高等数学常用概念及公式
高等数学概念定理推论公式
高等数学概念、定理、推论、公式※ 函数及图形·和的绝对值不大于各项绝对值的和； ·差的绝对值不小于各项绝对值的差； ·乘积的绝对值等于各项绝对值的乘积；·商的绝对值等于被除数及除数的绝对值的商。
·假设自变量x 在定义域X 内每获得一确定值时，函数只有一个确定值与之对应，这种函数叫单值函数；否那么就是多值函数。
·假设函数y=f(x)当x 改变符号时函数值也只改变符号，即F(-x)=-f(x)，此函数叫奇函数，奇函数对称于原点；假设x 改变符号，函数值不变，即f(-x)=f(x)，即为偶函数，偶函数对称于y 轴。
·反函数的图形与直接函数(原函数)的图形对称于直线y=x※ 数列的极限及函数的极限·假如数列收敛，必然是有界的； ·有界的数列不必然都是收敛的； ·无界数列必然是发散的。
·假如0lim ()x x f x A →=，而且A >0(或A <0)，那么就存在着点x 0的某一邻域，当x 在该领域内，但x ≠x 0时，f(x)>0(或f(x )<0)。
·假如f(x)≥0(或f(x)≥0)，而且0lim ()x x f x A →=，那么A ≥0(或A ≤0)。
·函数f(x)当x →x0时极限存在的充分必要前提是左右极限都存在且相等。
·假如函数()f x 为无穷大，那么1()f x 为无穷小；反之亦然(()f x ≠0)。
·具有极限的函数可表示为等于其极限的一个常数及无穷小的和；反之，假如函数可表示为常数及无穷小，那么该常数就是函数的极限。
·有限个无穷小的和(代数和)也是窥小。
·有界函数与无穷小的乘积是无穷小，(常数乘以无穷小为无穷小，有限个无穷小的积是无穷小)。
·以极限不为零的函数除无穷小所得的商是无穷小。
(完整版)高数公式大全(费了好大的劲),推荐文档
lim[ f ( x) g ( x)]
两个重要极限
lim
sin
x
1, lim
sin
x
0; lim(1
1)x
e
lim(1
1
x) x
x0 x
x x
x
x
x0
常用等价无穷小:
1 cos x ~ 1 x2; x ~ sin x ~ arcsin x ~ arctan x; n 1 x 1 ~ 1 x;
lim n0
n i 1
f(i)1 nn
F (b) F (a) F (x)
b a
,
(F(x) f (x))
连续可积; 有界+有限个间断点可积; 可积有界; 连续原函数存在
(x) x f (t)dt (x) f (x) a
d (x) f (t)dt f [(x)](x) f [ (x)] (x)
1 x
n0
3、
弧微分公式：ds 1 y2 dx x(t) y(t)2 dt 2 2 d
平均曲率：K从点到点.(， 切: 线M斜率的M倾 角变化量；: s
弧长)
s MM
M点的曲率：K lim d s0 s ds
y
(t) (t) (t) (t)
= (1 y2 )3
Байду номын сангаас
3
[2 (t) 2 (t)]2
x2 a2 2a x a
a2 x2 2a a x
dx ln(x x2 a2 ) C;
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C;
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
高等数学基本常用公式
高等数学基本常用公式
一、集合方面：
1、空集的定义：空集是一个有着没有任何元素的集合，记作∅或{}。
2、幂集定义：给定集合S，则S的幂集定义为由S中所有不同元素组
成的所有可能的组合集合。
3、一元二次方程定义：一元二次方程式（Quadratic equation）是二次
多项式为0的形式，有唯一解决方法。
4、集合的不等式：A≠B 如果集合A和集合B不包含相同的元素，则
A≠B 。
二、函数方面：
1、一次函数定义：由一次多项式的第二项完成，它的关系式为 y=ax+b，其中a和b是实常数，且a≠0。
2、函数的导数法则：函数的导数是函数的变化率，可以由如下法则来
定义：d/dx(f(x))=f'(x)=limh->0 (f(x+h)-f(x))/h。
3、指数函数定义：指数函数定义为y=ax^b，其中a和b是实常数，且
b>0。
4、对数函数定义：对数函数定义为y=a*log_b(x)，其中a和b是实常
数，且b>0。
三、微积分方面：
1、基本微积分定义：微积分是将函数导数应用到几何图形的学科，以开发几何图像的最佳特性。
2、基本积分公式：基本积分公式可以表示为∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)为被求积函数，C为一定的常数。
3、泰勒公式：泰勒公式是一种用来把连续函数分解成多项式形式的方法，可以用来计算某个函数在某一点处的值。
4、定积分公式：定积分可以表示为∫a^bf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)为被求积函数。
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( f o g )=f[g(x)].
