用用放缩法证明与数列和有关的不等式
高中数学数列与不等式综合问题放缩法
数列与不等式综合问题一裂项放缩 放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。
常见裂项放缩技巧：例1 求证（1） 变式训练 [2016·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. 求数列{a n }的通项(1)公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. [2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1?a 1＋1?＋1a 2?a 2＋1?＋…＋1a n ?a n ＋1?<13. 二等比放缩（一般的，形如 的数列，求证都可以等比放缩）例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. 变式训练【2012.广东理】已知数列{a n }满足111221,1n n n s a a ++=-+=（1）求{a n }的通项公式2311111()21212121n n *++++<∈++++N 例求证：,n n n n n a a b a a b =-=-12111....nk a a a +++<231111+++......+12222n<（2）证明：对一切正整数n ，都有121113 (2)n a a a +++< 三伯努利不等式应用及推广 对任意的实数()()*1,11nx x nx n N >-+≥+∈有伯努利不等式 例：求证()1111+11+1....13521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭变式训练【2008，福建理】已知函数()()ln 1f x x x =+-（1）求f （x ）的单调区间（2）记f （x ）在[]()0,n n N ∈上的最小值是n b ，令()ln 1n n a x b =+-，求证1313211224242......1...n na a a a a a a a a a a a -+++< 伯努利不等式的推广对任意的实数，例，【2006，江西理】已知数列{a n }满足()11133,2221n n n na a a n a n --==≥+- （1）已知数列{a n }满足（2）证明：对于一切正整数n ，不等式123...2!n a a a a n <恒成立。
利用放缩法证明数列型不等式
1 n(n 1)
1 n
-
1 n1
Sn
(1 1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1) n1
1
1 n
1
1
小结:可求和先求和，先裂项后放缩。
（2）先放缩后裂项
变式1.已知数列an 的通项公式为an
1 n2
, 且an 的前n项和为Sn，
求证 : Sn 2.
解析: an
1 n2
1 n(n 1)
(n 2)
3 2
.
解析 : 3n
-
2n
(1
2)n
2n
1
C
1 n
2
C
2 n
22
C
n n
2n
2n
C
2 n
22
2n(n
1)
(n 3)
1
1
1 1 1
3n
- 2n
2n(n 1)
2
(n
1)
n
(n 3)
当n
1时 ，S1
1
3 2
当n
2时 ，S 2
1
1 5
3 2
当n
3时 ，Sn
1
1 5
1 2
(1 2
1) 3
1 2
1
3 2
当n
2时 ，Sn
1
1 31
1 32
1 33
1 3n1
1
(1
1 3n
1 1
)
3 2
(1
1 3n
)
3 2
3
小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩.
3.二项式定理放缩
运用放缩技巧证明有关数列前n项和的不等式
２
１
２ ｎ ］ １
）
…
，
，
每一项都小 ，
ｇ ／ ，
４
即证 明 ＞ ｌ ｎ （ １ ＋ ） 。 以下结合导数加以证明 ，
ｎ
：
旦一 （ １ 一 ） ＞ 一 ， 先做 必要 的放缩 ， 现
２ ３ ２ ２ ３
和 ，＿ ＿ ＞ ０ 的 ） 是增函数 ． ） ０ ） ＝ ０ 一 ｉ ｎ （ １ ＋ ０ ） ＝ ０ ， Ｅ — ｌ ｎ （ １ ＋ ） ＞ ０ ， ・ ． ・ — １ —Ｅ（ ０ ， ＋ ∞） ， ． ・ ． — １ —＞ Ｉ ｎ （ １ ＋ 不 ＝ Ｉ Ｉ 晋 一 ／ 。 ． ） ，
旦一 ＜ ＋ ＋ ． ． ． ＋
２ ３ 啦 ａ ３
成立。
‰ １
①÷ ②得 ： ％： —
、 ／ ２ （ ｎ 一 １ ） ＋ １
：
， （ ≥２ ） ，
、 ／ ２ ｎ 一 １
当ｎ ： １ 时， ０ ｌ ＝ ， 一 ，
ｌ
即
： ， （ Ｘ ／ — ２ （ ｎ － — １ ） ＋ １ 、 ／ 元
Ｉ ｎ
ｎ
（ ＋ １
分析： 把旦一 拆成小 于某数列ｎ 项和， 而数列
２ ｊ
： ｌ ｎ （ １ ＋ ） ， （ ｎ ＞２ ｉ ） ，
ｎ
的每一项都 比后面每一项小 。
・ 。
ｎ ． ＝ Ｓ ， ＝ ｌ ｎ ２ ， ． ・ ． ａ ｎ ＝ Ｉ ｎ （ １ ＋ — ＿） 上 ， （ ∈Ｎ木 ）
２ 一 １
２ （ ２ 一 １ ）
２ — ２
．
（ ＋ 】
２ Ｉ ＿１ —１ １
用放缩法证明数列中的不等式
用放缩法证明数列中的不等式数列的放缩法是一种通过递推关系以及寻找合适的不等式对数列进行估计的方法。
该方法在不失一般性的情况下，常常可以将原数列与一个已知数列进行比较，从而推导得出数列的性质。
本文将通过数学归纳法，对给定的数列进行放缩法证明，并给出详细推导过程。
假设我们有一个数列${a_n}$，其中$n \geq 1$。
我们要证明数列中的不等式，即要证明对于任意的$n \geq 1$，有$a_n \leq b_n$，其中${b_n}$是一个已知的数列。
