无约束优化的信赖域方法
09-2信赖域法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------09-2信赖域法一、算法理论信赖域方法与线搜索技术一样, 也是优化算法中的一种保证全局收敛的重要技术. 它们的功能都是在优化算法中求出每次迭代的位移, 从而确定新的迭代点. 所不同的是: 线搜索技术是先产生位移方向(亦称为搜索方向) , 然后确定位移的长度(亦称为搜索步长) 。
而信赖域技术则是直接确定位移, 产生新的迭代点。
信赖域方法的基本思想是: 首先给定一个所谓的信赖域半径作为位移长度的上界，并以当前迭代点为中心以此上界为半径确定一个称之为信赖域的闭球区域。
然后, 通过求解这个区域内的信赖域子问题 (目标函数的二次近似模型) 的最优点来确定候选位移。
若候选位移能使目标函数值有充分的下降量, 则接受该候选位移作为新的位移, 并保持或扩大信赖域半径, 继续新的迭代。
否则, 说明二次模型与目标函数的近似度不够理想, 需要缩小信赖域半径，再通过求解新的信赖域内的子问题得到新的候选位移。
如此重复下去，直到满足迭代终止条件。
信赖域方法解决无约束线性规划 minx Rf(x) 的基本算法结构。
设kx 是第 k 次迭代点，记kkff(x )=，kkgf(x )= ，k B 是1 / 10Hesse阵2kf(x )的第 k 次近似，则第 k 次迭代步的信赖域子问题具有如下形式：Tk1min(d)g2Tkkqdd B d=+，. .ks td ∆其中k∆是信赖域半径，是任一种向量范数，通常取 2 -范数或 -范数。
定义kf∆为 f 在第 k 步的实际下降量：-kkkkff f(xd )=+，定义kq∆对应的预测下降量：( )()0 -kkkkqqqd∆=. 定义他们的比值为：kkkfrq∆=∆一般的，我们有0kq∆。
无约束优化问题的一类信赖域算法
（ 一 ￣＇ｌｎ ０ （ ＞ ｌｍ ， ） ｂ，ｉＡ ｔ ｇ ｄ
２ 全 局 收 敛 性 ．
）∈０ ） （１ ，．
为讨论 算法 的全 局收 敛性 ， 文 假设 ： 本 ＡＳ ） ） Ｊｎ 二 阶连 续 可 微 ． １ 在 Ｒ 上 ＡＳ 存 在 有 界 闭 凸 集 Ｑ ， Ｖｋ，ｋ ２） 使 Ｘ ∈Ｑ ，ｋ Ｘ ＋ｓ ∈Ｑ． ＡＳ ３）｛ ｝ 致 有 界 ． 一 引 理 １１ ［ ］算 法 是 适 定 的 ， 若 ｇ ｘ ）≠ ０ 则 在 处 即 （ ， 算 法 至 多有 限次 缩 小 信 赖 域 半 径 一 定 得 到成 功迭 代 步 ．
） ｆ ＋ ≥叼ｐ ｅ￣ ≥ －（ １ ） １ｒ ｄ
ｒ ￣ ｍｉ Ｙ ， ／ １ ｎ｛２ ｝
塑竺
垒 ： ≥ 三
‘
砭
步３ 迭 校正 代点‰ ＝ ＇ ＋
步 ４校 正 信 赖 域 半 径
’
一 — 广 一 一’
ｆ△ 岛Ａ ］Ｐ ＞ ， （ ， ， １
考 虑
∈
） ，
（） １
其 中
） 定 义 在 Ｒ 的 二 阶 连 续 可 微 函 数 ． 是 上
记 ｇ（ ）： （ ， 迭 代 点 处 ， ｇ ＝ｇ（ｋ ＝ ） 在 记 ｋ ｘ） ｘ ）ｓ＝ 一 ， 为 信 赖 域 半 径 ， Ｉ 欧 氏范 数 ． ｋ， Ａ 为 假 设 在 当 前 迭 代 点 ， 法 未 终 止 ， 虑 如 下 信 赖 算 考
