用放缩法证明数列(微专题)
全国高考数学复习微专题：放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧 1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ） （2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和： 若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： ① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=⋅，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数） ② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=≠-，n n a k q =⋅（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差⨯等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
用放缩法证明数列中的不等式
用放缩法证明数列中的不等式数列的放缩法是一种通过递推关系以及寻找合适的不等式对数列进行估计的方法。
该方法在不失一般性的情况下，常常可以将原数列与一个已知数列进行比较，从而推导得出数列的性质。
本文将通过数学归纳法，对给定的数列进行放缩法证明，并给出详细推导过程。
假设我们有一个数列${a_n}$，其中$n \geq 1$。
我们要证明数列中的不等式，即要证明对于任意的$n \geq 1$，有$a_n \leq b_n$，其中${b_n}$是一个已知的数列。
我们将使用数学归纳法来证明这个结论。
首先，我们对$n=1$进行证明，即证明$a_1 \leq b_1$。
因为$n=1$是最小的情况，所以我们直接检验$a_1$和$b_1$的大小关系即可。
接下来，我们假设当$n=k$时，不等式$a_k \leq b_k$成立，即数列前$k$项满足不等式。
然后，我们要证明当$n=k+1$时，不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。
根据数列的递推关系，我们可以推导出数列前$k+1$项的关系式：$$a_{k+1}=f(a_k)$$其中$f(x)$是一个函数，表示数列的递推关系。
由于我们已经假设在$n=k$时$a_k \leq b_k$成立，因此我们可以得到：$$a_{k+1} = f(a_k) \leq f(b_k)$$这是因为$f$是一个单调递增的函数，所以不等式保持不变。
根据已知数列${b_n}$的性质，我们可以得到：$$f(b_k) \leq b_{k+1}$$这里的不等式是基于对已知数列的假设，即已知数列${b_n}$满足这个不等式。
综合以上的不等式关系$$a_{k+1} \leq f(b_k) \leq b_{k+1}$$因此，当$n=k+1$时不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。
根据数学归纳法原理，我们可以得出结论：对于任意的$n \geq 1$，数列${a_n}$满足不等式$a_n \leq b_n$。
高中数学解题技巧数列放缩
n n n ,所以 ∑n4 ⎛ 1 1 ⎫ = 2 - ⎪ k 2 < 1 + 2 - +Λ + - ⎪ < 1 + (7) 2( n + 1 - n ) < 1 < 2( n - n - 1) (8) ⎛ 22n + 3 ⎭ 2n = n(9)1 ⎛ ⎫ - n 1 1n(n - 1)(n + 1) n(n - 1) n(n + 1) ⎭ n + 1 - n - 1⎛ ⎫= i 2 - j 2(i - j)( i 2 + 1 +j + 1)2数列放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例 1.(1)求 ∑k =12 4k 2 - 1 的值; (2)求证: ∑ 1 < 5 .k 2 3k =1解析:(1)因为2 4n 2 - 1 = 2 1 1 = - (2n - 1)(2n + 1) 2n - 1 2n + 1 ,所以 ∑ k =12 1 2n= 1 - = 4k 2 - 1 2n + 1 2n + 1(2)因为 1n 2<1n 2 -= 1 4n 2 - 1 ⎝ 2n - 1 2n + 1⎭ k =141 ⎛ 1 1 1 1 ⎫ 25⎝ 3 5 2n - 1 2n + 1 ⎭ 3 3=奇巧积累:(1) 14 4 ⎛1 1 ⎫ n2 4n 2 4n 2 - 1 ⎝ 2n - 1 2n + 1⎭= < = 2 - ⎪(2) 1 2 1 1= = -C 1 C 2 (n + 1)n(n - 1) n(n - 1) n(n + 1)n +1 n(3)T r +1= C r ⋅ n1 n! 1 1 1 1 1= ⋅ < < = - (r ≥ 2)n r r!