1.3.4 函数的运算 设函数 f(x)，g(x)的定义域依次为 D1，D2，D=D1ÇD2¹Æ，则我们可以定义这两个函数 的下列运算：
(1)和(差) f±g：(f±g)(x)=f(x)±g(x)，xÎD； (2)积 f×g：(f×g)(x)=f(x)×g(x)，xÎD；
tan
-tanα cotα -cotα -tanα tanα cotα -cotα -tanα tanα
cot
-cotα tanα -tanα -cotα cotα tanα -tanα -cotα cotα
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映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射.
1.3 函数 1.3.1 函数 设数集 DÌ ¡ ，则称映射 f：D® ¡ 为定义在 D 上的函数，记为 y=f(x)，xÎD， 其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作 Df，即 Df=D. 1.3.2 函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数 f（x）的定义域为 D，数集 X Ì D. 如果存在正数 M，使对任 一 xÎX，有|f(x)|£M，则称函数 f(x)在 X 上有界；如果这样的 M 不存在，则称函数 f(x)在 X 上无界.即对任何 M，总存在 x1ÎX，使|f(x)|>M. (2)函数的单调性 设函数 y=f(x)的定义域为 D，区间 IÌD.如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)<f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调增加的. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)>f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. (3)函数的奇偶性 设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称.如果对于任一 xÎD，有 f(-x)=f(x) 恒成立，则称 f(x)为偶函数；如果对于任一 xÎD，有 f(-x)=-f(x)恒成立，则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称. (4)函数的周期性 设函数 f(x)的定义域为 D.如果存在一个正数 l，使得对于任一 xÎD 有 (x±l)ÎD，且 f(x+l)=f(x)，则称 f(x)为周期函数，l 称为 f(x)的周期. 1.3.3 反函数与复合函数
高等数学公式、定理最全版
高等数学公式导数公式：根本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβα-+=--+=+βαβαβαβαβαβαβαβαtg tg tg ±=±=±±=±)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xx x x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹〔Leibniz 〕公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学常用公式总结
(2) 在点 x0 的某去心邻域内,f'(x) 及 g'(x) 都存在且 g'(x) ≠ 0;
(3) lim f'(x) = A(A 可为实数,也可为 士ｏ 或ｏ), x→x0 g'(x)
则 lim f(x) = lim f'(x) = A. x→x0 g(x) x→x0 g'(x)
若将洛必达法则中 x →x0 换 →x0 → x0 →士 →ｏ,只要相应地修正(2)
y = f(x) 的反函数 也可记为 dy
x
=
9(y )
的导数为
9'(y )
=
1
f'(x)
8. 常用高阶导数公 式:
, =1.
dx dx dy
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模拟真题
.5 .
(1)(ex )(n) = ex;
(2)(sinx)(n) = sin(x ＋2 n . r );
(3)(cosx )(n)cos(x ＋n . r );
x→x0
x→x0
x→x0
(2) lim[f(x) .g(x)] = lim f(x) .lim g(x ) = A .B;
x→x0
x→x0
x→x0
(3)
当 x→Bx≠ 0 0
时 ,有 lim
f(x )
lim f(x)
=
=
A;
x→x0 g(x)
(4) lim f(g(x )) = f(B ). x → x0
1
dx;
(14)d(arccotx) = 一 1
1 ＋x2
dx. 1 ＋x2
15. 微分在近似计算中的应用
△y = f(x0 ＋ △x ) 一 f(x0 ) ≈ f'(x0 )△x ,
(完整版)高等数学基础知识点归纳
第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊂B。
⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A 。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。
记作A∪B。