△“∈ ｛ ２ ， Ｅ［１ ２， ［ △， ］ ｋ ｔ， ］ 卢 △ Ｐ ／
巳 １ △ ］Ｐ＜／ ＢＡ ， ， ｒ． ２ １
步 ５校 正 到 ， ｋ：ｋ＋ １ 转 步 １ ， ． 注 记 Ｓ＝ ≥ ｝ ，称 Ｓ为 成 功 迭 代 指 标 集 合 ． 问 题 （ ） 般 不 需 要 精 确 求 解 ， 只 需 计 算 满 足 如 子 ２一 而 下 条件 的 近似解 ：
信赖域算法matlab程序求解问题
信赖域算法matlab程序求解问题信赖域算法（Trust Region Algorithm）是一种用于求解无约束优化问题的数值优化算法。
它通过在当前解的局部区域内构建一个信赖域来逼近目标函数的局部性质，然后在该信赖域内求解近似问题，以寻找更优的解。
在MATLAB中，可以使用fminunc函数来实现信赖域算法。
该函数可以求解多元无约束优化问题的最小值。
其调用形式如下：```[x, fval, exitflag, output] = fminunc(fun, x0, options) ```其中，`fun`是目标函数的句柄，`x0`是初始解向量，`options`是优化选项的结构体。
返回值`x`是最优解向量，`fval`是最优解的目标函数值，`exitflag`是退出标志，`output`是优化过程的输出信息。
在使用fminunc函数时，需要定义一个目标函数。
目标函数是一个输入为解向量x，输出为目标函数值的函数。
例如，假设要求解的优化问题的目标函数为：```function f = objective(x)f = x(1)^2 + x(2)^2;end```然后，可以使用fminunc函数来求解最小值：```x0 = [0, 0]; % 初始解向量options = optimset('GradObj', 'on'); % 启用目标函数的梯度计算[x, fval, exitflag, output] = fminunc(@objective, x0, options);```在上述代码中，`optimset`函数用于设置优化选项，`'GradObj', 'on'`表示启用目标函数的梯度计算。
如果目标函数没有提供梯度计算，可以将该选项置为`'off'`。
信赖域算法在求解优化问题时，会自动进行迭代，不断更新解向量，直到满足收敛条件。
无约束最优化的信赖域BB法_刘亚君
目
标 函 数 的 二阶 信 息 本 文 将
ｓｅ
，
法 与 信 赖 域方法 相 结 合 利 用
，
ＢＢ
步
，
长 的 倒 数去 近 似 目 标 函 数 的 Ｈｅ ｓ
矩 阵 同 时 利 用 信 赖 域子 问 题 更 加 灵 活 地 选 取 梯 度 法 的 步 长
ＢＢ
给 出 求 解无 约 束 最优 化 问 题 的 单 调 和 非 单 调 信 赖域
８
［
，
９
］
分 别 应用 公 式
后 步长 的 思 考
，
．
（
１
．
１
〇）
求 解 无 约 束优 化 问 题 和 界 约 束 优 化 问 题 对
． １ ，
ＢＢ
步长 的 研究 引 发 了 对滞
一
在梯 度 法 中 更 多滞 后 的 ＢＢ 步长被 研 究 气 并 得 出 与 Ｂ Ｂ 法 研 究发 现 更 多 的 滞 后 步 增 强 了 Ｂ Ｂ 法 的 非 单 调 性 因 此 可 能 加快 收 敛速 度 Ｐ
，
Ｈ ｅｓ ｓ ｅ
矩阵
Ｖ２／
（
：
ｒ ｆ ｃ
）
或其近
．
