随机变量分布列练习题二套
高三数学随机变量的分布列试题
高三数学随机变量的分布列试题1.随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(<X<)的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，＋＋＋＝1，解得a＝．于是P(<X<)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝，故选D．2. [2014·四川模拟]在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为pk＝p k(1－p)4－k(k＝0,1,2,3,4)，∴p0＝p0(1－p)4＝(1－p)4，由条件知1－p＝，∴(1－p)4＝，∴1－p＝，∴p＝.∴p1＝p·(1－p)3＝4××()3＝，故选C.3.[2014·唐山检测]2013年高考分数公布之后，一个班的3个同学都达到一本线，都填了一本志愿，设Y为被录取一本的人数，则关于随机变量Y的描述，错误的是()A．Y的取值为0,1,2,3B．P(Y＝0)＋P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝1C．若每录取1人学校奖励300元给班主任，没有录取不奖励，则班主任得奖金数为300Y D．若每不录取1人学校就扣班主任300元，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300Y【答案】D【解析】由题意知A、B正确．易知C正确．对于D，若每不录取1人学校就扣班主任300元奖金，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300(3－Y)＝300Y－900.4.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和，求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，V(η)＝，求a∶b∶c.【答案】（1）ξ的分布列为（2）3∶2∶1【解析】(1)由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时ξ＝2，此时P(ξ＝2)＝＝；当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ＝4时，P(ξ＝4)＝＝；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时ξ＝3时，P(ξ＝3)＝＝；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时ξ＝5时，P(ξ＝5)＝＝；当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ＝6时，P(ξ＝6)＝＝.所以ξ的分布列为ξ23456由已知得到：η有三种取值即1，，所以η的分布列为所以，所以b＝2c，a＝3c，所以a∶b∶c＝3∶2∶1.5.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．【答案】（1）0.5（2）0.8（3）ξ0123【解析】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品；记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1)C＝A·B＋A·B，P(C)＝P(A·B＋A·B)＝P(A·B)＋P(A·B)＝P(A)·P(B)＋P()·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2)D＝A·B，P(D)＝P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.4＝0.2，P(D)＝1－P(D)＝0.8.(3)ξ～B(3，0.8)，故ξ的分布列P(ξ＝0)＝0.23＝0.008；P(ξ＝1)＝×0.8×0.22＝0.096；P(ξ＝2)＝×0.82×0.2＝0.384；P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.6.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列．【答案】（1）、、（2）X的分布列为【解析】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝＝，P(A2)＝××＝，P(A3)＝××＝.所以，甲队以3∶0、3∶1、3∶2胜利的概率分别是、、；(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝××＝.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，P(X＝1)＝P(A3)＝，P(X＝2)＝P(A)＝，4P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.故X的分布列为7.一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）.（1）求取出的小球中有相同编号的概率；（2）记取出的小球的最大编号为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)随机变量的分布列为：346随机变量的数学期望 .【解析】(1)应用古典概型概率的计算公式，关键是利用组合知识，确定事件数；(2) 随机变量的可能取值为.计算相应概率即得随机变量的分布列为：数学期望 .试题解析：(1)：设取出的小球中有相同编号的事件为，编号相同可分成一个相同和两个相同 2分4分(2) 随机变量的可能取值为：3，4，6 6分， 7分， 8分9分所以随机变量的分布列为：346所以随机变量的数学期望 . 12分【考点】古典概型，互斥事件，离散型随机变量的分布列及数学期望.8.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘)，满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的；若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金；若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其他区域，则不中奖(若指针停到两区间的实线处，则重新转动)．若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则参与了促销活动．(1)求顾客甲中一等奖的概率；(2)记X为顾客甲所得的奖金数，求X的分布列及其数学期望．【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件A表示该顾客中一等奖，P(A)＝×＋2××＝，所以该顾客中一等奖的概率是.(2)X的可能取值为20,15,10,5,0，P(X＝20)＝×＝，P(X＝15)＝2××＝，P(X＝10)＝×＋2××＝，P(X＝5)＝2××＝，P(X＝0)＝×＝.所以X的分布列为数学期望E(X)＝20×＋15×＋10×＋5×＝.9.辽宁某大学对参加全运会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列．(3)求X的数学期望．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则P(E)＝1－P( )＝1－P()P()P( )＝1－××＝.(2)由题意，得X的可能取值是，2，，3.因为P(X＝)＝P()＝，P(X＝2)＝P(A )＋P(B)＋P(C )＝，P(X＝)＝P(AB)＋P(A C)＋P( B C)＝＝，P(X＝3)＝P(ABC)＝，所以X的分布列为：(3)由(2)知E(X)＝×＋2×＋×＋3×＝＝.10.随机变量的分布列如右：其中成等差数列，若，则的值是．【答案】.【解析】由题意，则.【考点】随机变量的期望和方差.11.一个盒子中装有分别标有数字1、2、3、4的4个大小、形状完全相同的小球，现从中有放回地随机抽取2个小球，抽取的球的编号分别记为、，记.（Ⅰ）求取最大值的概率；（Ⅱ）求的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）所以的分布列：数学期望.【解析】(1)随机变量的分布列问题,首先确定随机变量的所有可能值;(2))本题属古典概型,各随机变量所对应的事件包含的基本事件无法用公式求出,需一一列举出来.列举时要注意避免重复和遗漏，这是极易出错的地方试题解析：（Ⅰ）当时，最大。