我们将使用数学归纳法来证明这个结论。
首先，我们对$n=1$进行证明，即证明$a_1 \leq b_1$。
因为$n=1$是最小的情况，所以我们直接检验$a_1$和$b_1$的大小关系即可。
接下来，我们假设当$n=k$时，不等式$a_k \leq b_k$成立，即数列前$k$项满足不等式。
然后，我们要证明当$n=k+1$时，不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。
根据数列的递推关系，我们可以推导出数列前$k+1$项的关系式：$$a_{k+1}=f(a_k)$$其中$f(x)$是一个函数，表示数列的递推关系。
由于我们已经假设在$n=k$时$a_k \leq b_k$成立，因此我们可以得到：$$a_{k+1} = f(a_k) \leq f(b_k)$$这是因为$f$是一个单调递增的函数，所以不等式保持不变。
根据已知数列${b_n}$的性质，我们可以得到：$$f(b_k) \leq b_{k+1}$$这里的不等式是基于对已知数列的假设，即已知数列${b_n}$满足这个不等式。
综合以上的不等式关系$$a_{k+1} \leq f(b_k) \leq b_{k+1}$$因此，当$n=k+1$时不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。
根据数学归纳法原理，我们可以得出结论：对于任意的$n \geq 1$，数列${a_n}$满足不等式$a_n \leq b_n$。
例析赋值放缩法证明与函数有关的数列不等式
０ 。 ， … ② ・ ① 式 减 去 ② 式 并 （ ÷ ） ＋ ２ ・ （ ÷ ） ＋ ３ ・ （ ÷ ） ＋ … ＋ ｎ ・ （ ÷ ） ． 移项整理 ， 利 用 ０ ＜Ｘ ＇ ｎ ＋ ｐ＜ ≤１ ， 得 一Ｘ ｎ ＋ ｐ 用错位相减 法求得 ＝ ３ （ ÷ ） ， 则 ＝ ÷ 一
增． 由于 厂 ｎ （ １ ） ： １＋ １＋
１
＋
…
＞１ ｎ （ ｎ＋１ ）＋
＞０ ， 故， ｎ （ １ ）≥ ０ ．
（ ｎ 解
．
＼
（ １ ） ｂ＝口一１ ， ｃ＝１—２ ａ ．
（ 一 ＋ ＋ 塞
≤ 一 ÷＋
（ ２ ）由（ １ ） 知
） ：。 ＋
‘ ｎ
（ Ｉ ） 用。 表示 ６ ， ｃ ； （ ２ ） 若， （ ）≥ ｌ 眦在［ １ ，＋∞）上恒成立 ， 求 。的 取值范 围；
（ ３ ） 证明： １＋ １ ＋了 １＋… ＋
证 明 （Ｉ ）对每个 ｎ∈Ｎ＋ ， 当 ＞０时 （ ） ＝
；・
１ ＋ ÷＋ …＋ ＞ ０ ， 故 （ ） 在（ ０ ， ＋ 。 。 ） 内 单调递
＝ ・
一
解 ① 用 赋 值 法 求 得 ， （ ｎ ） ＝ （ ． ② 由 条 件 得
＋
（ ＜ ３ 臆
２ 利用 函数的单调性放缩后求和 。 证明不等式 例２ （ ２ ０ １ ３年安徽 理科 ２ ０ 题） 设 函数 （ ） ＝ 一１
＋ ＋ ＋ ＋‘ ＋… 一＋ ＋－ ７（ ∈ ∈Ｒ， ， ｎ∈Ｎ＋ ∈ Ｎ＋ ） ）， ， 证明 证 明： ： （Ｉ） ）
ｐ ｇ ） 且 １ ） ＝ 了 １
．
① 当 ｎ ∈ Ｎ＋时 ， 求 ｎ ）的表 达 式 ； ②设 ａ ＝
数列求和中常见放缩方法和技巧含答案
数列求和中常见放缩方法和技巧一、放缩法常见公式： （1)()()111112-<<+n n n n n（2）()12122112--=-+<+=<++n n n n n n n n n （3）()()211++<+<n n n n n （4）122+>n n（二项式定理）（5）1+>x e x，1ln -<x x （常见不等式）常见不等式： 1、均值不等式； 2、三角不等式； 3、糖水不等式； 4、柯西不等式； 5、绝对值不等式；若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例4. 已知n ∈N*，求n 2n131211＜…++++。
2==<=，则()()()11122123221n n n++<+-+-++--1<<例5. 已知*N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。
证明：因为n n n n =>+2)1(，所以2)1n (n n 21a n +=+++> ， 又2)1()1(+<+n n n n ， 所以2)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2n +=++++=++++++< ，综合知结论成立。
例6、求证：2222111171234n ++++< 证明：21111(1)1n n n n n<=--- 222221111*********1()().1232231424n n n n ∴++++<++-++-=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111nn n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于*N n ∈且3≥n 都有1)(+>n n n f 。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
放缩法是一种常见的证明数列不等式的策略，在数学竞赛和数学研究中被广泛应用。
放缩法的基本思想是通过对数列的放缩，得到一个和原数列有关的数列，然后通过比较这两个数列的性质来证明原数列的不等式性质。
放缩法可以分为两种情况：上界放缩和下界放缩。
上界放缩即找到一个比原数列大的数列，而下界放缩则是找到一个比原数列小的数列。
根据具体的问题和数列的性质，可以选择合适的放缩方法。
对于上界放缩，一种常见的方法是通过迭代构造一个比原数列大的数列。