应 用 最广 的 修 正 公 式 是 Ｂ Ｆ ＧＳ 修 正 公 式 其 数值稳 定 性 比 其他 修 正 公 式 要好 心 被 称 为 信 赖域 半 径 被 称 为 信赖域 子 问 题 对 于 当 前 迭 代 点 ％ 通 过 求 解模 型
２０１ ６
年
２
月
计 算 数 学第
３８
卷第
．
１
期
．
Ｆ ｅｂ
．
无约束优化的一类新的非单调信赖域算法
算法 １
步 １ 选初值 ， △ ＞０为信赖域半径上界 ， 取
０∈Ｒ ， △ 令 ｏ∈ （ ， ， ＜叼 ０△］ ０ １＜７ ７ ２＜１ ０ ＜ｒ ， ｌ
如 ｌＩｎ ） （ ｌ ｛， ｇｍ Ａ ｉ ５ ）
＿ ≥丽 Ｌ ㈤ ｏ
＜１＜ｒ， ≥０ ｋ＝０ Ｔ ２ ， ， 为非负整数 ， 满足。 步 ２ 检验终止条件 ， 计算 ｇ ， ｌ １≤ 若 Ｉ ｌ ， ｇ 则 ＝ ， 算法终止。
Ａｒ ｄｌ ） Ｐｒ ｄ ｅ ｋ ／ ｅ ≥ （
１，
０－ ≥ ｉ ）ｍ ｌＩｎ １ｇ ｌＩ ａ ｒ
）
（） ４
就接受 ＋ ＝ ＋ 算法步骤 １ ｓ。
如下 。
引理２ 假定存在 ｛ ，， 的无穷子列 Ⅳ ， １２ …｝ ０使 得对任意 后ＥⅣ ， ７ 则对所有的 ｋ量Ｎ 有 ０Ｐ ≥， ， ｌ ｏ
＠
２ １ ＳｉＴ ｃ． ｎｒ． ０ ２ ｃ ｅｈ Ｅ ｇｇ ．
数 学
无约束优化 的一类新 的非单调信赖域算法
王 剑 平 吕毅 斌 张 晓 鹏
（ 昆明理工大学理学 院， 昆明 ６ ００ ） ５ ５０
摘
要 当选取 的初始搜 索点处于峡谷 附近 时， 利用 现有 的信 赖域算 法将 搜 索到 的最优解 可能是局部 最优解。针对 此 问题
ｆ （ ＝ ５ 厶 』ｎｋ） Ｔ ｍｓ ｍ ｉ ＋
Ｉ
～ （ １ ） ，
＋ ｓ）
ｔ ｓ
．
ｔ ．
ｌ Ａ ｌ≤
次收敛性 。文献［ ］ ７ 在信赖域算法 中引入了非单调
线 搜索技术 。当试探 步不 成 功 时 ， 不 重 新 求解 子 并 问题 ， 而采 用非 甲调 线 搜 索 ， 得 到下 个 迭代 点 ， 这
信赖域算法 参数解释
信赖域算法参数解释信赖域算法（Trust Region Method）是一种非线性优化算法，用于求解无约束非线性优化问题。
该算法通过构建一个信赖域模型来逐步逼近最优解。
下面我将对信赖域算法的参数进行逐一解释。
1. 信赖域半径（Trust Region Radius）: 信赖域半径是信赖域算法的一个关键参数，用来控制当前信赖域模型的有效范围。
信赖域算法通过在该信赖域内进行迭代计算来逐步逼近最优解。
信赖域半径通常用一个正数来表示，代表了当前信赖域的半径大小。
2. 模型准则函数（Model Objective Function）: 模型准则函数是信赖域算法中的一个重要参数，用于评价信赖域模型与原始优化问题之间的拟合程度。
常见的模型准则函数包括二次模型、三次模型等，其中二次模型是最常用的。
模型准则函数的选择会直接影响算法的收敛性和准确性。
3. 模型的预测质量（Model Prediction Quality）: 模型的预测质量是衡量当前信赖域模型在给定信赖域半径内的拟合程度和预测能力。
通常采用实际函数值和模型函数值之间的差异来评估。
4. 信赖域约束比率（Trust Region Constraint Ratio）: 信赖域约束比率是一个用于控制信赖域半径变化的参数。