（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。
）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。
高数公式大全
高等数学公式汇总第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin coscos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限➢常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1n a >=;lim 1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
高数常用微积分公式24个
高数常用微积分公式24个为了更好地帮助大家理解高等数学中的微积分，本文主要介绍高数常用的微积分公式24个。
首先，介绍最基本的微积分概念。
微积分是一个广义的概念，它包括微分学和积分学。
微分学是研究变动数量的变化率，变量可以表达为函数。
积分学则是将某一函数在不同区域上的积分和运算，可以表示为面积、重量或其他距离变化的概念。
其次，介绍高数常用的微积分公式。
1、微分中的基本公式：（1）函数的定义域x的导数，表示为f′(x)（2）复合函数的导数，表示为f′(g(x))（3）二阶导数的定义，表示为f″(x)2、积分中的基本公式：（1）求解定积分，表示为∫[a, b]f(x)dx（2）定积分的换折叠公式，表示为∫[a, b]f(x)dx=[a,c]f(x)dx+[c, b]f(x)dx（3）求解不定积分，表示为∫f（4）二重积分的定义，表示为∫[a, b]∫[c, d]f(x,y)dydx （5）定义域积分，表示为∫[S]f(x,y)ds3、微分与积分的关系：微分与积分有着相互联系的关系。
积分是将函数某一段区间的值累积为某一量，而微分则是积分的反过程，求出函数在有限的区间内的变化率。
这一关系也被称为微分法和积分法的反射关系。
4、偏微分的基本公式：偏微分是指关于同一变量的偏导数。
它是微分中比较复杂的一种形式，通常与多元函数相关，旨在研究函数变化率在同一点上受其他变量影响的情况。
它的基本公式为f′(x, y)=f/x, f′(x, y)=f/y。
5、常见的微分与积分公式：（1）指数函数的求导公式，表示为f′(x)=ae^(ax)（2）对数函数的求导公式，表示为f′(x)=1/x（3）三角函数的求导公式，表示为f′(x)=cos(x),f′(x)=sin(x)（4）椭圆函数的求导公式，表示为f′(x)=2a(a+bx)/(b^2-a^2)（5）反椭圆函数的求导公式，表示为f′(x)=-2a(a+bx)/(b^2-a^2)（6）求极限的求导公式，表示为limX→0f′(x)=f(0)（7）求微积分的积分公式，表示为∫[a,b]f(x)=F(b)-F(a)最后，本文介绍了高数常用的微积分公式24个，包括微分、积分、偏微分以及极限的求导公式，利用这些公式，大家就可以更好地理解微积分的概念，从而更好地学习高等数学中的微积分内容。
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学知识点总结（上）一、微积分微积分是数学中的一个重要分支，包括微分和积分两部分。
微分是研究函数变化率和极值，积分是求解曲线下面的面积。
1.导数和微分导数是函数变化率的衡量指标，定义为函数在一点处的切线斜率。
微分是导数的微小增量，通常用dx来表示。
常见的微分公式：（1）（x^n）' = nx^(n-1)（2）(sinx)’=cosx（3）(cosx)’=-sinx（4）(ex)’=ex2.微分应用微分在科学工程中的应用非常广泛，如曲线的近似计算、变化率的分析和优化问题的求解等。
常见的微分应用题：（1）求解函数在某个点处的导数；（2）求解曲线y=f(x)在某一点x=x0处的切线方程；（3）求解函数极值的位置；（4）求解函数的最大值和最小值。
3.积分积分是微积分的另一大分支，通常被用来求解曲线下的面积。
三种积分：（1）定积分（2）不定积分（3）曲线积分常见的定积分计算方法：（1）换元法（2）分部积分法（3）长条法4.积分应用积分在工程科学中的应用非常广泛，如求解曲线下的面积、物理量的计算、概率分布的求解等。
常见的积分应用题：（1）求解曲线下的面积；（2）求解物理量的分布规律；（3）求解概率分布函数。
二、数学分析数学分析是研究实数域函数极限、连续、可导性以及积分的方法和应用的分支。
可分为实数的函数分析和向量的函数分析两部分。
1.实数的函数分析实数函数的极限，连续性以及可导性是实数的函数分析中研究的重点。
常见的函数分析公式：（1）函数极限的定义（2）连续函数的定义（3）可导函数的定义2.向量的函数分析向量的函数分析是研究向量值函数的极限、连续、可导性以及曲线积分的方法和应用。
常见的向量的函数分析公式：（1）向量函数的极限（2）向量函数的连续性（3）向量函数的导数（4）向量函数的曲线积分3.数列和级数数列和级数是数学分析中的重要概念，常用于求解无限积分与求和等问题。
常见的数列公式：（1）数列极限的定义（2）数列序列收敛定理（3）调和数列发散定理常见的级数公式：（1）级数收敛的定义（2）级数收敛和发散判定标准（3）比值判别法和根值判别法三、线性代数线性代数是数学中的一个重要分支，主要研究向量、矩阵、行列式和线性方程组等内容。
