α的最大值是_______．
分析 因为，A ，B ，C 是锐角三角形的三个内角度数，所以，A －B ，B －C ，90°－A 都大于0，故α也大于0，且不超过上面三个式子的值．利用这一点对α进行放缩． 解
()()()
()23623906
2227036
2706
A B B C A A B B C A A B C αααα++=
-+-+-≤-+-+-=-++= 因为A ，B ，C ，是三角形的三个内角度数，所以，A ＋B ＋C ＝180，
所以原式≤270180901566
-==， 因此，α的最大值是15°．
小结 此题求的是“最小者”的最大值，充分体现了放缩法的灵活性，在解题过程中，利用了三角形的内角和为180°，以及它们的非负性，从而得到答案．
2．多个变量的放缩法
多变量的问题，由于变量较多且相互约束，学生解题时往往顾此失彼，感到难以入手，这类问题有时可以用放缩法解决．
例2 已知x ，y ，z 为3个非负数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若S ＝2x ＋y －z ，则S 的最大值与最小值的和为( )
(A)5 (B)234 (C)274 (D)354
分析 有多个未知数时，不可能对他们同时进行放缩，在这种情况下，一般先归结为1个未知数，再对这1个未知数放缩．
解 由已知，可得不定方程：
小结此题给了3个未知数，2个方程，本质上是一个不定方程组，可以用一个未知数表示其余2个未知数，从而把多个未知数的放缩归结为1个未知数的放缩．3．多重放缩法
有的问题不是一次放缩就能到位的，往往要经过多次放缩．在同一个题目中，这多次放缩的原理往往是类似的．
例3 求方程1115
6
x y z
++=的正整数解．
分析此题初看好像是一道解不定方程的题，有无数个解，但是，由于x，y，z都是正整数，限定了范围，利用放缩法，结合正整数的离散型，可以得到此题的有限个数的解．解因为x，y，z都是正整数，
同理，对y进行放缩，可得，3<y≤6．因为y是正整数，所以，y＝4或5或6，此时相应的x值不难求出．
当x＝3时，同理可求得，y＝3或4，z值亦可求．
综上，当1 <x≤y≤z时，（x，y，z）有4组解：
(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)
由于x，y，z在原方程中的地位平等，将上面x，y，z的取值可以调换，实际上原方程的解共有15组．
小结多元问题的解题途径一般是从整体考虑，化多元为一元．分层次对每一元进行放缩，通过多重放缩，将解的范围逐步缩小，最后利用正整数的离散性将解求出．。