(n - r)! n r r! r(r - 1) r - 1 r(4) (1 + 1 ) n < 1 + 1 + 1 + 1 + Λ +n2 ⨯ 13 ⨯ 21 5<n (n - 1) 2(5)1 11=-2 n (2 n - 1)2 n - 1 2 n(6)1n + 2< n + 2 - n1 ⎫ 1 ⎪⋅ ⎝ 2n + 1= + ⎪ , = - ⎪k (n + 1 - k ) ⎝ n + 1 - k k ⎭ n + 1 n (n + 1 + k ) k + 1 ⎝ n n + 1 + k ⎭1 1 - (2n + 1) ⋅ 2n -1 (2n + 3) ⋅ 2n(10) (11)= -(n + 1) ! n ! (n + 1) !1 n < 2( 2n + 1 - 2n - 1) =2 2 2n + 1 + 2n - 1 =n +21 1 + n -2 2(11) 2n 2n 2n 2n -1 1 1= < = = -(2n - 1)2 (2n - 1)(2n - 1) (2n - 1)(2n - 2) (2n - 1)(2n -1 - 1) 2n -1 - 1 2n - 1(n ≥ 2)(12)1n 3 = 1n ⋅ n 2 < 1 1 1 1 = - ⎪⋅ ⎝⎪⎛ 1 = - ⎝ n - 1 1 ⎫ n + 1 + n - 1 ⎪⋅n + 1 ⎭ 2 n< 1 1 - n - 1 n + 1(13)2n +1 = 2 ⋅ 2n = (3 - 1) ⋅ 2n > 3 ⇒ 3(2n - 1) > 2n ⇒ 2n - 1 > 2n 1 2n ⇒ <3 2n - 1 3(14) k + 2 1 1= -k!+(k + 1)! + (k + 2)! (k + 1) ! (k + 2) !(15) 1n (n + 1)< n - n - 1(n ≥ 2)(15)i 2 + 1 -j 2 + 1 i - j=i + ji 2 + 1 + j 2 + 1 < 1例 2.(1)求证:1 + 1 + 1 + Λ +32521 7 1> - (n ≥ 2) (2n - 1) 2 6 2(2n - 1)1 / 24(2n -1)2 (2n - 1)(2n + 1) n 2 + 2 + 例 3.求证:6n1 1 1 5 n2 - 1 < 1 + 2 - +Λ + - ⎪ < 1 + = n n 6n,当 n = 1 时, 6n1 1 1 ,所以综上有1< 1 . a.设 b ∈ (a ， ，整数解析:由数学归纳法可以证明{a }是递增数列,故存在正整数 m ≤ k ,使 a ≥b ,则(2)求证: 1 + 1 + 1 + Λ + 1 < 1 - 14 16 36 4n 2 2 4n(3)求证: 1 + 1⋅ 3 + 1⋅ 3 ⋅ 5 + Λ + 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅Λ ⋅ (2n - 1) <2n + 1 - 12 2 ⋅ 4 2 ⋅ 4 ⋅ 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅Λ ⋅ 2n(4) 求证： 2( n + 1 - 1) < 1 + 1 + 12 3 +Λ + 1< 2( 2n + 1 - 1)n解析:(1)因为1 1 1 ⎛ 1 1 ⎫,所以> = - ⎪2 ⎝ 2n - 1 2n + 1⎭∑ 1 (2i -1) i =12 1 1 1 1 1 1 > 1 + ( - ) > 1 + ( - )2 3 2n + 1 2 3 2n -1(2) 1 + 1 + 1 + Λ + 1 = 1 (1 + 1 + Λ + 1 ) < 1 (1 + 1 - 1 )4 16 364n 24 2 2 n 2 4 n(3)先运用分式放缩法证明出 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅Λ ⋅ (2n - 1)2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅Λ ⋅ 2n< 1 2n + 1 ,再结合 1n + 2 < n + 2 - n进行裂项 ,最后就可以得到答案(4)首先 1n > 2( n + 1 - n ) =2n + 1 + n,所以容易经过裂项得到2( n + 1 - 1) < 1 + 1 1 3 +Λ +1n再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以1 n < 2( 2n + 1 - 2n -1) =2 2 2n + 1 + 2n -1 = n + 21 1+ n -2 21 + 1 1 3 +Λ + 1 n < 2( 2n + 1 - 1)≤ 1 + + +Λ + <(n + 1)(2n + 1) 4 9 n 2 3解析:一方面:因为 ,所以1 1 4 ⎛ 11 ⎫ < = =2 - ⎪ n 2 4n 2 - 1 ⎝ 2n - 1 2n + 1⎭4∑ 1k 2 k =1⎛ 1 1 1 1 ⎫ 2 5⎝ 3 5 2n - 1 2n + 1 ⎭ 3 3另一方面:1 + 1 + 1+ Λ + 1 > 1 + 1 + 1 + Λ +4 9n 22 ⨯3 3 ⨯ 41 1 n= 1 - =n (n + 1) n + 1 n + 1当 n ≥ 3 时, >n + 1 (n + 1)(2n + 1)6n 1 1 1 = 1 + + +Λ + (n + 1)(2n + 1) 4 9 n 2 ,当 n = 2 时,< 1 + + +Λ +(n + 1)(2n + 1) 4 9 n 26n 1 1 1 5≤ 1 + + +Λ + <(n + 1)(2n + 1) 4 9 n 2 3例 4.(2008 年全国一卷 ) 设函数 f ( x) = x - x ln x .数列 {a }满足 0 < a nk ≥ a 1 - b .证明: a> b .k +1a lnb 1n +1 = f (a ) n1nmak +1> a ≥ b ,否则若 a < b (m ≤ k ) ,则由 0 < a ≤ a < b < 1 知k m 1 m2 / 24= a - a ln a = a - ∑ a ln a k ∑[k∑[k- (k - 1)m +1] < (m + 1)∑ k m < (n + 1)m +1 - 1 = (n + 1)m +1 - n m +1 + n m +1 - (n - 1)m +1 + Λ + 2m +1 -1m +1 = ∑[(k + 1) [km +1- (k - 1)m +1] < (m + 1)∑ k m< ∑[(k + 1)n2 1 - 4 1 - 2 34 (4n - 1) + 2(1 - 2n ) - + 2 - 2n +1 + - 2n +1 = 3 - T + T + T +Λ + T = 3 ⎛ 2 ⎝ 3 3 7 2n - 1 例 7.已知 x = 1,n ⎩n - 1(n = 2k, k ∈ Z ) +Λ + ln 3n 1 1 2 3n + 1 +Λ + 1⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 > + + ⎪+ + ⎪ + Λ + ⎪⎪ = 6 ⎝ 6 9 ⎭ ⎝ 18 27 ⎭ ⎝ 2 ⋅ 3n -1 3n ⎭⎛ 3n -1a m ln a m ≤ a 1 ln a m < a 1 lnb < 0 , a k +1k k k 1 m k m ,因为 ∑ a ln a < k (a ln b ) , m m 1m =1m =1于是 ak +1> a + k | a ln b |≥ a + (b - a ) = b1 1 1 1例 5.已知 n , m ∈ N , x > -1, S = 1m + 2m + 3m + Λ + n m ,求证: n m +1 < (m + 1)S < (n + 1)m +1 - 1 .+mn解析:首先可以证明: (1 + x)n ≥ 1 + nxnm +1= nm +1- (n - 1)m +1+ (n - 1)m +1- (n - 2)m +1+ Λ + 1m +1- 0 =nm +1- (k - 1)m +1]所以要证k =1n m +1 < (m + 1)S < (n + 1)m +1 - 1 只要证:nnk =1m +1n n k =1k =1m +1- k m +1]故只要证 ∑n nm +1 - k m +1],即等价于k =1k =1k =1k m +1 - (k - 1)m +1 < (m + 1)k m < (k + 1)m +1 - k m ,即等价于1 + m + 1 < (1 + 1 )m +1,1 - m + 1 < (1 - 1 )m +1k k k k而正是成立的,所以原命题成立.例 6.