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高等数学常用概念及公式● 极限的概念当x 无限增大（x →∞）或x 无限的趋近于x 0（x →x 0）时，函数f(x)无限的趋近于常数A ，则称函数f(x)当x →∞或x →x 0时，以常数A 为极限，记作：lim ∞→x f(x)=A 或 lim 0x x →f(x)=A● 导数的概念设函数y=f(x)在点x 0某邻域内有定义，对自变量的增量Δx ＝x- x 0，函数有增量Δy=f(x)-f(x 0)，如果增量比xy∆∆当Δx →0时有极限，则称函数f(x)在点x 0可导，并把该极限值叫函数y=f(x)在点x 0的导数，记为f ’(x 0)，即 f ’(x0)＝lim→∆x x y∆∆=lim 0x x →00)()(x x x f x f --也可以记为y ’=|x=x0，dx dy |x=x0或dxx df )(|x=x0 ● 函数的微分概念设函数y=f （x ）在某区间内有定义，x 及x+Δx 都在此区间内，如果函数的增量Δy=f （x+Δx ）-f(x)可表示成 Δy=A Δx+αΔx其中A 是常数或只是x 的函数，而与Δx 无关，α当Δx →0时是无穷小量( 即αΔx 这一项是个比Δx 更高阶的无穷小)，那么称函数y=f （x ）在点x 可微，而A Δx 叫函数y=f （x ）在点x 的微分。
记作dy ，即：dy=A Δx=f ’(x)dx● 不定积分的概念原函数：设f(x)是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，对于该区间上每一点都满足 F ’(x)= f(x) 或 d F(x)= f(x)dx则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数。
不定积分：设F(x)是函数f(x)的任意一个原函数，则所有原函数F(x)+c （c 为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作⎰dx x f )(求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。
其中“⎰”是不定积分的记号；f(x)称为被积函数；f(x)dx 称为被积表达式；x 称为积分变量；c 为任意实数，称为积分常数。
● 定积分的概念设函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续，用分点a=x 0<x 1<x 2<…<x i-1<x i <…<x n-1<x n =b ，把区间[a ，b]任意分成n 个小区间[x i-1，x i ]（i=1,2, …,n ）每个小区间的长度为Δx i = x i - x i-1（i=1,2, …,n ），在每个小区间[x i-1，x i ]上任取一点ξi ，作和式 I n =∑=∆ni i i x f 1)(ξ当分点无限增加(n →∞)且所有小区间长度中的最大值λ=max{Δx i }→0时，和式I n 的极限，叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作⎰ba dx x f )(，即⎰badx x f )(=∑=→∞→∆ni iin x f 1)0()(lim ξλ其中f(x)称为被积函数，b 和a 分别称为定积分的上限和下限，区间[a ，b]叫积分区间，x 为积分变量。
极限的性质及运算法则无穷小的概念：若函数f(x)当x →x 0(或x →∞)时的极限为零，则称f(x)当x →x 0(或x →∞)时为无穷小量，简称无穷小。
须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。
无穷小的性质：性质1：有限个无穷小的代数和也是无穷小。
性质2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。
推论1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。
推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。
无穷大的概念：若当x →x 0(或x →∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)当x →x 0(或x →∞)时为无穷大量，简称无穷大。
注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。
无穷大与无穷小的关系：定理：在同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则)(1x f 为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则)(1x f 就为无穷大。
极限运算法则：法则1：lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)=A+B 法则2：lim[f(x)·g(x)]= lim f(x)·lim g(x)=A ·B 特别的：lim cf(x)=c ·lim f(x)=c ·A (c 为常数)法则3：lim )()(x g x f =)(lim )(lim x g x f =BA （其中B ≠0）注意用法则3求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；如果均为无穷小，就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。