随机变量及其分布列习题(含解析)
一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念，它是一种随机现象的数值表示。
概率计算是概率论的核心内容之一，通过计算随机变量的分布函数和概率密度函数，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生概率。
本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固对随机变量的分布函数和概率密度函数的理解。
练习题一：离散型随机变量设随机变量X的分布列为：X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4----------------------------------P(X=x) | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.21. 求随机变量X的分布函数F(x)。
解析：分布函数F(x)定义为P(X≤x)，根据分布列可以求得如下分布函数：F(0) = P(X≤0) = 0.2F(1) = P(X≤1) = 0.2 + 0.3 = 0.5F(2) = P(X≤2) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6F(3) = P(X≤3) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.8F(4) = P(X≤4) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 12. 求随机变量X的概率密度函数f(x)。
解析：概率密度函数f(x)只对连续型随机变量有意义，对于离散型随机变量，f(x)恒为0。
因此，对于该题中给定的随机变量X，概率密度函数f(x)不存在。
练习题二：连续型随机变量设随机变量Y的密度函数f(y)如下：f(y) = 0.5，0≤y≤2f(y) = 0，其他1. 求随机变量Y的分布函数F(y)。
解析：分布函数F(y)定义为P(Y≤y)，根据密度函数可以求得如下分布函数：F(y) = ∫[0, y] f(t)dt根据密度函数的定义域可知，在区间[0, y]上f(t)=0.5，因此：F(y) = ∫[0, y] 0.5dt = 0.5y，0≤y≤2F(y) = ∫[0, y] 0dt = 0，其他2. 求随机变量Y在区间[1, 2]上的概率P(1 ≤ Y ≤ 2)。
专题11.5 离散型随机变量的分布列 学生版
专题11.5 离散型随机变量的分布列1．（2021·全国·高二课时练习）某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，会亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列．2．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，求a 的值． 3．（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设1,,0,,X ⎧=⎨⎩出现正面出现反面写出X 的分布列． 4．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.5．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量ξ的分布列如下，求k 的值． 6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示．（1）求常数a 的值； （2）求(6)P ξ>．7．（2021·全国·高二课时练习）从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X 表示取得的白球数，求X 的分布列．8．（2021·全国·高二课时练习）已知X 服从参数为0.3的两点分布． （1）求()0P X =；（2）若21Y X =+，写出Y 的分布列．9．（2021·全国·高二课时练习）分别判断下列表格是否可能是随机变量X 的分布列，并说明理由：练基础（1）（2）10．（2021·全国·高二单元测试）设离散型随机变量X 的分布列为（2）()39P Y <≤的值．1．（2022·江苏·高三专题练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（ ）． A ．P (ξ＝0)＝411 B ．P (ξ＝111C ．P (ξ＝1)＝611D ．P (ξ＝1222．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X 的分布列如下表所示： ．3．（2021·全国·高二课时练习）将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________.4.（2017课标3，理18选）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需练提升求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；5.（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X．P X=；（1）说明1X=表示的是什么事件，并求出(1)（2）求X的分布列．6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员在一次射击训练中，共有5发子弹，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽．若已知每次射击命中的概率均为0.9，求该运动员这次训练耗用的子弹数X的分布列．7.（2021·全国·高二课时练习）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（1）求当天商店不进货的概率；（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.1,2,3,4,5的所有非空子集中，随机地取出一个. 8．（2021·全国·高二课时练习）从集合{}（1）求所取出的非空子集中所有元素之和为10的概率；（2）记所取出的非空子集中的元素个数为X，求X的分布列.9．（2021·全国·高二课时练习）同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X．（1）写出X的分布列；P X<；（2）求(5)（3）求“点数和大于9”的概率．10.（2021·全国·高二单元测试）某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评+仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）求该同学这个题目得分X的分布列．练真题1．（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. （1）用ξ表示取到的豆沙粽的个数，求ξ的分布列；（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.2.（2019年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．3.（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.4.（2017山东，理18选）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含1B的频率.（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.5．（2017北京，理17选）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列.6．（2017·天津高考真题（理））从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和均值．（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．。