当信赖域内的拟合程度较好时，可适当增大信赖域半径；当拟合程度较差时，应缩小信赖域半径。
信赖域约束比率通常取值在(0,1)之间。
5. 信赖域更新策略（Trust Region Update Strategy）: 信赖域更新策略用于根据不同的计算情况来更新信赖域半径。
常见的信赖域更新策略包括成功步长比例、信赖域半径调整因子等。
更新策略的选择会影响到算法的收敛性和稳定性。
6. 模型剪裁准则（Model Truncation Criterion）: 模型剪裁准则用于判断当前信赖域模型是否拟合程度足够好，是否需要继续进行迭代计算。
常见的剪裁准则有曲率条件和信赖域约束条件等。
解无约束优化的非单调自适应信赖域算法
５ ６
重庆工商大学学报（自然科学版 ）
第３ ０卷
并将此技术运用到信赖域方法 中， 获得了较好的数值效果 。 自适应方法是 由 Ｓ ａ ｒ ｔ ｅ ｎ ｅ ａ ｒ 首次提出的， 此方法可以避免信赖域半径更新的盲 目性。 自 适应方法进一
步研 究 的主要 有 文 献 ［ ９ — １ ０ ］ 等 。２ ０ ０ ９年 ， Ｓ ａ ｎ ｇ和 Ｓ ｕ ｎ ¨ ¨ 充 分利 用 当前 迭 代 点 的信 息 提 出 了一种 自适应 方 法， 即令 ：
表 明了算法的有效性。 关键词 ： 无约束规划； 非单调信赖域算法； 自 适应方法； 滤子 ； 全局收敛性
中图分 类 号 ： ０ ２ ２ １ ． ２ 文献 标志 码 ： Ａ
０ 引 言
本文 考 虑无 约束 最优化 问题 ：
ｍｉ ｎ ∈尺 ） （ １ ）
其 中
， 其 中
其中ｄ ＝ ｘ 一 ， ｇ ＝ ｖ ｆ （ ｘ ） ， 对称阵 Ｂ ∈Ｒ 是
） 或其近似 ，Βιβλιοθήκη △ ＞ ０ 是信赖域半径 ， ｌ ｆ ． Ｉ Ｉ 是 向量范数或
由它导 出的矩 阵范 数 。 由式 （ ２ ） 求 得 的试探 步 ｄ 是 否被 接 受 ， 取决 于 两个 下 降 量 的 比值 ， 即ｒ ｋ ：
１ ． １ 算法 １ （ Ｆ Ｎ Ｔ Ｒ） 步１ ： 给定 ０ ∈ Ｒ ， ０ ＜ ｔ ｏ １ ＜ ｃ ｃ Ｊ ２ ＜ ｌ ， ｏ ＝１ ， ６ ∈（ ０ ， ０ ． ５ ） ， 叼∈（ ０ ， １ ） ， Ａ∈（ ０ ， １ ） ， ６ ＞ ０ 。０ ＜ ｃ ２ ＜ １ ＜ ｃ １ ， ０ ＜ ｃ ２ ＜１ ＜ ｃ １ ，
摘
要： 受 文献 ［ １ ４ ］ 的启发 ， 针 对无 约束优 化 问题提 出了一 个基 于ｘ － ＆模 型 的非 单调 信 赖域 算 法 ； 算 法
无约束最优化的梯度路径非单调信赖域算法
（） ２
引理 ３２ ． …
由 信 赖 域 子 问 题 （ ） 生 ， ｇ ６ ｒ ） ４产 则 （（） ，
ｒ ０ ） 单 调 减 少 的 ， 且 ｅ（ ， 是 并
） 在 ‘ 处 等 价 的二 ”
其中莒 ｇ ， ＝ ：‘． ‘ ＝ ８ Ｌｄ“
关键词 ： 梯度 路 径 ； 赖 域 法 ； 局 收 敛 信 全 中围 分 类 号 ： ２ ０２４ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ２— ４ ５ ２ ０ ） ３— ０ ８— ２ １７ ３ ６ （０ ８ ０ ０ ６ ０
０ 引 言 无 约 束 最 优 化 问 题 ： ｉ （ ， “ 其 信 赖 域 方 法 的 子 ｍ ｎ ） ｅＲ ， ｆ 问 题 为