假设原数列为a_n，我们希望找到一个数列b_n满足b_n > a_n。
可以通过递推的方式定义数列b_n，即b_1, b_2, b_3, \ldots。
首先选择b_1 > a_1作为初始条件，然后通过递推关系b_{n+1} = f(b_n)构造数列b_n。
递推关系f(b_n)的具体选择需要根据问题的要求和数列的性质来确定。
一般来说，递推关系应该满足b_{n+1} > a_{n+1}，即b_n比a_n要大。
放缩法的关键是构造合适的递推关系，具体的方法可以根据问题的要求来选择。
常见的递推关系有加减法、乘除法等。
证明数列不等式的关键在于比较两个数列的性质，可以通过数学归纳法、反证法、构造法等方式进行。
放缩法的优点是可以简化复杂的数列不等式问题，通过找到合适的放缩数列，可以将问题转化为更简单的形式，更容易证明。
放缩法也有一定的局限性，仅适用于一些特定的问题和数列。
常见的不等式的放缩方法
常见的不等式的放缩方法天门中学高三数学组一、先求和再放缩类型1、设数列{}n a 的前n 项的和为，n S 42n n a n=-，设2n n n T S =，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明：132nii T =<∑解: 由得S n = 4n 2nna =-23×(2n+1－1)(2n－1) T n = ⇒2n S n= 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)，所以, = 1ni =∑i T 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 322、已知2113,12n n n a a a a +==-+，求证：20101112k ka =<<∑。
证明：2112737(1)0,,416n n n n n a a a a a a a ++-=->⇒>==>321 ⇒ 当时，，3n ≥2n a >13(1)113n n n n n a a a a a a n n +=-+>+⇒>+-=-()20112011120100,11a a ⇒>⇒∈-21111111(1)11n n n n n n n n a a a a a a a a +++=-+⇒-=-⇒=---1na ()20101112011201111111112111111k n n n ka a a a a a a =+⇒=-⇒=-=-∈-----∑,2 二、先放缩为等比数列再求和类型1、设，证明：n N +∈11nni i e n e =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑ 证明：()ln(1)1x x x +≤<- 111111ln 1ln 1111nnnn n ii i i i i i i i i i e e e n n n n n e --+∞--===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫i -∴-≤-⇒-≤-⇒-≤⇒-<<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11111nni i e n e e =⎛⎫⇒<+=⎪--⎝⎭∑2、已知：113443n n n a k k --⋅=⋅+-，当13k <<时，求证：138nii n k a k =->∑。
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用放缩法证明与数列和有关的不等
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩
例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=
n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2
1
<n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：
12
12224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正
数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得
11=a ，所以12-=n a n
（2）)1
21
121(21)12)(12(111+--=+-==
+n n n n a a b n n n ，所以 2
1)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=
n n n B n 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件
()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．
二．先放缩再求和
1．放缩后成等差数列，再求和
例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
2n
n n a a S +=. (1) 求证：22
14
n n n a a S ++<；
(2)
<⋅⋅⋅+< 解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条
件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得
0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=
所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)