高二数学随机变量的分布列试题答案及解析
高二数学随机变量的分布列试题答案及解析1.设随机变量ξ的概率分布列为（k＝0，1，2，3），则．【答案】【解析】随机变量ξ的概率分布列为（k＝0，1，2，3），且，，即.【考点】随机变量的分布列.2.若随机变量X～B(n,0.6)，且E(X)＝3，则P(X＝1)的值是________．【答案】3×0.44【解析】E(X)＝n×0.6＝3，∴n＝5，∴P(X＝1)＝C1(0.6)1×0.44＝3×0.44.53.为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n;（Ⅱ）若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该市报考体育专业的学生中任选3人，设表示体重超过60千克的学生人数，求的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）0123（或）.【解析】（Ⅰ）设从左至右前3小组的频率分别为由题意得 3分∴ 5分∴ 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得一个报考体育专业学生的体重超过60公斤的概率为8分由题意可知∴， 10分即∴（或） 12分【考点】频率分布直方图，随机变量的分布列及数学期望。
点评：中档题，作为数学应用问题，实际背景学生熟悉，易于理解题意，关键是细心计算。
4.甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下:①连续竞猜次,每次相互独立；②每次竟猜时,先由甲写出一个数字,记为,再由乙猜测甲写的数字,记为,已知,若,则本次竞猜成功；③在次竞猜中,至少有次竞猜成功,则两人获奖.(Ⅰ) 求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；(Ⅱ）现从人组成的代表队中选人参加此游戏,这人中有且仅有对双胞胎，记选出的人中含有双胞胎的对数为,求的分布列和期望.【答案】（1）（2）分布列为∴【解析】解：（Ⅰ）记事件为甲乙两人一次竞猜成功，则则甲乙两人获奖的概率为（Ⅱ）由题意可知6人中选取4人，双胞胎的对数取值为0,1,2则，∴分布列为∴【考点】古典概型概率和分布列点评：主要是考查了古典概型概率和分布列的求解，属于基础题。
随机变量分布列练习题二套
随机变量及分布训练一1. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立．设 为该群体的 位成员中使用移动支付的人数，，，则A.B.C.D.2. 设，随机变量 的分布列是则当 在 增大时，（ ）A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小3. 已知甲盒中仅有 个球且为红球，乙盒中有 个红球和 个蓝球 个球放入甲盒中．放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为；，从乙盒中随机抽取放入 个球后，从甲盒中取 个球是红球的概率记为．则（ ）A.，B.，C.，D.，4. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机 取一个小正方体，记它的涂漆面数为 ，则 的均值A.B.C.D.5. 已知离散型随机变量 的分布列为则 的数学期望A.B.C.D.6. 已知 台机器中有 台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出 台故障机器为止．若检测一台机器 的费用为 元，则所需检测费的均值为（ ）A.B.C.D.7. 某班级有男生 人，女生 人，现选举 名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委．男 生当选的人数记为 ，则 的数学期望为（ ）A.B.C.D.8. 某种种子每粒发芽的概率都为 ，现播种了 的种子数记为 ，则 的数学期望为（ ）A.B.C.粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 粒，补种 D.9. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记 件产品中恰有 件不合格品的概率为 ，求 的最大值点 ．（2）现对一箱产品检验了 件，结果恰有 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值．已知每件产品的检验费用为 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 元的赔偿费用． 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ； 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？10. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 ， ， ．现采用分层抽样的方法从中抽取 人，进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的 人中有 人睡眠不足， 人睡眠充足，现从这 人中随机抽取 人做进一步的身体检查．用 表示抽取的 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 的分布列与数学期望； 设 为事件“抽取的 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 发生的概率．11. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 好评率 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立． （1）从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，估计恰有 部获得好评的概率；（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ ”表示第 类电影得到人们喜欢．“ ”表示第 类电影没有得到人们喜欢．写出方差 ， ， ， ，， 的大小关系．12. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 元，售价每瓶 元，未售出的酸奶 降价处理，以每瓶 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于 ，需求量为 瓶；如果最高气温位于区间，需求量为 瓶；如果最高气温低于 ，需求量为 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气 温数据，得下面的频数分布表：最高气温 天数 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 （单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 （单位： 瓶）为多少时， 的数学期望达到最大值？13. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验 的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接 受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 名男志愿者 ， ， ， ， ， 和 名女志 愿者 ， ， ， ，从中随机抽取 人接受甲种心理暗示，另 人接受乙种心理暗示． （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的概率． （2）用 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 的分布列与数学期望 ．14. 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 ， 两种奶制品．生产 吨 产品需鲜牛奶 吨，使用设备 小时，获 利 元；生产 吨 产品需鲜牛奶 吨，使用设备 小时，获利 元．要求每天 产品的产量不超过产品产量的 倍，设备每天生产 ， 两种产品时间之和不超过 小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量 （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 （单位：元）是一个随 机变量．（1）求 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 天中至少有 天的最大获利超过元的概率．15. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人 都猜对，则“星队”得 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结 果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： （1）“星队”至少猜对 个成语的概率； （2）“星队”两轮得分之和为 的分布列和数学期望 ．随机变量及分布训练二16. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 个红球、 个白 球的甲箱和装有 个红球、 个白球的乙箱中，各随机摸出 个球，在摸出的 个球中，若都是红球，则获 一等奖，若只有 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖 次能获奖的概率； （2）若某顾客有 次抽奖机会，记该顾客在 次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列和数学期望．17. 某校新、老校区之间开车单程所需时间为 ， 只与道路通畅状况有关，对其容量为 的样本进行统 计，结果如下：（分钟） 频数（次）（1）求 的分布列与数学期望 ； （2）教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求教授从离开 老校区到返回老校区共用时间不超过 分钟的概率．18. 某市 、 两所中学的学生组队参加辩论赛， 中学推荐了 名男生、 名女生， 中学推荐了 名男 生、 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽 取 人，女生中随机抽取 人组成代表队． （1）求 中学至少有 名学生入选代表队的概率； （2）某场比赛前，从代表队的 名队员中随机抽取 人参赛，设 表示参赛的男生人数，求 的分布列和 数学期望．19. 已知 件次品和 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放 回，直到检测出 件次品或者检测出 件正品时检测结束． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （2）已知每检测一件产品需要费用 元，设 表示直到检测出 件次品或者检测出 件正品时所需要的 检测费用（单位：元），求 的分布列和均值（数学期望）20. 某银行规定，一银行卡若在一天出现 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发 现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 个密码之一，小王决定从中 不重复地随机选择 个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定． （1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率； （2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 ，求 的分布列和数学期望．21. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销 售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． Ⅰ 求在未来连续 天里，有连续 天的日销售量都不低于 个且另 天的日销售量低于 个的概率； Ⅱ 用 表示在未来 天里日销售量不低于 个的天数，求随机变量 的分布列，期望 及方差 ．22.有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：甲公司职位ABCD月薪/元6000700080009000获得相应职 0.40.30.20.1位概率乙公司职位A月薪/元5000获得相应职 0.4 位概率B 7000 0.3C 9000 0.2D 110000.1（1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（2）某课外实习作业小组调查了 1000 名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数 据分布：人员结构 选择意愿40 岁以上（含 40 岁以上（含 40 岁以下男性 40 岁以下女性 40 岁）男性 40 岁）女性选择甲公司11012014080选择乙公司15090200110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的 K2 的观测值为 k1＝5.5513，测得出“选择意愿 与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性 别变量哪一个关联性更大？P（K2≥k） k0.0500.0250.0100.0053.8415.0246.6357.87923.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种 生产方式的效率,选取 40 名工人,将他们随机分成两组,每组 20 人,第一组工人用第一种生产方式,第二组 工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m,并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工 人数填入下面的列联表:超过 m不超过 m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=,P k00.050 3.8410.010 6.6350.001 10.828参考答案与试题解析2019 年 5 月 17 日高中数学一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计 24 分 ）1.