已知 a = 4n - 2n ,nT =n2na + a +Λ + a1 2n,求证:T + T + T + Λ + T < 3 . 1 2 3 n解析:T = 41 + 42 + 43 + Λ + 4n - (21 + 22 + Λ + 2n ) = 4(1 - 4n ) - 2(1 - 2n ) = 4 (4n - 1) + 2(1 - 2n )n所以T = n 2n 2n 2n 3 ⋅ 2n 3 2n= = = = ⋅ 4n +1 4 4n +1 2 4n +1 - 3 ⋅ 2n +1 + 2 2 2 ⋅ (2n )2 - 3 ⋅ 2n + 13 3 3 3 32n 3 ⎛ 1 1 ⎫ ⋅ = ⎪ 2 (2 ⋅ 2n - 1)(2n - 1) 2 ⎝ 2n - 1 2n +1 - 1⎭从而 1 2 3 n 1 1 1 1 1 - + - +Λ + - 1 ⎫ 3 ⎪< 2n +1 - 1 ⎭ 21⎧n(n = 2k - 1, k ∈ Z ) ,求证: x = ⎨ 4 1 x ⋅ x 2 3+ 4 1x ⋅ x 4 5+Λ + 1 4 x x2n 2n +1> 2( n + 1 - 1)(n ∈ N *)证明:4 1 x x 2n2n +1= 4 1 (2n - 1)(2n + 1) = 1 4 4n 2 - 1 > 1 4 4n 2= 1 2 ⋅ n=2 2 n ,因为 2 n < n + n + 1 ,所以4 1 x x 2n 2n +1> 2 2 n > 2 n + n + 1 = 2( n + 1 - n ) 所以4 二、函数放缩1 x ⋅ x23 + 14 x ⋅ x 45 +Λ + 14 x x 2n 2n +1 > 2( n + 1 - 1)(n ∈ N *)例 8.求证： ln 2 + ln 3 + ln 4 + Λ + ln 3n < 3n - 5n + 6 (n ∈ N * ) .23 4 3n6解析:先构造函数有 ln x ≤ x -1 ⇒ ln x ≤ 1 - 1 ,从而 ln 2 + ln 3 + ln 4x x 2 3 4< 3n - 1 - ( + +Λ + 3 3n1)因为 1 2 31 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 = + ⎪+ + + + + + ⎪ +Λ + 3n ⎝23 ⎭ ⎝456789 ⎭ ⎝ 2n + 1 1 ⎫+Λ + ⎪2n + 1 3n ⎭5 ⎛ 3 3 ⎫ ⎛ 9 9 ⎫3n -1 ⎫ 5n + 63 / 24⎰ 1 ,从而, 1 ⋅ i < ⎰ 1 = ln x | xnx E 取 i = 1有, 1< ln n - ln(n -1) ,nOA ⎰ 1 ,从而有 1 取 i = 1有, 1 ⋅ i > ⎰ = ln x |n = ln n - ln(n - i) 1 ,所以综上有 1 +Λ + 1(1 + 1 )(1 + ) ⋅Λ ⋅ (1 + 1 ) < e 和1 2! 3! n! 9 例 13.证明: ln 22 - x ,令 ,所以 ln 2所以 ln 2 + ln 3 + ln 4 + Λ + ln 3n < 3n - 1 - 5n = 3n - 5n + 62343n66例 9.求证:(1)α ≥ 2, ln 2α + ln 3α + Λ + ln n α < 2n 2 - n - 1 (n ≥ 2)2α3α n α 2(n + 1)解析:构造函数f (x) =ln x x,得到 ln n n αα ≤ln n 2 n 2,再进行裂项 ln n 2 ≤ 1 - 1 < 1 -n 2 n 21 ,求和后可以得到答案n(n + 1)函数构造形式: ln x ≤ x -1 , ln n α ≤ n α - 1(α ≥ 2)例 10.求证: 1 + 1 + Λ + 1 < ln(n + 1) < 1 + 1 + Λ + 12 3n + 1 2 n解析:提示: ln(n + 1) = ln n + 1 ⋅ n ⋅Λ ⋅ 2 = ln n + 1 + ln n + Λ + ln 2n n - 1 1 n n - 1函数构造形式:ln x < x, ln x > 1 -1x当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数f (x) = 1 ,x首先:nn S<n = ln n - ln(n - i)ABCFn -in -in -iyFn-in D C Bx所以有 12 < ln 2, 1 < ln 3 - ln 2 ,…, 1 < ln n - ln(n -1) ,3 n1 n + 1< ln(n + 1) - ln n , 相 加 后 可 以 得 到 :1 1 1 + +Λ + < ln(n + 1)23 n + 1另一方面SABDE> n n -ix所以有ln(n +1) < 1+ 1 +Λ + + 1 2 n 2 31 1 < ln(n + 1) < 1 + +Λ +n + 1 2 n例 11.