定 义 ２ １ 设 ‘ 是 当前 迭 代 点 ． ”
ｐｅ （ ≥面 Ｉ （ ）Ｉ ｎ △ ， ， ６） ｄ Ｉ 雷 Ｉ ｛ ｍｉ
其 中 西＞ ０是 个 常 数 ．
｝
（） ５
阶 近 似 ｇ ６ 的梯 度 路 径 是 微 分 方 程 ¨（ ）
６ ｔ 一Ｖｇ ’ ６ ｔ ） ０ ０的解 ． （ ）＝ ¨ （ （ ） ， （ ）＝
摘 要 ： 于对 时 称 矩 阵 的 Ｂ ｎ ｈ— ａｌ ｔ 解 ， 信 赖 域 子 问题 转 换 成 一 个 等价 的信 赖域 子 问题 ， 造 出一 种 易 于 实 基 ｕ ｃ Ｐ ｒ ｔ分 ｅ 将 构
现的梯度路径 ， 然后 沿 着这 条 路 径 用非 单 调 的 信 赖 域 法 来找 出 问 题 的 大 约 最 优 解 ， 法 对 海 色矩 阵 无 正 定 的 限 制 ， 留 该 保 了信 赖 域 方 法 的 特 色 ， 并证 明 了这 种 算 法的 全 局 收 敛 性 和 二 阶收 敛 速 率 。
一个新的解无约束优化问题的信赖域算法
Ｋｅ ｒ ｓ： ｎｃ ｎ ｔａｎ ｄ ｏ ｉ ｚ ｔｏ ｔ ｕ ｔｒ ｇｉｎ ａｇ ｒｔ ， ｌ ｂ ｌ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｙ ｗｏ ｄ ｕ ｏ ｓ ｒ ｉ ｅ ｐｔｍｉａ ｉ ｎ，ｒ ｓ —ｅ ｏ ｌｏ ｉｈｍ ｇ ｏ ａ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｃ
本 文考虑一 般 的无约束 极小 化 问题
摘 要 ： 了 减 少 求 解 信 赖 域 子 问 题 的 次 数 ， 过 对 当前 目标 函数 下 降 量 与 成 功 迭 代 的 目标 函数 下 降 量 最 小 值 的 为 通
比较 ， 出一 个 新 的 解 无 约束 优化 问题 的信 赖 域 算 法 ， 明 了该 算 法 的 全 局 收敛 性 ， 用 数 值 实 验 说 明新 算 法 是 提 证 并
ｍｉｆ（ ， ｎ ｚ）
∈ Ｒ
ｌ ｌ ｌ・ Ｉ 为欧 氏模 ， 为信赖域 半径 ， 称点 一 ＋ Ｓ
（． ） ０ １
为试验点 ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其 中 ， ： Ｒ二次连 续可微 ． －尺 一 厂 信 赖 域方 法是 解 问题 （ ． ） ０ １ 的一类 有 效方 法 ， 它 包 括基 本信 赖域算 法 （ Ｔ ， 单调算 法 和过 滤 Ｂ Ｒ） 非 子 算法 ｌ ， 中非 单 调算 法 和过 滤 子算 法都 是 在 ３等 其 “
能性 值得探 讨． 当试验点
失 败时 ， 在文 献 ［ ，］中 ３４
利用过 滤 技 术 ， 文 献 ［ ，］中利 用 线 搜 索 ， 生下 在 ５６ 产
第3章 无约束最优化方法 3-1 最速下降法 3-2 牛顿法
是局部性质。 n （3）锯齿现象 n （4）改进策略：在计算的开始阶段使用最
速下降法，在迭代数次后，改用其他算法。
第3.1节 最速下降法（Steepest Method）
n [引理3.2]（康德洛维奇Kntorovich不等式）
第3.2节 Newton法及其改进
n [推论3.8]设 且对任意的 在水平集