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布【解析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，可看做是独立重复事件，满足，，可得，可得．即 ．因为，可得，解得或（舍去）．故选 ．2.【答案】D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】求出随机变量 的分布列与方差，再讨论 的单调情况．【解答】解：设，随机变量 的分布列是； 方差是，∴时， 单调递增；时， 单调递减；∴先增大后减小．故选： ．3.【答案】A【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当 时，有可能从乙盒中 拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒； 时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能 是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出 ， 和 ， 进行比较即 可．【解答】解析：，，，所以；由已知 的取值为 、 ， 的取值为 、 、 ，所以，，． 故选4.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由题意可知： 所有可能取值为 ， ， ， ．① 个顶点处的 个小正方体涂有 面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下 个，一共有个小正方体涂有 面，③每个表面去掉四条棱上的 个小正方形，还剩下 个小正方形，因此一共有个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下个部的小正方体的 个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及 的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：由题意可知： 所有可能取值为 ， ， ， ．① 个顶点处的 个小正方体涂有 面，∴；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下 个，一共有个小正方体涂有 面，∴；③每个表面去掉四条棱上的 个小正方形，还剩下 个小正方形，因此一共有个小正方体涂有一面，∴．④由以上可知：还剩下个部的小正方体的 个面都没有涂油漆，∴．故 的分布列为因此．故选 ．5.【答案】A【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】 利用数学期望的计算公式即可得出． 【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：．故选 ．6.【答案】C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】设检测机器所需检测费为 ，则 的可能取值为 ， ， ，分别求出相应的概率，由此能求出所 需检测费的均值．【解答】设检测机器所需检测费为 ，则 的可能取值为 ， ， ， ，，，∴7. 【答案】 C 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【解析】 由题意知随机变量 的可能取值是 ， ， ， ， ，计算对应的概率值，求出 的数学期望值． 【解答】 由题意知，随机变量 的可能取值是 ， ， ， ， ，且，，，，； ∴ 的数学期望为．8.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布【解析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为 ，现播种了 粒，即不发芽率为种子数 服从二项分布，即．又没发芽的补种 个，故补种的种子数记为分布的期望公式即可求出结果．，故没有发芽的 ，根据二项【解答】解：由题意可知播种了 粒，没有发芽的种子数 服从二项分布，即．而每粒需再补种 粒，补种的种子数记为故 ，则．故选 ．二、 解答题 （本题共计 13 小题 ，每题 10 分 ，共计 130 分 ）9.【答案】解：（1）记 件产品中恰有 件不合格品的概率为 ，则，∴，令，得，当时，，当时，，∴的最大值点．由（1）知，令 表示余下的 件产品中的不合格品数，依题意知，即，∴．如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为∵，∴ 应该对余下的产品进行检验．， 元，【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）求出 求出 的最大值点，则 ．由，令 表示余下的 件产品中的不合格品数，依题意知，即，能求出 ．如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 元，的产品进行检验．【解答】解：（1）记 件产品中恰有 件不合格品的概率为 ，则，，利用导数性质能，再由 ，从而应该对余下∴，令，得，当时，，当时，，∴的最大值点．由（1）知，令 表示余下的 件产品中的不合格品数，依题意知，即，∴．如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为∵，∴ 应该对余下的产品进行检验．， 元，10.【答案】解：（1）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 ， ， ．人数比为： ， 从中抽取 人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 ， ， 人．（2）若抽出的 人中有 人睡眠不足， 人睡眠充足，现从这 人中随机抽取 人做进一步的身体检查． 用 表示抽取的 人中睡眠不足的员工人数，随机变量 的取值为： ， ， ， ，， ，，，．所以随机变量的分布列为：随机变量 的数学期望；设 为事件“抽取的 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件 为：抽取的 人中，睡眠充足的员工有 人，睡眠不足的员工有 人，事件 为抽取的 人中，睡眠充足的员工有 人，睡眠不足的员工有 人，则：，且，，故．所以事件 发生的概率： ．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；（2）若 用 表示抽取的 人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量 的分布列， 然后求解数学期望；利用互斥事件的概率求解即可．【解答】解：（1）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 ， ， ．人数比为： ， 从中抽取 人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 ， ， 人．（2）若抽出的 人中有 人睡眠不足， 人睡眠充足，现从这 人中随机抽取 人做进一步的身体检查． 用 表示抽取的 人中睡眠不足的员工人数，随机变量 的取值为： ， ， ， ，， ，，，．所以随机变量的分布列为：随机变量 的数学期望；设 为事件“抽取的 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件 为：抽取的 人中，睡眠充足的员工有 人，睡眠不足的员工有 人，事件 为抽取的 人中，睡眠充足的员工有 人，睡眠不足的员工有 人，则：，且，，故．所以事件 发生的概率： ．11.【答案】解：（1）设事件 表示“从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为部，第四类电影中获得好评的电影有：部，∴ 从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：．