求证: 1 (1 + )(1 + 1 1) ⋅Λ ⋅ (1 + 81 32n) < e .解析:构造函数后即可证明例 12.求证: (1 + 1⨯ 2) ⋅ (1 + 2 ⨯ 3) ⋅Λ ⋅ [1 + n(n + 1)] > e 2n -3解析:ln[n(n + 1) + 1] > 2 -3n(n + 1) + 1,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:ln(x + 1) > 2 -3 1 + ln(1 + x) 3 (x > 0) ⇔ > (x > 0)x + 1 x x + 1(加强命题)+ ln 3 + ln 4 3 4 5 +Λ + ln n n (n -1)< (n ∈ N *,n > 1) n + 1 4解析:构造函数 f (x) = ln(x - 1) - (x - 1) + 1(x > 1) ,求导,可以得到:f '(x) = 1-1 =x -1 x -1f ' ( x ) > 0 有1 < x < 2 ,令 f ' ( x ) < 0 有 x > 2 ,所以 f ( x ) ≤ f (2) = 0 ,所以 ln(x - 1) ≤ x - 2 ,令 x = n 2 + 1 有, ln n 2 ≤ n 2 - 1所以ln n n +1 ≤n -12+ ln 3 + ln 4 3 4 5 +Λ + ln n n(n -1) < (n ∈ N *,n > 1) n + 1 44 / 242n n (n +1) 2 n (n +1) 2 nn ln a < ln(1 +1+ 1) + ln a≤ (1+ 1 n 2 + n 2n≤ ln(1 + 1 ≤ ln a + 1 。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
浅析用放缩法证明数列不等式的策略用放缩法证明数列不等式的策略是一种常用的证明方法，它主要通过找到合适的变量放缩原来的数列不等式，从而得到更为简单的不等式，进而完成证明。
该策略的主要步骤如下：第一步：观察被证明的数列不等式，找出其中的特点和规律。
这个步骤是理解问题的基础，只有通过深入了解数列的特性才能找到合适的放缩变量。
第二步：寻找合适的放缩变量。
放缩变量应该满足以下条件：一是能够保留原始不等式的特点和规律，二是能够得到更为简单的不等式。
第三步：通过放缩变量重新构建不等式。
根据放缩变量的特点，将原始不等式进行变形，得到新的不等式。
第四步：证明新的不等式。
根据新的不等式的特点，运用已有的数学方法和技巧进行证明，例如数学归纳法、数学推理等。
第五步：逆向放缩。
将新的不等式通过放缩变量逆向还原成原来的不等式，从而完成整个证明过程。
在实际应用中，这个策略可能需要结合具体情况进行灵活运用。
以下是一个具体的例子，用该策略来证明一个数列的递推公式。
例：证明数列{an}满足递推公式an = an-1 + 2n - 1。
第一步：观察数列的特点和规律，发现相邻项之间的差值是随着项数n增加而变化的。
第二步：找到合适的放缩变量，我们可以设定bn = an - n^2，则bn可以看作是相邻项之间的差值。
第三步：根据放缩变量重新构建不等式，我们有bn = (an - 1 - (n - 1)^2) + 2n - 1。
其中(n - 1)^2可以展开得到n^2 - 2n + 1。
第四步：证明新的不等式，我们可以证明bn = 2n，这可以通过计算得到。
第五步：逆向放缩，将新的不等式通过放缩变量逆向还原成原来的不等式，即an -n^2 = 2n，化简得到an = an - 1 + 2n - 1。
通过这样的放缩法证明，我们可以得到数列的递推公式，并成功证明了该数列的性质。
这个例子展示了放缩法证明数列不等式的策略，说明了放缩变量的重要性和放缩的过程。
用放缩法证明数列中的不等式
思路二 将通项放得比变式1更小一点. 保留第一项，
从第二项开
1 n2
1 n2 1
1( 1 2 n 1
1) n 1
(n
2)
始放缩
左边
1
1 2
(1
1) 3
(
1 2
1) 4
(
1 n
1
n
1 1)
1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 (1 1) 7 (n 2)
2 2 n n1
2 24
当n = 1时，不等式显然也成立.