在开凸集D上二阶连续可微， ，存在常数 ，使得
上满足
则从任意的初始点 出发，牛顿法产生的迭
代点列 满足
，且收敛到
的唯一极小点。
第3.2节 Newton法及其改进
n 阻尼牛顿法的优点与缺点： 阻尼牛顿法克服了牛顿法要求初始点充分靠
n
，则d是下降方向；
n
，则 是下降方向。
第3.2.4节 吉尔-默里稳定牛顿法
n Gill-Murray稳定牛顿法的基本思想： n 当Hesse矩阵 在迭代点
处为不定矩阵时，对其进行强迫正 定的 分解；当 趋于零时， 采用负曲率方向使函数值下降。
第3.2.4节 吉尔-默里稳定牛顿法
n [算法3.15]（求负曲率方向的算法）
得到方向 ，令
。
n （6）精确线性搜索求 ，且令
n （7）若
，则进行步（8）；否则，
令
，转步（2）。
n （8）输出
，停止计算。
第3.2.4节 吉尔-默里稳定牛顿法
n [定理3.18]设 二阶连续可微，且存在
，使得
为有界闭
凸集。假定在吉尔-默里稳定牛顿法中取
，且初始点
，则吉尔-默里稳
定牛顿法产生的迭代序列 满足：
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1
无约束优化的信赖域方法
宫鲁津
摘要
无约束优化问题是实际工程中最常见的问题之一。
这类问题虽然形式比较简单，但是对于某些大规模的或者非线性很强的问题，求解它们仍然是有相当难度的。
信赖域方法是求解无约束优化问题的一类非常有效的方法，它具有很好的收敛性质，同时也有良好的数值表现。
为了使信赖域方法能够很好的求解大规模的问题，并且提高其实际计算的性能，我们需要对传统的信赖域方法进行一些改进，使得新的算法既可以继承信赖域算法的良好的收敛性质，又能够具有内存占用量较小，或者效率较高的性质。
本文给出若干改进的信赖域方法。
我们首先提出了一个求解无约束优化问题的有限内存的信赖域方法，将有限内存的思想，和信赖域算法的框架结合起来。
使用有限内存的BFGS公式来得到近似Hessian矩阵，同时重新定义信赖域的范数，从而使得信赖域子问题不需要求解，具有显式的解的表达式。
在存储上，只需要存储最近几步的梯度差和所走的步子，而不需要显式的存储整个近似Hessian矩阵，因而大大的节省了存储空间。
我们证明了算法的收敛性。
数值实验表明，该算法明显优于传统的信赖域算法。
我们还提出了一个求解无约束优化问题的子空间的信赖域方法。
我们构造了一个新的子空间，这个子空间的维数的上界是可以任意设定的。
子空间的方向包括两个部分，一部分是长期存在于子空间中的老的方向，这些方向上积累了大量的信息，对目标函数的近似会比较准确；另一部分是每次迭代都会更新的方向，使得算法可以在新的方向上进行试探。
我们还采用了重开始的技巧，及时的将没有贡献的老的方向删除掉。
数值实验表明，算法无论是在迭代步数还是CPU时间上，都比现有的方法要好。
为了提高算法的效率，我们提出了一个非单调的牛顿-信赖域方法。
由于传统的信赖域方法有时可能过于保守，因而，我们将非单调的技巧以及无约束的牛顿方法，与信赖域框架相结合，使得算法既有信赖域算法的良好的收敛性质，同时又比传统的信赖域方法效率高。
对于不同的模型，采用不同的接收准则。
数值实验表明，我们的算法明显优于传统的信赖域方法。
关键词:无约束优化问题，信赖域方法，有限内存，子空间方法，非单调技巧，牛顿法。