（2）设事件 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，恰有 部获得好评”，第四类获得好评的有：部，第五类获得好评的有：部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，估计恰有 部获得好评的概率：．（3）由题意知，定义随机变量如下： ，则 服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影：第二类电影：， ．第三类电影：， ．第四类电影：， ．第五类电影：， ．第六类电影：， ．， ．∴ 方差 ， ， ， ， ， 的大小关系为： ．【考点】 离散型随机变量的期望与方差 古典概型及其概率计算公式 【解析】 （1）先求出总数，再求出第四类电影中获得好评的电影的部数，利用古典概型概率计算公式直接求解． （2）设事件 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，恰有 部获得好评”，第四类获得好评 的有 部，第五类获得好评的有 部，由此能求出从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，估计 恰有 部获得好评的概率．（3）由题意知，定义随机变量如下：，则 服从两点分布，分别求出六类电影的分布列及方差由此能写出方差 ， ， ， ， ， 的大小关系．【解答】解：（1）设事件 表示“从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为部，第四类电影中获得好评的电影有：部，∴ 从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：．（2）设事件 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，恰有 部获得好评”，第四类获得好评的有：部，第五类获得好评的有：部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，估计恰有 部获得好评的概率：．（3）由题意知，定义随机变量如下： ，则 服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影：第二类电影：， ．第三类电影：， ．，． 第四类电影：第五类电影：， ．第六类电影：， ．， ．∴ 方差 ， ， ， ， ， 的大小关系为： ．12. 【答案】 解：（1）由题意知 的可能取值为 ， ， ，， ，， ∴ 的分布列为：（2）当时，，，当时，若，则，若，则，∴，∴，当时，若，则，若，则，∴当时，，若，则 ，∴，当时，，，∴．综上，当时， 最大值为 元．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）由题意知 的可能取值为 ， ， ，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列．（2）当时，，时，时，到当时， 最大值为 元．；当 ；当时， 时，；当 ．从而得【解答】解：（1）由题意知 的可能取值为 ， ， ， ，，， ∴ 的分布列为：（2）当时，，，当时，若，则，若，则，∴，∴，当时，若，则，若，则，∴当时，，若，则 ，∴，当时，，，∴．综上，当时， 最大值为 元．13.【答案】解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为 ，则．（2） 的可能取值为： ， ， ， ， ，∴，，，，． ∴ 的分布列为的数学期望．【考点】 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】 （1）利用组合数公式计算概率； （2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望． 【解答】解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为 ，则．（2） 的可能取值为： ， ， ， ， ，∴，，，，．∴ 的分布列为的数学期望．14.【答案】设每天 ， 两种产品的生产数量分别为 ， ，相应的获利为 ，则有，①如图 ，目标函数为： ＝．当 ＝ 时，①表示的平面区域如图 ，三个顶点分别为，将＝变形为，当 ＝ ， ＝ 时，直线 ：在 轴上的截距最大，，．最大获利 ＝ ＝＝．当 ＝ 时，①表示的平面区域如图 ，三个顶点分别为，，．．将＝变形为，当 ＝ ， ＝ 时，直线 ：在 轴上的截距最大，最大获利 ＝ ＝＝．当 ＝ 时，①表示的平面区域如图 ，四个顶点分别为，，，．将＝变形为：，当 ＝ ， ＝ 时，直线 ＝在 轴上的截距最大，最大获利 ＝ ＝＝． 故最大获利 的分布列为：因此， ＝＝由 Ⅰ 知，一天最大获利超过元的概率 ＝＝由二项分布， 天中至少有 天最大获利超过 ．元的概率为：＝，【考点】简单线性规划离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）设每天 ， 两种产品的生产数量分别为 ， ，相应的获利为 ，列出可行域，目标函数，通过当 ＝ 时，当 ＝ 时，当 ＝ 时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到 的分布列．求出期望即 可． （2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．【解答】设每天 ， 两种产品的生产数量分别为 ， ，相应的获利为 ，则有，①如图 ，目标函数为： ＝．当 ＝ 时，①表示的平面区域如图 ，三个顶点分别为，将＝变形为，当 ＝ ， ＝ 时，直线 ：在 轴上的截距最大，，．最大获利 ＝ ＝＝．当 ＝ 时，①表示的平面区域如图 ，三个顶点分别为，，．．将＝变形为，当 ＝ ， ＝ 时，直线 ：在 轴上的截距最大，最大获利 ＝ ＝＝．当 ＝ 时，①表示的平面区域如图 ，四个顶点分别为，，，．将＝变形为：，当 ＝ ， ＝ 时，直线 ＝在 轴上的截距最大，最大获利 ＝ ＝＝． 故最大获利 的分布列为：因此， ＝＝由 Ⅰ 知，一天最大获利超过元的概率 ＝＝由二项分布， 天中至少有 天最大获利超过 ．元的概率为：＝，15.【答案】解：（1）“星队”至少猜对 个成语包含“甲猜对 个，乙猜对 个”，“甲猜对 个，乙猜对 个”，“甲猜对 个，乙猜对 个”三个基本事件，故概率，（2）“星队”两轮得分之和为 可能为： ， ， ， ， ， ，则，，，，故 的分布列如下图所示：∴ 数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 离散型随机变量及其分布列【解析】（1）“星队”至少猜对 个成语包含“甲猜对 个，乙猜对 个”，“甲猜对 个，乙猜对 个”，“甲猜对 个， 乙猜对 个”三个基本事件，进而可得答案；（2）由已知可得：“星队”两轮得分之和为 可能为： ， ， ， ， ， ，进而得到 的分布列和数学期 望．【解答】解：（1）“星队”至少猜对 个成语包含“甲猜对 个，乙猜对 个”，“甲猜对 个，乙猜对 个”，“甲猜对 个，乙猜对 个”三个基本事件，故概率，（2）“星队”两轮得分之和为 可能为： ， ， ， ， ， ，则，，，，故 的分布列如下图所示：∴ 数学期望 16. 【答案】 解：（1）记事件，事件，事件，事件， 相互独立， ， 互斥， ， 互斥，且，，所以，．，事件，由题意，，，因为，，故所求概率为：（2）顾客抽奖 次可视为 次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖 次获一等奖的概率为： 所以．．于是，，，，． 故 的分布列为：．【考点】 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）记事件，事件，事件，事件， 相互独立， ， 互斥， ， 互斥，然后求出所求概率即可．，事件 ，利用（2）顾客抽奖 次可视为 次独立重复试验，判断 望． 【解答】．求出概率，得到 的分布列，然后求解期解：（1）记事件，事件，事件。
随机变量及其分布同步练习题(二).