两个重要极限：重要极限1：x xx sin lim→=1 ==》 ()sin()lim 0()→=1 重要极限2：lim ∞→x (1+x 1)x =e =》lim ()∞→(1+()1)（）=e 或lim 0()→（）＋（）1)1(=e 等价无穷小(x →0)：在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替sin ~x x ；tan ~x x ；arcsin ~x x ；arctan ~x x ；ln(1)~x +x ；1~x e -x ；1cos ~x -212x1~12x ；1~x a -ln x a . 导数的性质、求导法则及常用求导公式连续的概念：若函数f(x)在x 0的某邻域内有定义，当x →x 0时，函数的极限存在，且极限值等于函数在x 0处的函数值f(x 0)即lim 0x →x f(x)=f(x 0)则称函数在x 0处是连续的。
连续与可导的关系：定理：若函数f(x)在点x 0处可导，则函数在点x 0处连续。
(连续是可导的必要条件，其逆命题不成立，即函数在某一点连续，但在该点不一定可导) 导数的计算步骤(按定义计算)：第一步 求增量，在x 处给自变量增量Δx ，计算函数增量Δy ，即 Δy=f(x+Δx)-f(x)；第二步 算比值，写出并化简比式：x y ΔΔ=xx x f ΔΔ)(f -)x (＋；(化简比式的关键是使分式中仅分母或分子中含有Δx 项，避免出现00或∞∞)第三步 取极限，计算极限lim→∆x xyΔΔ=f ’(x) 常用基本初等函数的导数公式：()/x μ=1x μμ-； ()/x a =ln x a a ； ()/x e =x e ；()/log a x =1ln x a ； ()/ln x =1x； ()/sin x =cos x ； ()/cos x =sin x -； ()/tan x =2sec x ； ()/cot x =2csc x -；()/sec x =sec tan x x ；()/csc x =csc cot x x -； ()/arcsin x =；()/arccos x =； ()/arctan x =211x +； ()/arccot x =211x -+ 导数的四则运算法则：设u=u(x)，v=v(x)，则 （u ±v ）’= u ’ ±v ’； （cu ）’=cu ’；（uv ）’=u ’v+uv ’； （vu）’=2''v uv v u -.反函数的导数：y=f(x)是x=φ(y)的反函数，则 y ’='1x，即f ’(x)=)(1y ‘φ 复合函数求导法则:设y=f(u),u=φ(x),则复合函数y=f[φ(x)]的导数为dx dy =du dy dxdu或y ’x =f ’u ·φ’x 隐函数求导方法：隐函数的概念 针对因变量y 写成自变量x 的明显表达式的函数y=f(x)，这种函数叫显函数；而两个变量x 和y 的对应关系是由一个方程F(x,y)=0所确定，函数关系隐含在这个方程中，这种函数称为由方程所确定的隐函数。
求隐函数的导数，并不需要先化为显函数（事实上也很难都显化），只需把y 看成中间变量y=y(x)，利用复合函数求导法则，即可求出隐函数y 对x 的导数。
例：求方程x 2+y 2=1所确定的函数的导数。
解 在方程的两端对x 求导，并将y 2看作x 的复合函数，则(x 2+y 2)’=(1)’ 即2x+2yy ’=0，y y ’=-x 得y ’= -yx参数方程所表示函数的导数：如下方程组，其中t 为参数x=φ(t)y=ψ(t)设函数φ(t)和ψ(t)都可导，且函数φ(t)存在连续反函数t=φ-1(t)，当φ-1(t)≠0时，这个反函数也可导；这时y 是x 的复合函数 y=ψ[φ-1(t)]=f(x) 它可导，由复合函数求导法则知y ’x =dx dy =dt dy dx dt =dtdx dt dy=)(')('x x φψ罗必塔法则：当x →x 0(或x →∞)时，函数f(x)，g(x)同时趋向于零或同时趋向于无穷大，这时分式)()(x g x f 的极限可能存在，也可能不存在。
我们称其为未定式，并记作00型或∞∞，这类极限将无法用“商的极限等于极限的商”这一极限法则求出。
未定式00(罗必塔法则一)：limx x →)()(x g x f =lim 0x x →)(')('x g x f =A(或无穷大)。
若其中x →∞时，结论仍然成立。
使用罗必塔法则时，分子分母分别求导之后，应该整理化简，如果化简后的分式还是未定式，可以继续使用这个法则。
未定式∞∞(罗必塔法则二)：limx x →)()(x g x f =lim 0x x →)(')('x g x f =A(或无穷大)。
若其中x →∞时，结论也成立。
未定式0·∞型及∞-∞型：这两类未定式可转化为00型或∞∞型。
未定式00,∞0,1∞型：该类未定式可以通过对数转化为前面的未定式。
● 微分的运算及法则由微分的的概念dy=f ’(x)dx 可知，求一个函数的微分，只要求出导数f ’(x)再乘以dx 就得到微分dy ，因此不难由导数公式做出相应的微分公式。
例，对于y=sinx ，有y ’=cosx ，从而dy=cosxdx 。
微分的法则：设u=u(x)，v=v(x)，则d(cu)=cdu ； d(u ±v)=du ±dv ； d(uv)=udv+vdu ； d(vu)=2vudvvdu - ● 不定积分的性质、基本公式及计算方法由不定积分定义及微分知识，可直接推出不定积分的性质： 性质一：[⎰dx x f )(]’=f(x)或d[⎰dx x f )(]=f(x)dx ； 性质二：⎰dx x F )('=F(x)+c ；性质三：⎰dx x kf )(=k ⎰dx x f )((k 是不为0的常数)； 性质四：⎰±dx x g x f )]()([=⎰dx x f )(±⎰dx x g )(。