1 2
(
1 2
1) (1 43
1) 5
(
1 n 1
n 1 1)
1 1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 1 (1 1) 5 (n 3)
4 2 2 3 n n 1
4 22 3 3
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
变式3
求证：1
1 22
1 32
1 n2
5 3
(n N)
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
例3 (2009珠海二模理20第(2)问)
求S 1 1 1 1 的整数部分.
23
100
分析 不能直接求和式 S ，须将通项 1 放缩为裂项相消模型后求和。 n
思路 为了确定S的整数部分，必须将S的值放缩在相邻的两个
整数之间.
2( n 1
n)
2 n 1
1 2 n n 2n
2
2( n n 1)
用放缩法证明 数列中的不等式
张家界市第一中学 高三数学组
放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点 点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头 绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！
数列放缩法技巧全总结
数列放缩法技巧全总结引言数列放缩法是解决数学问题中常用的一种技巧。
通过将数列进行放缩，可以使得原问题更易于解决，或者得到更加精确的结果。
本文将介绍数列放缩法的基本概念和常用技巧，并通过一些例子来说明其应用。
基本概念在使用数列放缩法解决问题时，我们需要理解以下几个基本概念：1. 数列放缩数列放缩是指通过对数列中的每一项进行适当的操作，使得数列满足一些特定的性质。
常用的数列放缩操作包括：乘法放缩、加法放缩和取对数放缩等。
2. 性质保持数列放缩后，原数列的一些性质可能得以保持，例如单调性、有界性等。
这样可以为问题的解决提供一些有用的线索。
3. 题目转化数列放缩还可以将原问题转化为一个更容易解决的形式。
通过变换数列中的项，我们可以得到一个新的数列，从而将原问题转化为对新数列进行分析的问题。
常用技巧1. 乘法放缩乘法放缩是数列放缩中最常用的技巧之一。
通过乘以一个适当的常数，可以使得数列中的项满足某种性质，比如有界性或单调性。
以下是一些常见的乘法放缩技巧：•将数列中的项全部乘以一个常数。
这可以用来放缩数列中的每一项，使得它们满足某种条件，例如有界性。
比如，对于一个递增的数列a n，我们可以将每一项乘以2，得到一个递增且更大的数列2a n。
•对数列中的每一项都乘以一个缩放因子，使得数列中的项的比较关系得以保持。
这种放缩常用于解决含有不等式的问题。
比如，对于一个递减的数列a n，我们可以将每一项都乘以−1，得到一个递增的数列−a n。
•利用数列放缩的特性进行条件的放缩。
比如，对于一个不等式问题，我们可以将不等式两边都乘以一个常数，使得问题更易解决。
2. 加法放缩加法放缩是利用数列的加法、减法性质进行放缩的一种技巧。
通过对数列中的项进行加减操作，可以得到一个新的数列，从而顺利解决问题。
以下是一些常见的加法放缩技巧：•利用数列之间的加减关系进行放缩。
比如，对于一个递增的数列a n，我们可以构造一个新的递增数列b n=a n+1−a n，从而将问题转化为分析数列b n的性质的问题。
解决数列放缩问题的六大技巧
解决数列放缩问题的六大技巧本篇主要目标是聚焦于数列放缩，常见的方法有六种，具体我将在文中以实例详细说明.类型1.利用单调性放缩例1．已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+（1）设12n n b a =+，证明：{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）证明：12211113nb b b ≤+++< ．解析：（1）∵131n n a a +=+，则111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即13n n b b +=，又∵111322b a =+=，所以{}n b 是首项为32，公比为3的等比数列，∴32n n b =，故{}n b 的通项公式为32nn b =.（2）由（1）知123n n b =，即1n b ⎧⎫⎨⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列，∴121221133111222111333313nnnn b b b ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++=+++==- ⎪⎝⎭- ，又∵数列113n⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递增，∴11111133n⎛⎫⎛⎫-≤-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12211113nb b b ≤+++< .类型2.先求和再放缩先求和再放松实质上是一类很常见的题目，这类放缩实质在考察数列求和，放缩的结果也很松，下面通过两个例子简单说明即可，分别是利用裂项相消求和与错位相减求和后放缩.例2.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 得通项公式；（2）证明：121112+++< na a a ．解析：（1）111==S a ，所以111=S a ，所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列，所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ，所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）；累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式，所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ．（2）121111112[]1223(1)+++=+++⨯⨯+ n a a a n n 111112(1)2231=-+-++-+ n n 12(1)21=-<+n ．注：111111().n n n n a a d a a ++=-，则：1223111111111......()n n n a a a a a a d a a ++⇒+++=-.可以看到，裂项后一定可以得到一个估计.例3．已知等比数列{}()n a n N*∈为递增数列，且236324,522==+aa a a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()42n nn b n N a *-=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：6n S <．