《随机变量及其分布》同步练习题（二）（考试时间：90分钟，满分：150分）班级：_________ 姓名：___________ 座号：__________ 总分：__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场人数是随机变量。
其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.42、随机变量X的概率分布如下：则c等于（）A. 0．1 B．0．2C．0．3 D．0．43、若事件A与B相互独立，则下列不相互独立的事件是（）A．A与B B. A与B C. B与B D. A与B 4、甲、乙、丙三位同学解一道数学题,他们做对的概率都是0.6,则甲、乙、丙都做对的概率是( )A.0．63B.0.1×0．62C.0.6×3D.1-0．625、将一颗骰子连掷5次,恰好2次出现3点的概率为( )A.C5232)65()61( B.C5223)65()61( C.C5332)61()65( D.C5323)65()61(6、已知随机变量X～B(6,0.5),则D(2X+4)等于( )A.6B.4C.3D.97、某地区高二女生的体重ξ(单位：kg)服从正态分布ξ～N（50，25），若该地区共有高二女生2000人，则体重在50 k g～65 kg间的女生共有（）A.683人B.954人C.997人D.994人 8、设随机变量X ～B （n ，p ），且EX=4，DX=2，则（ ）A.n=10,p=0.4B. n=8,p=0.5C. n=20,p=0.2D. n=16,p=0.25 9、在10个球中有4个红球和6个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，则在第1次摸到红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（ ）A.35 B. 25C. 21D. 10310、已知随机变量X 服从二项分布X ～B （6，0.5）,则P （X=2）等于（ ）A.1664 B. 1516 C. 1564D. 3511、已知随机变量ξ服从正态分布N ～（3，σ2），则P （ξ<3）=( )A.15 B. 14 C. 13 D. 1212、甲、乙两台自行车床生产同种标准，X 表示甲机床生产1000件产品中的次品数，Y 表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，据此判定（ ）A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好C.甲与乙质量相同D.无法判定 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13、一个二项随机变量X ～B （10,0.2），则EX=_____ 。
高中数学离散型随机变量的分布列综合测试题(附答案)
高中数学离散型随机变量的分布列综合测试题（附答案）第二课时离散型随机变量的分布列2一、选择题1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是()A.1 0 1P 141214B.0 1 2P －143412C.0 1 2P 152535D.－1 0 1P 141412[答案] D[解析] 本题考查分布列的概念与性质．即的取值应互不相同且P(0，i＝1,2，…，n，i＝1nP(i)＝1.A中的取值出现了重复性；B中P(＝0)＝－140，C中i＝13P(i)＝15＋25＋35＝651.2．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为，则下列概率中等于C18C16＋C14C16C112C112的是()A．P(＝0) B．P(2)C．P(＝1) D．P(＝2)[答案] C[解析] 即取出白球个数为1的概率．3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1、2、…，则P(2＜X4)＝()A.316B.14C.116D.516[答案] A[解析] P(2＜X4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.4．随机变量的概率分布列为P(＝k)＝ck(k＋1)，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P12＜＜52则值为()A.23B.34C.45D.56[答案] D[解析] c12＋c23＋c34＋c45＝c1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45c＝1.c＝54.P12＜＜52＝P(＝1)＋P(＝2)＝54112＋123＝56.5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分；④表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④[答案] B[解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．6．(2019东营)已知随机变量的分布列为P(＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(＝2)＝()A.19B.16C.13D.14[答案] C[解析] 由离散型随机变量分布列的性质知12a＋22a＋32a ＝1，62a＝1，即a＝3，P(＝2)＝1a＝13.7．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是()A.1120B.724C.710D.37[答案] B[解析] P＝C37C03C310＝724.8．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是()A.15B.14C.25D.35[答案] C[解析] P＝2A44A55＝25.二、填空题9．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：0 1 2P[答案] 15 35 1510．随机变量的分布列为：0 1 2 3 4 5P 192157458451529则为奇数的概率为________．[答案] 81511．(2019常州)从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______．[答案] 5612．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量，则P(＞1)＝________.[答案] 12[解析] 依题意，P(＝1)＝2P(＝2)，P(＝3)＝12P(＝2)，P(＝3)＝P(＝4)，由分布列性质得1＝P(＝1)＋P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)4P(＝2)＝1，P(＝2)＝14.P(＝3)＝18.P(＞1)＝P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)＝12.三、解答题13．箱中装有50个苹果，其中有40个合格品，10个是次品，从箱子中任意抽取10个苹果，其中的次品数为随机变量，求的分布列．[解析] 可能取的值为0、1、2、...、10.由题意知P(＝m) ＝Cm10C10－m40C1050(m＝0、1、2、...、10)，的分布列为0 1 ... k (10)P C010C1040C1050C110C940C1050… Ck10C10－k40C1050… C1010C040C105014.设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak，(k＝1、2、3、4、5)．(1)求常数a的值；(2)求P(X)35；(3)求P110＜X＜710.[分析] 分布列有两条重要的性质：Pi0，i＝1、2、…；P1＋P2＋…＋Pn＝1利用这两条性质可求a的值．(2)(3)由于X的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X35或110710的X值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次试验中相互独立，只要求得满足条件的各概率之和即可．[解析] (1)由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，得a＝115. (2)因为分布列为PX＝k5＝115k (k＝1、2、3、4、5)解法一：PX35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45；解法二：PX35＝1－PX＝15＋PX＝25＝1－115＋215＝45.(3)因为110＜X＜710，只有X＝15、25、35时满足，故P110＜X＜710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋315＝25.15．(2009福建)盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；(2)随机变量的概率分布．[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.(2)由题意可能的取值为2,3,4,5，P(＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130，P(＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215，P(＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310，P(＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.所以随机变量的概率分布为：2 3 4 5P 13021531081516.(2019福建理，16)设S是不等式x2－x－60的解集，整数m，nS.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设＝m2，求的分布列．[解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换．(1)由x2－x－60得－23，即S＝{x|－23}．由于m，nZ，m，nS且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以＝m2的所有不同取值为0,1,4,9.且有P(＝0)＝16，P(＝1)＝26＝13，P(＝4)＝26＝13，P(＝9)＝16.故的分布列为：0 1 4 9P 161313。