2
n n n S +=
所以4
2)1(212)1(2
1
2
22++=++•<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以
2
1
2)1(2
+<
+<
n n n n ，所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 2
1
2322++++<n 2
12
2312-=
+=+n S n n ；2
2
2)1(2
2
22
121n n S n n n S S S =
+=
+
++
>
++
2．放缩后成等比数列，再求和
例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；
（2）等比数列{a n }中，11
2
a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设
n
n n a a b -=12
，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．
解：（1）当n 为奇数时，a n ≥a ，于是，n n n n n a a a a a a ⋅+≥+=--)1()1()(2． 当n 为偶数时，a －1≥1，且a n ≥a 2，于是
n n n n n n n a a a a a a a a a a a ⋅+≥⋅-+=⋅-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22．
（2）∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比981
2
a q a =
=-． ∴n n a )2
1
(-=． n
n n n
n n b 231
)2(41)2
1(141⋅≤
--=
--=
． ∴n n b b b B ++=2131)211(312
11)
211(213123123123122<-=--⋅
=⋅++⋅+⋅≤n n ． 3．放缩后为差比数列，再求和
例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()2
1(1 =+=+n a n
a n n n ．求证：
1
121
3-++-
≥>n n n n a a 证明：因为n n
n a n
a )2
1(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=
-+n n
n n a n
a a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：1212
1
2221--+++≥-n n n a a ．
令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2
1
22212132-+++= ，两式相减得：
n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以12
13-+-≥n n n a ， 故得112
1
3-++-≥>n n n n a a ．
4．放缩后为裂项相消，再求和
例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n
n n n n a a
a a
b 11+++=
，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,…. 解（1）由已知得15,1054==a a ，2
)
1(12)1(+=
+++-+=n n n n a n . （2）因为 ,2,1,22
222211==+⋅+>+++=+=
++n n
n n n n n n n a a a a b n n n n n ， 所以n b b b n 221>+++ .
又因为 ,2,1,2
22222=+-+=+++=
n n n n n n n b n ， 所以)]2
1
1()4121()3111[(2221+-
++-+-+=+++n n n b b b n =32221232+<+-+-
+n n n n . 综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n . 注：常用放缩的结论：（1）
)2(1
11)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k k
k k k k k k k k
（2）．)2)(11
1(
21
211
2)1
11(
2≥-
-=-+<
<
++=
+-
k k
k k k k
k k k k
在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论
2
232n n +、
2
2)1(+n n 为等差数列求和结果的类型，则
把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论31
)2
11(31<-n 为等比
数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的
结论12
1
3-+-n n 为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即
可；如例5要证明的结论2
2
1232+-
+-+n n n 为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．
虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口．。