解析：（1）由题意，()2251123111522a q a q a q a q a q⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11212a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122a q =⎧⎨=⎩，因为等比数列{}()n a n *∈N 为递增数列，所以122a q =⎧⎨=⎩，所以1222n nn a -=⨯=.（2）由（1）知数列{}n b 的前n 项和为：0111322212n n n S -=++-+ ①，112123212122223n n n n n S --=++-++ ②，两式相减可得：1112111112121232212312222211122212n n n n n n n n n S --⎛⎫=+⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+=+++-⎝-⎪⎭-- ，所以12362n n n S -+=-，又因为*n N ∈，所以12302n n -+>，所以123662n n n S -+=-<.类型3.先放缩通项再求和（公众号：凌晨讲数学）这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.1．常见的裂项公式：（公众号：凌晨讲数学）例如：n n n n n )1(11)1(12-<<+或者12112-+<<++n n nn n 等2.一个重要的指数恒等式：n 次方差公式123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 这样的话，可得：1)(-->-n nnab a b a ，就放缩出一个等比数列.3.糖水不等式：设0,0>>>c m n ，则cn cm n m ++<.下面来看上面这些基本的放缩结构的应用.例4.（2013年广东）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N .（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .解析：（2）当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n =+-⨯=,所以2n a n =.（公众号：凌晨讲数学）（3）当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<，综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<下面我们再看将通项放缩成等比（等差比数列）再求和完成放缩证明.例5.（2014全国2卷）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（1）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）证明：1231112na a a ++<…+.解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，又11322a +=，所以1{}2n a +是首项为32，公比为3的等比数列，1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=（2）由（1）知1231nn a =-，因为当1n ≥时，13123n n --≥⨯，所以1113123n n -≤-⨯于是12-112311-1111111313311-13332321-3n n n n a a a a ++++<++++==< （.所以123111132n a a a a ++++< .注：此处13123nn --≥⨯便是利用了重要的恒等式：n 次方差公式：123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 当然，利用糖水不等式亦可放缩：13133132-=<-n n n ，请读者自行尝试.类型4.基于递推结构的放缩1.nnn a a a +=+11型：取倒数加配方法.例6．（2021浙江卷）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A．100332S <<B．10034S <<C．100942S <<D．100952S <<解析：由211111124n n n a a a ++⎛⎫==+-⎪⎪⎭2111122n a +⎛⎫∴<++⎪⎪⎭12<根据累加法可得，11122n n -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++.一方面：252111)1(41002>⇒+-+>+>S n n n a n .另一方面113n n a n a n ++∴≤+，由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<．故选：A．2.二次递推型：r qa pa a n n n ++=+21.12121211+++++=-⇒+=-⇒++=n n n n n nn n n nn a a r pa a qa r pa qa a r qa pa a ，然后裂项即可完成放缩，我们以2015浙江卷为例予以说明.例7.（2015浙江卷）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的n 项和为n S ,证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.分析：=-⇒=-++n n n n n a a a a a 11121211[1,2]1n n n n n na a a a a a +==∈--，累加，则可证得.解析：（1）由题意得210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤.由11(1)n n n a a a --=-得1211(1)(1)...(1)0n n n a a a a a --=--->，由102n a <≤得211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤.（2）由题意得21n n n a a a +=-,所以11n n S a a +=-①,由1111n n n n a a a a ++-=和112n n a a +≤≤得11112n n a a +≤-≤所以11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②由①②得：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++.