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16. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 个红球、 个白球 的甲箱和装有 个红球、 个白球的乙箱中，各随机摸出 个球，在摸出的 个球中，若都是红球，则获一 等奖，若只有 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖 次能获奖的概率； （2）若某顾客有 次抽奖机会，记该顾客在 次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列和数学期望．
14. 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 ， 两种奶制品．生产 吨 产品需鲜牛奶 吨，使用设备 小时，获 利 元；生产 吨 产品需鲜牛奶 吨，使用设备 小时，获利 元．要求每天 产品的产量不超过
产品产量的 倍，设备每天生产 ， 两种产品时间之和不超过 小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量 （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 （单位：元）是一个随 机变量．
（1）求 的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 天中至少有 天的最大获利超过
元的概率．
15. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人 都猜对，则“星队”得 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结 果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： （1）“星队”至少猜对 个成语的概率； （2）“星队”两轮得分之和为 的分布列和数学期望 ．
13. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验 的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接 受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 名男志愿者 ， ， ， ， ， 和 名女志 愿者 ， ， ， ，从中随机抽取 人接受甲种心理暗示，另 人接受乙种心理暗示． （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的概率． （2）用 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 的分布列与数学期望 ．
放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为
；
放入 个球后，从甲盒中取 个球是红球的概率记为
．
则（ ）A.，Fra bibliotekB.，
，从乙盒中随机抽取
C.
，
D.
，
4. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机 取一个小正方体，记它的涂漆面数为 ，则 的均值
A.
B.
C.
D.
5. 已知离散型随机变量 的分布列为
（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ ”表示第 类电影得到
人们喜欢．“ ”表示第 类电影没有得到人们喜欢
．写出方差 ， ， ， ，
， 的大小关系．
12. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 元，售价每瓶 元，未售出的酸奶降 价处理，以每瓶 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
则 的数学期望
A.
B.
C.
D.
6. 已知 台机器中有 台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出 台故障机器为止．若检测一台机器 的费用为 元，则所需检测费的均值为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 某班级有男生 人，女生 人，现选举 名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委．男 生当选的人数记为 ，则 的数学期望为（ ）
11. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 好评率 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立． （1）从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，估计恰有 部获得好评的概率；
随机变量及分布训练一
1. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立．设 为该群体的 位成
员中使用移动支付的人数，
，
，则
A.
B.
C.
D.
2. 设
，随机变量 的分布列是
则当 在 增大时，（ ）
A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
3. 已知甲盒中仅有 个球且为红球，乙盒中有 个红球和 个蓝球 个球放入甲盒中．
10. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 ， ， ．现采用分层抽样的方法从中抽取 人，进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的 人中有 人睡眠不足， 人睡眠充足，现从这 人中随机抽取 人做进一步的身体检查．
用 表示抽取的 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 的分布列与数学期望； 设 为事件“抽取的 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 发生的概率．
所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为
，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 件产品中恰有 件不合格品的概率为 ，求 的最大值点 ．
（2）现对一箱产品检验了 件，结果恰有 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值．已知每件产品
的检验费用为 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 元的赔偿费用． 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ； 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
A.
B.
C.
D.
8. 某种种子每粒发芽的概率都为 ，现播种了 的种子数记为 ，则 的数学期望为（ ）
A.
B.
C.
粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 粒，补种 D.
9. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合
格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的
）有关．如果最高气温不低于 ，需求量为 瓶；如果最高气温位于区间
，需求量为 瓶；
如果最高气温低于 ，需求量为 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气 温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 天数 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 （单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 （单位： 瓶）为多少时， 的数学期望达到最大值？