2017-2018学年江苏省丹阳高级中学高一上学期期中考试数学(创新班)试题

江苏省丹阳高级中学
2017-2018学年度第一学期期中考试
高一数学（创新班）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应位置） 1、函数f (x )＝cos 2
x －sin 2
x 的最小正周期为 ▲ ．
2、在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= ▲ .
3、已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝ ▲ ．
4、在等差数列}{n a 中，6510,5a s ==，求n a ＝ ▲ ．
5、在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则∠B ＝ ▲ ．
6、若sin(π)2cos(π+)αα-=，则
sin(π)5cos(2π)
5π33cos()sin()
22
ααπ
αα++----= ▲ ．
7、一扇形的周长为6，当扇形的弧长为 ▲ 时，它有最大面积？
8．已知函数()sin()(00[0))f x A x A ωϕωϕ=+∈π＞＞，
，，的
图象如图所示，则函数()f x 表达式为 ▲
9、11
sin 2cos 5
αα+=， tan α= ▲
10、函数()sin y x x R π=∈的图象如图所示，设O 为坐标原点，
(第8题图)
P 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则 tan OPB ∠的 值为 ▲
11、5cos2cos2,tan(1)tan(1)θθθ=+-则的值为 ▲
12.等差数列{}n a 中，公差0d ≠，1312
3a a a =，若 ,,,,31n k a a a 成等比数列，则n k = ▲
13.“无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ▲
14.如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB=AC=1，A=0
120，E ，F 分别是边AB ，AC 上 的点， 且,AE mAB AF nAC ==其中,(0,1)m n ∈若EF ，BC 的中点分别为M ，N ，且 41m n +=则
MN 的最小值是 ▲
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤) 15、（本题满分14分）
（1）已知(3,3),(cos ,sin )a b θθ=-=（(0,)2
π
θ∈），求|2|a b -的取值范围；
（2）已知a 和b 互相垂直，且||2,||3a b ==，求向量a 与2a b +的夹角的余弦值.
16、（本题满分14分）
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别
交于A B 、两点，且25
||5
AB =
.若50,0,sin 2213ππαββ<<-<<=-．
（1）求AOB ∆的面积； （2）求sin α的值.
17．（本题满分14分）
如图，在ABC ∆13==，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为
l 上异于D 的任意一点，F 为线段AD 上的任意一点，
（1）求()
-⋅的值；
（2）判断()
-⋅的值是否为一常数，并说明理由； （3）若BC AC ⊥，求()
AF FB FC ⋅+的最大值。

18．（本题满分16分）
已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()0,21≠≥⋅=-n n n n S n S S a ，9
2
1=
a . （1）求证：⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n S 1为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式． （3）设2
n n
b s =
，是否存在正整数,()m n m n >，使得27m n b b ⋅=-成立，若存在求出,m n ；若不存在，说明理由。

19．（本题满分16分）
已知一列非零向量n a 满足：111(,)a x y =，11111
(,)(,)2
n n n n n n n a x y x y x y ----==-+ （1）证明{}
n a 是等比数列 (2)求向量1n n a a -与的夹角 （2）设向量1(1,2)a =，将12,,
n a a a 中所有与1a 共线的向量取出来，按原来的顺序排成一
列，组成新的数列{}
n b ，12n n OB b b b =+++，O 为坐标原点，求n B 的坐标
20、（本题满分16分）
已知函数]3,2[)1,0(12)(2在区间<≠++-=b a b ax ax x g 上有最大值4，最小值1，设
.)
()(x
x g x f =
（1）求b a ,的值；
（2）不等式0cos sin 2)cos (sin ≤-+θθθθk f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈4,0πθ上恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）方程(sin )3)0
f k θθ+-=，⎪⎭⎫
⎢⎣⎡∈65,6ππθ有三个不同的实
数解，求实数k 的取值范围.
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1、π 2、15 3、5 4、38n - 5、15,105︒︒ 6、
3
7
7、3 8、π()3sin()44f x x π=+9、34，724 10、8 11、2
3 12、2151
+-n 13、
αββαβαsin cos cos sin )sin(+=+ 14、
7
7
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、解： (1)由题意知2a b -=(32cos ,32sin )θθ=--- 则22212a b -=+
因为02
π
θ<<
，所以(
210,a b -∈
．………7分
(2)
,0a b a b ⊥∴=
(2)4a a b ∴+=
又因为240a b +=
=
(2)10cos 10
2a a
b a a b
θ+∴=
=
+ 所以两个向量的夹角的余弦值为
10
………14分 16、（1）设(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==
(cos cos ,sin sin ),AB OB OA βαβα=-=--
2
224
(cos cos )(sin sin )5
AB βαβα∴=-+-= 422(cos cos sin sin )5βαβα∴-+= 3cos()5
αβ∴-= 0,0,2
2
π
π
αβ<<
-
<<
0αβπ∴<-< 4
sin sin()5
AOB αβ∴∠=-= 2
1,1,5
AOB
OA OB S
==∴=
………8分 （
2）5
0,sin 213
πββ-<<=-
12
cos 13
β∴==
[]sin sin ()sin()cos cos()sin ααββαββαββ∴=-+=-+-
412353351351365
=⨯-⨯= ………14分 17、(1)4,(2)4,(3)2
3
18、解：（1）当2≥n 时，1--=n n n S S a ，∴11--⋅=-n n n n S S S S ， ∴
()211
11
≥-=--n S S n n ， ∴数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为等差数列．………4分
（2）由（1）知，
2
211)1()1(111n n S S n -=-⨯-+=，
∴n
S n 2112
-=
．
当2≥n 时，)
213)(211(4
213221121n n n n S S a n n n --=
---=
-=-， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==)
2(,)
213)(211(4),1(,9
2n n n n a n ………10分
（3）、12n b n =- 27m n b b ∴=- (112)(112)27m n ∴--=-
,m n N +∈ 112,112m n Z ∴--∈
27(1)27(27)1(9)3(3)9-=-⨯=-⨯=-⨯=-⨯
m n >
则19107
,,541m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨
===⎩⎩⎩
………16分 19、。