类型5.数列中的恒成立例8．已知数列{}n a 中，11a =，满足()*1221N n n a a n n +=+-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式240nn S λ⋅++>对任意正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.解析：(1)()()1211221n n a n a n ++++=++，所以{}21n a n ++是以12114a +⨯+=为首项，公比为2的等比数列，所以1121422n n n a n -+++=⨯=，所以1221n n a n +=--.(2)()()()231122325221n n n S a a a n +⎡⎤=+++=-+-++-+⎣⎦()()23122235721n n +=+++-+++++ ()()222212321122242n n n n n n +-++=--=---，若240nn S λ⋅++>对于*N n ∀∈恒成立，即22222440n n n n λ+⋅+---+>，可得22222nn n n λ+⋅>+-即2242nn n λ+>-对于任意正整数n 恒成立，所以2max242n n n λ⎡⎤+>-⎢⎥⎣⎦，令()242n nn n b +=-，则21132n n n n b b ++--=，所以1234b b b b <>>>⋯，可得()222max222422n b b +⨯==-=-，所以2λ>-，所以λ的取值范围为()2,-+∞.类型6.利用导数产生数列放缩1.由不等式1ln -≤x x 可得：+∈<+<+N n nn n ,1)11ln(11.例9.（2017全国3卷）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．解析：（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->，令112n x =+得11ln(1)22n n +<，从而221111111ln(1ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<.故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<,而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．2,.两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a b a a b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bL a b +≤≤（此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当a b =时，等号成立.进一步，在不等式左端结合均值不等式可得：当0b a >>时211ln ln b a b a a b->-+，即111ln ln ()2b a b a a b-<+-.令,1a n b n ==+，则111ln(1)ln ()21n n n n +-<++，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++①.(,)L a b<1ln ln ln 2ln (1)a ab x x x b x ⇔-⇔⇔<->其中，接下来令t =2>11(1)n ln n >+，1(n ln n+>②.例10．已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（1）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++ ，证明：21ln 24n n a a n-+>.解析：（1）综上可知，λ的最小值时12.（2）由上述不等式①，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++，111ln(2)ln(1)()212n n n n +-+<+++，111ln(3)ln(2)(223n n n n +-+<+++…，111ln 2ln(21)(2212n n n n--<+-.将以上各不等式左右两边相加得：1122221ln 2ln (2123212n n n n n n n n-<+++++++++- ，即111211ln 22123214n n n n n n<+++++++++- ，故11211ln 212324n n n n n +++++>+++ ，即21ln 24n n a a n-+>.例12．已知函数()ax x f x xe e =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设*n N ∈(1)ln n ++⋯+>+．1()n ln n+>，进一步求和可得：11231((...(1)12nnk k k n ln ln ln n k n==++>=⨯⨯⨯=+∑，...(1)ln n ++．。
用放缩法证明数列中的不等式(超级好!).
1
22
2
2
3 23
3
n 2n
n
2
(n N)
2021/6/22
例1
求证：1 2
1 22
1 23
1 2n
1
(n N)
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
左边
1 (1 2
1 )
2n
1
1
1
1 1
2n
2
表面是证数列不等式，
实质是数列求和
2021/6/22
变式1
求证：1 2
2 22
3 23
2n n 2n
将通项放缩为 错 位相减模型
左边 1 2 3 n 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
2021/6/22
【方法总结之一】
n
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ai 可直 i 1
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要
先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不
用放缩法证明 数列中的不等式
2021/6/22
常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，
其基本结构形式有如下 4 种：
n
n
①形如 ai k （ k 为常数）；②形如 ai f (n) ；
i 1
i 1
n
n
③形如 ai f (n) ；④形如 ai k （ k 为常数）.
i1
i1
2021/6/22
思路一 将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.
1 n2
1 n2 1